- Biết tính bằng số các biểu thức có chứa tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp sử dụng máy tính bỏ túi - Biết tính các hệ số của trong khai triển nhị thức Niu -tơn và giải các bài toán liên quan..[r]
Trang 1Đại Số Tổ Hợp
Bao gồm: 1 Phép đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
2 Nhị thức Niu Tơn
3 Xác suất
Các bài toán về Đại số tổ hợp - Xác suất là những dạng toán mà học sinh thường gặp
trong kỳ thi vào các trường Đại học, Cao đẳng Việc dạy cho học sinh nắm được các khái niệm cũng như các công thức và áp dụng trực tiếp được các công thức này thì không có gì khó khăn Tuy nhiên chúng ta nhận thấy đây là một vấn đề mà học sinh tỏ ra rất quan tâm bởi tính đa dạng của các bài toán và sự khó định hướng khi giải các bài toán thuộc mảng kiến thức này.Chẳng hạn, đối với các bài toán, học sinh thường có
những cách giải khác nhau, cách nào cũng cảm thấy "có lý " nhưng lại cho những kết quả
khác nhau
A/ Kiến thức cơ bản :
- Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; mối liên hệ và sự khác nhau giữa tổ hợp
và chỉnh hợp Nhớ các công thức tính số hoán vị, số tổ hợp và số chỉnh hợp
- Công thức khai triển nhị thức Niu -tơn
- Phép thử, không gian mẫu, các kết quả có thể của một phép thử, các kết quả thuận lợi cho một biến cố
- Quy tắc cộng và nhân xác suất
B/ Kỹ năng cơ bản :
- Biết vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, các công thức tính số hoán vị, số tổ hợp
và số chỉnh hợp để giải một số bài toán tổ hợp đơn giản
- Biết tính bằng số các biểu thức có chứa tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp (sử dụng máy tính bỏ túi)
- Biết tính các hệ số của trong khai triển nhị thức Niu -tơn và giải các bài toán liên quan
- Trình bày rõ ràng mạch lạc các lập luận khi giải một số bài toán tổ hợp
- Biết vận dụng các kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển(Biết thiết lập không gian mẫu của một phép thử, biết thiết lập tập hợp mô tả biến cố A liên quan tới phép thử, biết tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển
quan tới phép thử, biết tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển)
- Biết vận dụng quy tắc cộng và nhân xác suất để giải một số bài toán xác suất đơn giản
C/ Các dạng toán cơ bản :
Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa P n , A ❑n k ,C n k
Bài 1.1 Giải bất phương trình: A ❑3x + 5A ❑x2 21 x (1)
Trang 2Giải: ĐK: (*)
¿
x ≥ 3
x ∈ N
¿ {
¿ (1) <=> x !
(x − 3)! + 5 x !
(x − 2)! 21x < => x (x2+ 2x - 24) 0 < =>
x ≤− 6
¿
0 ≤ x ≤ 4
¿
¿
¿
¿
Vì điều kiện (*)nên phương trình có nghiệm làn: x = 3; x = 4
Nhận xét: Sai lầm của học sinh thường là thiếu điều kiện (*)hoặc chỉ có 1 trong 2 điều
kiệnh, dẫn đến tập nghiệm của bất phương trình lấy được sẽ là: (- ∞ ;- 6] [0; 4] , hoặc là [3; 4]
Bài 1.2 Giải pt 2 x 1 x 2 1 2x23
C C C
HD :
2
2 3
3 ( 2) (2 3)
x
Bài 1.3 Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k 0
2 5
3
60 ( )!
k n
n
P
A
n k
ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3)
Bài 1.4 Tính giá trị của
( 1)!
M
n
nếu C n21 2C n22 2C n23 C n24 149 ĐS:
Bài 1.5 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 4) Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử
của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A ĐS: A có 18 phần tử
Dạng 2: Tìm hệ số (hoặc tìm số hạng) của khai triển nhị thức Niu tơn
- Yêu cầu học sinh phải phân biệt rõ 3 loại câu hỏi:
(1) - Tìm hệ số của số hạng thứ k của khai triển
(2) - Tìm hệ số của số hạng chứa xk nào đó trong khai triển
(3) - Tìm số hạng thứ k trong khai triển
- Cơ sở để khai thác dạng bài tập này chính là số hạng tổng quát của (a + b)n :
Tk + 1 = c ❑n k an-k.bk
Bài 2.1 Cho nhị thức Niu tơn (2x 3 + xy) 15
a Tìm hệ số của khai triển trong số hạng chứa x 25 y 10 trong nhị thức trên.
