Phương trình, đừng lối chung để giải một phương trình

Phương trình, đừng lối chung để giải một phương trình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM HÙNG CƯỜNG

PHƯƠNG TRÌNH, ĐƯỜNG LỐI CHUNG

ĐỂ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Thái Nguyên - Năm 2010

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM HÙNG CƯỜNG

PHƯƠNG TRÌNH, ĐƯỜNG LỐI CHUNG

ĐỂ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH PP TOÁN SƠ CẤP

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 Tiến sĩ: Nguyễn Minh Hà

Trường THPT Chuyên – ĐHSP Hà Nội

Thái Nguyên - Năm 2010

MỤC LỤC Trang

Lời nói đầu……… 2

Chương 1: ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH……… 3

1.1 Định nghĩa bằng khái niệm biểu thức chứa ẩn……… 3

1.1.1 Đẳng thức 3

1.1.2 Phương trình 3

1.2 Định nghĩa bằng khái niệm hàm số 4

1.2.1 Mệnh đề, mệnh đề chứa biến 4

1.2.2 Hàm số 4

1.2.3 Phương trình một ẩn 5

1.3 Nhận xét 5

Chương 2: ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH 7 2.1 Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện……… 7

2.2 Bài toán giải phương trình……… 8

2.2.1 Đường lối chung để giải một phương trình – Các ví dụ 9 2.2.2 Phương trình hệ quả, phương trình tương đương………… 13

2.2.3 Phương trình tham số……… 17

2.3 Đặt điều kiện trong bài toán giải phương trình……… 20

2.3.1 Tập xác định của phương trình– Điều kiện của phương trình 20 2.3.2 Hệ lụy của khái niệm tập xác định của phương trình – điều kiện xác định của phương trình……… 20

2.3.3 Đặt điều kiện với phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại… 29 2.3.4 Đặt điều kiện với phương pháp biến đổi tương đương…… 35

2.4 Đặt điều kiện trong bài toán rút gọn biểu thức, bài toán chứng minh hằng đẳng thức……… 39

Kết luận……… 43

Danh mục tài liệu tham khảo……… 44

LỜI NÓI ĐẦU

“Phương trình” là một vần đề quan trọng trong chương trình toán phổ thông, xung quanh khái niệm “ Phương trình” có rất nhiều vấn đề đáng quan tâm

Đương nhiên, vấn đề được quan tâm nhất vẫn là các kỹ thuật giải phương trình

Tuy nhiên, vì quá quan tâm tới kĩ thật giải phương trình nên chúng ta (SGK và

những người giáo viên toán) thường không chú ý tới các vấn đề khác: định nghĩa phương trình, đường lối chung để giải một phương trình Với các em học sinh, tình trạng trên dẫn đến một hệ quả tất yếu: chỉ thấy cây mà không thấy rừng Rất

nhiều học sinh không trả lời được các câu hỏi đại loại như: “1=2 là đẳng thức hay là phương trình?”; “Mục đích của việc đặt điều kiện trong khi giải phương trình?” …

Chính vì lẽ đó, em chọn cho mình đề tài luận văn:

“ Phương trình, đường lối chung để giải một phương trình”

Luận văn nhằm phân tích 2 cách định nghĩa phương trình trong chương trình Toán phổ thông để từ đó đưa ra nhận xét nên sử dụng cách định nghĩa nào thuận lợi cho việc giải phương trình ở phổ thông Hình thành các phương pháp tổng quát giải phương trình quen thuộc từ bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện Phân tích vai trò của bước đặt điều kiện khi giải phương trình và đặt điều kiện như thế nào cho đơn giản và thuận lợi

chỉ bảo em trong quá trình viết luận văn Đồng thời em cũng xin được cảm ơn nhà trường và các thầy giáo, cô giáo đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn này

Chương 1 ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH

Trong chương trình toán phổ thông khái niệm phương trình được định

nghĩa hai lần bằng hai cách khác nhau

1.1 Định nghĩa bằng khái niệm biểu thức chứa ẩn

1.1.1 Đẳng thức

Hai biểu thức nối với nhau bởi một dấu bằng được gọi là đẳng thức

Mỗi một biểu thức nói trong định nghĩa trên được gọi là một vế của đẳng thức

Dưới đây là một vài ví dụ

2 = 2 (đẳng thức đúng)

1 = 2 (đẳng thức sai)

5x + 1 = 5 (đẳng thức, có thể đúng hoặc sai tuỳ theo giá trị của biến x) 3x2 +xy3 = 5zy +z4 (đẳng thức có thể đúng hoặc sai tuỳ theo giá trị của biến x, y, z)

Chú ý:

