Ứng dụng định lí vi et trong thực hành giải toán cấp THCS

Trong khi đó nội dung và thờilượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang.Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng khônggi

PHẦN I: MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài:

Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thốnghóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậctiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độcần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnhvực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học

Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổchức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng Mặt khácmuốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho họcsinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tíchcực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ

Trong vài năm trở lại đây, các trường Đại học, các trường PTTH chuyên thànhphố đang ra sức thi tuyển, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toánbậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến Trong khi đó nội dung và thờilượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang.Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng khônggiải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cáchđọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi_ét để giải

Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các emhọc sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai.Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển Bản thân tôi đã mạnhdạn làm đề tài “ ứng dụng hệ thức Vi-et trong thực hành giải toán cấp THCS” từnăm học 2014-2015 và đã được hội đồng khoa học ngành Giáo dục & đào tạocủa thành phố công nhận đạt giải C Trong năm học 2016-2017 tôi tiếp tục vậndụng đề tài của mình trong quá trình công tác giảng dạy tại đơn vị Tuy nhiênđối với mỗi năm học và với mỗi đói tượng học sinh thì tôi cũng điều chỉnh chophù hợp với đối tượng học sinh để đạt được hiệu quả cao nhất Đó là lý do tôi

tiếp tục chọn đề tài này: “Ứng dụng định lí Vi-ét trong thực hành giải Toán

cấp THCS”.

Mục đích nghiên cứu:

Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có ứngdụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS Từ đó các em có thể làm tốt cácbài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển

Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bàitoán bậc hai mà cả các dạng toán khác

Nhiệm vụ nghiên cứu:

Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú Việc giải bài toán là một yêu cầu rấtquan trọng đối với học sinh Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học sinh nhận

Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:

Nghiên cứu các bài toán bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét , tìm phươngpháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để các em biết cách tìmkiếm nâng cao kiến thức cho mình

Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng dụng hệthức Vi-ét vào các bài toán bậc hai sao cho hợp lý

Điều tra học sinh xem có bao nhiêu học sinh thích được học nâng cao, mở rộngkiến thức về các bài toán bậc hai và có bao nhiêu học sinh có thể tiếp thu, nângcao kiến thức

Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

Nghiên cứu học sinh đang học lớp 9 ở trường của trường tôi đang công tác.Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp 9, tìm hiểucác bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét

Phương pháp nghiên cứu:

Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phương phápnghiên cứu sau:

Phương pháp nghiên cứu tài liệu:

Tôi đọc và chọn ra các bài toán bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắp xếp thành 9nhóm ứng dụng sau:

Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn Phân tích tam thức

Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vàotham số hay tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiêm x1, x2 độc lập với tham số

Ứng dụng 5: Tìm điều kiện của tham số để thoả mãn một hệ thức giữa hainghiệm

Ứng dụng 6: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải toán chứng minh

Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi-ét giải phương trình và hệ phương trình

Ứng dụng 8: Định lý Vi-ét với bài toán cực trị

Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị

Phương pháp phỏng vấn, điều tra:

Tôi hỏi điều tra học sinh trong lớp sau 2 tiết dạy thực nghiệm với các câu hỏisau:

Câu 1: Em có muốn củng cố và nâng cao kiến thức không ?

Câu 2: Em thích các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét không?

Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung toán không ?

Câu 4: Em hãy đọc lại định lý Vi-ét Hãy nhẩm nghiệm của các phương trìnhsau:

a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0b/ x2 + 7x + 12 = 0

Câu 5: Cho phương trình: x2 – 3x + m = 0, với m là tham số, có hai nghiệm x1 ,x2 (x1 > x2) Tính giá trị biểu thức 3 3

1 2 1 2

P x x= −x x theo m.

Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Sau khi sắp xếp thành 9 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực hiện lênlớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên

PHẦN II: NỘI DUNG

Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài

Cơ sở lý luận và thực tiễn:

Mục tiêu của giáo dục THCS theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm giúphọc sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độhọc vấn THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, họcnghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”

Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kếtheo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hànhbảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạtđộng ngoại khóa

Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết:

1 tiết lý thuyết : học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét đểnhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc hai và tìmhai số biết tổng và tích của chúng

1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học.Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có nhiềutiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và vậndụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và hướngdẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này

Thực trạng :

Thuận lợi:

Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9 nhiều năm, bồidưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyểnvào lớp 10 nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện đề tài: “Ứng dụng hệthức Vi-ét trong thực hành giải Toán cấp THCS”

Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy

Đa số học sinh đều mong muốn được củng cố và nâng cao kiến thức

Khó khăn:

Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở chương trình lớp 9chỉ có 2 tiết ( 1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập) Do vậy chưa khai thác hết cácứng dụng của hệ thức Vi-ét

Hầu hết số học sinh của trường đều có đầu vào cấp THCS thấp so với mặt bằngchung của cả quận, bố mẹ là dân lao động thuần túy phổ thông Do đó các em ítđược chú trọng nâng cao kiến thức

Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với đề tài này tôi mong giáo viên sẽ giúpcác em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển

Thực trạng của giáo viên và học sinh của trường:

Hiện nay, việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở trường còn

có một số mặt đã đạt được và chưa đạt sau:

Những mặt đã đạt được:

Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức trong chương trình Học sinh nắmđược kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS ( đạt 98%)

Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm nhưng ít có học sinhtham gia thi học sinh giỏi cấp quận môn Toán.Nhà trường có tổ chức dạy phụđạo cho học sinh yếu, kém Nhờ vậy học sinh đã có nhiều tiến bộ

Những mặt chưa đạt:

Trường chưa tổ chức bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh các khối 6 ; 7 ;

mà mới chỉ dừng ở bồi dưỡng nâng cao kiến thức cho học sinh khối 8; 9

Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng cao kiếnthức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế

Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình bậc hai:

Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho học sinh nắmđược định lý Vi-ét:

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vàotham số hay tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiêm x1, x2 độc lập với tham số

Ứng dụng 5: Tìm điều kiện của tham số để thoả mãn một hệ thức giữa hainghiệm

Ứng dụng 6: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải toán chứng minh

Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi-ét giải phương trình và hệ phương trình

Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn Phân tích tam thức ra thừa số: ax 2 + bx + c = a( x-x 1 ) ( x-x 2 )

Dạng đặc biệt:

Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)

a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = 0 hay a+ b + c = 0

Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 = c

a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia.

b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.

c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11 Tìm q và hai

nghiệm của phương trình

d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương trình có

hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

Theo hệ thức Vi-ét : x1 x2 = 5 suy ra: x2 =

Với x2 = 5 thì x1= 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15

Với x2 = − 5 thì x1 = − 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15

Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn số - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1, x 2

3/Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm củaphương trình : x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)

Ví dụ:

Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4

Giải:

Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4

Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0

giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4

c/ S = 9 và P = 20d/ S = 2x và P = x2 – y2

Bài tập nâng cao:

Tìm hai số a, b biết:

a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41 b/ a - b = 5 và a.b = 36

- Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình :

1 2

Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến đổi

biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích hainghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức

1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x 2

(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên của tỉnh Đồng Nai năm 2008)

3/ Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có

2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường

là a ≠ 0 và ≥ 0)

Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số

Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra hệ thứcliên hệ giữa các nghiệm x1 và x2

Ví dụ 1 :

Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2 Lập hệ thứcliên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng không phụthuộc vào m

Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:

( ) ( )

2

1 1

1

m

S x x

m m

1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x1 và x2 Hãy lập

hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 độclập đối với m

Hướng dẫn:

- Tính  ta được: = (m - 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được : 2(x1 +x2)−x x1 2 − = 5 0 độc lập đối với

- Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được : 2x x1 2 +(x1 +x2)+ 17 0 = không phụ

thuộc giá trị của m

Ứng dụng 5: Tìm điều kiện của tham số để thoả mãn một hệ thức giữa hai nghiệm

Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường

+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 +x2và tích

nghiệm x x1 2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m.+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy,

do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểuthức có chứa tổng nghiệm x1 +x2và tích nghiệm x x1 2rồi từ đó vận dụng tương tựcách làm đã trình bày ở VD1 và VD2

.

