Dạy học giải toán cực trị hình học cho học sinh trung học phổ thông

Giả thuyết khoa học Trên cơ sở lý luận và thực tiễn, có thể đề xuất được một số biện pháp sư phạm và nếu vận dụng các biện pháp này trong quá trình dạy học chủ đề "Cực trị hình học" thì

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRỊNH THANH HẢI

THÁI NGUYÊN - 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Văn Điệp

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong và ngoài Đại học Sư

phạm-Đại học Thái Nguyên đã hỗ trợ, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả theo học lớp cao học cũng như đã đưa ra những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận văn

Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS

TS Trịnh Thanh Hải người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian qua

Tác giả xin trân trọng cám ơn sự tạo điều kiện, giúp đỡ từ phía Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo và học sinh Trường THPT Thuận Thành số 2, Bắc Ninh

Cuối cùng, tác giả xin chân thành cám ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình luôn động viên, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này

Do điều kiện chủ quan và khách quan, bản luận văn chắc chắn còn thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến phản hồi để tiếp tục hoàn thiện, nâng cao

chất lượng luận văn

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 4 năm 2017

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT iv

DANH MỤC BẢNG, BIỂU ĐỒ v

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Khách thể, đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Giả thuyết khoa học 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Kết quả của luận văn 4

8 Cấu trúc của luận văn 4

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Năng lực giải toán của học sinh THPT 5

1.1.1 Quan niệm về năng lực 5

1.1.2 Năng lực giải toán 6

1.1 3 Phát triển năng lực giải toán cho học sinh THPT 7

1.1.4 Năng lực giải toán cực trị 8

1.2 Dạy học giải toán 11

1.2.1 Bài toán 11

1.2.2 Các yêu cầu đối với lời giải 12

1.2.3 Phương pháp chung để dạy học giải toán 13

1.2.4 Thủ pháp, thủ pháp hoạt động nhận thức 15

1.3 Nội dung “Cực trị hình học” trong chương trình toán THPT 20

1.3.1 Các bài toán cực trị hình học 20

1.3.2 Mục đích, chuẩn kiến thức, kỹ năng của chủ đề "Cực trị hình học" 21

1.3.3 Nội dung “Cực trị hình học” trong chương trình Toán THPT 23

1.3.4 Một số kỹ năng cơ bản để giải toán hình học không gian 24

1.4 Thực trạng việc phát triển năng lực giải toán "Cực trị hình học" cho HS ở trường THPT 25

1.4.1 Mục đích khảo sát 25

1.4.2 Đối tượng khảo sát 25

1.4.3 Kết quả khảo sát 25

Tiểu kết chương 1 27

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI TOÁN "CỰC TRỊ HÌNH HỌC" THEO ĐỊNH HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HS THPT 28

2.1 Một số định hướng xây dựng các biện pháp 28

2.2 Một số biện pháp sư phạm 30

2.2.1 Biện pháp 1 Hướng dẫn, tổ chức cho HS thực hiện các thao tác tư duy trong giải toán 30

2.2.2 Biện pháp 2 Phát huy, khơi dậy tiềm năng kiến thức của HS thông qua phép quy lạ về quen và biến đổi vấn đề để tìm lời giải bài toán 35

2.2.3 Biện pháp 3 Trang bị cho học sinh một số “thủ pháp” thường dùng để giải bài toán “Cực trị hình học” 48

2.2.4 Biện pháp 4 Khai thác yếu tố thực tiễn trong giải toán cực trị hình học 72

2.2.5 Biện pháp 5 Xây dựng hệ thống bài tập tự luyện giúp HS củng cố, rèn luyện năng lực giải toán cực trị hình học 78

Tiểu kết chương 2 79

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 81

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 81

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 81

3.2.1 Nội dung thực nghiệm sư phạm 81

3.2.2 Chuẩn bị tài liệu thực nghiệm sư phạm 81

3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 82

3.4 Hình thức tổ chức thực nghiệm 82

3.5 Đánh giá thực nghiệm sư phạm 83

3.5.1 Phân tích định tính 83

3 5.2 Phân tích định lượng 83

Tiểu kết chương 3 91

KẾT LUẬN 92

TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 PHỤ LỤC

DANH M ỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Kí hi ệu, viết tắt Vi ết đầy đủ

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

“Giáo dục đào tạo có sứ mệnh nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực,

b ồi dưỡng nhân tài, góp phần quan trọng phát triển đất nước, xây dựng nền văn hóa

và con người Việt Nam Phát triển giáo dục và đào tạo cùng với phát triển khoa học công ngh ệ là quốc sách hàng đầu, đầu tư cho giáo dục là đầu tư cho phát triển”,

Trích Nghị quyết Đại hội Đảng khóa XI

Trong nghị quyết Trung Ương 4 khóa VII, mục tiêu của giáo dục đào tạo đã

được xác định “Đào tạo những con người lao động tự chủ, năng động sáng tạo, có

năng lực giải quyết các vấn đề thực tiễn đặt ra”

“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng t ạo của HS, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp t ự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh” Luật giáo dục sửa đổi năm 2005

Như vậy, quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học đã khẳng định, cốt lõi của việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động

Do đó đổi mới PPDH theo hướng phát triển năng lực giải toán cho HS là rất quan trọng và cần thiết, nhiệm vụ của giáo viên không phải chỉ là cung cấp tri thức

mà còn giúp HS phát triển khả năng tư duy, giúp HS tự giác, tích cực, chủ động sáng

tạo trong học tập

Ở trường phổ thông, Toán học là môn học nền tảng cho nhiều môn học khác, đồng thời là một trong các môn học có tính chất quyết định nghề nghiệp trong tương lai với đa số học sinh Thí dụ như hầu hết các khối thi vào các trường ĐH, CĐ các thí sinh đều phải trải qua thi toán hay kiểm tra năng lực toán ở trường ĐH QGHN những năm gần đây Bởi vậy toán học có vị trí hàng đầu trong giáo dục phổ thông, dạy toán

là dạy các hoạt động toán học Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt quan trọng trong

dạy học Toán Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong

việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo Giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán Do đó, tổ

chức có hiệu quả việc dạy học giải toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy

học Toán

Trong toán học, hình học vốn đã hấp dẫn học sinh bởi tính trực quan của nó Chúng ta không thể phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng to lớn của hình học trong việc rèn luyện tư duy toán học, một phẩm chất rất cần thiết cho hoạt động sáng tạo của con người nói chung và của học sinh nói riêng Tuy nhiên, học toán mà đặc biệt là môn

nhân của những khó khăn đó là:

- HS chưa nắm vững các khái niệm cơ bản, các định lí, tính chất của các hình hình học Một số HS không biết cách vận dụng các kiến thức ấy như thế nào vào việc

giải bài tập

- Sách giáo khoa cung cấp cho HS một hệ thống đầy đủ các kiến thức cơ bản, nhưng chưa thể truyền tải các kiến thức đó đến các em một cách sâu đậm nếu không có bàn tay chế biến của của người giáo viên Hơn nữa, khi HS phải tiếp xúc

với các bài toán, các chuyên đề toán nâng cao, mà người giáo viên chưa kịp trang

bị đủ các kĩ năng cần thiết để giải toán thì sẽ dẫn đến tâm lí chán nản, buông xuôi

ở nhiều học sinh

- Đối với các bài toán hình học không gian, ngoài các bài toán về chứng minh, các bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán tính góc, khoảng cách còn có bài

toán “ cực trị hình học” (hay còn gọi là các bài toán tìm GTLN,GTNN trong hình học

không gian) Đây là những dạng toán khó, hấp dẫn, thường gặp trong trong các câu

hỏi khó của các đề thi THPT QG, thi chọn HSG cấp tỉnh, thi Olympic 30/4

Xuất phát từ những vấn đề trên nhằm giúp HS có định hướng chung ban đầu khi gặp các bài toán về cực trị hình học, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Dạy học giải

toán C ực trị hình học cho học sinh THPT”

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hóa một số vấn đề lý luận về dạy học giải toán, từ đó xác định được

thông qua dạy học chủ đề “Cực trị hình học”

