Bộ 10 đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7 cấp huyện

Từ điểm B bất kì trên tia Ox kẻ BH, BK lần lượt vuông góc với Oy, Oz tại H và K.. - Câu hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó... Từ C kẻ đườn

BỘ 10 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN LỚP 7

CẤP HUYỆN

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC

TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN

MÔN: TOÁN 7 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề)

Ngày khảo sát 30/3/2021 Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay!

Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 10 81 16.154 4 2

4 675

Câu 2 (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn:

543

zy

x   và 2x2 2y2 3z2 100 Câu 3 (2,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018  0

Tính giá trị của biểu thức M = 11x2y + 4xy2

Câu 4 (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn dãy tỉ số bằng nhau:

d

dcbac

dcbab

dcbaa

dcb

adba

dcad

cbdc

baM

2

27 (với x là số nguyên)

Câu 7 (2,0 điểm) Tìm các số nguyên dương a, b, c thoả mãn a3+ 3a2 +5 = 5b và a + 3 = 5c

Câu 8 (2,0 điểm) Cho góc xOy bằng 600 Tia Oz là phân giác của góc xOy Từ điểm B bất kì trên tia Ox kẻ BH, BK lần lượt vuông góc với Oy, Oz tại H và K Qua B kẻ đường song song với Oy cắt

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi:

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC

ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN

MÔN: TOÁN 7 NĂM HỌC 2020-2021 Ngày khảo sát 30/3/2021 Hướng dẫn chung:

- Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa

- Câu hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó

5.3.2

5.3.23.5

= 4 2 82 32 22

5 3 2

) 1 3 5 ( 5 3

5

= 14

3

0,5 0,5

0,5 0,5

2

Từ

5 4 3

z y

25

100 25

3 2 2 75

3 32

2 18

2 25 16 9

2 2 2 2 2 2

2 2 2

100 64 36 2 2 2

z y x x y x

z y

x

( Vì x, y, z cùng dấu)

KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là : (6; 8 ;10) và (-6; -8;-10)

0,5 0,5

0,5

0,5

3

Vì (x - 2)4  0; (2y – 1) 2018  0 với mọi x, y nên

(x - 2)4 + (2y – 1) 2014  0 với mọi x, y

Mà theo đề bài : (x - 2)4 + (2y – 1) 2014  0

Suy ra (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 = 0

Hay: (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2018 = 0

suy ra x = 2, y = 1

2Khi đó tính được: M = 24.

0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25 0,5

4

Từ:

d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,5

2

27 = 2+

x

 12

3 Suy ra Q lớn nhất khi

x

 12

3 lớn nhất khi 12-x>0

Vì phân số

x

 12

3 có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử không đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất

Hay 12     x 1 x 11

Suy ra A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

0,25

0,25 0,25

0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

- BK là đường cao của tam giác cân BMO

nên K là trung điểm của OM =>KM=KO (1)

- Chứng minh  BKO   OHB (c.h g.n) 

- Suy ra BH=OK (2)

- Từ (1) và (2) suy ra BH=MK đpcm

0,5 0,5 0,5 0,25 0,25

9

- Dựng tam giác ADM vuông cân tại A

(D, B khác phía đối với AM)

- Chứng minh  ABM   ACD (c.g.c) vì:

AD=AM ( AMD vuông cân tại A)

 BAM CAD (cùng phụ với CAM

AB=AC (giả thiết)

- Suy ra: CD=BM=3cm

- Tính được MD2=AD2+AM2 = 8

- Chỉ ra tam giác DMC vuông tại M

2

n n n

Suy ra các bi là các phần tử của tập gồm 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: {1; 3; 5; ;199}

Vì có 101 các số bi mà chỉ có 100 giá trị nên sẽ tồn tại ít nhất 2 số bi và bj nào đó bằng

a  b sẽ có một số là bội của số còn lại

Như vậy nếu lấy ra 101 số trong 200 số đã cho thì luôn có 2 số mà số này là bội của số

kia (2)

Từ (1) và (2) suy ra giá trị nhỏ nhất của k là 101

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

M

Cho  ABC vuông tại A có B 2C.  Kẻ AHBC(H BC) Trên tia

HC lấy D sao cho HD HB Từ C kẻ đường thẳng CE vuông góc với đường

thẳng AD (E AD)

a) Tam giác ABD là tam giác gì? Vì sao?

b) Chứng minh DH DE HE; / /ACc) So sánh HE và 2 (BC2 AD2) : 4d) Gọi K giao AH và CE , lấy điểm I bất kì thuộc đoạn thẳng HE

I khác H ; I khác E Chứng minh  3

2AC IA IK IC   Câu 5 (2 điểm)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu Ý Hướng dẫn Điểm Câu 1

0,5

3.8.15 99.120 1.3.2.4.3.5 9.11.10.124.9.16 100.121 2.2.3.3.4.4 10.10.11.11

(1 100).100

2505x=5050x=10

xy

ayz bxz bzx cyx cxy azy

ayz bxz bzx cbzx c cxy azyayz bxz cxy azy

Trong đó số 100…00539 là số có tổng các chữ số chia hết cho

9 nên số đó chia hết cho 9

Vậy

2021

10 5399

12 9 12 9

000

Vậy đa thức đã cho không có nghiệm với mọi x 0,25

Câu 4 (8,0 điểm) Hình vẽ:

Câu a)  ABDlà tam giác gì? Vì sao? (1,5 điểm)

