Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ớc đoán về các tính chất của dãy số tính đơn điệu, bị chặn.[r]
Trang 1Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm u việt hơn các MTBT khác.
Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính các số hạng của một dãy số là một ví
dụ Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý một quy trình bấm phím sẽ cho kết quả nhanh, chính xác Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ớc đoán về các tính chất của dãy
số (tính đơn điệu, bị chặn ), dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số, tính hội
tụ, giới hạn của dãy từ đó giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải bài toán một cách sáng tạo Việc biết cách lập ra quy trình để tính các số hạng của dãy số còn hình thành cho học sinh những kỹ năng, t duy thuật toán rất gần với lập trình trong tin học Sau đây là một số quy trình tính số hạng của một số dạng dãy số thờng gặp trong chơng trình, trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT:
I/ Lập quy trình tính số hạng của dãy số:
1) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát:
trong đó f(n) là biểu thức của
n cho trớc
Cách lập quy trình:
- Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A : 1 SHIFT STO A
- Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ : A = A +
1
- Lặp dấu bằng: = =
Giải thích:
1 SHIFT STO A : ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A
f(A) : A = A +
1 : tính un = f(n) tại giá trị A (khi bấm dấu bằng thứ lần nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ A thêm 1 đơn vị: A = A + 1 (khi bấm dấu bằng lần thứ hai)
* Công thức đợc lặp lại mỗi khi ấn dấu =
Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
; 1, 2,3
5
n
u n
Giải:
- Ta lập quy trình tính u n nh sau:
1 SHIFT STO A
(
2 ) ANPHA A - ( (
1
ANPHA = ANPHA A + 1 =
- Lặp lại phím: = =
Ta đợc kết quả: u 1 = 1, u 2 = 1, u 3 = 2, u 4 = 3, u 5 = 5, u 6 = 8, u 7 = 13, u 8 = 21,
u 9 = 34, u 10 = 55.
2) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
trong đó f(un) là biểu thức của
un cho trớc
un = f(n), n N*
1
u = a
u = f(u ) ; n N*
Trang 2Cách lập quy trình:
- Nhập giá trị của số hạng u 1: a =
- Nhập biểu thức của u n+1 = f(u n ) : ( trong biểu thức của un+1 chỗ nào có un
ta nhập bằng ANS )
- Lặp dấu bằng: =
Giải thích:
- Khi bấm: a = màn hình hiện u
1 = a và lu kết quả này
- Khi nhập biểu thức f(un) bởi phím ANS, bấm dấu = lần thứ nhất máy sẽ thực hiện tính u2 = f(u1) và lại lu kết quả này
- Tiếp tục bấm dấu = ta lần lợt đợc các số hạng của dãy số u
3, u4
Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
1 1
1
2
1
n n
n
u u
u
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số nh sau:
1 = (u
1 )
( ANS +
1 ) =
(u 2 )
= =
- Ta đợc các giá trị gần đúng với 9 chữ số thập phân sau dấu phảy:
u 1 = 1 u 8 = 1,414215686
u 2 = 1,5 u 9 = 1,414213198
u 3 = 1,4 u 10 = 1,414213625
u 4 = 1,416666667 u 11 = 1,414213552
u 5 = 1,413793103 u 12 = 1,414213564
u 6 = 1,414285714 u 13 = 1,414213562
u 7 = 1,414201183 u 14 = = u 20 = 1,414213562
Ví dụ 2: Cho dãy số đợc xác định bởi:
3
3 1
3 1
3
u
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để un là số nguyên
Giải:
- Lập quy trình bấm phím tính các số hạng của dãy số nh sau:
SHIFT 3
3 = (u
1 )
ANS
SHIFT 3
3 = (u
2 )
4 = 3)
Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u 4 = 3 là số nguyên.
3) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:
1 2
u = a, u b
u = A u + Bu + C ; n N*
Trang 3Cách lập quy trình:
* Cách 1:
Bấm phím: b SHIFT STO A
A + B
a + C SHIFT STO B
Và lặp lại dãy phím:
A + ANPHA A
B + C SHIFT STO A A + ANPHA B
B + C SHIFT STO B
Giải thích: Sau khi thực hiện
b SHIFT STO A
A + B
a + C SHIFT STO B trong ô nhớ A là u
2 = b, máy tính tổng u 3 := Ab + Ba + C = Au 2 + Bu 1 + C và đẩy
vào trong ô nhớ B , trên màn hình là: u
3 : = Au 2 + Bu 1 + C
Sau khi thực hiện: A + ANPHA A
B + C SHIFT STO A máy
tính tổng u 4 := Au 3 + Bu 2 + C và đa vào ô nhớ A Nh vậy khi đó ta có u
4 trên màn hình và trong ô nhớ A (trong ô nhớ B vẫn là u
3)
Sau khi thực hiện: A + ANPHA B
B + C SHIFT STO B máy
tính tổng u 5 := Au 4 + Bu 3 + C và đa vào ô nhớ B Nh vậy khi đó ta có u
5 trên màn hình và trong ô nhớ B (trong ô nhớ A vẫn là u
4)
Tiếp tục vòng lặp ta đợc dãy số u n+2 = Au n+1 + Bu n + C
*Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta có thể sử dụng chức năng COPY để lập lại dãy lặp bởi quy trình sau (giảm đợc 10 lần bấm phím mỗi khi tìm một số hạng của dãy số), thực hiện quy trình sau:
Bấm phím: b SHIFT STO A
A + B
a + C SHIFT STO B A + ANPHA A
B + C SHIFT STO A A + ANPHA B
B + C SHIFT STO B SHIFT COPY
Lặp dấu bằng: = =
* Cách 2: Sử dụng cách lập công thức
Bấm phím: a SHIFT
A b SHIFT STO B
ANPHA C ANPHA = A ANPHA B + B ANPHA A + C ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B
Lặp dấu bằng: = =
Trang 4Ví dụ : Cho dãy số đợc xác định bởi:
n+2 n+1 n
u = 1, u 2
u = 3u + 4 u + 5 ; n N*
Hãy lập quy trình tính un
Giải:
- Thực hiện quy trình:
2 SHIFT STO A
3 + 4
1 + 5 SHIFT STO B
3 + ANPHA A
4 + 5 SHIFT STO A
3 + ANPHA B
4 + 5 SHIFT STO B SHIFT COPY
= =
ta đợc dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671
Hoặc có thể thực hiện quy trình:
1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B
ANPHA C ANPHA = 3 ANPHA B + 4 ANPHA A + 5
ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C
= =
ta cũng đợc kết quả nh trên
Trang 54) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng:
* Thuật toán để lập quy trình tính số hạng của dãy:
- Sử dụng 3 ô nhớ: A : chứa giá trị của n
B : chứa giá trị của u
n
C : chứa giá trị của u
n+1
- Lập công thức tính u n+1 thực hiện gán A : = A + 1 và B := C để tính số
hạng tiếp theo của dãy
- Lặp phím : =
Ví dụ : Cho dãy số đợc xác định bởi:
1
u = 0
n
u = u +1 ; n N*
n+1
Hãy lập quy trình tính un
Giải:
- Thực hiện quy trình:
1 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B
1 ) )
( ANPHA B +
1 ) ANPHA : ANPHA A ANPHA =
= =
ta đợc dãy:
II/ Sử dụng MTBT trong việc giải một số dạng toán về dãy số:
1) Lập công thức số hạng tổng quát:
Phơng pháp giải:
- Lập quy trình trên MTBT để tính một số số hạng của dãy số
- Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán công thức số hạng tổng quát
- Chứng minh công thức tìm đợc bằng quy nạp
Ví dụ 1: Tìm a2004 biết:
1 n+1
u = a
