(Luận văn thạc sĩ) tách khối tâm cho bài toán nguyên tử tương tác với từ trường đều

Đối với cơ học lượng tử, khi khảo sát chuyển động của các đối tượng vi mô như các hạt cơ bản hay một hệ hạt chẳng hạn như nguyên tử, ta sẽ viết Hamiltonian cho hệ rồi đưa Hamiltonian và

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TÊN ĐỀ TÀI:

TÁCH KHỐI TÂM CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TƯƠNG TÁC VỚI TỪ

TRƯỜNG ĐỀU THE CENTER-OF-MASS SEPERATION FOR THE PROBLEM OF AN

ATOM IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD

GVHD: GS.TSKH LÊ VĂN HOÀNG SVTH: NGUYỄN ANH TUẤN – K40.102.105

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH



KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TÊN ĐỀ TÀI:

TÁCH KHỐI TÂM CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TƯƠNG TÁC VỚI TỪ

TRƯỜNG ĐỀU THE CENTER-OF-MASS SEPERATION FOR THE PROBLEM OF AN

ATOM IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD

GVHD: GS.TSKH LÊ VĂN HOÀNG SVTH: NGUYỄN ANH TUẤN – K40.102.105

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2018

LỜI CẢM ƠN

Việc thực hiện đề tài này không thể không kể đến sự đóng góp của GS Lê Văn Hoàng đã đề nghị đề tài này và luôn theo sát em trong suốt quá trình làm khóa luận Hơn nữa, thông qua việc giảng dạy, Thầy Hoàng cũng đã là người truyền cảm hứng cho em trong việc nghiên cứu các vấn đề liên quan đến Cơ Học Lượng Tử, giúp em có khả năng

và hứng thú tìm tòi các tài liệu liên quan đến bộ môn và đề tài này Sự thành công của khóa luận cũng nhờ vào công ơn rất lớn của Thầy

Ngoài ra, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy Lê Đại Nam, người đã góp ý cho em sửa chữa và hoàn chỉnh khóa luận Khóa luận của em sẽ không thể hoàn thiện nếu không có sự hướng dẫn và giúp đỡ của thầy

Em xin cảm ơn đến các thầy cô trong tổ Vật Lý Lý Thuyết vì đã tạo điều kiện cho

em thực hiện đề tài này, tạo điều kiện cho em có cơ hội được nghiên cứu một vấn đề khoa học Mặc dù kĩ năng phân tích vấn đề và trình bày vấn đề của em còn có rất nhiều thiếu sót nhưng các thầy cô đã rất nhiệt tình chỉ bảo và hướng dẫn em Đây là một điều may mắn rất lớn đối với em

Lời cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè, những người đã luôn động viên và khích lệ tinh thần em trong suốt thời gian qua để em có thể tập trung hoàn thành khóa luận

TPHCM, ngày 26 tháng 04 năm 2018

Nguyễn Anh Tuấn

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

DANH MỤC CÁC HÌNH 5

Chương 1 5

Chương 2 5

MỞ ĐẦU 6

CHƯƠNG 1: KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA KHI CHƯA ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG 9

1.1 Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường 9

1.2 Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli khi chưa đặt trong từ trường 13

CHƯƠNG 2: TÁCH KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA TRONG TỪ TRƯỜNG 18

2.1 Ảnh hưởng của từ trường lên một hạt mang điện chuyển động 18

2.2 Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro trung hòa trong từ trường 20

2.3 Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli trung hòa trong từ trường 26

CHƯƠNG 3: ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÁCH CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM TRONG HAMILTONIAN CỦA MỘT NGUYÊN TỬ TRONG TỪ TRƯỜNG 34

CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 37

KẾT LUẬN 37

HƯỚNG PHÁT TRIỂN 37

PHỤ LỤC 38

A Toán tử động lượng suy rộng của một hệ N hạt mang điện 38

B Các biểu thức giải tích 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

Tiếng Việt 41

Tiếng Anh 41

MỞ ĐẦU

1 Đối với cơ học lượng tử, khi khảo sát chuyển động của các đối tượng vi mô

(như các hạt cơ bản hay một hệ hạt chẳng hạn như nguyên tử), ta sẽ viết Hamiltonian cho

hệ rồi đưa Hamiltonian vào phương trình sóng Schrodinger để giải ra nghiệm là hàm sóng 𝜓(𝒓) và năng lượng Hàm sóng bản thân nó không có ý nghĩa vật lí Tuy nhiên, theo Max Born, bình phương module hàm sóng lại cho ta biết xác suất tìm thấy một hạt trong một vi phân thể tích [1] Tuy nhiên, đối với những bài toán nguyên tử (hệ gồm hai hoặc nhiều hạt), việc giải phương trình Schrodinger sẽ khá phức tạp do số bậc tự do trong bài toán nhiều Giả sử khi xét chuyển động của một nguyên tử hydro trong từ trường, ta phải xét vector bán kính hạt nhân 𝒓𝒉 và vector bán kính electron 𝒓𝒆 Trong không gian

Descartes, mỗi vector sẽ có ba thành phần, do đó Hamiltonian của hệ sẽ có đến sáu bậc tự

do [18] Điều này sẽ gây khó khăn khi giải phương trình Schrodinger

Để giảm số bậc tự do, ta sẽ đưa bài toán về hệ quy chiếu khối tâm Lúc này, thay

vì xét các vector bán kính hạt nhân 𝒓𝒉 và các electron 𝒓𝒆, ta sẽ đưa về các vector bán kính của khối tâm và của chuyển động tương đối giữa hạt nhân và electron (đối với các bài toán có nhiều electron sẽ xét thêm vector bán kính chuyển động tương đối giữa các electron) Sau đó, Hamiltonian sẽ được biến đổi qua hệ khối tâm Lúc này, bằng các phép biến đổi giải tích, ta sẽ đưa Hamiltonian trong hệ khối tâm về dạng phân ly biến số, tức là chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối của các hạt nhân và electron trong nguyên tử được tách ra một cách rõ rệt Việc giải phương trình Schrodinger lúc này sẽ đơn giản hơn do hai biến số hoàn toàn độc lập với nhau Do đó, khi khảo sát chuyển động của các nguyên tử, ta luôn tìm cách đưa Hamiltonian của nguyên tử về hệ quy chiếu khối tâm và biểu diễn Hamiltonian dưới dạng phân ly biến số, từ đó việc giải phương trình Schrodinger để tìm hàm sóng sẽ đơn giản hơn rất nhiều

2 Chưa xét đến việc giải phương trình Schrodinger, hiện nay, việc tách khối tâm

trong bài toán nguyên tử khi không có điện từ trường đã được giải quyết và trình bày, điển hình là bài toán nguyên tử hydro khi không có điện từ trường [1] Tiếp sau đó là bài toán nguyên tử heli với cách giải gần như tương tự mà đề tài này sẽ giải quyết Còn đối

với nguyên tử trong từ trường, lời giải cho bài toán nguyên tử hydro, heli cũng đã được công bố [4, 5, 13, 14] Tất cả sẽ được trình bày lại một cách hệ thống nhất trong đề tài này

Sau khi đạt được thành công trong việc tách khối tâm trong bài toán nguyên tử trung hòa khi không có điện từ trường và trong từ trường, các nhà khoa học bắt đầu chuyển đối tượng nghiên cứu các exciton không trung hòa trong bán dẫn, nghĩa là số electron và số lỗ trống không bằng nhau Lúc này họ đã gặp phải một số khó khăn nhất định trong việc đưa Hamiltonian về dạng phân ly biến số [15, 16] Vấn đề đặt ra ở đây đó chính là tại sao đối với exciton không trung hòa thì Hamiltonian của nó trong hệ quy chiếu khối tâm không thể đưa về dạng phân ly biến số một cách dễ dàng như các nguyên

tử trung hòa Và liệu có một điều kiện, hay một phép gần đúng nào giúp ta làm được điều này? Đây vẫn còn là một vấn đề khá nan giải mà các bài báo khoa học đang đặt ra