Chứng minh  ABDcó đường vuông góc AH đồng thời là đường trung

tuyến ứng với cạnh BD suy ra  ABDcân tại A 0,75

Tính được góc B   60 0 suy ra  ABDcân có một góc bằng 60 0là tam

H

B

I

mµ hai gãc nµy ë vÞ trÝ so le trong  HE / / AC

(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

0,25

Câu c) (2,0 điểm) So sánh HE 2 và ( BC 2  AD 2 ) : 4

Chứng minh  AHE cân tại H (tam giác có 2 góc bằng 30 0

Trong góc AHC kẻ tia Hx cắt AC tại M sao cho  AHM  60 0

Chứng minh được  HMC cân tại M

Đề thi gồm 06 câu, 01 trang Câu 1(4,0 điểm): Thực hiện phép tính:

a) Cho đa thức : f x ( )  x 8  99 x 7  99 x 6  99 x 5  99 x  25 Tính f(100)

b) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1: :

5 4 6 Biết rằng tổng các bình phương của 3 số đó bằng 24309 Tìm số A

1) Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường

thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia Ac

2) Cho A nằm trong góc xOy nhọn Tìm điểm B,C lần lượt thuộc Ox, Oy sao cho

tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

Câu 6 (1,0 điểm): Tìm các số x,y,z nguyên dương thỏa mãn : x + y + z = xyz

-HẾT -

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm của BC

Họ tên thí sinh:………Số báo danh:………

Chữ kí giám thị 1: ……… Chữ kí giám thị 2:………

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HSG

NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN - LỚP 7 (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm 03 trang)

 x = 12, y = 8, z = 6

0,25 0,25

3 a

Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = -1 làm nghiệm

 f(-1) = 0  a.(-1)2 +b.(-1) -2 =0  a - b -2 = 0  a = b + 2 0,25

Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = 2 làm nghiệm 0,25

Thay 2x + y = 1 vào ta được C 2x y 2018   (2x y) 2018 

Thay 2x + y = 1 vào ta được C   1 2018 2017

0,25 0,25 0,25

4

F

5 4

3 2 1

E H

-  AMC có AMC 90 ; ACM 45 0   0( ABC vuông cân tại A)

  AMC vuông cân tại M  MA = MC (1) 0,5

c

Trên tia đối của tia MD lấy F sao cho MF = MD Từ F kẻ FH  AB tại H 0,25

- Chứng minh  MDB =  MFC (c.g.c) từ đó suy ra FC // AB và FC  AC

- Chứng minh  HAC =  CFH từ đó suy ra HF = AC 0,25

Do  AMD =  CME  AD = CE  AD + AE = AC

a đều lớn hơn 1 thì c + d > a + b Trái giả thiết

Vậy có một phân số không vượt quá 1

Không mất tính tổng quát giả sử c 1

    (2)

- Nếu a = 1 thì b = 24 1 24 577

24 1 24 M

    (3)

0,25

Từ (1), (2) và (3) suy ra ( ) 577

24 Max M 

Dấu “=” xảy ra khi a = c = 1; b = d = 24

hoặc a = c = 24; b = d = 1

0,25

Chú ý : Nếu HS làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa

PHÒNG GD&ĐT ĐÔNG HƯNG

TRƯỜNG THCS AN CHÂU

-

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CHỌN NGUỒN CẤP HUYỆN

Năm học 2020 – 2021 Môn: Toán 7 Thời gian làm bài : 90 phút - Bài 1 (4,0 điểm)

Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1

a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức

b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0

Bài 5: (2 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật

chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây

Bài 6 (5,0 điểm)

Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE = AC

1) Chứng minh rằng BE = CD

2) Gọi M là trung điểm của DE, tia MA cắt BC tại H.Chứng minh MABC

3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ?

Bài 7 (2 điểm) Cho biết xyz=1

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN - LỚP 7 NĂM HỌC 2020-2021

Bài 4: (2 điểm).Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1

a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức

b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0

Bài 5: ( 2 điểm)Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật

chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây

Gọi độ dài mỗi cạnh hình vuông là a (m)

Thời gian đi trên hai cạnh đầu là: 2a/5(s)

Thời gian đi trên cạnh thứ hai là: a/4(s)

Thời gian đi trên cạnh thứ 4 là: a/3(s)

Vì tổng thời gian đi là 59 giây nên ta có:

0.5đ

0.5đ

Bài 6 (5,0 điểm)

- Nếu hình vẽ sai thì không chấm cả bài hình

- Nếu câu trước làm sai thì HS vẫn có thể sử dụng kết quả câu trước để làm câu sau

+ Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN

Từ D kẻ DF vuông góc với MA tại F

Xét ∆ MAE và ∆ MDN có :

MN = MA (Vì M là trung điểm của AN )

AMEDMN (chứng minh trên)

ME = MD (Vì M là trung điểm của DE )

Do đó ∆ MAE = ∆ MND (c – g - c)

0,25

Suy ra AE = DN ( vì là hai cạnh tương ứng )

và NDMMEA ( vì là hai góc tương ứng )

H

E

C A

B

D

Nên AE // DN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ) 0,25

+ Ta có ADN = NDF + FDA ( Vì tia DF nằm giữa 2 tia DA và DN )

BAC = HAC + BAH ( Vì tia AH nằm giữa 2 tia AB và AC )

3).(1,0 điểm) Nếu AB = c, AC = b, BC = a Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c

+ MABC tại H (chứng minh trên) nên ∆ AHB vuông tại H

∆ AHC vuông tại H

Đặt HC = x HB = a - x ( Vì H nằm giữa B và C )

0,25

+ Áp dụng định lý Py-ta-go cho 2 tam giác vuông AHB và AHC ta có:

AH2 = AB2 - BH2 0,25

Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng

bài theo hướng dẫn trên./

- Hết -