Kết quả Tôi đã sử dụng đề tài “Hướng dẫn học sinh tránh sai lầm khi giải một số dạng toán Đại số lớp 9” tại trường THCS nơi tôi đang công tác và nhận thấy: Đa số học sinh tự trình bày lờ[r]
Trang 1Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới khôngngừng Các nhà trường càng chú trọng đến chất lượng toàn diện bên cạnh sự đầu tưthích đáng cho giáo dục Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn toán đã góp phầntạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.
Để đào tạo ra những con người nghiên cứu về Toán học thì trước hết phảiđào tạo ra những con người có kiến thức vững vàng về môn toán Đây là nhiệm vụhết sức quan trọng, lâu dài đối với ngành Giáo dục và đào tạo
Trong chương trình bộ môn Toán THCS, phân môn Đại số là môn học đặcbiệt quan trọng, dùng định nghĩa, tính chất và các quy tắc để chứng minh, tínhtoán Qua các kỳ thi thì số điểm môn Đại số chiếm tỉ lệ rất cao: 2/3 số điểm bài thi
Vì vậy việc dạy học sinh giải các bài toán Đại số có vai trò đặc biệt quan trọng bởi
lẽ qua đó vừa củng cố, khắc sâu mở rộng kiến thức cho học sinh đồng thời rènluyện được kỹ năng, phương pháp toán học, rèn luyện các thao tác tư duy, phântích, tổng hợp, phát hiện và bồi dưỡng các năng lực trí tuệ Dạy học sinh giải toán
là phương pháp, phương tiện để kiểm tra việc học của học sinh, đánh giá được cáckhả năng độc lập toán học và trình độ phát triển trí tuệ của học sinh
Để học sinh có thể học tốt môn Đại số thì ngoài việc giúp học sinh hiểuđược tài liệu sách giáo khoa, người giáo viên phải nghiên cứu các phương phápgiảng dạy, ôn tập, luyện tập để hướng dẫn học sinh biết vận dụng các định nghĩa,định lý, tính chất, quy tắc, nắm được phương pháp chứng minh một cách nhanhchóng, chính xác
Đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh,nâng cao chất lượng dạy học toán nói chung và phát hiện bồi dưỡng tư duy Toánhọc cho học sinh nói riêng là cả một vấn đề nan giải đòi hỏi người giáo viên phải
Trang 2thường xuyên nghiên cứu trăn trở Dạy như thế nào để học sinh không những nắmchắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao, phát triển đểcác em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi khó mà bản thân mỗi thầy côgiáo luôn đặt ra.
II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:
Thông qua các bài kiểm tra định kỳ, các kỳ thi chất lượng và kỳ thi vàotrung học phổ thông bản thân tôi nhận thấy rằng các em chưa có kỹ năng khi trìnhbày lời giải một bài toán Đại số, mà còn có nhiều sai sót khi trình bày lời giải mặc
dù bài toán đó các em đã biết cách giải
2 Kết quả của thực trạng trên:
Với kinh nghiệm giảng dạy tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh rất ngại họctoán Trong giờ học các em tỏ ra mệt mỏi, lười suy nghĩ Nếu như các em không có
kỹ năng tránh những sai lầm khi trình bày lời giải bài toán khi làm bài kiểm tracũng như thi vượt cấp vào THPT, số học sinh đạt điểm cao môn Toán là rất ít
Từ thực tế nguyên nhân trên và bằng kinh nghiệm giảng dạy của bản thân,
để nâng cao chất lượng dạy học bộ môn tôi đã tìm ra những một số dạng bài toán
mà khi trình bày lời giải học sinh rất dễ mắc sai lầm và chỉ ra cho các em thấynhững sai lầm thông thường mà các em hay mắc phải, đề ra các biện pháp thực
hiện và khắc phục, mạnh dạn nghiên cứu tìm hiểu Với đề tài " Hướng dẫn học sinh tránh sai lầm khi giải một số dạng toán Đại số lớp 9" tôi đã hệ thống một số dạng
bài tập học sinh thường dễ mắc sai lầm khi trình bày lời giải Với mỗi dạng tôi đềuđưa ra kiến thức cơ bản cần sử dụng và các ví dụ minh hoạ phù hợp Ngoài ra còn
có các dạng bài tập liên quan nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy học bộ môntoán, kích thích lòng say mê hứng thú trong toán học, phát triển tư duy độc lậpsáng tạo và năng lực tự học cho học sinh 9 bậc THCS Trong đề tài này tôi xin
Trang 3được đưa ra các giải pháp, biện pháp thực hiện mà tôi đã áp dụng thành công trongquá trình giảng dạy.