Việc biết một đẳng thức đúng hay sai nói chung là không đơn giản, bởi vì

sẽ có những biểu thức rất phức tạp nên để xét sự bằng nhau của chúng hoàn toàn không dễ dàng

Như vậy câu hỏi “1 = 2 là phương trình hay đẳng thức?” đã được trả lời Câu trả lời là: “1 = 2” là đẳng thức (đẳng thức sai) và cũng là phương trình (phương trình vô nghiệm)

1.1.2 Phương trình

Hai biểu thức có chứa các đại lượng chưa biết (gọi là ẩn) nối với nhau bởi một dấu bằng được gọi là phương trình

Mỗi biểu thức nói trong định nghĩa trên được gọi là một vế của phương trình

Những giá trị của ẩn làm cho phương trình trở thành đẳng thức đúng được gọi là nghiệm của phương trình

Dưới đây là một vài ví dụ

2 = 2 (phương trình nhận mọi giá trị của ẩn làm nghiệm)

1 = 2 (phương trình vô nghiệm)

1.2 Định nghĩa bằng khái niệm hàm số

1.2.1 Mệnh đề, mệnh đề chứa biến

Một câu khẳng định đúng hoặc sai được gọi là một mệnh đề

Câu khẳng định đúng được gọi là một mệnh đề đúng

Câu khẳng định là sai được gọi là một mệnh đề sai

Mệnh đề chứa một hay nhiều biến nhận giá trị trong một tập X nào đó và tính đúng sai của chúng tùy thuộc vào giá trị cụ thể của các biến đó được gọi là mệnh đề chứa biến

1.2.2 Hàm số

Cho tập số thực khác rỗng D Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D với một và chỉ một số, kí hiệu là f(x) Số f(x) được

gọi là giá trị của f tại x Tập D được gọi là tập xác định (hay miền xác định), x được gọi là biến số hay đối số của f

1.2.3 Phương trình một ẩn

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg Đặt D là giao của Df và Dg

Mệnh đề chứa biến “ f(x) = g(x)” được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là

ẩn số, D được gọi là tập xác định của phương trình Số x0 thuộc D được gọi là

nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nếu “f(x0) = g(x0)” là mệnh đề đúng

1.3 Nhận xét

Với các em học sinh phổ thông, định nghĩa nào trong hai định nghĩa trên là hợp lí? Ta hãy cùng phân tích để tìm câu trả lời

Trong lịch sử toán học, khái niệm “Phương trình” có trước khái niệm

“Hàm số” Nói cách khác, không có khái niệm hàm số, loài người đã biết định nghĩa phương trình (một cách chặt chẽ) bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn

Tất cả các loại phương trình được đề cập đến trong chương trình Toán phổ đều có thể định nghĩa bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn

Định nghĩa bằng khái niệm hàm số mở rộng thêm lớp các phương trình

x khi x f(x)

x + 3, chỉ có thể định nghĩa bằng khái niệm hàm số chứ không thể định nghĩ

bằng khái niệm đẳng thức chứa ẩn Tuy nhiên, trong SGK đại số 10, 11, 12 không có một ví nào đại loại như ví dụ trên, do đó, đa số học sinh không thể thấy được ý nghĩa của sự mở rộng nói trên

Định nghĩa phương trình bằng khái niệm hàm số rất dễ dẫn đến khái niệm

tập xác định của phương trình và trên thực tế, trong SGK đại số 10 đã có khái

niệm này

Khi đưa ra một khái niệm toán học mới, tác giả của khái niệm trước hết

phải trả lời được câu hỏi “Để làm gì?” Hình như tác giả của khái niệm tập xác

định chưa nghĩ tới việc trả lời câu hỏi trên

Sự xuất hiện của khái niệm tập xác của phương trình – điều kiện của

phương trình sẽ kéo theo một quan niệm sai lầm: trước khi giải phương trình cần phải tìm tập xác định của phương trình – điều kiện của phương trình

Vì định nghĩa bằng khái niệm hàm số nên SGK đại số 10 rơi vào tình trạng tiền hậu bất nhất: định nghĩa phương trình một ẩn bằng khái niệm hàm số, định nghĩa phương trình nhiều ẩn bằng khái niệm biểu thức chứa ẩn Rất phản sư phạm!