3 Khách thể, đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn toán ở lớp 11,12 THPT

Đối tượng nghiên cứu: Các biện pháp phát triển năng lực giải toán trong quá trình dạy học chủ đề “Cực trị hình học” cho HS lớp 11,12 THPT

Giới hạn đối tượng học sinh: HS lớp 11, 12 ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Bắc Ninh

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống hóa một số vấn đề lý luận liên quan trực tiếp đến hướng nghiên cứu

của đề tài như: Dạy học giải bài tập; năng lực giải toán; tự học; dạy học phân hóa

- Tìm hiểu thực tiễn về việc dạy học giải toán trong quá trình dạy học nội dung “Cực trị hình học” ở một số trường THPT trên địa bàn huyện Thuận Thành,

tỉnh Bắc Ninh

giải toán cho HS trong quá trình dạy học chủ đề "Cực trị hình học" cho HS lớp 11,

12 THPT

-Tổ chức thử nghiệm để tìm hiểu tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề ra

5 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở lý luận và thực tiễn, có thể đề xuất được một số biện pháp sư phạm

và nếu vận dụng các biện pháp này trong quá trình dạy học chủ đề "Cực trị hình học" thì sẽ góp phần nâng cao năng lực giải toán cho HS lớp 11, 12 THPT

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến vấn đề đổi mới PPDH, dạy học giải bài tập, năng lực giải toán cho HS, dạy học phân hóa

6.2 Quan sát, điều tra

Phát phiếu điều tra, quan sát các hoạt động dạy và học, trao đổi với GV và HS

để tìm hiểu tình hình bồi dưỡng năng lực giải bài tập ở trường THPT

6.3 Phương pháp chuyên gia

Xin ý kiến chuyên gia trong lĩnh vực giáo dục học và GV dạy học toán ở trường THPT

6.4 Phương pháp nghiên cứu trường hợp

Theo dõi, phân tích và đánh giá kết quả tự học và kỹ năng giải toán của một số

HS, tham gia thử nghiệm sư phạm để thấy rõ tác động của các biện pháp sư phạm đối với các đối tượng HS khá, giỏi

7 K ết quả của luận văn

Hệ thống lại một số vấn đề liên quan đến dạy học giải bài tập và bồi dưỡng năng lực giải Toán cho HS

Đề xuất được nguyên tắc, biện pháp sư phạm góp phần phát triển năng lực giải toán cho HS lớp 11, 12 THPT thông qua quá trình dạy học chủ đề "Cực trị hình học"

Đề xuất một hệ thống các bài tập có chọn lọc về chủ đề “Cực trị hình học” để làm tài liệu giảng dạy và cho HS tự học

8 C ấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục, nội dung luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp dạy học giải toán “cực trị hình học” theo định

hướng bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS THPT

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Năng lực giải toán của học sinh THPT

1.1.1 Quan niệm về năng lực

h ọc hiện đại có viết: “Khái niệm giáo dục và khái niệm năng lực có một định hướng

thống nhất: Con người với tất cả các mặt nhân cách cơ bản của nó đều là tâm điểm

của hai khái niệm này Vấn đề xoay quanh tri thức, kĩ năng, thái độ và giá trị Hình ảnh về Immanuel Kant (1724-1804) ở Châu Âu với những tư tưởng khai sáng và dân

chủ, nó có ảnh hưởng đến khái niệm giáo dục nhằm mục tiêu khai phóng

Khác với khái niệm giáo dục được kết nối với hình ảnh con người là khái niệm năng lực có khuynh hướng trung lập Nó lưu ý đến các giá trị, nhưng không quy định chúng cần mang đặc trưng nào Mặt khác, năng lực không thể có được thông qua dạy,

mà ph ải thông qua học và luyện tập

Khái niệm năng lực (competency) có nguồn gốc tiếng Latinh “competentia” Ngày nay khái niệm năng lực được hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau Năng lực được

hiểu như sự thành thạo, khả năng thực hiện của cá nhân đối với một công việc

Năng lực bao gồm các kiến thức, kĩ năng cũng như quan điểm và thái độ mà

một cá nhân có thể có để hành động thành công trong các tình huống mới

Năng lực là “khả năng giải quyết” và mang nội dung khả năng và sự sẵn sàng

để giải quyết các tình huống

kh ả năng, được quy định bởi giá trị, được tăng cường qua kinh nghiệm và được hiện

th ực hóa qua ý trí”

c ủa cá nhận nhằm giải quyết các tình huống xác định, cũng như sự sẵn sàng về động

cơ, xã hội và khả năng vận dụng các cách giải quyết vấn đề một cách có trách nhiệm

và hi ệu quả trong những tình huống linh hoạt”

Năng lực là khả năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động,

gi ải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống thuộc lĩnh vực nghề nghiệp,

xã h ội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo và kinh nghiệm cũng như sự

s ẵn sàng hành động”

Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng với quan niệm: “Năng lực là khả

năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm

v ụ, vấn đề trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã

h ội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự

s ẵn sàng hành động”[1, tr.66]

1.1.2 Năng lực giải toán

Năng lực giải toán nói riêng hay năng lực chuyên môn nói chung là khả năng

tiếp nhận thông qua việc học nội dung-chuyên môn và chủ yếu gắn với các khả năng

nhận thức và tâm lý hành động

Trong bài tổng luận của tác giả Trần Thúc Trình “Nhìn lại lịch sử cải cách nội

dung và phương pháp dạy - học toán ở trường phổ thông trên thế giới trong thế kỉ XX”

[13], tác giả đã đưa ra mười chỉ tiêu năng lực là:

1) Năng lực phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán và các khái niệm;

2) Năng lực tính nhanh và cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu;

3) Năng lực dịch chuyển các dữ kiện thành kí hiệu;

4) Năng lực biểu diễn dữ kiện thành kí hiệu;

5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;

6) Năng lực xây dựng một chứng minh;

7) Năng lực giải một bài toán đã toán học hóa;

8) Năng lực giải một bài toán chưa toán học hóa;

9) Năng lực khái quát hóa toán học;

10) Năng lực phân tích bài toán, xác định các phép toán có thể áp dụng để giải

Như vậy, năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của học sinh, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong môn Toán.

1.1.3 Phát triển năng lực giải toán cho học sinh THPT

Năng lực giải bài tập toán học là một thể hiện của năng lực Toán học Đó

là đặc điểm tâm lý cá nhân của con người, đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó Năng lực

giải bài tập toán học là khả năng vận dụng những kiến thức toán học đã được lựa chọn vào hoạt động giải bài tập toán học

Tri thức toán học không phải được cho sẵn mà phải được kiến tạo, xây dựng bắt đầu từ hoạt động giải toán Học sinh tự mình xây dựng các kiến thức toán

học thông qua hoạt động giải các bài tập toán học Quá trình học sinh xây dựng

và chiếm lĩnh kiến thức toán học, hình thành nên năng lực giải bài tập toán học của mình

Theo Nguyễn Bá Kim [16]: “Bài tập toán học là giá mang hoạt động học tập

c ủa học sinh ” Giải bài tập toán là mục đích của việc dạy học toán Bài tập còn

là phương tiện để giáo viên cài đặt các nội dung cần dạy hoặc cần bổ sung cho phần

lý thuyết Nếu khai thác tốt hệ thống bài tập sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển năng lực giải toán của học sinh Điều quan trọng trong dạy học giải bài tập toán cho học sinh là hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài tập, thể hiện qua cách suy nghĩ, các hoạt động trí tuệ: tìm tòi, dự đoán, quy lạ về quen, khái quát hóa, tương

tự hóa, Mặt khác, giáo viên cần xây dựng một số tình huống buộc học sinh phải

sử dụng một số quy tắc, phương pháp giải toán đã học Các thành phần của năng lực giải toán gồm: năng lực phân tích tổng hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận logic, năng lực rút gọn quá trình suy luận, năng lực tư duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, trí nhớ toán học, Năng lực giải toán của học sinh sẽ phát triển dưới tác động của các biện pháp “hoạt động hóa” người học Năng lực giải bài

tập toán học của học sinh được thể hiện qua các dấu hiệu sau:

Th ứ nhất, biết nhìn nhận, hiểu bài toán

Th ứ hai, biết định hướng giải bài toán một cách rõ ràng

Th ứ ba, biết trình bày lời giải bài toán một cách chính xác

Th ứ tư, biết phân tích lời giải bài toán

Để có được năng lực giải bài tập toán học, học sinh cần được rèn luyện về các khả năng tư duy sau: tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, tổng quát hóa,

tư duy thuật giải, tư duy logic, tư duy phê phán, tư duy hội thoại có phê phán, tư duy hàm, tư duy sáng tạo, Trong giải bài tập toán học, các loại hình tư duy đó được rèn luyện qua bốn bước giải toán của G.Polya: “Tìm hiểu bài toán, tìm hướng giải

bài toán, trình bày l ời giải bài toán, nghiên cứu sâu lời giải” Bàn về năng lực, cũng

có ý kiến cho rằng: Năng lực là do thượng đế ban cho Song nhiều ý kiến cho rằng đó

chỉ là phần nhỏ, còn phần nhiều là do sự tích lũy, sự bồi đắp, sự học hỏi, sự rèn luyện

mà có Quá trình học tập học sinh sẽ được bổ sung kiến thức, được trang bị các phương pháp từ đó năng lực giải toán được tăng lên Một phần do học sinh có ý thức

tự tăng thêm năng lực cho mình, một phần do các thầy cô giáo hướng dẫn và bồi dưỡng Chính vì vậy chúng tôi rất đề cao các bài ôn tập, bởi chúng đã góp phần không nhỏ trong việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh

Tóm lại, để phát triển năng lực giải toán cho học sinh, phương pháp tốt

nh ất là đưa ra một hệ thống bài tập nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển

tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn

1.1.4 Năng lực giải toán cực trị

1.1.4.1 Năng lực giải toán cực trị

Năng lực không mang tính chung chung mà khi bàn về năng lực, bao giờ người ta cũng nói đến năng lực thuộc về một hoạt động cụ thể nào đó, chẳng hạn năng lực Toán học của hoạt động học tập hay nghiên cứu Toán học, năng lực hoạt động chính trị của hoạt động chính trị, năng lực giảng dạy của hoạt động giảng dạy

Trong hoạt động học Toán, mỗi vấn đề cần tối ưu được biểu thị thành các câu

hỏi, yêu cầu bài toán chưa có sẵn lời giải thích hoặc cách thực hiện Để giải quyết

được nhiệm vụ học Toán, tối ưu hóa các tình huống Toán học học sinh cần phải tiến

định lý và giải bài tập Toán

Năng lực giải toán cực trị trong Toán học của học sinh được biểu hiện như sau: + Khả năng tiếp cận và phát hiện vấn đề cần tối ưu trong bài toán: Vấn đề thường được giáo viên đưa ra hoặc do học sinh tự phát hiện Có một mối liên hệ chặt

sinh có được cái nhìn bên trong của vấn đề thì sẽ hình thành cho học sinh cách phát hiện và giải quyết vấn đề của riêng mình

+ Khả năng định hướng giải toán: Việc sắp xếp thông tin sao cho chúng trở thành có nghĩa, đòi hỏi học sinh kỹ năng tổ chức lại các dữ kiện, mối quan hệ dưới

dạng hình vẽ, bảng, biểu Những thao tác này, cùng với việc huy động các kiến thức

đã có thể dẫn đến một sự phỏng đoán, từ đó mà học sinh phát hiện và định hướng được quá trình giải toán tìm ra điểm để bài toán được tối ưu hóa

+ Khả năng lựa chọn giải pháp và thực hiện giải pháp: Với mỗi bài toán hay

vấn đề, có thể có nhiều giải pháp, giáo viên không chỉ giúp học sinh sử dụng kỹ năng

để phát hiện các giải pháp, mà còn biết chọn giải pháp hợp lí nhất

+ Khả năng phân tích kết quả và phát triển vấn đề: Sự phát triển thể hiện ở chỗ, giúp học sinh phát hiện phương pháp khác để giải quyết bài toán, biết ứng dụng vào tình huống mới, tạo ra bài toán từ bài toán gốc, giải thích cách đạt được kết quả

Từ những nghiên cứu về năng lực giải toán cực trị, vận dụng vào thực tiễn dạy

học môn Toán ở trường phổ thông, chúng tôi quan niệm: Năng lực giải toán cực trị

hình h ọc của học sinh trong học Toán học là một tổ hợp các năng lực thể hiện ở các

kh ả năng tối ưu hóa (thao tác tư duy và hành động) trong hoạt động học tập nhằm phát hi ện và giải quyết có hiệu quả những nhiệm vụ giải quyết các bài toán cực trị 1.1.4.2 Năng lực giải toán cực trị và mối quan hệ với các năng lực khác

Năng lực giải toán cực trị là một trong những thành phần quan trọng hình thành nên năng lực học toán ở học sinh Nó xuyên suốt trong quá trình học tập và đóng vai trò quyết định hình thành nên các năng lực khác ở học sinh như: Năng lực học khái niệm, định nghĩa; Năng lực suy luận; Năng lực chứng minh định lí, hệ quả;

Năng lực giải toán Ngược lại, nếu học sinh có năng lực học toán thì các em có rất nhiều thuận lợi trong việc phát hiện và giải quyết vấn đề đặt ra

+Trong Toán học, năng lực giải toán cực trị có thể xem xét, nghiên cứu theo đặc thù từng phân môn: Đại số, Hình học Chúng có những biểu hiện riêng gắn với tính chất các hoạt động tương ứng ở mỗi phân môn, đồng thời có mối liên hệ chặt chẽ tương hỗ lẫn nhau, tạo nên năng lực giải toán cực trị và năng lực học Toán thông qua quá trình dạy học Toán

+ Xét ở phạm vi của thực tiễn cuộc sống (mỗi học sinh phải tự nhận biết và

giải quyết tối ưu những vấn đề xảy ra đối với bản thân) do đó năng lực giải toán cực

trị có cấu trúc phức tạp gồm nhiều thành phần, có vai trò sâu rộng trong năng lực học

tập (nói riêng là năng lực giải toán)

+ Năng lực tư duy sáng tạo đòi hỏi sự phát triển của năng lực giải toán cực trị

ở mức độ cao

+ Ở các nhà Toán học nổi tiếng, năng lực sáng tạo Toán học là sự phát triển năng lực Toán học, năng lực tối ưu hóa các vấn đề ở mức độ cao dựa trên cơ sở quan

trọng là tài năng đặc biệt (yếu tố bẩm sinh)

1.1.4.3 Các c ấp độ để xây dựng hệ thống bài tập nhằm phát triển năng lực giải toán

c ực trị

- Các bài t ập tái hiện: Yêu cầu sự hiểu và tái hiện tri thức Bài tập tái hiện không

phải là bài tập trọng tâm của viện định hướng phát triển năng lực giải toán cực trị

- Các bài t ập vận dụng tương tự : Các bài tập vận dụng những kiến thức

trong các tình huống không thay đổi Các bài tập này nhằm củng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng cơ bản, chưa đòi hỏi sự sáng tạo

- Các bài t ập vận dụng sáng tạo: Các bài tập đòi hỏi sự phân tích, tổng hợp,

đánh giá, vận dụng kiến thức vào tình huống thay đổi, giải quyết vấn đề Dạng bài tập này đổi hỏi sự sáng tạo của người học

- G ắn quá trình giải toán với bối cảnh, tình huống thực tiễn: Các bài tập

vận dụng và giải quyết vấn đề cần chú ý gắn với các vấn đề với bối cảnh và tình

huống thực tiễn

Những bài tập này là những bài tập mở, tạo cơ hội cho nhiều cách tiếp cận, nhiều con đường giải quyết khác nhau

1.2 Dạy học giải toán

1.2.1 Bài toán

1.2.1.1 Các quan niệm khác nhau về bài toán

Theo Astolar chia bài toán thành hai loại là bài toán chứng minh và bài toán tìm tòi:

Bài toán chứng minh mệnh đề từ giả thiết là sự đòi hỏi tìm một dãy hữu

hạn các mệnh đề thỏa mãn hai điều kiện:

i) Mệnh đề cuối cùng của dãy chính là mệnh đề

ii) Mỗi mệnh đề của dãy hoặc là tiên đề, hoặc là một định nghĩa hoặc là một định lý hoặc là được rút ra từ những mệnh đề đứng trước nó trong dãy nhờ một quy

tắc suy luận logic, hoặc là một phần tử của

Bài toán tìm tòi là bài toán đòi hỏi tìm miền đúng của hàm mệnh đề

Theo G Polya bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách giải có ý

thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không đạt ngay được

Theo Fanghonel: Bài toán là sự đòi hỏi hành động trong đó quy định:

Đối tượng của hành động - cái đã cho

Mục đích của hành động-Cái phải tìm

Các điều kiện của hành động – Mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm Theo Rubinstein: “…về bản chất, một bài toán là sự phát biểu bằng lời của

một vấn đề”

đích nào đó Mục đích nêu trong bài toán có thể là một tập hợp bất kì (của các số, các hình, các biểu thức…) sự đúng đắn hoặc sai lầm của một hoặc nhiều kết luận

Theo Hà Sĩ Hồ: Có sự khác biệt giữa bài tập và bài toán, giữa bài tập và vần đề Còn bài tập không là vấn đề mà chỉ là yêu cầu hành động Bài tập là bài toán đã xử lí

về mặt sư phạm Sự phân biệt giữa bài tập và bài toán là ở mức độ có tính chất vấn đề hay như tầm nhìn chiến thuật và chiến lược

Tóm lại, bằng cách tiếp cận khác khau các tác giả có cách hiểu khác nhau về bài toán, bài tập toán học Mỗi cách tiếp cận đều cho biết những đặc trưng cơ bản của khái niệm này Theo chúng tôi việc đưa ra một định nghĩa đầy đủ, đảm bảo yêu cầu logic của định nghĩa khái niệm về khái niệm này là cần thiết, nhất là về phương diện

lý luận Nhưng trong khuôn khổ của đề tài này tác giả đề nghị hiểu bài toán như cách

hiểu của nhóm tác giả Trần Văn Vuông, Vũ Đức Mại Với cách hiểu đơn giản này, đề tài không đề cập nhiều tới vấn đề lý luận, mà chỉ xoay quanh quan niệm coi bài toán là phương tiện cơ bản dạy học toán và dạy học giải bài toán là một tình huống điển hình trong dạy học toán

1.2.1.2 Các yếu tố cơ bản của bài toán

Mục đích của bài toán tìm tòi là tìm ra một đối tượng nào đó là cái chưa biết của bài toán, cái chưa biết còn gọi là cái phải tìm, là ẩn, là cái mà người ta đòi hỏi Trong một số bài toán đại số sơ cấp cái chưa biết là một số, một đa thức…trong một

số bài toán hình học cái chưa biết có thể là một hình nào đó

Mục đích của bài toán chứng minh là khẳng định hoặc bác bỏ tính chân thực của một mệnh đề được diễn tả bởi bài toán

Yếu tố chính của bài toán tìm tòi là cái chưa biết, những cái đã biết và các điều kiện của bài toán

Yếu tố chính của bài toán chứng minh (dạng thông thường nhất) là giả thiết

và kết luận của mệnh đề được diễn tả bằng bài toán mà ta cần chứng minh hay bác

bằng từ “thì”

1.2.2 Các yêu cầu đối với lời giải

hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và

tốt Nói như vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng Để thuận tiện cho

việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá HS, có thể

cụ thể hóa các yêu cầu như sau:

1.2.2.1 Kết quả phải đúng, kể cả ở bước trung gian

Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình

vẽ, thoả mãn các yêu cầu đề ra Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức,

1.2.2.2 Lập luận chặt chẽ

Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:

- Luận đề phải nhất quán (không được đánh tráo luận đề)

- Luận cứ phải đúng

- Luận chứng phải hợp lôgic

1.2.2.3 Lời giải đầy đủ

Yêu cầu này có nghĩa là lời giải phải không được bỏ sót một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào Cụ thể là giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào,

1.2.2.4 Ngôn ngữ chính xác

Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn Việc dạy học môn Toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này

1.2.2.5 Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu

tố (chữ số, hình, kí hiệu, ) trong lời giải

1.2.2.6 Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất

Ngoài các yêu cầu trên, cần khuyến khích HS tìm ra nhiều cách giải cho cùng

một bài toán, phân tích, so sánh những cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các lời giải đã tìm được

1.2.2.7 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Từ yêu cầu 1 đến 4 là yêu cầu cơ bản, 5 là yêu cầu trình bày, 6, 7 là yêu cầu nâng cao

1.2.3 Phương pháp chung để dạy học giải toán

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G Polya về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tế dạy học, Nguyễn Bá Kim [16]

có nêu nên phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

 Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?

 Hãy vẽ hình, hãy sử dụng kí hiệu thích hợp

 Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điều kiện đó thành công thức hay không?

 Có thể phát biểu bài toán đó một cách khác hay không? Một cách khác nữa? Quay về những định nghĩa

 Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán có liên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Bạn có thể giải một phần bài toán hay không? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó cái cần tìm được xác định đến một trừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm hay không? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?

 Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều kiện hay chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

 Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗi bước đều đúng? Bạn có kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán đó hay không?

 Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp ngay kết quả không?

 Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ra lời giải ngắn gọn và hợp lý nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

 Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ nêu ở bước 2

 Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện, những yếu tố lệch lạc nhất thời và điều chỉnh những chỗ cần thiết

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác không?

1.2.4 Thủ pháp, thủ pháp hoạt động nhận thức

1.2.4.1 Thủ pháp

Theo từ điển Tiếng Việt [20], “Thủ pháp là cách thể hiện một ý định, một mục

đích cụ thể nào đó” Như vậy, ở đây thủ pháp là một danh từ chỉ cách thức con người

thực hiện để làm một việc gì hay là phương thức của hoạt động

Nhà ngôn ngữ học Nguyễn Thiện Giáp cho rằng [5], "Thủ pháp là một hệ thống

các nguyên t ắc xác định cách nghiên cứu để đạt tới tri thức mới trong một khoa học"

Theo tác giả Phan Dũng [3, tr.19], "Trong bất kì lĩnh vực nào, thông qua việc

gi ải thành công nhiều bài toán, người ta có thể rút ra những kinh nghiệm, bí quyết,

m ẹo, giúp giải quyết các vấn đề trong lĩnh vực đó nhanh hơn, hiệu quả hơn" Những

kinh nghiệm, bí quyết, mẹo như vậy được gọi là thủ pháp (thủ thuật)

Như vậy, từ “thủ pháp” được dùng trong Tiếng Việt ở nhiều tình huống khác nhau nhưng hầu hết đều mang tính nghệ thuật, khéo léo, độc đáo để giải quyết vấn đề hiệu quả nhất Trong phạm vi nghiên cứu này, chúng tôi quan niệm: Thủ pháp là cách

thức đặc trưng bởi tính linh hoạt, khéo léo, có kĩ thuật để thực hiện một công việc cụ

thể nào đó hiệu quả

1.2.4.2 Quan niệm về thủ pháp hoạt động nhận thức

Từ các quan niệm đã được trình bày trong phần trên, theo Thịnh Thị Bạch Tuyết [28], thì hiểu TPHĐNT có biểu hiện là độc đáo hoặc khéo léo (hay gọi là tính “thủ pháp”)

để biến đổi các thông tin; Kết quả của việc thực hiện TPHĐNT là mang lại hiệu quả

trong quá trình lĩnh hội tri thức, hiểu tri thức và vận dụng tri thức Xét trên bình diện tri thức phương pháp thì TPHĐNT thuộc lĩnh vực tri thức phương pháp có tính chất tìm đoán Xét trên bình diện quan điểm hoạt động thì TPHĐNT là tri thức về phương pháp thực hiện các hoạt động nhận thức toán học Xét trên bình diện tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động, có thể hiểu TPHĐNT như sau:

TPHĐNT toán học là tri thức về cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng (mang

tính độc đáo hoặc khéo léo) để giải quyết những tình huống cụ thể trong hoạt động

nhận thức toán học

tìm kiếm giải pháp hợp lí thông qua các suy nghĩ ngắn gọn TPHĐNT vừa là tri thức

về cách thức thực hiện hoạt động tìm hiểu đối tượng để hiểu những thuộc tính của đối tượng, những mối quan hệ mang tính “quy luật” của các đối tượng trong trình huống

cụ thể; Đồng thời vừa là tri thức về cách thức thực hiện hoạt động biến đổi đối tượng

về dạng hợp lí, có lợi cho giải quyết tình huống cụ thể

Ví d ụ 1.1 Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh ;

Đối với bài toán náy học sinh rất dễ làm theo phương pháp truyền thống (hoạt động trí tuệ phổ biến) đó là xác định đường cao của hình chóp và tính thể tích theo công thức đã biết, mà theo đề bài thì chưa biết độ dài nên tính chiều cao hình chóp gặp nhiều khó khăn và việc tính toán này có thể dẫn tới sai lầm hay kết quả là

một biểu thức quá khó để chứng minh

Nếu HS linh hoạt hơn chuyển hướng suy nghĩ, không làm bài toán này theo lối thông thường nữa mà nghĩ theo chiều hướng khác, đó là thể tích khối chóp tứ giác

gấp hai thể tích khối chóp tam giác Mà hình chóp tam giác ta có thể coi là đỉnh và

diện tích của nó từ đó tính được thể tích theo a và Khi đó việc chứng minh

chỉ là áp dụng bất đẳng thức thông dụng là thu được kết quả

Sau đây là lời giải cụ thể bài toán

Gọi là giao điểm của

Ví d ụ 1.2 Bài toán: “Giải bất phương trình ”

Dạng toán, giải bất phương trình dạng Nếu giải bài toán này theo cách làm thông thường, HS sẽ thực hiện hoạt động phân chia trường hợp (hoạt động trí tuệ phổ biến) Phân chia trường hợp để giải bất phương trình, HS sẽ tìm được nghiệm của bất phương trình Để đi đến đáp số, HS phải đi giải một phương trình và

4 hệ bất phương trình một ẩn Việc giải bất phương trình này rất phức tạp, cồng kềnh,

tốn thời gian, dễ bỏ sót các trường hợp và có thể nhầm lẫn trong tính toán

Nếu HS linh hoạt hơn chuyển hướng suy nghĩ, không làm bài toán này theo lối thông thường nữa mà nghĩ theo chiều hướng khác, nhìn biểu thức vế trái là biểu thức xác định một hàm số , hàm số triệt tiêu tại các điểm Nên ta chỉ cần xét dấu của trong các khoảng ( ) ( ) ( ) nhờ tính liên tục, dễ dàng tìm được nghiệm của bất phương trình

Lời giải các ví dụ trên ngắn gọn, thể hiện lối suy nghĩ riêng biệt, độc đáo khác

với cách làm thông thường Với cách làm này, biểu thức vế trái của bất phương trình được nhìn là biểu thức xác định của một hàm số Để có thể nảy sinh ra cách thức giải quyết linh hoạt, độc đáo, HS cần phải tìm hiểu, xem xét đặc điểm của biểu thức trong

O

S

bất phương trình và kết hợp khéo léo với các kiến thức đã biết Trong từng thời điểm

cụ thể của quá trình tìm lời giải, nếu HS suy nghĩ linh hoạt hơn thì sẽ đưa đến những cách làm hiệu quả Nếu HS cứ biến đổi giản đơn theo cách thông thường có thể không đưa tìm được lời giải hoặc có lời giải tương đối dài

Các ví dụ này đã thể hiện cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng dẫn đến sản

phẩm là một lời giải mang tính độc đáo, khác biệt Lời giải này là một thể hiện cụ thể

của phương pháp sử dụng tính liên tục của hàm số để giải bất phương trình dạng 0

A Hay là tri thức phương pháp về cách thức giải bất phương trình A Cách 0thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng mang tính độc đáo để giải bài toán trên được xem như là một thủ pháp hoạt động nhận thức

Kết quả của hoạt động nhận thức toán học là lĩnh hội được tri thức Toán học,

hiểu được ý nghĩa của các tri thức đó và vận dụng được tri thức Toán học vào giải các bài toán TPHĐNT là tri thức về cách thức tìm tòi, biến đổi đối tượng giúp cho HS lĩnh

hội tri thức, hiểu ý nghĩa của tri thức và vận dụng tri thức đạt hiệu quả cao TPHĐNT

khăn chướng ngại trong thực hiện hoạt động nhận thức Toán học

1.2.4.3 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức Toán học cụ thể

Trên bình diện tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động, theo tác giả

Thịnh Thị Bạch Tuyết [28, tr.38] đề xuất một số nhóm TPHĐNT Toán học sau đây:

"Th ủ pháp hoạt động nhận thức thuộc tri thức về phương pháp thực hiện hoạt động trí tuệ chung

Th ủ pháp hoạt động nhận thức thuộc tri thức về thực hiện những hoạt động ngôn ng ữ logic

Th ủ pháp hoạt động nhận thức thuộc tri thức về thực hiện những hoạt động trí

tu ệ phổ biến."

1.2.4.4 Đặc điểm của thủ pháp hoạt động nhận thức

a) Th ủ pháp hoạt động nhận thức hỗ trợ việc ghi nhớ và lĩnh hội kiến thức

Trong nhận thức toán học, HS hiểu kiến thức chưa đủ mà còn phải biết cách

như giúp ghi nhớ dễ dàng hơn và bền vững hơn, bởi vì HS biết được mối quan hệ giữa các yếu tố và ngay cả khi HS quên các công thức, HS cũng có thể tiến hành các thao tác đơn giản để nhớ lại các công thức Việc nắm vững kiến thức sẽ giúp HS sử dụng TPHĐTN tốt hơn và sử dụng TPHĐNT trong học tập giúp HS tiếp thu kiến thức tốt hơn, vững chắc và hệ thống hơn Kiến thức được sử dụng thông qua TPHĐNT đem lại nhiều lợi ích hơn so với kiến thức chỉ lưu trữ trong trí nhớ

b) Th ủ pháp hoạt động nhận thức giúp rút ngắn quá trình GQVĐ

TPHĐNT có thể giúp thực hiện hoạt động GQVĐ diễn ra một cách nhanh chóng TPHĐNT là cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng mang tính khéo léo, độc đáo, nên nó có lợi thế rút ngắn quá trình GQVĐ TPHĐNT là công cụ để giải quyết các vấn đề và giúp HS sử dụng kiến thức định hướng hơn chứ không thay thế các

kiến thức

c) Th ủ pháp hoạt động nhận thức mang tính có điều kiện

TPHĐNT chú ý đến một thời điểm nhất định trong quá trình GQVĐ TPHĐNT đó chính là cái mà GV mong muốn HS dùng nó để có được các khái niệm,

kiến thức và kĩ năng khi giải quyết một vấn đề HS không chỉ cần phải “học” về TPHĐNT mà cần phải có khả năng chọn xem trong điều kiện nào thì TPHĐNT nào là thích hợp nhất đối với hoàn cảnh cụ thể đó Trong quá trình dạy học, việc giới thiệu TPHĐNT cho HS và việc HS được tập luyện với TPHĐNT sẽ rất hữu ích cho HS trong GQVĐ

d) Th ủ pháp hoạt động nhận thức có mối liên hệ với nhau

TPHĐNT có mối quan hệ bổ sung, hỗ trợ, tạo điều kiện cho nhau TPHĐNT không độc lập với nhau, khi đứng trước một vấn đề hay phải giải quyết một nhiệm vụ

đặt ra HS phải sử dụng phối hợp một số TPHĐNT Chẳng hạn, trong ví dụ 1.2, phải

sử dụng phối hợp thủ pháp kết hợp và thủ pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Có TPHĐNT có thể áp dụng cho mọi chủ đề kiến thức, có TPHĐNT riêng đặc thù hiệu

quả với một chủ đề kiến thức nhất định, GV trong quá trình giảng dạy có thể hướng dẫn HS tìm ra trong quá trình học toán Chẳng hạn, trong chủ đề hình học không gian

