De tai Giai phuong trinh khong mau muc

§æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc lµ nh»m khuyÕn khÝch sù suy nghÜ ph¸t huy tính chủ động, tích cực sáng tạo của học sinh, thúc đẩy khả năng giải quyết vấn đề cùng với phơng pháp học - cách học[r]

Lời nói đầu

Việc phát triển năng lực, phẩm chất trí tuệ, ý thức tự học, ý chí kiên cờng

và tình cảm cao đẹp cho học sinh có ý nghĩa đặc biệt quan trọng, giúp các em

định hớng nhanh chóng tiếp thu dễ dàng kiến thức, những điều mới mẻ luôn nảysinh trong cuộc sống

Bất cứ một môn học nào trong nhà trờng phổ thông đều góp phần thựchiện mục tiêu giáo dục toàn diện cho các em học sinh Đặc biệt, bộ môn toánhọc - là một môn có vị trí quan trọng trong khoa học - kỹ thuật và trong đờisống, nó giúp cho học sinh tiếp thu các môn khoa học khác một cách dễ dàng,nhanh chóng và hiệu quả

Đổi mới phơng pháp dạy học là nhằm khuyến khích sự suy nghĩ phát huytính chủ động, tích cực sáng tạo của học sinh, thúc đẩy khả năng giải quyết vấn

đề cùng với phơng pháp học - cách học, xét đến cùng, cho học sinh thấy là: ngời

học phải "tự học, tự mình chiếm lĩnh những kiến thức, kỹ năng, thái độ bằng

nỗ lực của chính bản thân mình, bằng nếp t duy độc lập, sáng tạo" - Với một

số suy nghĩ nh trên tôi luôn cố gắng khai thác kiến thức sách giáo khoa, thamkhảo tài liệu, trao đổi đồng nghiệp, vận dụng vào từng bài giảng và đã rút ra một

số kinh nghiệm mà theo tôi rất thiết thực Vì vậy tôi ghi lại kinh nghiệm "Phơng

pháp giải các phơng trình không mẫu mực" để cùng trao đổi, rút kinh nghiệm

trong giảng dạy

Do quỹ thời gian còn hạn hẹp nên chắc chắn không tránh khỏi nhữngthiếu sót Vậy kính mong các thầy giáo cô giáo và các bạn đồng nghiệp đónggóp kiến

Việc nắm vững các phơng pháp, áp dụng giải các phơng trình khôngnhững giúp cho học sinh học tôt môn toán, mà còn hỗ trợ nhiều môn khác.

Thông thờng việc giải một phơng trình hay một hệ phơng trình bằng cách

đặt ẩn phụ, phân tích thành tích Nhng trong thực hành giải toán, đặc biệt làgiải phơng trình chúng ta gặp nhiều phơng trình mà không thể biến đổi theo cáchthông htờng, hoặc có lời giải phức tạp Đó là những phơng trình có lời giải

"không mẫu mực" Nó có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện t duy cho họcsinh trớc khi giải một bài toán nói chung, một phơng trình nói riêng

Qua kinh nghiệm giảng dạy vvà tìm tòi các tài liẹu, tôi đã hệ thống đợcmột số phơng pháp khi giải loại phơng trình này, mà bản thân thấy nhiều phơngtrình đợc giải quyết một cách nhanh gọn Chính vì vậy tôi chon đề tài này đểphục vụ tốt hơn cho việc dạy toán ở trờng THCS

ii mục đích nghiên cứu:

Góp phần quan trọng trong việc bồi dỡng học sinh giỏi và bồi dỡng họcsinh thi vào lớp 10 THPT, nhất là thi vào các trờng THPT chuyên

Giúp học sinh biết phân loại và vân dụng các phơng pháp một cáchnhanh tróng, hiệu quả, phát huy tốt tình tích cực của học sinh trong học tập

iii NHIệM Vụ NGHIÊN CứU:

- Tìm hiểu nội dung dạy học về Giải phơng trình trong SGK toán 8 và 9

- Tìm hiểu mạch kiến thức về phơng trình mà các em đã học từ lớp 8 đếnlớp 9

Iv phạm vi Và ĐốI TƯợNG nghiên cứu:

- Khi viết đề tài này tôi đã nghiên cứu tại trờng THCS Cát Trù - CẩmKhê- Phú Thọ đối với một số học sinh giỏi của khối 8 và 9

- Phạm vi: 10 em học sinh khá giỏi với các bài tập ở mức độ nâng cao vàbồi dỡng học sinh giỏi

- Từ đó học sinh đợc rèn kỹ năng qua các bài tập đề nghị

Phần ii: Nội dung

CHƯƠNG I: CƠ Sở Lý luận và mục đích của đề tài:

- Kế thừa kiến thức lớp 6, 7, 8 của bậc THCS.

