Tỡm m để đồ thị hàm số cú ba điểm cực trị tạo thành một tam giỏc cú trọng tõm là gốc tọa độ O.. Gọi M,N c lần lượt là trung điểm của BC,CA .Tớnh gúc j giữa OMNvà OAB... 2M: Administrator
Trang 12M: Administrator of Mathscope.org
ĐỀ 1 (12/10/2008)
Trang 22M: Administrator of Mathscope.org
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG SỐ I (2008-2009)
(thời gian: 180 phỳt)
Cõu I (2 điểm)
Cho hàm số y x= 4-2mx2+1 với tham số mẻĂ
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đó cho khi m=1
2 Tỡm m để đồ thị hàm số cú ba điểm cực trị tạo thành một tam giỏc cú trọng tõm là gốc tọa độ O
Cõu II (2 điểm)
1.Giải phương trỡnh:
c
c
2 Giải bất phương trỡnh: 3x+ -1 2 2x- >1 5x- -1 5-x
Cõu III (3 điểm)
1 Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) : 3 d x+4y+ =2 0
Tỡm C ( )ẻ d sao cho điểm đú cựng với A(2;5);B( 1;1)- tạo thành một tam giỏc cú chu vi là 12 3 2+ (đvcd)
2 Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA a,OB b,OC= = = vuụng gúc với nhau từng đụi một Gọi M,N c lần lượt là trung điểm của BC,CA Tớnh gúc j giữa (OMN)và (OAB)
Cõu IV (2 điểm)
1 Tỡm cỏc hàm số ( )f x cú đạo hàm trờn Ă thỏa món: +
f x( )=x(s inx+ f x'( ))+c x xos ;" ẻĂ +
2 Tỡm số nguyờn dương n³10 thỏa món: 0 10 1 9 2 8 10 0 11
1
2
Cõu V
Tỡm m để hệ phương trỡnh sau cú nghiệm ; x y>0:
( )2 3
(1 )(1 )
m
+
ớ
ùợ
Trang 32M: Administrator of Mathscope.org
Đáp án:
Câu I:
1 Khi m=1; y=(x-1) (2 x+1)2 ta có:
Tập xác định: ¡
Sự biến thiên:
lim
x y
®¥ = +¥
0
1
x
x
= é ê
ê = -ë
Bảng biến thiên:
Ta có:
- Hàm số đồng biến trên từng khoảng ( 1;0)- và (1;+¥)
- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (0;1) và (-¥ -; 1)
- Hàm đạt cực đại là 1 tại x = 0 và đạt cực tiểu là 0 tại x = 1 và x = -1
Đồ thị:
Trang 42M: Administrator of Mathscope.org
2 Trong trường hợp tổng quát : y' 4 (= x x2-m)
-Nếu m£0; ' 0y = có duy nhất No x=0 nên bổ đề về điều kiện cần của cực trị không cho phép nó
có đủ 3 cực trị
- Nếu m>0; ta có:
é =
-ê
ê =
ë
Và ta có bảng biến thiên sau:
Bảng ấy thông báo rằng chúng ta có ba điểm cực trị là:
0(0;1); 1( ;1 ); 2( ;1 )
Bây giờ thì sự kiện ba điểm cực trị ấy tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O
0 0
6 3
2
0 3
m
ïï
ïî
Vậy tất cả những m cần tìm kiếm là 6
2
Trang 52M: Administrator of Mathscope.org Câu II
1
Cái phương trình trong đề bài ( ) s inx.cos 0( )
3 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 ( )
I
¹ ìï
ïî
Để ý chút xíu là hễ (i) bị vi phạm
s inx 0 cos 1
cos x 0 sin 1
x x
x x
é í ê ê ï
êîë = -ê
é í ê ê ï
êîë = -ë
thì đem thay vào (ii) thấy không thỏa
Nói cho nhanh là ( )I Û( )ii Û 5 cos(x a- )= 5 cos(2x b- ) ; (với
3 cos
5 2 sin
5
4 cos
5 1 sin
5
a
a
a b
b b
ì
= ï ï ï
= -ï
ï í
ï ï
ïî
)
( 1) 2
1 ( 1) 2