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1 Các dạng toán.
DẠNG 1: BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC.
Để làm được dạng bài toán rút gọn biểu thức chứa căn học sinh cần nắm vững kiếnthức: Điều kiện để căn thức có nghĩa, các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứacăn và đưa thừa số vào trong căn, đưa thừa số ra ngoài dấu căn, hằng đẳng thức
√A2= |A| , 7 hằng đẳng thức đáng nhớ ngoài ra các em còn phải nắm vững kỹnăng biến đổi các biểu thức vận dụng hợp lý các hằng đẳng thức đã học một cáchlinh hoạt Nếu bỏ qua một điều kiện nhỏ thì dẫn đến kết quả bài toán đó sẽ bị sai
x2− y2√3 ( x + y )2
Giáo viên: Bài toán này có 2 cách giải cách thứ nhất đưa biểu thức vào trong căn,
căn thứ hai đưa biểu thức ra ngoài dấu căn Ở bài toán này nếu áp dụng cách giảiđưa biểu thức ra ngoài dấu căn thì học sinh không mắc sai lầm nhưng khi áp dụngcách thứ 2 học sinh rất dễ mắc sai lầm đó là
Phân tích sai lầm: Học sinh không chú ý khi đưa biểu thức vào trong căn trong
phép biến đổi A√B=√A2B chỉ đúng khi A, B không âm
Vậy lời giải đúng là:
Trang 4Phân tích sai lầm: Nguyên nhân của sai lầm của bài này là học sinh không chú ý
xét điều kiện của biến khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Vậy lời giải đúng là:
9 x2 Với x> 0, y < 0Học sinh sẽ giải là 3 x
y6 với x <0, y > 0Học sinh sẽ giải là 11xy1 √121 x2
Trang 5Phân tích sai lầm: Nguyên nhân của sai lầm của bài này là học sinh không chú ý
xét điều kiện của biến khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Vậy lời giải đúng là:
Phân tích sai lầm: Bài toán này có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối nên học sinh rất
dễ mắc sai lầm ở chỗ không xét các khoảng giá trị của biến, chỉ xét x>0; x<0 hoặcx>2; x<2 mà không biết kết hợp các khoảng giá trị đó lại
Vậy lời giải đúng của bài toán là:
Trang 6Phân tích sai lầm: Kết quả của bài toán này không sai tuy nhiên nếu trình bầy như
vậy sẽ thiếu các bước giải và lài giải không chặt chẽ Vì học sinh đã không xét đếnđiều kiện của biến để √x −1 −2√x −2 có nghĩa
Phân tích sai lầm: Sai lầm của học sinh ở đây là không phân biệt được bài toán
vừa có chứa căn thức vừa có chứa dấu giá trị tuyệt đối, khi kết luận kết quả cuốicùng các em không kết hợp với điều kiện của căn thức có nghĩa đề loại đi giá trịkhông thích hợp
Trang 7Ví dụ 1: Cho biểu thức A=(1− a2):[ (1 −a√a
1+√a −√a) ]+1 với a≥0, a≠1
a Rút gọn biểu thức A
b Với giá trị nào của a thì |A| =A
Giải: a A=(1− a2):[ (1 −a 1 −√√a a+√a)(1+a1+√√a a −√a) ]+1 Điều kiện xác định a≥0, a≠1
Vậy với 0 ≤ a<1 thì |A| =A
Phân tích sai lầm: Bài toán này học sinh không bị mắc sai lầm khi rút gọn biểu
thức nhưng dễ mắc sai lầm câu b tìm các giá trị của a để |A| =A là khi giải xongkết luận luôn là a≤1 thì |A| =A mà không kết hợp với điều kiện xác định đã cho
Trang 8Phân tích sai lầm: Sai lầm của học sinh ở đây là khi kết luận không kết hợp với
điều kiện của x đã cho ở đầu bài là x≥ 0
Vậy khi giảng cho học sinh chúng ta phải chú ý để học sinh không mắc phải sailầm này
Kết luận đúng của bài là Vậy với 0 ≤ x <9
DẠNG 3: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2.