- Kiến thức cơ bản của chơng “ Phơng trình bậc nhất một ẩn ”- lớp 8

Và “ Phơng trình bậc hai một ẩn ”- lớp 9

- Kiến thức nâng cao ở một số sách tham khảo

- Phơng pháp giải một số dạng toán cơ bản và nâng cao

- Phân tích dạng toán, tìm tòi phơng pháp giải mới và lựa chọn những cách giải ngắn gọn, độc đáo

- Bồi dỡng học sinh giỏi lớp 8 và 9

- Giúp học sinh khám phá những tri thức mới, phát huy tính sáng tạo, ham hiểu biết

Thực trạng:

* Thuận lợi:

+ Đợc sự quan tâm của BGH và đóng góp ý kiến của đồng

nghiệp qua các tiết dạy

+ Một số học sinh có tinh thần học tập tốt, tích cực tham

gia phát biểu xây dựng bài, có ý chí cầu tiến ham học hỏi để nâng cao kiến thức + Giáo viên nhiệt tình, tâm huyết với nghề, không ngừng tự học hỏi trau dồi kiến thức để nâng cao tay nghề

* Khó khăn:

+ Trờng THCS Cát Trù là một trờng hạ huyện, phong trào học tập cha cao, một số học sinh cha thực sự có ý thức học tập, một số gia đình chaquan tâm đến việc học tập của các em

+ Một số học sinh mất kiến thức cơ bản của lớp dới về phân tích đa thức thành nhân tử,các hằng đẳng thức đáng nhớ

Ch ơng ii : Các biện pháp s phạm nâng cao chất lợng

1/ Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm:

-Tìm hiểu sự ham mê học toán của học sinh khối 8, 9

- Kiểm tra kiến thức, kỹ năng làm bài tập về giải phơng trình không mẫu mực của một số em trong đội tuyển đã chọn

2/ Biện pháp 2: Đa ra một số phơng pháp giải các phơng trình không mẫu mực:

- Tái hiện lại kiến thức cơ bản trong SGK

- Đa ra các dạng bài tập nâng cao và phơng pháp giải mỗi dạng cho học sinh nhằm nâng cao khả năng nhanh nhạy cho các em trong giải bài tập vềphơng trình

Một số phơng pháp giải phơng trình không mẫu mực

I Ph ơng pháp 1:

Dùng bất đẳng thức:

1 Ph ơng pháp giải: Để giải phơng trình A (x )=B(x) (*)

Ta có thể làm theo 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Ta biến đổi PT (*) về dạng P(x)=Q(x) sao cho:

¿

P(x )≥ a Q(x)≤ a

Cách 2: Ta biến đổi PT (*) về dạng: H (x)=m (m là hằng số) mà

H (x)≥ m

(Hoặc m≥ H (x ) với mọi x) khi đó nghiệm của PT(*) là các giá trị của x làm

dấu "=" xảy ra

2.2 Bất đẳng thức Bunhia Côpski

- Cho hai bộ số: a; b; c và x; y; z Khi đó

Ta có (a+b+c ).(x + y +z)≥ 3(ax +by+cz )

Dấu "=" xảy ra khi: a=b=c và x=y=z.

2 4 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối và một số bất đẳng thức khác:

|x| + |y|≥|x+ y| ; Dấu "=" xảy ra khi: x y ≥ 0

|x|−|y|≤|x − y| ; Dấu "=" xảy ra khi: x y ≥ 0

x

y+

y

x ≥ 2 Với x,y là hai số cùng dấu.

2.5 Các kỹ năng biến đổi t ơng đ ơng ; Biến đổi đồng nhất phơng trình;

Điều kiện xác định của căn thức bậc hai; Các hằng đẳng thức đáng nhớ

3 Một số bài tập mẫu:

3.1 Bài toán 1: Giải phơng trình:

√3 x2 +6 x +7+√5 x2

+10 x+4=4 −2 x − x2 (1)

* Nhận xét: Thông thờng khi giải bài tập có căn thức bậc hai ta thờng

làm mất căn thức bậc hai bằng cách sử dụng công thức: √n a¿n=a

5 ¿

3 ¿

¿

PT (1)⇔√ ¿

Dấu "=" xảy ra khi x=-1.