3 Đề tài này sẽ nghiên cứu kĩ về các bước để có thể tách khối tâm cho bài toán

nguyên tử Đối tượng nghiên cứu ban đầu là nguyên tử hydro và heli khi chưa có từ trường Khi đặt nguyên tử trung hòa trong từ trường, do có sự xuất hiện của thế vector nên toán tử xung lượng của các hạt sẽ bị biến đổi [1] Lúc này việc tách khối tâm sẽ phức tạp hơn Đề tài này sẽ chỉ ra sự khác biệt giữa Hamiltonian của một nguyên tử trong từ trường với Hamiltonian của một nguyên tử khi không có từ trường cũng như trình bày từng bước cách để tách khối tâm trong bài toán nguyên tử trong từ trường Ban đầu, để đơn giản, ta cũng sẽ chọn đối tượng là nguyên tử hydro trong từ trường Sau đó là heli và

mở rộng ra đối với một ion có hạt nhân Z và một electron, kiểm chứng xem với các cách làm của các bài toán trên thì có thể tách khối tâm cho bài toán ion được không

Mặc dù phạm vi của đề tài chỉ đến bước thiết lập Hamiltonian của nguyên tử ở dạng phân ly biến số giữa chuyển động khối tâm và chuyển động tương đối của hạt nhân

và electron, nhưng kết quả này sẽ làm tiền đề cho các nghiên cứu sâu hơn, nhất là exciton không trung hòa trong bán dẫn hai chiều

4 Ngoài phần Mở đầu và Kết luận và hướng phát triển, khóa luận sẽ gồm có hai

Chương 2: Khối tâm trong các bài toán nguyên tử trung hòa trong từ trường

Chương này cũng sẽ trình bày chi tiết các bước tách khối tâm cho nguyên tử trung hòa trong từ trường Chương 2 bao gồm ba phần Hai phần đầu sẽ trình bày việc tách khối tâm cho hydro và heli Phần thứ ba, tôi sẽ chuyển đối tượng nghiên cứu sang ion với hạt nhân 𝑍 và một electron với 𝑍 ≠ 1 để kiểm chứng với các bước tách khối tâm đã thực hiện trong bài toán hydro và heli thì đối với ion có thành công hay không

CHƯƠNG 1: KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA KHI CHƯA ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG

1.1 Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường

Nguyên tử hydro trung hòa bao gồm ha ̣t nhân là mô ̣t proton và mô ̣t electron chuyển động xung quanh ha ̣t nhân Trong nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường thì lực tác du ̣ng giữa proton và electron chính là lực Coulomb

Gọi 𝒓𝒉 ≡ (𝑥ℎ, 𝑦ℎ, 𝑧ℎ) và 𝒓𝒆 ≡ (𝑥𝑒, 𝑦𝑒, 𝑧𝑒) lần lượt là vector to ̣a đô ̣ của ha ̣t nhân và electron, 𝑚ℎ và 𝑚𝑒 lần lượt là khối lượng của ha ̣t nhân và electron

Hình 1: Nguyên tử hydro trong hệ tọa độ Descartes

Hamiltonian củ a nguyên tử hydro được viết như sau

𝐻̂(𝒓𝒉, 𝒓𝒆) = 1

2𝑚ℎ𝒑̂𝒉

𝟐+ 12𝑚𝑒𝒑̂𝒆

𝟐− 14πεε0

𝑒2

|𝒓𝒆− 𝒓𝒉|, (1.1) trong đó 𝒑̂, 𝒑𝒉 ̂ lâ𝒆 ̀n lượt là toán tử xung lượng của ha ̣t nhân và electron, có dạng

trong đó r là vector mô tả chuyển đô ̣ng tương đối của electron so với ha ̣t nhân; R là

vector tọa đô ̣ khối tâm của nguyên tử hydro Ta sẽ biến đổi sang hệ quy chiếu khối tâm qua các công thức liên hê ̣ như sau