HS gặp khó khăn khi xem xét các đối tượng phẳng trong không gian, nên nảy sinh ra

dụng kích thích hứng thú học tập và là một công cụ giúp HS có thêm niềm tin và hy

vọng rằng có những hướng suy luận hợp lý có thể chưa hoàn toàn chặt chẽ nhưng rất

có hiệu quả

1.3 Nội dung “Cực trị hình học” trong chương trình toán THPT

1.3.1 Các bài toán cực trị hình học

1.3.1.1 Toán cực trị trong hình học là gì?

Đó là những bài toán có dạng sau:

Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một đại lượng hình học y (độ dài của một đoạn

thẳng, tổng của hai hay nhiều đoạn thẳng, độ lớn của một góc, chu vi của một hình, diện tích của một hình v.v ) sao cho:

Trong đó là các giá trị cố định hoặc không thay đổi của y đồng thời phải

chỉ rõ vị trí hình học của (hoặc hình có chứa ) để tại đó đạt giá trị cực tiểu

hoặc cực đại `

1.3.1.2 Đường lối chung để giải toán cực trị hình học

Căn cứ vào đầu bài, người ta thường giải toán cực trị trong hình học theo hai

cách sau đây:

Cách 1:

Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điều kiện của đại lượng đó bằng các điều kiện tương đương (có khi phải chọn một đại lượng nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lượng khác trong hình, những đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn, nhưng cũng

có thể do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán Biểu thị ẩn số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của đại lượng cần tìm từ đó suy

ra vị trí của hình để đạt cực trị)

Người ta thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng: "Tìm một

hình nào đó thỏa mãn các điều kiện cực trị của bài toán"

Cách 2:

Đưa ra một hình (theo yêu cầu đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác có chứa yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong hình đã đưa ra

Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị

đã được nói rõ trong đầu bài

* Chú ý quan trọng:

Có trường hợp để tìm cực trị của một đại lượng , ta chia thành tổng của

nhiều đại lượng khác: rồi đi tìm cực trị của và từ đó suy ra

cực trị của , ta cần chứng minh: Khi đạt cực trị thì cũng đồng thời đạt cực trị và

ngược lại

1.3.2 Mục đích, chuẩn kiến thức, kỹ năng của chủ đề "Cực trị hình học"

1.3.2.1 V ề kiến thức Thông qua dạy học nội dung cực trị hình học trong không gian,

học sinh cần nắm được những kiến thức cơ bản sau:

Với nội dung trong chương trình hình học 11:

- Hệ tiên đề của Hình học không gian Các cách xác định mặt phẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng, của một đường thẳng và một mặt phẳng, của hai mặt phẳng

- Các loại khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, giữa hai đường thẳng chéo nhau, giữa điểm và mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

- Các loại góc: Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

Với nội dung hình học 12:

- Các khái niệm về hình đa diện, khối đa diện, khối đa diện lồi, khối đa diện đều

- Các công thức tính thể tích như khối hộp, khối lăng trụ, khối chóp

- Các khái niệm về mặt tròn xoay mà cụ thể là mặt nón, mặt trụ, mặt cầu và các tính chất của đường sinh, đáy; tâm và bán kính mặt cầu

- Các công thức tính diện tích xung quanh, thể tích của các hình, khối đó

1.3.2.2 V ề kỹ năng Thông qua dạy học nội dung Hình học không gian lớp 11, học

sinh cần có các kỹ năng cơ bản sau:

- Kỹ năng biểu diễn các hình không gian lên mặt phẳng theo phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc

- Kỹ năng chứng minh hình học nói riêng và kỹ năng chứng minh toán học nói chung bằng những lập luận có căn cứ, trình bày lời giải mạch lạc

- Kỹ năng tính toán, vận dụng thành thạo các công thức về góc, khoảng cách, diện tích, thể tích

- Kỹ năng phát biểu bài toán hình học xuất phát từ thực tiễn

- Nhận biết được thế nào là một hình đa diện, một khối đa diện, khối đa diện lồi,

khối đa diện đều

- HS hiểu, nhớ và vận dụng công thức tính thể tích của các khối hộp chữ

nhật, khối lăng trụ, khối chóp vận dụng được chúng vào việc giải các bài toán về

thể tích khối đa diện

- Nhận dạng được các vật thể tròn xoay cụ thể là mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

- Biết tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của các hình nón, hình trụ, hình cầu và thể tích của khối tròn xoay tương ứng

Thông qua việc cung cấp các kiến thức và kỹ năng nói trên, việc dạy học Hình

học không gian cần chú ý phát triển năng lực trí tuệ, trí tưởng tượng không gian, tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, tư duy thuật toán và kỹ năng tính toán đồng thời rèn luyện các phẩm chất của tư duy như tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo Cụ thể là:

- Năng lực suy luận, lập luận, biết phân biệt chủng và loại trong một định nghĩa, từ đó biết cấu tạo một định nghĩa theo chủng và loại Có ý thức về quy tắc phải theo khi phân biệt chủng, loại

- Năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, xét tương tự, đặc biệt

1.3.3 Nội dung “Cực trị hình học” trong chương trình Toán THPT

1.3.3.1 Các hình thức về bài toán cực trị trong chương trình toán phổ thông (THCS, THPT)

Ở cấp THCS các em đã được làm quen với các bài toán cực trị hình học dưới dạng so sánh các đoạn thẳng, các góc, tìm vị trí của điểm để biểu thức đã cho hay

diện tích các hình, độ dài các đoạn thẳng đạt giá trị cụ thể Các bài toán này thường

có trong đề thi HSG các khối lớp và đề thi vào lớp 10 THPT, THPT Chuyên

Ở cấp THPT trong những năm gần đây, trong đề thi học sinh giỏi và các đề thi

chú ý tới các bài toán thực tế có liên quan đến GTLN, GTNN

1.3.3.2 Nội dung “Cực trị hình học” trong chương trình Toán THPT

Phần cực trị hình học trong không gian ở trường THPT nằm ở hầu hết các bài

ở lớp 11 và 12 mỗi một phần, một bài đều có nội dung tương ứng của nó chẳng hạn như với mối quan hệ song song ta có các bài toán về thiết diện, bài toán về diện tích các hình đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, với mối quan hệ vuông góc ta có các bài toán

giữa đường và mặt và hai đường thẳng chéo nhau, quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên Với chương trình lớp 12 ta có các bài toán về thể tích, tỉ số thể tích, chiều cao

của hình chóp, lăng trụ, không những thế ta còn có các bài về các hình nón, hình trụ, hình cầu Đặc biệt là các bài toán liên quan đến thực tế liên quan đến các hình đó và

là một trong các bài toán đòi hỏi năng lực tư duy thì mới giải quyết trọn vẹn các bài toán tìm GTLN, GTNN trong hình học không gian

Các bài toán về cực trị hình học tiềm ẩn những thách thức lớn đối với học sinh

Có thể câu hỏi bài toán chỉ là tìm vị trí của điểm để khoảng các giữa hai điểm là nhỏ

nhất, nhưng khi bắt tay vào giải thì gặp khó khăn, vướng mắc với lối tư duy thông thường, với cách làm cũ thì không giải quyết được Để giải được HS cần vận dụng linh hoạt các các tri thức khác nhau và phối hợp nhiều hoạt động như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự hóa… để có thể chuyển hướng tư duy, điều

chỉnh kịp thới suy nghĩ, tìm thấy ý tưởng mới, cách giải quyết mới từ tri thức, kinh nghiệm đã có Do vậy thông qua dạy học giải toán cực trị hình học giúp học sinh phát triển năng lực giải toán, rèn luyện tư duy toán học cho HS

Trong quá trình giải các bài tập học sinh phải biết kết hợp giữa hình học và đại

số điển hình như các bất đẳng thức cổ điển và phương pháp hàm số thì mới giải quyết tốt dạng toán này Chú ý áp dụng một cách linh hoạt, khéo léo các hoạt động tư duy