Dấu "=" xảy ra khi x=-1 Vậy nghiệm của PT(1) là x=-1.

3.2 Bài toán 2: Giải phơng trình:

Dấu "=" xảy ra khi x=3.

áp dụng BĐT Bunhia Copski cho vế trái (2) ta có:

VT (2)=(1.√x − 2+1.√4 − x )≤√(1+1)(x − 2+4 − x)=2

Dấu "=" xảy ra khi x=3.

Vậy: Nghiệm của PT đã cho là: x=3.

3.3 Bài toán 3: Giải phơng trình

23.4 Bài toán 4: Giải phơng trình.

Vậy nghiệm của PT (3) là các giá trị của x sao cho: 5 ≤ x ≤10

3.5 Bài toán 5: Giải phơng trình

(8 x − 4 x2− 1).(x2− 2 x +1)=4 (x2− x+1)

Nhận xét: Thông thờng ta tiến hành phép nhân rồi rút gọn sẽ đợc một

PT bậc 4 đầy đủ Việc giải PT bậc 4 này mất nhiều công và ít hiệu quả Từ đó

ta nghĩ đến việc hạ bậc PT bằng cách nhân hay chia cả hai vế của PT cho mộtnhân tử nào đó hợp lý

- Thử x=1 không là nghiệm của PT trên nên ta chia cả hai vế của PT

cho x −1¿2

4 ¿ ta đợc:

8 x − 4 x2−1

x2− x +1 ( x −1)2

(Dấu "=" xảy ra khi x=1.)

VP=x

2− x +1

( x −1 )2 =

( x −1 )2( x −1 )2+

x − 1 (x −1)2+

1

2)2+ 3

4≥

3 4 (5)

(Dấu "=" xảy ra khi: 1

x −1+

1

2=0⇔ x=1 )

Từ (4),(5) suy ra: Phơng trình đã cho vô nghiệm

4 Bài tập áp dụng: Giải các phơng trình sau:

* Phơng pháp này đợc áp dụng để giải các phơng trình có nhiều ẩn số

và các phơng trình có số ẩn nhiều hơn số phơng trình rất hiệu quả

2 Các biểu thức cần nhớ:

- Luỹ thừa bậc chẵn của mọi số đểu không âm: a 2 k ≥ 0

- Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm: |a|≥ 0

¿ { {

¿

3.2 Bµi tËp 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau:

√x+√y −1+√z − 2=1

2(x + y +z)

*TX§: x ≥ 0 ; y ≥ 1 ; z ≥ 2.

Ta cã:

VËy: NghiÖm cña ph¬ng tr×nh d· cho lµ:

¿

x=−1 y=1

2 Các kiến thức cần nhớ:

- Tính đồng biến và nghịch biến của hàm số

Nếu f(x) đồng biến; g(x) nghịch biến thì phơng trình: f(x) =g(x) có

không quá một nghiệm

- Nếu f(x) đồng biến hoặc nghịch biến thì phơng trình f(x) = m (m là

hằng số) có duy nhất một nghiệm

- Xét các khoảng hợp lý trên tập xác định của biến để loại trừ

Vậy: Nghiệm của phơng trình đã cho là: x=2.

3.2 Bài tập 2: Giải phơng trình sau:

Vậy: Nghiệm của phơng trình đã cho là: x=3.

3.3 Bài tập 2: Giải phơng trình sau:

Dễ thấy x=2 là nghiệm của phơng trình (*)

Ta chứng minh x=2 là nghiệm duy nhất

- Tìm điều kiện để phơng trình tồn tại.

- Đặt ẩn phụ một cách thích hợp để đa phơng trình đã cho về phơngtrình đơn giản hơn để giải

Các giá trị x=−1 ; x=−6 thoả mãn điều kiện: x2+7 x +7 ≥ 0

Vậy: Nghiệm của phơng trình (1) là: x=−1 ; x=−6

3.2 Bài tập 2: Giải phơng trình sau:

Với: y=2 −2√3. ta có: x2−2(1−√3) x+1=0 Vô nghiệm

Kết luận: Phơng trình đã cho có 2 nghiệm là:

x1 =1+√3+√3+2√3

x2=1+√3 −√3+2√33.3 Bài tập 3: Giải phơng trình sau:

1 Ph ơng pháp giải:

- Khi giải một phơng trình nhiều ẩn trong đó có một ẩn có bậc hai tacoi phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai với ẩn đó; để phơng trình cónghiệm thì Δ hoặc Δ , (tính theo nghiệm còn lại) phải không âm

- Từ điều kiện trên tìm các nghiệm còn lại

3.2 Bài tập 2: Giải phơng trình sau:

2 x3+(3− 2 m)x2+2 mx+m2− 1=0 (2) (ẩn x).