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
a Tìm điều kiện của biến thoả mãn các điều kiện về nghiệm của phương trình.
Phương pháp chung để giải dạng toán này là:
- Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi chúng thoả mãn
đồng thời hai điều kiện đó là:
¿
a≠ 0 Δ>0
¿ {
¿
Trang 9- Để phương trình bậc hai có một nghiệm kép khi và chỉ khi chúng thoả mãn đồng
thời hai điều kiện đó là:
¿
a ≠0 Δ=0
¿ {
¿
- Để phương trình vô nghiệm: Trong trường hợp này ta phải xét hai trường hợp
+ Nếu phương trình đó là phương trình bậc nhất
+ Nếu phương trình đó là phương trình bậc hai vô nghiệm khi
¿
a≠ 0 Δ<0
¿ {
¿
- Để phương trình có một nghiệm: Trong trường hợp này ta phải xét hai trườnghợp
+ Nếu phương trình đó là phương trình bậc nhất
+ Nếu phương trình đó là phương trình bậc hai có 1 nghiệm khi
¿
a ≠0 Δ=0
¿ {
¿
a Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình chỉ có 1 phần tử
Giải:
a Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi chúng thoả mãn
đông thời hai điều kiện đó là:
¿
a≠ 0 Δ>0
¿ {
¿
khi giải học sinh thường bỏ qua điều kiện để a ≠ 0 mà chỉ chú ý đến điều kiện ∆ >0
∆ = (m+1)2 – (m2 – m – 2) > 0 3m + 3 > 0 m > - 1
Và học sinh kết luận: Khi m > - 1 thì phương trình (m2 – m – 2) x2 + 2(m+1)x+1=
0 có hai nghiệm phân biệt
Vậy lời giải đúng ở đây là:
Trang 10Phương trình (m2 – m – 2)x2+2(m+1)x+1=0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
Phân tích sai lầm: Sai lầm học sinh ở đây cho rằng
nghiệm của phương trình đó chỉ có 1 phần tử khi và chỉ khi ∆ = 0 mà không xéttrường hợp phương trình (m2- m-2) x2 + 2(m+1)x+1 = 0 có thể là phương trình bậcnhất Như vậy học sinh sẽ bỏ sót các trường hợp
và chỉ khi ∆ = 0 3m + 3 = 0 m = - 1 và kết luận
Trang 11Phương trình m2 – m – 2) x2 + 2(m+1)x + 1 = 0 tập nghiệm có 1 phần tử khi và chỉkhi m = - 1.
Lời giải đúng là:
Để phương trình (m2 – m – 2) x2 + 2(m+1)x + 1 = 0 (*) tập nghiệm chỉ có 1 phần
từ khi và chỉ khi phương trình (*) là phương trình bậc nhất hoặc là phương trìnhbậc 2 có biệt số ∆ = 0
Với m = - 1 phương trình có dạng 0x + 1 = 0 phương trình vô nghiệm
Với m = 2 phương trình có dạng 6x + 1 = 0 phương trình có 1 nghiệm là x=−1
6Với m ≠ - 1 và m ≠ 2 phương trình (*) là phương trình bậc hai có 1 nghiệm kép khi
và chỉ khi ∆ = 0 3m + 3 = 0 m = - 1 trái với điều kiện m ≠ - 1
Vậy tập nghiệm của phương trình chỉ có 1 phần tử khi và chỉ khi m = 2
Bài toán này học sinh cũng rất dễ mắc sai lầm nữa là khi kết luận không loại bỏđiều kiện m ≠ - 1
Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho
a Có hai nghiệm phân biệt
b Vô nghiệm
Giải:
∆ = 9(m – 2)2 – m(4m – 7) = 9(m2 – 4m + 4) – 4m2 + 7m
= 9m2 – 36m + 36 – 4m2 + 7m = 5m2 – 29m + 36 = (m – 4)(5m – 9)
Phân tích sai lầm: Học sinh thường mắc phải ở dạng toán này cho rằng phương
trình (*) đã cho là phương trình bậc hai khi giải chỉ chú ý đến xét điều kiện củabiệt số ∆
Câu a: Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
¿
a≠ 0 Δ>0
¿ {
¿Sai lầm của học sinh là chỉ xét đến điều kiện ∆ > 0 tức là (m – 4)(5m – 9) > 0
Trang 125 như vậy bài toán này bị sai vì còn điều kiện m ≠ 0 chưa được xét đến.