để có hiệu quả nếu không sẽ rất dễ mắc sai lầm Do đó thông qua dạy học giải toán cực trị HS sẽ có cơ hội để rèn luyện khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm… trong

lời giải và sửa chữa sai lầm để lời giải được hoàn thiện, tối ưu hóa lời giải

Đối với các bài toán thực tế không xuất hiện nhiều trong sách giáo khoa nhưng

muốn nhấn mạnh nội dung này

1.3.4 Một số kỹ năng cơ bản để giải toán hình học không gian

mặt phẳng đặc biệt là đường vuông góc tới mặt phẳng

- Biết vận dụng kiến thức hình học vào việc chứng minh: song song, vuông góc, chéo nhau,

- Biết cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

- Biết cách so sánh, đặt tương ứng khoảng cách cần tìm với khoảng cách nào đó

để tiện cho việc tính khoảng cách

- Biết cách vận dụng thành thạo các công thức liên quan đến tính khoảng cách, tính độ dài của đoạn thẳng

- Kỹ năng vẽ hình không gian

- Kỹ năng nhận dạng các hình đăc biệt như: tam giác (tam giác vuông, cân, đều),

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc, hình bình hành, hình thoi, chữ nhật

- Kỹ năng nhận dạng các đa diện đặc biệt như: đa diện đều, hình chóp đều, lăng trụ đứng, lăng trụ đều, hình hộp, hộp chữ nhật, lập phương

- Biết vận dụng linh hoạt các công thức vào tính toán

- Kỹ năng nhận dạng các khối đa diện đặc biệt

- Kỹ năng xác định chiều cao của hình chóp, lăng trụ, hình trụ, hình nón

- Kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức tính thể tích, công thức về tỉ số các

thể tích của các khối chóp tam giác

thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

- Biết cách thiết lập tương ứng sự thay đổi độ lớn của đoạn thẳng (góc, diện tích,

thể tích ) với các đại lượng (biến số) hay hàm số của một hay nhiều biến số

thực tiễn giúp chúng tôi tìm hiểu thực trạng: Nhận thức của GV về nội dung, cách thức trang bị các phương pháp giải toán cho HS; Yếu tố ảnh hưởng đến trang bị thủ

độ vận dụng các phương pháp giải toán của HS Những thông tin thu thập được từ việc khảo sát thực trạng cùng với cơ sở lý luận làm tiền đề cho việc đề xuất xây dựng

phần nâng cao hiệu quả đổi mới phương pháp dạy học

1.4.2 Đối tượng khảo sát

Để tìm hiểu thực trạng dạy học cực trị hình học không gian cũng như việc tổ

chức dạy học nhằm phát triển năng lực giải toán cho HS, chúng tôi đã chọn 14 GV trường THPT Thuận Thành số 2, Bắc Ninh và 80 HS thuộc 02 lớp 12A2, 12A4 của trường THPT Thuận Thành số 2, Bắc Ninh

1.4.3 Kết quả khảo sát

- V ề phía GV: Để tìm hiểu về thực trạng dạy học nội dung cực trị hình học không

gian lớp 11, 12 chúng tôi đã tiến hành phỏng vấn, phát phiếu điều tra xin ý kiến của

14 giáo viên dạy toán thuộc trường THPT Thuận Thành số 2, tỉnh Bắc Ninh

Nội dung tổng hợp từ các phiếu điều tra được thể hiện trong các biểu đồ sau:

Biểu đồ 1.1 Tỉ lệ vận dụng các phương pháp dạy học vào chủ đề:

“cực trị hình học” cho HS THPT

Từ đó chúng tôi đưa ra một vài nhận xét sau: Giáo viên chưa quan tâm tới việc phát huy khơi dậy các biện pháp tiềm năng kiến thức của HS Giáo viên chưa khai thác một cách có hiệu quả các bài toán có yếu tố thực tiễn nhằm gợi động cơ cho HS Giáo viên hầu như không chú ý đến việc phát triển năng lực sáng tạo, năng lực giải toán của

học sinh Hình thức dạy học chưa đa dạng, phong phú, cách thức truyền đạt chưa sinh động, chưa gây hứng thú cho học sinh Hơn nữa, do thời gian hạn chế, khối lượng kiến

thức và yêu cầu truyền đạt theo sách giáo khoa thì nhiều và phải dạy đúng lịch phân phối chương trình nên chưa phát huy được tính độc lập của học sinh Giáo viên chưa tạo được môi trường để học sinh độc lập khám phá, độc lập tìm tòi và độc lập nghiên cứu

- V ề phía HS: Để tìm hiểu về tình hình học tập của học sinh, chúng tôi đã tiến

hành điều tra 80 học sinh lớp 12A2, 12A4, trường THPT Thuận Thành số 2 Kết quả thu được từ phiếu điều tra được thể hiện thông qua các biểu đồ sau:

Biểu đồ 1.2 Thái độ của học sinh khi học nội dung cực trị hình học

Trong thực tế học nội dung Hình học không gian đặc biệt là nội dung cực trị hình học của học sinh hiện nay ở một số trường phổ thông có thể mô tả như sau:

Vì không hiểu các vấn đề cần giải quyết, không rõ đường lối giải quyết nhiệm

vụ học tập nên học sinh thụ động tiếp thu, ghi nhớ, bắt chước, nắm bắt kiến thức một cách thụ động, nên khi vận dụng kiến thức để giải bài tập Hình học không gian, học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn Đặc biệt các bài toán thực tiễn các em con không

biết chuyển hóa ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ toán học

- Về phương pháp học của học sinh: Học sinh chưa được đưa vào vị trí chủ thể

móc, mang nặng tính chất ghi nhớ, tái hiện, bắt chước, rất ít tự lực suy nghĩ, tìm tòi

để phát hiện và giải quyết vấn đề để nâng cao năng lực giải toán cũng như học tập,

khả năng tự học còn yếu

được trình bày cụ thể trong chương 2 của luận văn

Ti ểu kết chương 1

Ở chương này, luận văn đã làm rõ một số vấn đề:

- Làm rõ một số khái niệm về năng lực và năng lực giải toán, cách phát triển năng lực giải toán cho HS THPT

- Làm rõ khái niệm bài toán, dạy học giải bài tập toán, các yêu cầu đối với lời giải một bài toán, đồng thời chỉ ra phương pháp chung để dạy học giải toán

- Phân tích đặc điểm của nội dung cực trị hình học trong chương trình toán THPT và khả năng phát triển năng lực giải toán cho HS thông qua nội dung dạy học

mà luận văn đề cập

- Tìm hiểu thực trạng việc phát triển năng lực giải toán "Cực trị hình học" cho

HS ở trường THPT trên địa bàn huyện Thuận Thành, Tỉnh Bắc Ninh

Từ những kết quả trên, chúng tôi lấy làm cơ sở để đề ra các biện pháp sư phạm

ở chương 2

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI TOÁN "CỰC TRỊ HÌNH HỌC" THEO ĐỊNH HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HS THPT

2.1 Một số định hướng xây dựng các biện pháp

Định hướng 1: Đảm bảo tính khoa học, tính tư tưởng và tính thực tiễn

Tính khoa học vừa yêu cầu sự chính xác về mặt Toán học vừa yêu cầu sự chính xác về mặt Triết học Đức tính chính xác – một đức tính cần thiết của con người lao động cũng được bồi dưỡng, nâng dần lên nếu thông qua quá trình dạy học chúng ta

có trang bị cho HS những tri thức toán học chính xác Hình thành ở HS những phương pháp suy nghĩ và làm việc của khoa học Toán học cũng là những phương pháp đúng đắn

về mặt Triết học Sự chính xác về mặt Triết học cũng đòi hỏi làm rõ mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn, điều này cũng thể hiện sự thống nhất của tính khoa học, tính tư tưởng và tính thực tiễn Tuy nhiên sự thống nhất giữa khoa học Toán học và khoa học Triết học là thông qua việc dạy học toán mà hình thành cho HS những quan niệm, những phương thức tư duy và hoạt động đúng đắn phù hợp với phép biện chứng duy vật, chẳng

hạn coi thực tiễn là nguồn gốc của nhận thức, là tiêu chuẩn của chân lí, xem xét sự vật trong trạng thái vận động và trong sự tác động qua lại lẫn nhau, thấy rõ mối liên hệ giữa cái riêng và cái chung, giữa cụ thể và trừu tượng,