Giải:

PT (1): ⇔m2− 2(x2− x)m+(3 x2−2 x3− 1)=0 ; (2,)

Ta coi phơng trình (2,) là phơng trình bậc hai với ẩn m.

Phơng trình (3) và (4) có nghiệm chung: ⇔1 − x=2 x2

− x −1 ⇔ x=± 1 Khi đó: m = 0 hoặc m = 2.

- Tìm điều kiện để tồn tại phơng trình.

- Đặt ẩn phụ một cách thích hợp đa phơng trình đã cho thành dạng hệphơng trình có thể giải đợc

2 Các kiến thức cần nhớ:

- Định lý Viet và Viet đảo.

Vậy: Nghiệm của phơng trình đã cho là: x=41 ; x=− 24

3.3 Bài tập 3: Giải phơng trình sau:

- Với : x+ y=5 thì theo (**) ta có: xy=4

Khi đó x,y là nghiệm của phơng trình:

Với : x+ y=−7 thì theo (**) ta có: xy=16

Khi đó x,y là nghiệm của phơng trình:

Vii ph ơng pháp 7:

Phơng pháp nâng lên luỹ thừa:

1 Ph ơng pháp giải: Thờng áp dụng với các phơng trình vô tỷ:

- Trớc hết ta tìm điều kiện xác định của biểu thức

- Nâng lên luỹ thừa để làm mất dấu căn

* Lu ý: Nghiệm của phơng trình là các giá trị của ẩn thuộc tập xác định

Vậy: Phơng trình có một nghiệm duy nhất là: x=6 .

3.2 Bài tập 2: Giải phơng trình sau:

Vậy: Phơng trình đã cho vô nghiệm.

Cách 2:

Ta phải có: 2− 7 x ≥ 0 tức là: x ≤2

7 điều này trái với điếu kiện:

x ≥ 1

Vậy: Phơng trình đã cho vô nghiệm.

3.3 Bài tập 3: Giải phơng trình sau:

Vậy: PT (3) có một nghiệm duy nhất là: x1=0

4 Bài tập áp dụng: Giải các phơng trình sau:

- Thờng áp dụng các phơng trình có chứa căn bậc hai

- Biến đổi biểu thức trong căn thành luỹ thừa bậc chẵn

- Đa biểu thức ra ngoài dấu căn để phơng trình trở thành phơng trìnhchứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Vậy: Phơng trình đã cho có một nghiệm: x=−√2

2 Đ a hai vế về luỹ thừa cùng bậc

2.1 Ví dụ 1: Giải phơng trình: x4=24 x+32

Ta có:

1/ Mục đích thực nghiệm:

- Kiểm tra hiệu quả của đề tài nghiên cứu

- Tìm ra những thiếu sót, khuyết điểm cũng nh biện pháp khắc phục đểhoàn thiện đề tài ngày càng đạt chất lợng hơn

2/ Nội dung thực nghiệm:

Giáo án: GiảI phơng trình quy về phơng trình bậc hai ( Ngày dạy: 14 / 12 / 2010)

A Mục tiêu :

- Kiến thức: HS biết cách giải một số dạng phơng trình quy về đợc phơng trìnhbậc hai: phơng trình trùng phơng, phơng trình có chứa ẩn ở mẫu, 1 vài phơngtrình bậc cao có thể đa về phơng trình tích hoặc giải đợc nhờ ẩn phụ

HS ghi nhớ khi giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu, trớc hết phải tìm

điều kiện của ẩn và phải kiểm tra đối chiếu điều kiện để chọn nghiệm thoảmãn điều kiện đó

- Kĩ năng: HS đợc rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử để giải phơngtrình tích

-Thái độ: Giáo dục ý thức học tập, khả năng t duy nhanh nhạy, logic

B Chuẩn bị của GV và HS:

- Giáo viên : Bảng phụ

- Học sinh : Ôn tập cách giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu và phơng trình tích

C Tiến trình dạy học:

1 ổ n định tổ chức :

2 Kiểm tra bài cũ:

? Nhắc lại công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phơng

trình bậc hai ?

