Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có ba đỉnh là ba trong chín điểm trên có diện tích là một số chẵn.. Cho hai đường tròn O và O’ tiếp xúc trong tại điểm K, O’ nằm trong O.[r]
Trang 1Sở Gd&Đt Nghệ an kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia
lớp 12 THPT năm học 2008 - 2009
Môn thi: toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07/11/2008.
Cõu 1 (2,0 điểm)
Giải hệ phương trỡnh:
2
3
4 0
y x
Cõu 2 (3,0 điểm)
Cho số nguyờn a Chứng minh rằng phương trỡnh x4 7x3 a2x2 11x a 0 khụng thể cú nhiều hơn một nghiệm nguyờn
Cõu 3 (3,0 điểm)
Cho dóy số thực x n được xỏc định bởi:
0 1
1
x
Ta xỏc định dóy số y n
bởi cụng thức
* 1
.2 ,
n k
k
Tỡm cụng thức số hạng tổng quỏt của dóy số y n
Cõu 4 (3,0 điểm)
Cho cỏc số nguyờn a b c, , khỏc 0, thoả món: .
a b c
b c a
b c a
a b c
Chứng minh rằng
b c a
Cõu 5 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho chớn điểm cú toạ độ là cỏc số nguyờn, trong đú khụng cú
ba điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng tồn tại ớt nhất một tam giỏc cú ba đỉnh là ba trong chớn điểm trờn cú diện tớch là một số chẵn
Cõu 6 (3,0 điểm)
Cho hai đường trũn (O) và (O’) tiếp xỳc trong tại điểm K, ((O’) nằm trong (O)) Điểm A nằm trờn đường trũn (O) sao cho ba điểm A, O và O’ khụng thẳng hàng Cỏc tiếp tuyến AD và
AE của đường trũn (O’) cắt đường trũn (O) lần lượt tại cỏc điểm thứ hai B và C, ( D, E là cỏc tiếp điểm) Đường thẳng AO’ cắt đường trũn (O) tại điểm F, F A Chứng minh rằng cỏc đường thẳng BC, DE, FK đồng quy
Cõu 7 (3,0 điểm)
Cho n2,n Kớ hiệu A1;2; ; n Tập con B của tập A được gọi là một tập “tốt” nếu B khỏc rỗng và trung bỡnh cộng của cỏc phần tử của B là một số nguyờn Gọi Tn là số cỏc
tập tốt của tập A Chứng minh rằng T n n là một số chẵn
-Hết - Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu.
Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm.
Đề thi chính thức