Thực hiện tương tự các bước biến đổi trên với toán tử động lượng của electron, ta cũng thu được

𝑚ℎ+ 𝑚𝑒) 𝒑̂𝒄]

2

+ 12𝑚𝑒[𝐩̂ + ( 𝑚𝑒

𝟐 + 12𝑚𝑒𝒑̂𝒆

2 +−ℏ

2

2𝑚 ∇𝐫

2− 14πεε0

𝑒2

|𝒓| (1.17) Như vâ ̣y từ (1.17), ta thấy chuyển đô ̣ng của nguyên tử hydro khi chưa có từ trường

có thể tách ra làm hai chuyển đô ̣ng: mô ̣t là chuyển đô ̣ng của mô ̣t ha ̣t có khối lượng rút gọn 𝑚, hai là chuyển đô ̣ng của khối tâm có khối lượng 𝑀 [1]

Từ đây, Hamiltonian được tách thành hai thành phần như sau

𝐻̂ = 𝐻̂𝑐 + 𝐻̂𝑟𝑒𝑙, trong đó ta có

𝑒2

|𝒓| Lúc này hàm sóng sẽ có dạng phân ly biến số như sau

Ψ(𝑹, 𝒓, 𝒓𝟎) = 𝜓(𝑹)𝜙(𝒓, 𝒓𝟎) (1.18) Thay vào phương trình Schrodinger 𝐻̂Ψ = 𝐸Ψ, ta có hai phương trình sau

−ℏ22𝑀 ∇𝐑

2𝜓(𝑹) = 𝐸𝐶𝜓(𝑹), (1.19) (−ℏ

2

2𝑚 ∇𝐫

2− 14πεε0

𝑒2

|𝒓|) 𝜙(𝒓) = 𝐸𝑟𝑒𝑙𝜙(𝒓) (1.20) Việc giải phương trình Schrodinger lúc này sẽ đơn giản hơn rất nhiều do hai biến

số đã phân ly hoàn toàn Do khối lượng hạt nhân là proton lớn hơn nhiều (1836 lần) so với khối lượng của electron nên 𝑚 ≈ 𝑚𝑒, tuy nhiên trong các tính toán chính xác hơn, ta cần tính thêm hiệu ứng khối lượng hạt nhân Phương trình (1.19) mô tả chuyển động tự

do của hạt có khối lượng 𝑀 Vì có sự tách biến giữa hai chuyển động này, khi khảo sát nguyên tử hydro, ta có thể xem như nó đứng yên và chỉ để lại thành phần chuyển động tương đối giữa electron và hạt nhân trong Hamiltonian [1]

1.2 Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli khi chưa đặt trong từ trường

Nguyên tử heli bao gồm ha ̣t nhân là hai proton mang điện tích dương và hai electron mang điện tích âm chuyển đô ̣ng xung quanh ha ̣t nhân Lực tác du ̣ng giữa proton

và electron và giữa các electron với nhau chính là lực điê ̣n (lực Coulomb)

Gọi 𝒓𝒉 ≡ (𝑥ℎ𝑦ℎ, 𝑧ℎ) và 𝒓𝒆 𝟏 ≡ (𝑥𝑒1𝑦𝑒1, 𝑧𝑒1), 𝒓𝒆𝟐 ≡ (𝑥𝑒2𝑦𝑒2, 𝑧𝑒2) lần lượt là vector

tọa đô ̣ của ha ̣t nhân và electron thứ nhất, thứ hai; 𝑚ℎ và 𝑚𝑒 lần lượt là khối lượng của ha ̣t nhân và electron