b Tìm hệ số của số hạng chứa x 25 y 10
c Tìm số hạng chứa x 25 y 10
Trang 3Giải: Ta có: (2x3 + xy)15 = ∑
k=0
15
❑ c ❑15k (2x3)15 - k (xy)k = c ❑15k 215 - k.x 45 -2k yk
Số hạng chứa x25 y10 ứng với k = 10
a Hệ số của khai triển trong số hạng chứa x25 y10 là c ❑1510
b Hệ số của số hạng chứa x25y10 là 25 c ❑1510
c Số hạng chứa x25y10
là 25 c ❑1510 x25 y10
Bài 2.2 1/ Xác định số hạng không phụ thuộc x trong khai triển của (2x 3 - 5
x2 ) 20 2/ Biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển nhị thức (x 2 + 1) n bằng 1024 Tìm hệ
số a của số hạng a.x 12 trong khai triển đó.
HD: Tổng các hệ số ở một khai triển dạng (a+b) n chính là:
∑
k=0
n
C n k = c ❑n0 + c ❑l n + + c ❑n n = (1+ 1)n = 2n (n = 10)
Ngoài ra, một số học sinh thường vấp phải sai lầm khi nghĩ rằng thứ tự các số hạng trong khai triển của (a + b)n và (b + a)n là như nhau, vì thực ra ta có:
(a + b)n = (b + a)n nên ∑
k=0
n
C n k an -k bk = ∑
k=0
n
C n k bn -k ak
số hạng thứ k +1 của (a+b)n là c ❑n k an - kbk sẽ khác với số hạng thứ k +1 của (b+a)n là c
❑n k bn - kak
ví dụ : Số hạng thứ 5 của khai triển (2+x) 12 là C12428x4 chứ không phải là C x124 824 Nhưng các em đã đổi chỗ cho 2 số hạng này, dẫn đến kết quả sai nhưng các em vẫn nghĩ
là mình đúng Vì vậy trong khi giảng dạy bài “Công thức nhị thức Niu tơn’’, giáo viên cần nhấn mạnh điều này
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, các bất đẳng thức hoặc tính tổng chứa các số C
❑n k .
Dạng toán này thường sử dụng công thức 1 1
, khai triển của một hoặc hai nhị thức
Bài 3.1/ Chứng minh rằng: ∀ k , n∈ N ,3 ≤ k ≤ n ta có: c n k+3 cn k −1+3 cn k −2
+c n k −3
=c n+3 k
C/m: VT = ( c n k
+c n k −1 ) + 2 ( c n k −1
+c n k − 2 ) + c n k −2
+c n k − 3 = c n+1 k +2 cn+1 k −1
+c n+ 1 k −1
= ( c n+2 k
+c n +1 k − 1 )+ ( c n+1 k −1
+c n +1 k − 2 ) = c n+2 k
+c n +2 k − 1
=c n+3 k = VP
Bài 3.2/ Chứng minh rằng
20 22 24 22n 12 23 25 22n 1 22n 1
HD: Dùng các khai triển (1 1) 2n và (1 1) 2n rồi cộng, trừ vế theo vế
Bài 3.3/ Tính tổng C100 2C101 22C102 23C103 2 10C1010
HD: Tổng bằng (1 2) 10 310
Trang 4Sau khi học sinh được học Đạo hàm, Tích phân , giáo viên nên áp dụng kiến thức mới học vào một số bài toán về nhị thức Niutơn ở dạng đơn giản
Bài 3.4/ Chứng minh rằng ∀ n∈ N❑ , ta có:
c n1 3n − 1+ 2 c n2 3n − 2+3 cn33n −3+ +n cn n=n 4n− 1
Hướng dẫn: áp dụng với f (x)= (3 + x)n lấy đạo hàm 2 vế và chọn x =1
Bài 3.5/ Chứng minh rằng
Hướng dẫn áp dụng với f (x)= (1 + x)n lấy tích phân 2 vế từ 0 đến 1
Dạng 4: Bài toán về phép đếm (Lập số tự nhiên, phân công công việc, sắp xếp, …) Bài 4.1/ Có bao nhiêu cách xếp đặt 3 người Pháp, 2 người Nga ngồi trên một ghế dài sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau.