3 Bài mới:

* Giới thiệu: Ta đã biết cách giải các phơng trình bậc hai dựa vào côngthức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn Tuy nhiên, trong quá trình giải các phơng trình ta có thể gặp những phơng trình có bậc lớn hơn hai và những ph-

ơng trình có chứa ẩn ở mẫu Vậy khi gặp những dạng phơng trình nh thế thì ta giải nh thế nào?Bài ngày hôm nay sẽ giúp ta có câu trả lời

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

- Trớc khi giải phải làm gì ?

- Tìm điều kiện của x

- Yêu cầu HS tiếp tục giải pt

- Yêu cầu HS làm bài tập 35 (b,c) vào

HS làm bài

2 Phơng trình chứa ẩn ở mẫu thức:

- Tìm điều kiện xác định của pt

- Sau khi tìm đợc các giá trị của ẩn,

ta cần loại các giá trị không thoả mãn

điều kiện, các giá trị thoả mãn điềukiện xác định là nghịêm của pt đãcho

- Yêu cầu HS làm bài 36 (a) SGK.

- Yêu cầu HS làm ?3 và bài 36 (b)

theo nhóm

Nửa lớp làm ?3

Nửa lớp làm bài 36 (b) SGK

- Yêu cầu đại diện 2 nhóm lên trình

bày, GV nhận xét, sửa bài

có: a - b + c = 0  x2 = -1 ; x3 = -2

PT có 3 nghiệm là: x1 = 0; x2 = -1;

x3 =-2 Bài 36 (b):

(2x2 + x - 4)2 - (2x - 1)2 = 0

 (2x2 + x -4 +2x -1)(2x22x+1)=0

+x-4- (2x2 + 3x - 5)(2x2 - x - 3) = 0

 2x2 + 3x - 5 = 0hoặc 2x2 - x - 3 = 0

 x1 = 1 ; x2 = - 5

2 ; x3 = -1 ; x4 =3

2 . Vậy pt có 4 nghiệm

-Làm các bài tập sau: Giải phơng trình:

- Rèn khả năng vận dụng các phơng pháp đã học vào giải bài tập

- Giáo dục ý thức học tập, lòng say mê môn Toán

B Chuẩn bị:

- GV: Giáo án, phấn màu, bảng phụ, hệ thống câu hỏi, bài tập

- HS: Ôn tập lại các kiến thức về lũy thừa, các phép biến đổi căn thức,phép biến đổi biểu thức đại số, kiến thức giải PT và BPT…

* Giới thiệu: Trong quá trình giải toán các em thờng gặp nhiều bài có

liên quan tới phơng trình vô tỉ làm chúng ta lúng túng trong khi giải Bài ngàyhôm nay chúng ta sẽ làm quen với một vài phơng pháp giúp giải phơng trìnhvô tỉ một cách đơn giản hơn

Hoạt động của gv Hoạt động của hs

-Trớc khi lên luỹ thừa cần biến đổi

phơng trình về dạng thuận lợi nhất

HS lắng nghe, theo dõi

* Ví dụ:

Giải

Điều kiện căn có nghĩa:

2 x −1 ≥ 0 (2) ⇔ x ≥1

2 (1) ⇔√2 x −1=x −2

(3) Với điều kiện x − 2≥ 0

(4) (3) ⇔ 2x - 1 = (x-2)2 (5)

⇔2 x − 1=x2

− 4 x +4

⇔ x2− 6 x +5=0

Giải ra ta đợc x1=1 không thoả mãn(4)

x2 = 5 thoả mãn (2) và (4) nghiệmduy nhất của phơng trình: x = 5

¿2 −7 x ≥0 2− 7 x¿2(3)

Vậy phơng trình vô nghiệm

2.

Ph ơng pháp đặt ẩn phụ :

a Đặt ẩn phụ đa về phơng trình ẩnmới:

pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải đợc

nhiều bài toán khó, tuy nhiên để

đặt cái gì làm ẩn phụ và có mấy ẩn

phụ thì phải biết nhận xét và tìm

mối liên quan giữa các biểu thức

trong phơng trình, liên quan giữa

Đặt: 4 y+2=√2 x +15 (3)

Điều kiện: 4 y+2≥ 0 ⇔ y ≥ −1

2Khi đó (2) trở thành (4x + 2)2 = 2y + 15 (4)

Từ (3) ta có : (4y + 2)2 = 2x + 15 (5)