u = f n u , n ; n N*
Trong đó f n u, n là
kí hiệu của biểu thức un+1
tính theo un và n
1 1
0 ( 1)
( 2)( 3)
a
n n
Trang 6- Trớc hết ta tính một số số hạng đầu của dãy (an), quy trình sau:
1 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B
ANPHA C ANPHA = ANPHA A ( ANPHA A + 1 )
2 ) ( ANPHA A +
3 ) ) ( ANPHA
B + 1 ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1 ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C
- Ta đợc dãy:
6 20 50 15 14 8
- Từ đó phân tích các số hạng để tìm quy luật cho dãy trên:
a1 = 0
a2 =
630 3.10 dự đoán công thức số hạng tổng quát:
a3 =
7 2.7 2.7
20 40 4.10
a4 =
27 3.9
50 5.10 * Dễ dàng chứng minh công thức (1) đúng
2004
2003.4009 20050
( 1)(2 1) 10( 1)
n
a
n
với mọi n N* bằng quy nạp
Trang 7Ví dụ 2 : Xét dãy số:
Chứng minh rằng số A = 4an.an+2 + 1 là số chính phơng
Giải:
- Tính một số số hạng đầu của dãy (an) bằng quy trình:
3 SHIFT STO A
2
1 + 1 SHIFT STO B
2 - ANPHA A +
1 SHIFT STO A
2 - ANPHA B
+ 1 SHIFT STO B SHIFT COPY
= =
- Ta đợc dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,
- Tìm quy luật cho dãy số:
1
1(1 1)
1
2
a
2
2(2 1) 3
2
a
dự đoán công thức số hạng tổng quát:
3
3(3 1) 6
2
a
4
4(4 1) 10
2
5
5(5 1) 15
2
a
* Ta hoàn toàn chứng minh công thức (1)
Từ đó: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2
A là một số chính phơng
Cách giải khác: Từ kết quả tìm đợc một số số hạng đầu của dãy,ta thấy:
- Với n = 1 thì A = 4a 1 a 3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a 2 - 1) 2
- Với n = 2 thì A = 4a 2 a 4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a 3 - 1) 2
- Với n = 3 thì A = 4a 3 a 5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a 4 - 1) 2
Từ đó ta chứng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1)2 (*)
Bằng phơng pháp quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh đợc (*)
2) Dự đoán giới hạn của dãy số:
2.1 Xét tính hội tụ của dãy số:
Bằng cách sử dung MTBT cho phép ta tính đợc nhiều số hạng của dãy số một cách nhanh chóng Biểu diễn dãy điểm các số hạng của dãy số sẽ giúp cho ta trực quan tốt về sự hội tụ của dãy số, từ đó hình thành nên cách giải của bài toán
Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của dãy số (an):
sin( )
1
n
n
n
Giải:
- Thực hiện quy trình:
* 2
( 1) 2
n
n n
đúng với mọi n N*
Trang 84 2
MODE 1 SHIFT STO A
1 )
= =
ta đợc kết quả sau (độ chính xác 10-9):
1 0,4207354
92 13 0,03001193 1 25 0,00509045
-1
-0,01693521 4
2 0,3030991
42 14 0,06604049 26 0,02824290 5 38 0,00759919 4
3 0,0352800
02 15 0,04064299 27 0,03415628 3 39 0,02409488 4
-0,1513604
99
-0,01693548 9
28 0,00934157
8 40 0,01817349 1
-0,1598207
12
-0,05341097 1
-0,02212112 9
41 -0,00377673
-0,0399164
99
-0,03952564 4
-0,03187198 7
-0,02131445 4
7 0,0821233
24 19 0,00749386 31 0,01262617
-6
-0,01890397 1
8 0,1099286
94 20 0,04347358 3 32 0,01670989 9 44 0,00039337 6
9 0,0412118
48 21 0,03802980 1 33 0,02940917 2 45 0,01849790 2
-0,0494564
64