n n
n
Do vầy tất cả các No cần tìm của phương trình là: ( 1) 2 ; ;
1 ( 1) 2
n n
(với ;a b đã được báo cáo về sự tồn tại ở (*))
2
Ta chỉ cần tìm No bất phương trình đã cho trên [ ;5]1
2
để ý rằng khi ;R r³0 thì giá trị của R- r luôn cùng dấu hoặc cùng bằng 0 với R r
-3x 1 2 2x 1 3x 1 8x 4
Þ + - - = + - - luôn cùng dấu hoặc cùng bằng 0 với
3x+ -1 (8x-4)= -5(x-1) trên [ ;5]1
2 luôn trái dấu hoặc cùng bằng 0 với 6(x- =1) 5x- - -1 (5 x) lượng này luôn cùng dấu hoặc cùng bằng 0 với 5x- -1 5-x trên [ ;5]1
2 Nói tắt lại thì 3x+ -1 2 2x-1 luôn trái dấu hoặc cùng bằng 0 với 5x- -1 5-x
1
Trang 62M: Administrator of Mathscope.org Câu III
1
Có ( ) : 2 4 (2 4 ; 2 3 )
2 3
= + ì
Î í = - -î Û + - - giờ thì điều kiện bài toán trở thành
(2 ( 1)) (5 1) (2 4 2) ( 2 3 5) (2 4 ( 1)) ( 2 3 1) 12 3 2
Với t=25c2+42c do ( )f t = t+49+ t+18 tăng trên tập xác định của nó nên
(*)
Vậy ra có 2 điểm 1(2; 2); 2(218; 176)
25 25
C - C - thỏa yêu cầu
2
Hạ OH vg AB có CH vg AB (định lý ba đường vg) giả dụ CH cắt MN tại I
Do AB//MN nên MN vg (OHC) hơn nữa (OAB)Ç(OMN) = d//AB//MN nên
OI;OH vg (d) tức j chính là góc giữa OI và OH
Hạ IK vg OH có tgj = IK/OK nhưng IK//OC nên IK/OC = KH/OH = IH/CH = BM/BC = 1/2
Vậy IK = OC/2 = c/2 còn OK = KH = 1/2.OH =
OAB
+ Tức là: tgj = IK/OK = c a2 b2
ab
+
Trang 72M: Administrator of Mathscope.org Câu IV
1
Đặt f x( )=g x( ) cos+ x bởi ( )f x có đạo hàm trên ¡ nên ( )+ g x cũng phải thế
Có:
2 '
'( ) ( )
( )
0;
x
g x
x x
+
Ûç ÷ = " Î
¡
Đạo hàm đặc trưng cho tốc độ biến thiên giá trị hàm thế nên cái loại có đạo hàm bằng 0 là cái loại
chả chịu thay đổi giá trị bao giờ cả, loại ấy thấy bảo gọi là hàm hằng
Tức là: g x( ) c c: ons ;t x f x( ) c x cos ;x x
x
Tóm lại những gì cần tìm kiếm là ( )f x =cx+cos ; : const x c " Îx ¡ +
2
Giả dụ chúng ta phải mời 10 người đến dự 1 đám ma và ta có quyền chọn 10 người ấy trong 10
kẻ tử tế và n thằng đểu (với n³10); Khi ấý hễ ta cứ mời ;0k £ £k 10 gã tử tế thì cũng sẽ theo cùng
10 k- thằng đểu đến ăn cỗ
Do vậy số khả năng chọn cái đám 10 người ấy là 0 10 1 9 2 8 10 0
10 n 10 n 10 n 10 n
Tuy nhiên nếu chả cần xét nét quá về nhân cách bọn chúng, (ta cứ túm bừa 10 đứa từ n+10 đứa tất thảy) thì số cách chọn là C 10 n10+
Từ đó ta có: C 10 n10+ = 0 10 1 9 2 8 10 0
10 n 10 n 10 n 10 n
Bài toán của chúng ta giờ đây trở thành:
1 2
( )
( 10)! (2 )!
11.( 1)( 2) ( 10) (2 10)(2 9) (2 1) 10! ! 2.11! 2 11 !
+
Với n=10 thay vào thì thấy ko thỏa -Với n=11 thay vào thì thấy quá thỏa -Với n>11 thì bởi từng nhân tử bên trái lại to hơn nhân tử tương ứng bên phải nên rốt cuộc lại chả thỏa
Vậy tất cả n cần tìm là n=11
Câu V:
(Vì nó dễ quá nên tôi không tiện trình bày ở đây, ai muốn biết nó dễ thế nào thì đến dự buổi chữa bài nhé)
