SÁNG KIẾN “PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực GIẢI TOÁN CHO học SINH” SÁNG KIẾN “PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực GIẢI TOÁN CHO học SINH” SÁNG KIẾN “PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực GIẢI TOÁN CHO học SINH” SÁNG KIẾN “PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực GIẢI TOÁN CHO học SINH” SÁNG KIẾN “PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực GIẢI TOÁN CHO học SINH”
Trang 2MỤC LỤC
Trang
8) Phương pháp sử dụng nghiệm hạ bậc của đa thức 16
II KẾT QUẢ VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG, NHÂN RỘNG
IV GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1920
Trang 3CHƯƠNG I TỔNG QUAN
1 Cơ sở lí luận
Toán học là một môn khoa học cơ bản, là nền tảng cho các môn khoa họckhác, có ứng dụng trong hầu hết trong các lĩnh vực của cuộc sống, toán học giữvai trò quan trọng trong mọi bậc học Làm thế nào để học được toán, học giỏitoán đó là vấn đề đặt ra mà không phải lúc nào cũng giải quyết được một cách dễdàng Với cương vị là một GV toán, tôi nhận thấy cần phải đầu tư suy nghĩ hơnnữa để tìm ra phương pháp tốt nhất phù hợp với từng đơn vị kiến thức, giúp các
em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, nhẹ nhàng có hiệu quả
Chương trình toán THCS rất đa dạng và phong phú, bởi vậy việc đề ra mộtphương pháp dạy học phù hợp với tất cả các dạng bài là điều khó có thể thực hiệnđược Với mỗi dạng bài lên lớp có một phương pháp tối ưu nhất, phương phápnày thì phù hợp với kiểu bài này nhưng lại không thực sự phù hợp với kiểu bàikhác Do đó mỗi GV cần cố gắng trau dồi nghiệp vụ sư phạm của mình để hướngdẫn học sinh lĩnh hội tri thức, kỹ năng, phương pháp nhằm đáp ứng yêu cầu ngàycàng cao của xã hội
Vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử tuy chỉ được đề cập đến trongchương trình đại số 8 với thời gian không nhiều song đây lại là một công cụ hếtsức hữu hiệu để cho học sinh khối 8 nói riêng và học sinh khối 8 trở lên nóichung giải quyết được các loại bài tập như "Tìm giá trị của biểu thức, rút gọn,chứng minh hoặc giải phương trình, bất phương trình "
Do vậy để củng cố và giúp các em tiến bộ hơn trong phần kiến thức này tôi
chọn đề tài “Hình thành và rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử” cho sáng kiến của mình.
2 Phương pháp tiếp cận tạo ra sáng kiến
Thông qua giảng dạy, tiến hành đúc rút kinh nghiệm và áp dụng trực tiếp vào
các lớp HS
Trang 43 Mục tiêu
- Cung cấp kiến thức cho học sinh về các phương pháp phân tích đa thứcthành nhân tử (đặc biệt là một số phương pháp không đề cập trongSGK)
- Rèn luyện thành thạo kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho HS
Trang 5CHƯƠNG II MÔ TẢ SÁNG KIẾN
I NÊU VẤN ĐỀ CỦA SÁNG KIẾN
1 Phân tích đánh giá thực trạng của vấn đề
Có rất nhiều các phương pháp khác nhau để phục vụ cho mục đích “Phântích đa thức thành nhân tử” song qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng không phảibất kỳ HS nào cũng nắm được và biết vận dụng thành thạo các phương pháp đóvào việc giải các bài tập cụ thể Một bộ phận HS mất kiến thức căn bản ở các lớpdưới, nhất là chưa chủ động học ngay từ đầu chương trình lớp 8
2 Một số tồn tại, hạn chế
Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kỹ năng quan sát nhận xét, biếnđổi và thực hành giải toán
Tài liệu toán học, sách tham khảo, sách nâng cao ở thư viện nhà trường còn
ít về số lượng, thiếu về chủng loại Đa số HS ít có điều kiện tiếp xúc với các loạisách tham khảo chất lượng tốt Kinh tế gia đình nhiều HS còn nghèo, không trang
bị đầy đủ các dụng cụ học tập cần thiết cho việc học tập môn toán của HS như:máy tính bỏ túi…
Khi triển khai chương trình dạy học phát triển năng lực thì thông qua việcđọc thông tin SGK, học sinh sẽ rèn luyện tính làm việc độc lập, tự nghiên cứu cóhiệu quả Tuy nhiên HS do chưa biết cách tự học nên lĩnh hội không đầy đủ kiếnthức dẫn đến còn "hổng kiến thức" gây chán nản, bỏ học
3 Nguyên nhân của những tồn tại, hạn chế
Nguyên nhân cơ bản theo tôi là:
- HS không chịu học lí thuyết cơ bản, không nắm vững các hằng đẳng thức.Không chịu khó suy nghĩ để triển khai theo cả hai chiều thuận và đảo Chính vìđiều đó đã làm ảnh hưởng không ít đến khả năng biến đổi của HS trong khi làmbài tập
- Thời gian học một tiết trên lớp hạn chế (45’) nên những đối tượng HStrung bình và yếu chưa thể hình dung và có đủ thời gian để tư duy
Trang 6- Tiết luyện tập còn ít nên giáo viên chưa đủ thời gian để kiểm tra tất cả cácđối tượng HS, kiểm tra việc vận dụng lí thuyết của HS trong quá trình giải bàitập.