-0,00038483 9
34 0,01511664
8 46 0,01918698 6
-0,0833325
17
-0,03525918 3
-0,01189396 3
47 0,00257444
-0,0412748
39
-0,03622313 4
-0,02680483 3
-0,01567866 6
- Biểu diễn điểm trên mặt phẳng toạ độ (n ; an):
Dựa vào sự biểu diễn trên giúp cho ta rút ra nhận xét khi n càng lớn thì an càng gần 0 (an 0) và đó chính là bản chất của dãy hội tụ đến số 0
an
n
Trang 92.2 Dự đoán giới hạn của dãy số:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng dãy số (un), (n = 1, 2, 3 ) xác định bởi:
1 1
2
u
có giới hạn Tìm giới hạn đó
Giải:
- Thực hiện quy trình:
2 = (
2 + ANS )
= =
ta đợc kết quả sau (độ chính xác 10-9):
Dựa vào kết quả trên ta nhận xét đợc:
1) Dãy số (u n ) là dãy tăng
2) Dự đoán giới hạn của dãy số bằng 2
Chứng minh nhận định trên:
+ Bằng phơng pháp quy nạp ta chứng minh đợc dãy số (un) tăng và bị chặn dãy (un) có giới hạn
+ Gọi giới hạn đó là a: limu n = a Lấy giới hạn hai vế của công thức truy hồi xác
định dãy số (un) ta đợc:
limu n = lim( 2u n
) hay a = 2 a 2
0
2 2
a
a
Vậy: lim u n = 2
Trang 10Ví dụ 2: Cho dãy số (xn), (n = 1, 2, 3 ) xác định bởi:
1 2
2
1
sin( ) , *
x x
Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn và tìm giới hạn của nó
Giải:
- Thực hiện quy trình:
4 2
2 5 SHIFT )
+ ( 2SHIFT 5 )
sin ( 1 ) SHIFT STO B
x2 (
2 5 SHIFT ) + (
2 SHIFT 5 ) sin ( ANPHA A ) SHIFT STO A
x2 (
2 5 SHIFT ) + (
2 SHIFT 5 ) sin ( ANPHA B ) SHIFT STO B
SHIFT COPY
= =
ta tính các số hạng đầu của dãy số (xn) và rút ra những nhận xét sau:
1) Dãy số (x n ) là dãy không giảm 2) x 50 = x 51 = = 1,570796327 (với độ chính xác 10 -9 ).
3) Nếu lấy x i (i = 50, 51, ) trừ cho 2
ta đều nhận đợc kết quả là 0.
dự đoán giới hạn của dãy số bằng 2
.
Chứng minh nhận định trên:
+ Bằng phơng pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh đợc xn (0 ; 2
) và dãy (xn) không giảm dãy (xn) có giới hạn
+ Gọi giới hạn đó bằng a, ta có:
2
sin( ), (1)
+ Bằng phơng pháp giải tích (xét hàm số
2
) ta có (1)
có nghiệm là a = 2
Vậy: lim xn = 2
3) Một số dạng bài tập sử dụng trong ngoại khoá và thi giải Toán bằng MTBT:
Bài 1: Cho dãy số (un), (n = 0, 1, 2, ):
2 3
n
a) Chứng minh un nguyên với mọi n tự nhiên
Trang 11b) Tìm tất cả n nguyên để un chia hết cho 3.
Bài 2: Cho dãy số (an) đợc xác định bởi:
2 1
2
o
a
a) Xác định công thức số hạng tổng quát an
b) Chứng minh rằng số: 2
1
8
5 n
A a
biểu diễn đợc dới dạng tổng bình phơng của 3 số nguyên liên tiếp với mọi n 1
Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi:
1
0, 1
o
Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho un là số nguyên tố
Bài 4: Cho dãy số (an) xác định bởi:
Chứng minh rằng:
a) Dãy số trên có vô số số dơng, số âm
b) a2002 chia hết cho 11
Bài 5: Cho dãy số (an) xác định bởi:
2 1 2
1 2
n n n
a
a
Chứng minh an nguyên với mọi n tự nhiên
Bài 6: Dãy số (an) đợc xác định theo công thức:
2 3n , *
n
a n N
; (kí hiệu 2 3n
là phần nguyên của số2 3n
).
Chứng minh rằng dãy (an) là dãy các số nguyên lẻ