S x x

m m

Theo hệ thức Vi-ét, Ta có: 1 2 ( )

1 2

1 1

phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

m m

Ứng dụng 6: định lý Vi-ét trong giải toán chứng minh.

1 Ví dụ :Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 và b, c lànghiệm của phương trình x2 + qx + 2 = 0

Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6

Cách giải:

Ta có : a, b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0

b, c là nghiệm của phương trình: x2 + qx + 2 = 0

p-ba

q-cb

Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn  − ; 0 

3

4

khi biểu diễn trên trục số:Cách giải:

Bình phương hai vế của (1) được: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4

Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1 ⇒ bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a2 +2a + 1

Ta lại có: b + c = - (a + 2), do đó b, c là nghiệm của phương trình :

− 1

− + 1

= +

x

x x

x

x x u

?ν

ν

u u

x

x x

− +

− + +

−

= +

1

5 1

5

1

5 1

5

x

x x

x

x x u

x

x x

x

x x u

6

5ν

ν

u u

u, v là nghiệm của phương trình: x2 - 5x + 6 = 0

=+

+

12y2x2xy

7yxyx

Bài giải :

a) x, y là nghiệm của phương trình: X2 – 11X +31 = 0

∆=(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - 3 < 0⇒ Phương trình vô nghiệm

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

7PS

Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình: t2 – 7t + 12 = 0

Giải phương trình này được t = 4 và t = 3

+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phương trình : u2 - 4u + 3 = 0

=

+

4yx

9yx

= +

17 y x

3 y x

4 4

Ứng dụng 8 : Định lí Vi –ét với bài toán cực trị:

Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệmcủa phương trình Tìm m để: A = 2 2

=

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm

điều kiện cho tham số B để phương trìnhdã sho luôn có nghiệm với mọi m

B B

B B

3/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – 8 = 0 Xác định m sao 2 nghiệm x1

và x2 thỏa mãn điều kiện :

) (

x g y

x f y

- Tọa độ giao điểm của ( C1) và ( C2) là nghiệm của hệ trên

b Cho 2 điểm A( x1; y1) và B(x2; y2)

2 1

2 2

∆'= m2 – m + 1> 0 với mọi giá trị của m

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2

Xét x1 −x2 = 2=> (x1+ x2)2 - 4 x1x2 = 4 => m2 – m = 0 => m = 0 ; m= 1

Ví dụ 3: Cho y= x2 (P) và ( d) là đường thẳng đi qua A( 1; 2) có hệ số góc k

a Chứng minh với mọi k thì ( d) luôn cắt (P) ở hai điểm phân biệt

b Với k = 2, chứng minh ( d) cắt (P) ở hai điểm nhận A là trung điểm

c Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 2( Với O là gốc tọa độ)

Bài 2: Cho parabol( P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + m( với m là thamsố)

a Tìm m để 2 đồ thị tiếp xúc với nhau? Tìm hoành độ tiếp điểm

b Tìm m để 2 đồ thị cát nhau tại hai điểm mà một giao điểm có hoành độ là -1.Xác định hoành độ giao điểm còn lại

c Giả sử giao điểm của hai đồ thị là A và B Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.Bài 3: Cho parabol( P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 3( với m là thamsố)

a Chứng minh rằng: hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt mà hoành độ

là x1; x2

b Chứng minh: T = x12 +4mx2 – 3m2 – 2 > 0 với mọi m

Bài tập tổng hợp :

1 Cho phương trình bậc hai có ẩn x : x2 - 2mx + 2m - 1 = 0

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m