Giải: Có 2! cách xếp đặt theo quốc tịch, sau đó có 3! cách xếp đặt chỗ cho 3 người
Pháp
và có 2! cách xếp đặt chỗ cho 2 người Nga
Vậy có tất cả: 2.6.2 = 24 cách xếp đặt
Bài 4.2/ a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số được lập từ các chữ số 0,2,4,6,8 ?
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0,2,4,6,8 ?
HD : a/ 4.5.5 = 100 b/ 4.C42 = 24
Dạng này cần yêu cầu HS nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân, đồng thời phân biệt được tính có lặp hay không, có thể hoán đổi vị trí hay không
Dạng 5 : Tính xác suất : - Sử dụng định nghĩa cổ điển
- Sử dụng phép toán xác suất
Ngoài các dạng toán đơn giản trong SGK, ta xét thêm 2 bài sau
Bài 5.1/ Chọn ngẫu nhiên 2 em từ một nhóm học sinh gồm 10 nữ và 20 nam
Tính xác suất để chọn được 2 em đều là nam
C1: Gọi A là biến cố chọn được 1 nam lần thứ nhất
Gọi B là biến cố chọn được 1 nam lần thứ hai
Trang 5P(A) =
20
30 P(B) =
19
29
38 ( ) ( ) ( )
87
P AB P A P B
C2 : n( ) C302 ; Số kết quả thuận cho biến cố lấy 2 em đều nam là C202
Vậy P =
2 20 2 30
C
C =
38
87
Bài 5.2/ Đôi bạn Ngân và Nga cùng tham dự một kì thi Biết khả năng đỗ của mỗi người
tương ứng là 90% và 70% Tìm xác suất của các biến cố sau:
1) Cả hai đều đỗ 2) Có ít nhất một người đỗ
3) Chỉ có Ngân đỗ còn Nga trượt
ĐS: 1) 63%; 2) 97%; 3) 27%
Giáo viên có thể chế biến các bài toán đếm của tổ hợp thành bài toán của xác suất.
D/ Các dạng toán nâng cao :
Dạng 1: Tìm hệ số (hoặc tìm số hạng) của khai triển nhị thức Niu tơn:
Bài 1.1/ Sau khi khai triển và rút gọn thì A =
2
(x ) (x )
có bao nhiêu số hạng ?
HD : Số số hạng bằng 21+11- m với m là số số hạng đồng dạng của 2 khai triển Đs:
29 (m=3)
Bài 1.2/ Khai triển f(x) = (1 x x2x3 5) và viết lại dưới dạng : f(x) = a0 a x1 a x15 15
Tính a 9
HD:(1 x x2x3 5) (1 x) (15 x3 5)
3
C x C x
3
5 5
k l k l
C C x
Giải k+3l = 9 tìm được (k,l) là (3,2) hoặc (3,0) => a 9 = C C53 52C C50 53 110
ở dạng này các bài toán thường gặp là:
Tìm các số hạng không chứa x
Tính số hạng ,hệ số nào đó
Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (hoặc của đa thức khai triển)
Bài 1.3/ (ĐH KB - 2007)
Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x)n , biết rằng
3n 0 3n 1 1 3n 2 2 3n 3 3 ( 1)n n 2048
Bài 1.4/ (ĐH KD - 2007)
Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức sau:
P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 ĐS: 3320
Trang 6Bài 1.5/ (ĐH KA - 2006)
Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của
7 4
x x
biết rằng 12 1 22 1 23 1 2n 1 220 1
C C C C ĐS: n =10 , hsố = 210
Bài 1.6/ (ĐH KA - 2004)
Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức
P =
8 2
1 x (1 x)
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, các bất đẳng thức hoặc tính tổng chứa các số C
❑n k .
Cần chú ý : + Kỹ năng sử dụng tổng, tích của khai triển 2 nhị thức
+ Cách xử lý đối với khai triển của tam thức
+ Nhận dạng loại toán có sử dụng đạo hàm, tích phân
Bài 2.1/:Chứng minh đẳng thức:
2 k 5 k 1 4 k 2 k 3 k22 k 33
C C C C C C
Giải: Ta có: c n k+2 cn k+1
+c n k+ 2
=(c n k
+c n k +1
)+(c n k+1+cn k+ 2
) = c n+1 k+1+c n +1 k +2
=> c n k+2 cn k+1
+c n k+ 2
=c n+2 k+2 (1) Mặt khác ta có: C n k 3C n k1 3C n k2 C n k3
= (c n k
+c n k+1
)+2(c n k +1
+c n k+2
)+(c n k+2
+c n k +3
)
= c n+1 k+1+2 cn+1 k+ 2+c n +1 k+3 = (c n +1 k +1+c n+1 k+2)+(c n+1 k+ 2+c n +1 k+3)=cn+2 k+2+cn +2 k +3=cn +3 k +3 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra kết quả
Bài 2.2/Chứng minh rằng: n ,ta có:
1 2 + 2 2 + + n 2 = 2 2 2 2
c c c c
.