Tất cả các lập luận trên giúp ta đi đến khẳng định: nhiều bài toán giải phương trình ta không nhất thiết phải tìm tập xác định, điều kiện ngay khi bắt tay vào giải, ta có thể thực hiện bước tìm điều kiện như một bước trong lời giải

Khẳng định trên sẽ được minh hoạ cụ thể bởi các ví dụ trong mục 2.3.2

Chương 2 ĐƯỜNG LỐI CHUNG ĐỂ GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện

Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện là bài toán quen thuộc với tất cả

chúng ta Về hình thức, nó được phát biểu như sau

Tìm tất cả các đối tượng A( ) a

Kí hiệu A( ) a biểu thị đối tượng A có tính chất a

Cùng với kí hiệu A( ), a ta còn dùng kí hiệu A( ) a để biểu thị đối tượng A không có tính chất a

Các kí hiệu A( ) a và A( ) a có hiệu lực trong toàn bộ luận văn này

Trong bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện, thuật ngữ “tìm” cần phải hiểu là “tìm hết” chứ không phải là “tìm được” Nói một cách chính xác, tìm tập hợp {A A( ) a }

Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện chỉ có ba phương pháp giải,

được mô hình hoá như sau

Phương pháp 1: biến đổi hệ quả và thử lại*

Bước 1: biến đổi hệ quả* A( ) a Þ A Î T

tìm kiếm đối tượng thoả mãn điều kiện cụ thể, sử dụng phương pháp nào trong

hai phương pháp trên là vấn đề không đơn giản đòi hỏi người giải toán phải có kĩ năng

Phương pháp 3: đoán nhận và khẳng định*

Bước 1: đoán nhận* Bằng một cách nào đó chỉ ra rằng T Ð {A( ) a }

Bước 2: khẳng định* A Ï T Þ A( ) a A Î T Þ A( ) a

Chú ý:

Nếu sử dụng phương pháp đoán nhận và khẳng định thì ta phải có công

Cần phải nói thêm rằng, để giải bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện,

về phương diện lôgic, song hành với các phương pháp 1, 3 còn có hai phương pháp giải khác, được mô hình hoá như sau

Phương pháp 1’, bao gồm hai bước

2.2 Bài toán giải phương trình

2.2.1 Đường lối chung để giải một phương trình – Các ví dụ

Giải phương trình tức là tìm hết các nghiệm của phương trình

Như vậy bài toán giải phương trình là một trong các bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện Do đó, về phương diện logic nó chỉ có thể được giải bởi một trong ba phương pháp sau: biến đổi hệ quả và thử lại; biển đổi tương đương; đoán nhận và khẳng định

Các ví dụ dưới đây là sự cụ thể hoá ba phương pháp trên

Ví dụ 2.2.1.1 Biến đổi hệ quả và thử lại

Giải phương trình sau

163

Lời giải

Bước 1: biến đổi hệ quả

Giả sử x0 là nghiệm của (1) Ta thấy:

0

0

x 7 37 x 4

é = ê ê Þ

ê = êë

Bước 2, thử lại

Với x0 = 7 thay vào phương trình (1): 2.7 7 3 16  nên 7 là nghiệm của phương trình

Ví dụ 2.2.1.2 Biến đổi tương đương

Giải phương trình sau

-ïîê

Û ê

í - - = - ïêï

-êìïê

- <

ïîë 0

0

2 0 0 2 0 0

ï ³êïî ê Û êíï + + = ïêìê

ï <

êïîë

0 0 0

0 0 0

ïêì êë = ïêï

-êï ïïîê ³

Û êí é

ïê = - +

ï ê êïï êïêì

= - ê

-ê ë ïêï

ïê <

ïïîë

0 0 0

x 1 2

x 2 3 là tuyển ba đẳng thức đúng.

ộ = + ờ

ờ

Û ờ = - + ờ

ờ = ờở

x 2x 1 0

0 0

x 1 2

x 1 2

ộ = + ờ

Û ờ

=

Kết hợp với điều kiện x0  1 0, ta thấy:

x0 là nghiệm của phương trỡnh

x 4x 1 0

0 0

x 2 3

x 2 3

ộ = - + ờ

Û ờ

= -

Kết hợp với điều kiện x0  1 0, ta thấy:

x0 là nghiệm của phương trình

x Vậy (1) không có nghiệm khi x > 1

Khi 0 < x < 1, ta có xx < 1x =1 và x2 < x, do đó x – x2 > 0, suy ra 2

Kết luận x = 1 là nghiệm của phương trình (1)

Ví dụ 2.2.1.4 đoán nhận và khẳng định

2.2.2 Phương trình hệ quả, phương trình tương đương

Lời giải của ví dụ 2.2.1.1 là lời giải chuẩn bằng phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại, lời giải của ví dụ 2.2.1.2 là lời giải chuẩn bằng phương pháp biến đổi tương đương Tuy nhiên, cả hai lời giải trên đều qúa rườm rà Để khắc phục tình trạng trên, sử dụng các khái niệm của lí thuyết tập hợp, người ta đưa ra hai khái niệm: phương trình hệ quả, phương trình tương đương