biệt khi:
Trang 13Câu b: Phân tích sai lầm: Ở câu b học sinh dễ mắc hai sai lầm.
Sai lầm thứ nhất không xét đến điều kiện của hệ số a có chứa biến
Sai lầm thứ 2 nếu xét đến thì chỉ xét điều kiện hệ số a ≠ 0 tức là các em cho rằngphương trình đó đã là phương trình bậc 2
∆ < 0 tức là (m – 4)(5m – 9) < 0 như vậy lời giải bài toán không chặt chẽ
Trang 14Lời giải đúng là:
Nếu m = 0 phương trình đã cho có dạng -12x – 7= 0 ⇔ x= −7
12 luôn có 1 nghiệm.Nếu m ≠ 0 phương trình đã cho là phương trình bậc hai vô nghiêm khi ∆ < 0 Tức là
Trang 15Phương trình (*) vô nghiệm khi và chỉ khi 59<m<4 thoã mãn điều kiện m ≠ 0
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của k để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt.
a kx2 – 2(k – 1) x + k + 1 = 0
b x2 – 4x + k = 0 ( k nguyên dương)
c 2x2 – 6x + k + 7 = 0 (k nguyên âm)
Giải:
Phân tích sai lầm: Ở câu a khi giải bài toán dạng này học sinh thường mắc những
sai lầm là không chú ý đến điều kiện để phương trình đã cho là phương trình bậc
Trang 16hai ở câu b và câu c học sinh thường không chú ý đến điều kiện k là số nguyêndương và k là số nguyên âm.
a Phương trình kx2 – 2(k – 1) x + k + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
∆’>0 (k – 1)2 – k(k + 1) > 0 k2 – 2k + 1 – k2 – k> 0 - 3k + 1> 0
k > −1
Kết luận với mọi k > −1
3 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
b Phương trình x2 – 4x + k = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆’>0
∆’ = 4 – k > 0 k < 4
Sai lầm ở đây không kết hợp điều kiện k là số nguyên dương
trình x2 – 4x + k = 0 có hai nghiệm phân biệt
Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:
(m2 – m)x2 + 2mx + 1 = 0 (*)
Giải:Phân tích sai lầm: Sai lầm của học sinh thường mắc phải ở dạng bài toán
này là cho rằng phương trình đã cho là phương trình bậc hai mà không xét đến điềukiện của hệ số a để có thể phương trình là phương trình bậc nhất
a Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi ∆’≥0
Tức là ∆’= m2 – (m2 – m) = m2 – m2 + m = m
Kết luận: Phương trình (*) Có nghiệm khi và chi khi m≥0
Trang 17Lời giải đúng là:
a.Phương trình đã cho có: a = m2 – m; b = 2m; c = 1
Nếu a = 0
⇔ m=0
Nếu m = 1 phương trình (*) có dạng 2x + 1 = 0 có 1 nghiệm x=−1
2Nếu m ≠ 0và m≠ 1 Phương trình (*) là phương trình bậc hai có nghiệm nếu ∆’≥0
∆’ = m2 – (m2 – m) = m; ∆’≥0 m ≥0
Một sai lầm nữa học sinh thường mắc ở bài toán này khi kết luận không loại bỏđiều kiện m ≠ 0
Kết luận: Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi m>0.