Định hướng 2: Đảm bảo sự thống nhất giữa cụ thể và trừu tượng

Bản thân các tri thức khoa học nói chung và tri thức toán học nói riêng là

một sự thống nhất giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, nghĩa là có con đường đi từ cái

cụ thể đến cái trừu tượng và ngược lại Việc chiếm lĩnh một nội dung trừu tượng cần kèm theo sự minh họa nó bởi những cái cụ thể Mặt khác, khi làm việc với những cái

cụ thể cần cần hướng về những cái trừu tượng có như vậy mới gạt bỏ được những dấu

hiệu không bản chất để nắm cái bản chất, mới gạt bỏ được những cái cá biệt để nắm được quy luật

Định hướng 3: Đảm bảo sự thống nhất giữa tính đồng loạt và tính phân hóa

Tính đồng loạt và tính phân hóa trong dạy học cũng là hai mặt tưởng chừng mâu thuẫn nhưng thực ra thống nhất với nhau Một mặt, phân hóa tạo điều kiện thuận lợi cho dạy học đồng loạt Thật vậy, dạy học phân hóa tính tới trình độ phát triển khác nhau, tới đặc điểm tâm lí khác nhau của HS, làm cho mọi HS có thể phát triển phù hợp với khả năng và hoàn cảnh của mình Điều đó làm cho mọi HS đều đạt được những yêu cầu cơ bản làm tiền đề cho những pha dạy học đồng loạt Mặt khác trong dạy học đồng loạt bao giờ cũng có những yếu tố phân hóa nội tại

Trong thực tế không thể có sự dạy học đồng loạt không phân hóa Một khía cạnh quan trọng của việc đảm bảo sự thống nhất giữa đồng loạt và phân hóa là đảm bảo chất lượng phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu về toán cho HS

Định hướng 4: Đảm bảo sự thống nhất giữa tính vừa sức và yêu cầu phát triển trong dạy học

Việc dạy học một mặt yêu cầu đảm bảo vừa sức để HS có thể chiếm lĩnh được tri thức, rèn luyện được kĩ năng, kĩ xảo nhưng mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để thúc đẩy sự phát triển của HS “Sức” HS, tức là trình độ, năng lực của

họ, không phải là bất biến mà thay đổi trong quá trình học tập, theo chiều hướng tăng

bảo sự vừa sức trong điều kiện trình độ, năng lực của HS ngày một nâng cao trong quá trình học tập

Định hướng 5: Đảm bảo sự thống nhất giữa vai trò chủ đạo của thầy và tính

tự giác, tích cực, chủ động của trò

Trong dạy học thầy trò đều thực hiện hoạt động và giao lưu, nhưng vai trò không giống nhau Người học phải tự giác, tích cực và chủ động Nhưng học tập là quá trình tái chiếm lĩnh một số tri thức trong kho tàng văn hóa của nhân loại Do

đó quá trình dạy học đòi hỏi vai trò chủ đạo của người thầy Vai trò này không

biến trò thành nhân vật thụ động, không hạn chế tính tự giác, tích cực, chủ động

của người học Vai trò chủ đạo của GV thể hiện ở việc thiết kế, ủy thác, điều khiển

và thể chế hóa

2.2 Một số biện pháp sƣ phạm

2.2.1 Biện pháp 1 Hướng dẫn, tổ chức cho HS thực hiện các thao tác tư duy trong giải toán

Theo Phạm Minh Hạc [6, tr16]: “Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn

c ảnh có vấn đề, có tính khách quan, có tính gián tiếp, biểu đạt bằng ngôn ngữ, có quan h ệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu bằng cảm tính, là một quá trình Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành nh ững thao tác trí tuệ nhất định”

Tư duy nói chung, tư duy nói riêng trong dạy học Toán bao giờ cũng có đối tượng, đó là những đối tượng mang tính nhu cầu Những nhu cầu có thể là cần phát

hiện tri thức mới (khái niệm mới, định lí mới, quan hệ mới, thông qua giải quyết những mâu thuẫn, những sai lầm…) Từ đó, việc xây dựng các tình huống kích thích

tư duy cần chứa đựng các mâu thuẫn, những chướng ngại vật và hướng HS tư duy làm bộc lộ những khó khăn, chướng ngại, mâu thuẫn, HS cần phải biến đổi đối tượng,

biến đổi hình chức che đậy nội dung của các đối tượng quan hệ Tư duy biến đổi hình thức của đối tượng, làm cho tri thức mới gần gũi tương hợp với tri thức đã có

Trong các tài liệu về Lý luận dạy học khi đề cập tới vấn đề này, các tác giả đều

thống nhất: Không có phương pháp chung tổng quát nào để giải quyết mọi bài toán Trong nội dung dạy học toán ở trường phổ thông không phải mọi bài toán đều có thuật toán để giải mà còn nhiều bài toán chưa tìm được lời giải Giải bài toán thực

chất là một quá trình tư duy toán học Vì vậy theo chúng tôi phương pháp tìm lời giải bài toán nằm trong phương pháp tư duy toán học, phương pháp tư duy toán: Phân tích

và tổng hợp

2.2.1.1 Sử dụng phép phân tích để tìm lời giải

Xuất phát điểm của việc phân tích để tìm lời giải của bài toán là kết luận của bài toán nó có thể là điều phải tìm trong bài toán tìm tòi, hay điều phải chứng minh trong bài toán chứng minh Người ta thường giả thiết rằng kết quả đó tồn tại và đi theo hai hướng:

Hướng thứ nhất đi tìm điều kiện để dẫn đến nó là gì? Cứ từng bước đi ngược như thế cho đến khi gặp các dữ liệu đã biết, tức là cái cần tìm, từng bước tìm được các đã biết Phép phân tích trong trường hợp này gọi là phép phân tích đi lên Quá trình đi tìm cái đã biết trong phương pháp phân tích đi lên có thể mô tả đơn giải bằng sơ đồ ⏟

Xuất phát của sơ đồ là X, kết thúc là B và có thể diễn tả muốn có X chỉ cần có

A1 là đủ, muốn có A1 chỉ cần có A2 là đủ, … muốn cóAn chỉ cần có Blà đủ Thực chất quan hệ logic trong diễn tả đó không chỉ tìm điều kiện đủ mà là tìm cả điều kiện cần

Hương thứ hai đi tìm quan hệ logic của nó Phép phân tích trong trường hợp này gọi là phép phân tích đi xuống và có thể diễn tả bằng sơ đồ:

X là xuất phát của sơ đồ, kết thúc là B Nếu B là

một mệnh đề sai thì theo quy tắc suy luận ta khẳng định X là sai, phép phân tích trong trường hợp này có mục đích bác bỏ Nếu B là điều đúng thì chưa có kết luận về X,

thì ta có chứng minh X, hay X tìm được Phép phân tích trong trường hợp này có tác dụng tìm tòi lời giải

Trong việc tìm kiếm lời giải bài toán bằng phương pháp phân tích có bài toán khoảng cách từ X tới B rất gần chỉ là một bước giải, nhưng cũng có những bài toán

mà khoảng cách này lại rất xa nó không chỉ là một vài bước, các bài toán trong trường hợp này rõ ràng là phức tạp hơn các bài toán trước đó Tuy nhiên trong nhiều trường hợp khoảng cách đó lại do người giải toán Chẳng hạn người giải toán không

có định hướng đúng nên sai một số bước bài toán trở lên phức tạp hơn hoặc lại trở về bài toán ban đầu Muốn cho định hướng đúng thì phải biết quan sát, phân tích các đặc điểm của kết luận mà để xuất phát biến đổi Mỗi bước biến đổi được xem là đúng hướng nếu sau phép biến đổi giả thiết gần gũi với kết luận