Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K.. Chứng minh : BHCD là tứ giác nội tiếp.[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS NAM CAO ĐỀ THI THỬ VÀO 10
Thời gian 120 phút
Bài 1: (2,0 điểm)
a, Rút gọn biểu thức: A ( 20 45 3 5) 5
b, Tính
Bài 2: (2,0 điểm)
a, Giải hệ phương trình :
x y
b, Giải phương trình x413x2 30 0
Bài 3 (2,0 điểm):
Cho parabol (P):
2
4
x
y
và điểm M (0; -2), (d) là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc m
a, Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi m b,Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 4: (4,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M bất kỳ trên cạnh BC (M khác B và C) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K
1 Chứng minh : BHCD là tứ giác nội tiếp
2 Chứng minh : KM DB
3 Chứng minh KC.KD = KH.KB
4 Ký hiệu SABM, SDCM lần lượt là diện tích của tam giác ABM, DCM Chứng minh tổng (SABM + SDCM) không đổi Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để (
ABM DCM
S S ) đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1 (2,0 điểm)
a,A ( 20 45 3 5) 5 = 100 225 15 10 15 15 10 1,0đ
b,
0,5đ
0,25
Bài 2 (2,0 điểm)
a,
x
0,5đ
1 1
3
x x
Vậy hệ phương trình cĩ nghiệm duy nhất (x; y) = (1;
3
)
0,25đ
0,25đ
b, x413x2 30 0 (1)
Đặt x2 = y ( y 0) khi đĩ phương trình (1) trở thành y2 - 13y - 30 = 0 (2) 0,25đ Giải phương trình (2) và tìm được hai nghiệm là y1 = 15 (t/m) và y2 = -2 (loại) 0,25đ Với y = y1 = 15 suy ra x2 = 15 x 15 0,25đ Vậy phương trình đã cho cĩ hai nghiệm là x 15 0,25đ
Bài 3 (2,0 điểm)
a, * , Gọi phương trình của đường thẳng (d) là y = ax + b 0,25đ
Vì (d) cĩ hệ số gĩc là m nên a = m
M(0; -2) thuộc (d) nên -2 = a 0 + b b = -2
*, Phương trình hồnh độ điểm chung của (P) và (d) là
2
2
4
'
= (2m)2 - 1 (-8) = 4m2 + 8 > 0, với mọi m 0,25đ
=> P trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m => (P) luơn cắt (d) tại hai điểm
phân biệt A, B với mọi m
0,25đ
b, Gọi tọa độ hai điểm A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2), với x1 và x2 là hai nghiệm của p.t
(1) Theo hệ thức Vi- ét ta cĩ: x1 + x2 = -4m; x1.x2 = -8 0,25đ
Do A, B thuộc (d) nên y1 = mx1 - 2 và y2 = mx2 - 2 => y1 - y2 = m(x1 - x2) 0,25đ
AB2 = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 = (x1 - x2)2 + m2(x1 - x2)2
Trang 3 2
=> AB 4 2, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = 0
Vậy AB ngắn nhất bằng 4 2khi và chỉ khi m = 0 0,5đ
Bài 4 (4,0 điểm)
K
H
D
B A
C M
1, Xét tứ giác BHCD có:
BHD ( BH DM)
BCD (ABCD là hình vuông) Mà: Hai đỉnh H, C kề nhau cùng nhìn BD dưới góc 900
Nên BHCD là tứ giác nội tiếp
0,5đ 0,5đ
2, Xét tam giác BDK có DH, BC là hai đường cao cắt nhau tại M
=> M là trực tâm của tam giác BDK
=>KM là đường cao thứ ba nên KM BD
0,5đ 0,5đ
3 HKC và DKB đồng dạng (g.g)
=>KC.KD = KH KB
1,0đ
4 SABM =
2 AB BM 2 a BM
SDCM =
2 DC CM 2 a CM
=> SABM + SDCM =
2
2 a CM BM 2a không đổi
Ta có: S2 ABM + S 2
DCM =
2 2 2
2 2
2
2
2
4
a
a
BM
BM
0,5đ
Trang 4Để S2 ABM + S 2
DCM đạt giá trị nhỏ nhất thì BM = 2
a
hay M là trung điểm BC GTNN lúc này là
4
8
a
0,5đ
Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà đúng thì cho điểm tương đương