O

Hình 2: Nguyên tử heli trong hệ tọa độ Descartes

Hamiltonian củ a nguyên tử heli được viết như sau

𝐻̂ = 12𝑚ℎ𝒑̂𝒉

𝟐+ 12𝑚𝑒𝒑̂𝒆𝟏𝟐+ 1

2𝑚𝑒𝒑̂𝒆𝟐𝟐 + 𝑉̂, (1.21) trong đó 𝑉̂(𝒓𝒉, 𝒓𝒆𝟏, 𝒓𝒆𝟐) là toán tử thế năng (có thể coi là hàm thế năng) Hàm thế năng là

hàm thế năng tương tác Coulomb giữa từng electron với ha ̣t nhân và giữa các electron với nhau được viết như sau

𝑉 = 14πεε0(− 2𝑒

𝒑̂, 𝒑𝒉 ̂ , 𝒑𝒆𝟏 ̂ lâ𝒆𝟐 ̀n lượt là toán tử xung lượng của ha ̣t nhân và từng electron

Để đưa bài toán về hê ̣ to ̣a đô ̣ khối tâm, ta sẽ sử du ̣ng các vector mới như sau

Trong bài toán hydro, do chỉ có mô ̣t ha ̣t nhân và mô ̣t electron nên khi chuyển về hê ̣ khối tâm, ta chỉ xét hai vector (mô ̣t thành phần chuyển đô ̣ng tương đối giữa electron với ha ̣t nhân và mô ̣t thành phần chuyển đô ̣ng của khối tâm) Đối với bài toán heli, do cũng có

một ha ̣t nhân nhưng có đến hai electron nên viê ̣c chuyển về hê ̣ khối tâm sẽ phức ta ̣p hơn, nghĩa là ta phải xét đến ba vector bao gồm

𝒓 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) là vector mô tả chuyển đô ̣ng tương đối của hai electron so với ha ̣t nhân,

𝒓𝟎 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) là vector mô tả chuyển đô ̣ng tương đối của hai electron so với nhau,

𝑹 = (𝑋, 𝑌, 𝑍) là vector mô tả chuyển đô ̣ng của khối tâm

Sau đó, từ (1.23), (1.24) và (1.25), ta cũng sẽ tiến hành biến đổi từ hê ̣ to ̣a đô ̣ Descartes sang hệ to ̣a đô ̣ khối tâm tương tự như bài toán hydro Cụ thể ta có

𝒑̂ = −𝑖ℏ∇𝟎 𝐫𝟎 là toán tử xung lượng đă ̣c trưng cho chuyển đô ̣ng tương đối giữa hai electron vớ i ha ̣t nhân trong to ̣a đô ̣ (x 0 ,y 0 ,z 0),

𝒑̂𝒄 = −𝑖ℏ∇𝐑 là toán tử xung lượng đă ̣c trưng cho chuyển đô ̣ng khối tâm của hê ̣ ứng với

tọa đô ̣ (X,Y,Z)

Thay (1.29), (1.30), (1.31) vào (1.21), ta có

12𝑚ℎ𝒑̂𝒉

𝟐 = 12𝑚ℎ(−𝒑̂ + 𝑚ℎ

𝑚ℎ + 2𝑚𝑒𝒑̂)𝒄

2

12𝑚𝑒𝒑̂𝒆𝟏𝟐 = 1

𝟐+ 1

𝑚𝑒𝒑̂𝟎

𝟐+ ( 12𝑚ℎ+

14𝑚𝑒) 𝒑̂𝟐

+ 14πεε0(− 2𝑒

Khác với bài toán hydro, do nguyên tử heli có 2 electron tương tác với hạt nhân và còn tương tác với nhau nên ngoài hai chuyển động của một khối tâm có khối lượng 𝑀, một hạt có khối lượng rút gọn 𝑚 đặc trưng cho chuyển động tương đối của electron với hạt nhân, Hamiltonian còn xuất hiện một toán tử đặc trưng cho chuyển động tương đối của 2 electron với nhau

Từ đây, Hamiltonian được tách thành hai thành phần như sau

𝐻̂ = 𝐻̂𝑐 + 𝐻̂𝑟𝑒𝑙, trong đó ta có

CHƯƠNG 2: TÁCH KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA TRONG TỪ TRƯỜNG