- Vì lí do thời gian mà giáo viên không đủ điều kiện để đưa ra thêm cácphương pháp khác vì vậy sự tư duy trong các em còn hạn chế
- Do một bộ phận HS chây lười trong học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết quảngười khác, chưa lỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém
- Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nênkhi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp,không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương phápnào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất
4 Phân tích, đánh giá và chỉ ra tính cấp thiết cần tạo ra sáng kiến.
Tôi nhận thấy mảng kiến thức “Phân tích đa thức thành nhân tử” là công cụ đắclực giúp cho các em học sinh đặc biệt là học sinh khối THCS giải các bài tập nhanhchóng, thuận lợi Vì vậy cần thiết phải hệ thống kiến thức về các phương pháp phântích đa thức thành nhân tử, các chú ý trong từng phần, từng phương pháp để tránhmắc phải những sai lầm Nội dung được trình bày hầu hết nằm trong sách giáo khoa
và được nâng cao dần thông qua đó học sinh vừa được phát huy trí tuệ, vừa thấy rõvai trò to lớn của mảng kiến thức này vào việc giải các bài tập có liên quan
II GIẢI PHÁP ĐỂ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN
Trong phần này tôi sẽ đưa ra những phương pháp cơ bản để phục vụ giải bài tậpdạng “Phân tích đa thức thành nhân tử” và cứ sau phần lí thuyết tổng quát là các bàitập có tính chất minh hoạ Từ đó giúp học sinh có khả năng vận dụng và phát triển khảnăng giải toán cũng như có một tư duy khoa học để tìm lời giải cho bài toán
1) Phương phát đặt nhân tử chung
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số)
- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất)
Trang 7Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D).
Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử (BT-39c-SGK-tr19)
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên ?
(Học sinh trả lời là: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28 ) = 7 )
- Tìm nhân tử chung của các biến x2 y, xy2, x2y2 ? (HS trả lời là xy )
- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7xy
Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử (BT-39e -SGK-tr19)
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân tửchung (y – x) hoặc (x – y)?
Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y)
Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Học sinh tự giải )
Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y)
Có thể tổng quát thành hai loại toán như sau:
* Loại 1: Nếu đa thức đã cho có dạng: AB + AC + AD Ta có thể áp dụng tính
chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để đưa về phương trình tích A(B + C + D)
* Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a, 2x(x + 1) + 2(x + 1) = 2(x + 1)(x + 1) = 2(x + 1)
Trang 8b, 9xy + 15xy - 21xy = 3xy(3xy + 5x - 7y).
* Loại 2: Nếu đa thức đã cho chưa có sẵn dạng AB + AC + AD Ta phải tìm
cách đưa đa thức đó về dạng cơ bản theo trình tự sau:
+ Bước 1: Phát hiện nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho
bằng các kiến thức đã học
+ Bước 2: Phân tích các hạng tử của đa thức thành tích của nhân tử chung
với một nhân tử khác
+ Bước 3: Áp dụng luật phân phối của phép nhân với phép cộng để viết thành tích.
* Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
4x(x - 2y) + 8y(2y - x) = 4x(x - 2y) - 4.2y(x - 2y) = 4(x - 2y)(x - 2y)
= 4(x - 2y)
2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức
- Khi áp dụng phương pháp này có thể làm theo các bước sau:
+ Bước 1: Phát hiện và quy về dạng hằng đẳng thức đáng nhớ.
+ Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức để viết thành tích hoặc luỹ thừa.