Giải: VT = 12+22+ + n2 = n(n+1)(2 n+1)
6 (quy nạp)
Do: c n k=c n +1 k+1 − c n k+1 , ta có:
c n2=c n +13 − c n3 ; c n −12 =c3n − c3n− 1 ; ; c32=c 43− c33 ; c22=c 33 => c n2+cn −12 + +c 32+c22=cn+13
VP = c n+12 +2 cn+13
=n (n+1)
2 +2
(n+1) n(n− 1)
n(n+1)(2 n+1)
Bài 2.3/ Cho n là số tự nhiên, n 2. Chứng minh đẳng thức sau:
Trang 7 2 2
2 0 1 1 2 2 22 n 2 12 n 1 ( 1)2 n 2
( Đề thi HSG 12 Nghệ An 2008 2009)
n k
Đạo hàm hai vế của (1) ta được
1
0
1 n n ( ) k n k
n k
n x n k C x
1 1 0
n
n k
Đạo hàm hai vế của (2) ta được
1
0
n k
Thay x 1vào (3) ta được đpcm
+/ Dạng tổng liên quan đến tích của hai khai triển ∑
k=0
n
c n k c ❑m p− k
Bài 2.4/ Chứng minh rằng với m,n,k là các số tự nhiên, m k ≤ n , ta có:
a/ c m0 .c n k+c m1 c n k −1+ +c m m c m k − m=c m +n k
b/ ( c n0 ) 2 +( c n1 ) 2 + + ( c n n ) 2 = c 2 n n
c/ ( c 2 n0 ) 2 -( c 2 n1 ) 2 +(c 2
2n ) 2 - + ( c 2 n 2 n ) 2 = (-1) n c 2 n n .
Giải: a/ Xét tích (1 + x)m (1+x)n = (1 + x)m+n
VT = ( c m0+cm1 x+ .+c m m xm).( c n0+cn1x + +c n n x n )
Do giả thiết m k ≤ n nên hệ số của xk trong VT này là c m0.c n k+cm1 c n k −1+ +cm m c n k − m
VP = ( c m+ n0 +c1m+n x+ .+c m+n m+n x m +n ) Hệ số của xk trong khai triển của VP là c m+ n k =>
đfcm
b/ Đẳng thức đã cho chính là: c n0 c n n+c n❑.c n n − 1+ +c n n c n0=c 2 n n ( Do c n k=c n n − k )
Bài toán hoàn toàn giống câu a/ với m = n
c/ Để ý dấu của vế trái trong đẳng thức đã cho, xét đẳng thức: (1+x)2n(1-x)2n= (1-x2)2n
(*)
Tổng các chỉ số trên trong mỗi số hạng bằng 2n Vậy ta chỉ cần xác định hệ số của x2n
trong khai triển của đẳng thức (*)của 2 vế và đồng nhất hệ số đó ở 2 vếc, ta sẽ được đẳng thức cần c /m
Trang 8+/ Tổng
1 1
n
n k
k C a b
có liên quan đến công cụ đạo hàm
Bài 2.5/ Chứng minh đẳng thức:
n.4 n-1 . − 1¿
n− 1
c n n −1=cn1+4 c n2+ +n 2 n −1 c n n
c n0−(n− 1) 4 n− 2 c n1+(n− 2) 4 n− 3 c2n − .+¿ Xét khai triển:
Lấy đạo hàm 2 vế ta được:
2n(2x - 1)n-1 = 2n c n0 (2x)n-1 - 2(n-1)
−1¿n −1 .2 c n n− 1.