Ví dụ 5: Tìm các giá trị của n để phương trình sau có nghiệm:
(n + 1)x2 – 2x + (n – 1) = 0
Giải:
Sai lầm của học sinh tương tự như ví dụ 4 Học sinh cho rằng phương trình đã cho
là phương trình bậc hai có nghiệm khi ∆’≥0
Trang 18Lời giải đúng là:
Với n = - 1 phương trình có dạng -2x – 2 = 0 có 1 nghiệm x = -1
Với n ≠ - 1 phương trình là phương trình bậc hai có nghiệm khi ∆’≥0
giáo viên cần lưu ý với các em rằng vì trường hợp n = - 1 cũng nằm trong khoảng
Trang 19Lưu ý chung: Khi giải dạng toán này trước hết phải xét các giá trị để phương trình
là phương trình bậc hai, phương trình là phương trình bậc nhất
Bài toán này học sinh có thể mắc sai lầm ở chỗ cho rằng phương trình đã cho làphương trình bậc hai có nghiệm khi ∆’ ≥ 0 rồi kết luận
của a và b
Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m.
x2 – (3m2 – 5m + 1)x – (m2 – 4m + 5) = 0 (*)
Giải:
Nếu a.c ≤ 0 mà a ≠ 0 ta cũng có ∆ ≥ 0 Vì ∆ = b2 – 4ac do b2 ≥ 0 nếu ac <0 4a.c> 0 thì ∆ = b2 – 4ac >0
-Như vậy để chứng minh cho phương trình bậc hai có nghiệm ta có thể vận dụngchứng minh tích a.c <0
Với bài toán này ta có thể vận dụng chứng tỏ a.c < 0 thì phương trình có nghiệmvới mọi giá trị của m
Giáo viên: Tuy nhiên chỉ với điều kiện a.c ≤ 0
chưa đảm bảo phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm
Trang 20Ví dụ ta xét phương trình m2 x2 – mx – 2 = 0
Ta có a.c = -2m2≤ 0 nhưng với m = 0 thì phương trình trở thành 0x = 2 vô nghiệm.Như vậy khi gặp trường hợp a.c≤ 0 ta phải xét cả hai trường hợp a a ≠ 0 và a = 0
Bài tập áp dụng:
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị a và b.
a 3x2 – 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0
b x2 + (a + b)x – 2(a2 – ab + b2) = 0
Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho:
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = c a
Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x1 = - 1; x2 = − c
¿ {
¿ hoặc
¿
Δ'>0 P<0
¿ { {
¿ hoặc
¿
Δ'>0
S >0 P<0
¿ { {
¿
Trang 21+ Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi
¿
Δ>0
S <0 P<0
¿ { {
¿ hoặc
¿
Δ'>0
S <0 P<0
¿ {
¿ hoặc
¿
Δ' ≥ 0 P>0
b Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3
c Tìm 1 hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m
a Học sinh giải: Để phương trinh (*) có hai nghiệm trái dấu khi
Nguyên nhân của sai lầm này là học sinh cho rằng phương trình (*) đã có nghiệm
và chỉ xét điều kiện để hai nghiệm của phương trình trái dấu mà không xét đến điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Lời giải đúng là:
Trang 22tuyệt đối lớn hơn.
b Xác định m để các nghiệm của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3
Trang 23(m- 5m2 + 8m – 10m – 16 = 9m2 – 36m 4m2 - 34m + 16 = 0
2m2 - 17m + 8 = 0 giải phương trình với ẩn m ta tìm được m1= 8; m2 = 12Vậy m= 8 hoặc m = 12 thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn x1 + 4x2 = 3
Phân tích sai lầm: Học sinh quên điều kiện để phương trình (*) là phương trình
bậc hai và điều kiện để phương trình có hai nghiệm m≥ −1
6 nên khi giải xong các em không đối chiếu với điều kiện để kết luận vẫn kết luận với m1= 8; m2 =1
2 thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn x1 + 4x2 = 3