Xác định vị trí của điểm M trên đường chéo AC để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.. Gọi M, N lần lượt là giao điểm các phân giác trong của tam giác ACD, BCD.[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT LỘC HÀ
ĐỀ THI HSG HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN TOÁN 9 THỜI GIAN LÀM BÀI 150 PHÚT
Câu 1: a) Phân tích thành nhân tử (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3
b) Chứng minh (a+b+c)3 – (a+b-c)3 – (b+c-a)3 – (c+a-b)3 chia hết cho 24 với mọi a, b, c thuộc Z
Câu 2: a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x
2
−√2
x4
+(√3 −√2) x2−√6
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 4 x +3
x2+1
Câu 3: Tính giá trị của f(x) = x3 – 6x với x = 3
√20+14√2+√320 − 14√2
Câu 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, lấy điểm M tùy ý trên đường chéo AC, kẽ ME vuông góc với AC, MF vuông góc với BC Xác định vị trí của điểm M trên đường chéo AC để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó
Câu 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn 300, cạnh nhỏ nhất bằng 1, vẽ đường cao CD từ đỉnh góc vuông C Gọi M, N lần lượt là giao điểm các phân giác trong của tam giác ACD, BCD Tính khoảng cách MN
Bài giải:
Câu 1: a) (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3
= (x+y+z-x)[(x+y+z)2 + x(x+y+z) + x2)] – (y + z)(y2 – yz + z2)
= (y + z)(3x2 +y2 + z2 + 3xy + 2yz + 3xz – y2 +yz –z2)
=3(y+z)(x2+xy+yz+zx) = 3(y+z)[x(x+y)+z(x+y)] = 3(x+y)(y+z)(z+x)
b) Đặt a + b – c = x, b + c – a = y, c + a – b = z => x + y + z = a + b + c
Ta có (a+b+c)3 – (a+b-c)3 – (b+c-a)3 – (c+a-b)3
= (x + y +z)3 – x3 – y3 – z3 = 3(x+y)(y+z)(z+x) (Theo câu a))
= 3(a+b-c+b+c-a)(b+c-a+c+a-b)( c+a-b+a+b-c
=3.2b.2c.2a=24abc chia hết cho 24
Câu 2: ĐK: x ≠ ±4
√2
a) A = x2−√2
x4+(√3 −√2) x2−√6=
x2−√2
x4+√3 x2−√2 x2−√6=
x2−√2
x2(x2+√3)−√2(x2+√3)
¿ x2−√2
(x2
+√3)(x2−√2)=
1
x2
+√3 .
Do tử và mẩu của biểu thức A đều dương và x2+√3 ≥√3 nên A 1
√3
Dấu “=” xẫy ra khi và chỉ khi x = 0 (t/m) Vậy Max A = 1
√3⇔ x=0
Trang 2b) Tìm GTNN: A = 4 x +3
x2 +1 =
x +2¿2−(x2+ 1)
¿
x +2¿2
¿
¿
¿
x2+4 x+4 −1
x2+ 1 =¿
=> Min A = -1 x = -2
Tìm GTLN: A = 4 x +3
x2 +1 =
2 x+1¿2
¿
2 x −1¿2
¿
¿
4 (x2+1)−¿
4 x2+4 −(4 x2− 4 x +1)
x2+ 1 =¿
=> Max A = 4 x = ½
Câu 3: Ta có x = 3
√20+14√2+√320 − 14√2
⇒ x3
= 40+ 3√3(20+14√2)(20− 14√2)(√320+14√2+√320 −14√2)=40+6 x
x3 – 6x = 40 => f(x) = 40
Câu 4: A x E a-x B
Do ABCD là hình vuông và M thuộc AC, nên
AEM là tam giác vuông cân tại E x
=> AE = ME = BF a
Đặt AE = ME = BF = x (x>0) M F => BE = CF = a – x a-x
Ta có: D C
SDEF = SABCD – SADE – SDCF – SBEF
= a2 – [ax + a(a – x) + x(a – x)]:2 = (x2 – ax + a2):2
=
x −1
2a¿
2
+ 3
4a
2
(¿)≥1
2.
3
4a
2
= 3
8a
2
1
2¿
Dấu “=” xẫy ra khi x −1
2a=0 ⇔ x= a
2
x= a
2⇒ AE=BE, BF=CF⇒MA=MC
Vậy khi M là trung điểm của AC thì diện tích tam giác DEF nhỏ nhất
GTNN đó là 38a2
Câu 5: C
Giả sử tam giác ABC vuông tại C có góc B = 300
Theo đề bài ta suy ra: AC = 1, AB = 2, BC = √3 N
Kẽ ME, NF vuông góc với AB (E, F AB) M
Ta có: AD=AC
2
AB =
1
2, BD=
BC2
AB = 3
2 A E D F B
Trang 3DN là phân giác của góc CDF vuông => DF = NF
DM là phân giác của góc CDE vuông => DE = ME
Đặt DE = EM = x; DF = FN = y => AE = 0,5 – x, BF = 1,5 – y
Áp dụng tí số lượng giác, ta có:
x = (0,5 – x)tan300 => x = … => DM = …= a
y = (1,5 – y)tan150 => y = … => DN = … = b
Do DM, DN là hai tia phân giác của hai góc kề bù(gt) nên góc NDM vuông Vậy MN = √DM 2 +DN 2
=√a2
+b2