2 x¿n − 3 − .+¿
2 x¿n − 2+2(n− 2)cn2¿
c1n¿ Cho x = 2 , ta được đfcm
Nếu cần chứng minh có liên quan đến tổng ∑
k=2
n
❑ k(k-1) c n k an-k.bk-2
ta phải dùng đến đạo hàm cấp 2
+/ Tính tổng nhờ sử dụng tích phân :
Bài 2.6/ Chứng minh rằng:
2
1+(− 1¿2)
− 1¿n 1
n+1 2
n+1 c n n= 1
n+1¿
c n0−1
2.2
2
c n1+ 1
32
3
c n2− +¿
Giải: Ta có: (1 - x)2 = − 1¿
n
c n n x n
c n0− c n1x +c n2x2− .+¿
Lấy tích phân 2 vế (từ 0 đến 2) ta có:
1− x¿n
¿
−1¿n c n n∫
0
2
x ndx
¿
∫
0 2
¿
Trang 9= 2
−1¿n
¿
¿
c n0−1
2c n
1
22+ 1
3 2
3
c n2− +¿
(1)
Mặt khác ta có: Đặt 1 - x = u => du = -dx Đổi cận:
x =0
¿
x=2
¿
<=>
¿
u=1
¿
u=− 1
¿
¿
¿
¿
¿
¿
1− x¿n
¿
dx=−∫
1
− 1
u ndu= 1
n+1(u
n+1
)
¿
¿
¿
∫
0
2
¿
= 1+(− 1¿
n
) 1
n+1¿
(2)
So sánh (1) và (2) ta có đpcm
Dạng 3: Bài toán về phép đếm
(Lập số tự nhiên, phân công công việc, sắp xếp, …).
Bài 3.1/ Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn
ra 4 viên
bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ
cả 3 màu ?
Giải :
Số cách chọn 4 bi trong 15 bi là C154 = 1365
Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là : 2 đỏ, 1 trắng, 1 vàng có C42 1
5
C 1 6
C = 180
1 đỏ, 2 trắng, 1 vàng có C41 2
5
C 1 6
C = 240
1 đỏ, 1 trắng, 2 vàng có C41 1
5
C 2 6
C = 300
Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là : 180+240+300= 720
Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ cả 3 màu là 1365-720=645 (cách chon)
Trang 10* Có thể giải bài toán trên bằng cách tính trực tiếp bằng cách xét hết tất cả các trường hợp:
4 đỏ + 1đỏ, 3 trắng + 2 đỏ, 2 trắng + 1đỏ 3 trắng + …
Bài 3.2/ Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau.
a/ Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau ?
b/ Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành 2 nhóm chẵn lẻ riêng biệt ?
Giải :
a/ Xếp các phiếu số 1,2,3,5 có 4! = 24 cách
Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh số 2 có 2 cách => có cả thảy 2.24 = 48 cách xếp thỏa mãn yc
b/ Có 2 cách xếp vị trí cho nhóm chẵn và nhóm lẻ
Với mỗi cách xếp trên, có 2! cách xếp 2 số chẵn và 3! cách xếp 3 số lẻ
Vậy có cả thảy 2.2!3! = 24 cách xếp thỏa mãn yêu cầu
Bài 3.3/ Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách toán,
4 cuốn sách lý và 3 cuốn sách hóa Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học
sinh A,B,C,D,E,F mỗi em 1 cuốn.
a/ Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại toán và lý Hỏi có bao nhiêu cách tặng ?
b/ Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 loại sách trên đều còn lại ít nhất 1 cuốn Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Giải : a/ Có C96 cách lấy 6 từ 9 cuốn toán và lý ; Với mỗi cách lấy đó có 6! cách trao 6 cuốn
sách cho 6 học sinh khác nhau Vậy có cả thảy C96.6! = 60480 cách tặng
b/ Lời giải sai:
Thầy giữ lại mỗi thể loại 1 cuốn, 6 học sinh nhận được 6 cuốn từ 9 cuốn vậy có cả thảy
+ 9.8.7.6.5.4 = 60480 cách ??? - ( TS Bùi Quang Trường) + Số cách giữ lại 3 cuốn là C C C51 .14 31 = 60 cách
Số cách chọn 6 từ 9 cuốn còn lại là C96cách
Sau đó trao cho 6 học sinh nên có cả thảy 60.C96.6! = 3628800 cách !!!
( Trong khi đó chỉ cóC126 6! = 665280 cách lấy tùy ý 6 cuốn để tặng 6 em )
Lời giải đúng : Để ý thầy giáo không thể chọn để tặng cùng hết cả 2 loại sách bất kỳ.
Ta tính xem có bao nhiêu cách chọn sách mà hết tất cả 1 thể loại nào đó
Số cách chọn 6 từ 12 cuốn sách là C126 cách
Số cách chọn sao cho không còn sách toán là C C55 71