2.1 Ảnh hưởng của từ trường lên một hạt mang điện chuyển động

Để mô tả từ trường, người ta dùng vector từ trường 𝑩 Ý nghĩa vật lý của vector này liên quan đến lực Lorentz tác dụng lên điện tích 𝑞 khi nó đặt trong từ trường Khi một điện tích chuyển động trong vùng không gian có từ trường, điện tích đó sẽ bị chịu tác dụng bởi lực Lorentz có dạng [1]

Ngoài cách mô tả từ trường theo cách tiếp cận lực như trên, người ta còn sử dụng cách

mô tả theo tiếp cận năng lượng bằng cách sử dụng thế điện động lực bao gồm thế vector

𝑨 (ngoài ra còn có thế vô hướng 𝜑 nhưng trong trường hợp này ta chỉ xét từ trường mà

không có điện trường nên không xét đến thế vô hướng) Hai cách tiếp cận đều tương đương nhau Điều đó được thể hiện qua hệ thức

𝑨 =𝟏

Xét một hạt mang điện 𝑞 chuyển động trong từ trường Để xem xét ảnh hưởng của

từ trường lên hạt này, ta sẽ viết Hamiltonian của nó trong từ trường để xem có gì khác biệt so với khi không có từ trường hay không Thật vậy, trước tiên ta sẽ viết Hamiltonian

cho hệ, sau đó chuyển thành Hamiltonian theo tiên đề tương ứng giữa toán tử và đại lượng vật lý

Ta bắt đầu bằng phương trình chuyển động Lagrange như sau

Xung lượng suy rộng cho hệ được tính từ công thức

𝑝𝑗 = 𝜕𝐿

Biểu thức (2.7) cho ta ý nghĩa vật lý của thế vector 𝑨 Nó chính là phần xung lượng của

từ trường đóng góp vào xung lượng của một đơn vị điện tích chuyển động trong từ trường Đây chính là sự khác biệt về toán tử xung lượng của hạt mang điện khi ở trong từ trường so với khi không có từ trường

Hàm Hamilton của hệ được tính từ công thức

𝐻̂ = 12𝑚𝒑̂

Ở các bài toán dưới đây, ta sẽ sử dụng Hamiltonian cho hạt chuyển động trong từ trường

để giải và đưa Hamiltonian về hệ khối tâm

2.2 Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro trung hòa trong từ trường

Gọi rh ( ,x y z h h, h)và re ( ,x y z e e, )e lần lượt là vector to ̣a đô ̣ của ha ̣t nhân và electron, 𝑚ℎ và 𝑚𝑒 lần lượt là khối lượng của ha ̣t nhân và electron

Hình 3: Nguyên tử hydro khi đặt trong từ trường trong hệ tọa độ Descartes

Hamiltonian củ a nguyên tử hydro trong từ trường được viết như sau

𝑨 là thế vector Nó liên quan đến sự ảnh hưởng của trường điện từ lên xung lượng của hạt mang điện Nó chính là phần xung lượng của trường điện từ đóng góp vào xung lượng của một đơn vị điện tích chuyển động trong từ trường [1]

Khai triển (2.13), ta được

𝐻̂ = 1

2𝑚ℎ(𝒑̂𝒉𝟐− 2𝑒𝑨𝒉𝒑̂ + 𝑒𝒉 𝟐𝑨𝒉𝟐) + 1

2𝑚𝑒(𝒑̂𝒆𝟐+ 2𝑒𝑨𝒆𝒑̂ + 𝑒𝒆 𝟐𝑨𝒆𝟐)

− 14πεε0

𝒑̂𝒆𝟐2𝑚𝑒 +

𝑒𝑨𝒆𝒑̂𝒆

𝑚𝑒 +

𝑒𝟐𝑨𝒆𝟐2𝑚𝑒 −

14πεε0