Với A và B là các biểu thức tuỳ ý
Ví dụ 4: Phân tích (x + y)2 – (x– y)2 thành nhân tử (BT- 28a-SBT-tr6)
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 – B2 )
Lời giải sai: (x + y)2 – (x– y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc)
= 0.(2x) = 0 (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc
Trang 9Lời giải đúng: (x + y)2 – (x– y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy
Các sai lầm học sinh dễ mắc phải:
- Áp dụng sai quy tắc dấu ngoặc
- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức còn kém
Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các emlàm bài tập dưới dạng phức tạp hơn
* Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài toán
= (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2)
+ Chú ý: Khi dạy về phương pháp này đối với học sinh khá giỏi nên cho làm
quen thêm một số hằng đẳng thức mới như:
Giáo viên củng cố cho học sinh: Các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng
nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng
tử mà sử dụng hằng đẳng thức cho thích hợp
3) Phương pháp nhóm các hạng tử
- Khi áp dụng phương pháp này cần làm theo các bước sau:
Trang 10+ Bước 1: Phát hiện các hạng tử có nhân tử chung cho mỗi nhóm hoặc dạng
của các hằng đẳng thức
+ Bước 2: Phát hiện tiếp trong các hạng tử mới đó có hạng tử nào đó có chứa
nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức, kết hợp thành một nhóm hoặc dùnghằng đẳng thức
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phântích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa
+/ Nhóm nhằm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử (Bài tập 47a-SGK-tr22)
Cách 1: Nhóm (x2 – xy) và (x – y)
Cách 2: Nhóm (x2 + x) và (– xy – y )
Lời giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 0) (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1)
Sai lầm của học sinh là: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn lại là số 0)
Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
+/ Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên
Ví dụ 10: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử
Trang 11Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai)
Sai lầm của học sinh là:
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trướcdấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm
Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cầnchú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm Sau khi phân tích đa thứcthành nhân tử ở mỗi nhóm quá trình phân tích thành nhân tử không thực hiệnđược nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại
4)
Phối hợp các phương pháp thông thường
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử,đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toánmột cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp
Ta thường xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung
Dùng hằng đẳng thức Nhóm nhiều hạng tử
Ví dụ 11: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử (BT- ?2 -SGK-tr22)
Gợi ý phân tích: Xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung
Dùng hằng đẳng thức Nhóm nhiều hạng tử
Các sai lầm học sinh thường mắc phải
Lời giải chưa hoàn chỉnh:
Trang 12a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để)
b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
= x3(x – 9) + x(x – 9 ) = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
Khai thác bài toán:
1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên
2) Cho x + y + z = 0 Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài 38-SBT-tr7) + Hướng dẫn: Dùng x 3 + y 3 = (x + y) 3 –3xy(x + y)
và x + y + z = 0 ⇔x + y = – z
3) Phân tích x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử (Bài 28c)-SBT-tr6)
+ Hướng dẫn: Dùng x 3 + y 3 = (x + y) 3 – 3xy(x + y)
Trang 13Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới thiệu baphương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùnghằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử Tuy nhiên trong phần bài tập lại có những
bài không thể áp dụng ngay ba phương pháp trên để giải, (Chẳng hạn như bài tập
53, 57 sgk/tr 24-25) Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” một hạng tử thành hai
hạng tử khác hoặc “ thêm và bớt cùng một hạng tử ” thích hợp rồi áp dụng các
phương pháp trên để giải Xin giới thiệu thêm về phương pháp này, để học sinhvận dụng rộng rãi trong thực hành giải toán
5) Phương pháp tách hạng tử
Khi gặp những đa thức không có thừa số chung và không có bất kỳ dạnghằng đẳng thức nào (mặc dù đã sử dụng đến phương pháp nhóm) khi đó ta phảitìm cách tách một vài hạng tử nào đó để trở thành đa thức có nhiều hạng tử hơn,với mục đích tách để trở thành đa thức xuất hiện các hạng tử có nhân tử chunghoặc các dạng hằng đẳng thức để nhóm sau đó đặt nhân tử chung hoặc dùng hằngđẳng thức để phân tích
Ví dụ 13: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử
Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích)
Giải: Cách 1 (tách hạng tử : 3x2) 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2
= (2x – 2)2 – x2
= (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2 (tách hạng tử : – 8x) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4
= 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)Cách 3 (tách hạng tử : 4) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16
= 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2)
= (x – 2)(3x + 6 – 8)
Trang 14Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm:
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương (cách 1)
- Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuấthiện nhân tử chung x – 2 (cách 2)
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung (cách 3)
Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiệncác phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhómnhiều hạng tử là việc làm hết sức cần đối với học sinh trong giải toán
Khai thác: Trong đa thức 3x2 – 8x + 4 đặt a = 3, b = – 8, c = 4
Tính tích a.c và phân tích a.c = b1.b2 sao cho b1 + b2 = b
Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ
số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phùhợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc dùng hằng đẳng thức hoặcđặt nhân tử chung
6) Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Được sử dụng khi trong đa thức đã có dáng dấp một hằng đẳng thứcnhưng còn khuyết một hạng tử ở vị trí nào đó của một hằng đẳng thức gợi cho taphải thêm vào hạng tử đó để xuất hiện dạng của một hằng đẳng thức nhưng đồng
Trang 15thời phải bớt đi chính hạng tử đó để đa thức đã cho không hề thay đổi, phươngpháp này được dựa vào tính chất.
A + B = A + B + C - C
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương pháp
nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức.
Ví dụ 17: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử
Ta phân tích: - Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
Ví dụ 19: Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử (Bài tập 57d)-SGK-tr 25)
Gợi ý: Thêm 4x2 và bớt 4x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
Giải: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2
= (x2 + 2 – 2x)( x2 + 2 + 2x)
Khai thác bài toán:
* Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có bài toán: x4 + 64y4