Nếu tập nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nằm trong tập nghiệm của phương trình F(x) = G(x) thì phương trình F(x) = G(x) được gọi là phương trình

hệ quả của phương trình f(x) = g(x)

Để biểu thị F(x) = G(x) là hệ quả của f(x) = g(x), ta viết:

f(x) = g(x)  F(x) = G(x)

Nếu tập nghiệm của phương trình f(x) = g(x) bằng tập nghiệm của phương trình f(x) = g(x) thì ta nói phương trình f(x) = g(x) và phương trình F(x) = G(x)

là hai phương trình tương đương

Đương nhiên f(x) = g(x)  F(x) = G(x) khi và chỉ khi f(x) = g(x)  F(x)

= G(x) và F(x) = G(x)  f(x) = g(x)

Hãy chú ý tới sự hoàn hảo của kí hiệu, dấu  bao gồm hai dấu:  và  Nhờ các khái niệm phương trình hệ quả và phương trình tương đương, lời giải của các ví dụ 2.2.1.1 và 2.2.1.2 được thể hiện đơn giản hơn

Ví dụ 2.2.2.1 (giải lại bằng khái niệm phương trình hệ quả)

Giải phương trình sau

163

4x 65x 256 0

x 7 37 x 4

é = ê ê Þ

ê = êë

Lời giải

Ví dụ 2.2.2.2 (Giải lại bằng khái niệm phương trình tương đương) Giải phương trình sau

x - 1 = - x(x - 3). (1) Lời giải

Cách 1

x - 1 = - x(x - 3)

x 1 x(x 3)

x 1 0 (x 1) x(x 3)

-ïê ³ ïîê

Û êí é

ïê = - +

ï ê ïêï ê

êì = - -êëêïïêï <

Û ê = - + ê

ê = êë

-Kết luận

Phương trình có nghiệm là 1 + 2.; - 2 + 3; - 2 - 3.

- = -

-Û - - = - - 2

2y + t = 0 có thể được coi là một phương trình ẩn y chứa tham số t

Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là giải một họ các phương trình (mỗi giá trị cụ thể của tham số cho ta một phương trình trong họ)

9 4 2

9 4

9 4

9 4

9 4 2

9 4

9 2

2.3 Đặt điều kiện trong bài toán giải phương trình

2.3.1 Tập xác định của phương trình – điều kiện của phương trình

Nếu hàm số y = f(x) có tập xác định là Df và hàm số y = g(x) có tập xác định là Dg , thì tập xác định của phương trình f(x) = g(x) là tập hợp D = Df ∩ Dg

Giả sử D là tập xác định của phương trình f(x) = g(x)

Điều kiện để x thuộc D (hay điều kiện của x để f(x) và g(x) có nghĩa) được

gọi là điều kiện xác định của phương trình (gọi tắt là điều kiện của phương

em học sinh mà với cả những người làm toán sơ cấp chuyên nghiệp

Nếu không trả lời được câu hỏi trên thì người giải phương trình rất dễ rơi vào các tình trạng sau:

+ Khi không cần đặt điều kiện thì lại đặt điều kiện

+ Khi cần đặt điều kiện thì lại không đặt điều kiện

+ Khi cần đặt điều kiện không biết cách đặt điều kiện sao cho đơn giản và hiệu quả

Trong tình hình trên, sự xuất hiện của khái niệm tập xác định của phương trình – điều kiện của phương trình (mà lại xuất hiện trong SGK) quả là mảnh đất tốt để nảy sinh cách sử lí máy móc sau: tìm điều kiện xác định của phương trình trước khi giải bất cứ một phương trình nào

Cách sử lí trên có hợp lí không? Các ví dụ dưới đây sẽ trả lời điều đó

Cách 1 (Thừa nhận khái niệm miền xác định của phương trình)

Miền xác định của phương trình: Dm;

Nếu x < 3 thì phương trình đã cho vô nghiệm

Nếu x3 thì phương trình đã cho tương đương với phương trình

x2 7xm 9 0

13 4

3

13 4

13 7

13 4

7 13

372134

7 13

mm

cã nghiÖmm

mm

13 4

13 3

Cách 2 (Không thừa nhận khái niệm miền xác định của phương trình)

Ta có phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

1343

1343

mx

mx

13m4

13 4 3 13 4 13 4

m

cã nghiÖm m

2

2

x x

x x

2

2

x x

x x

– 5 = 0

  , vế trái của (a) là số vô tỉ ≠ 0 = vế phải của (a); vế trái của (b)

là số vô tỉ ≠ 0 = vế phải của (b)

vào điều kiện (a) dễ thấy vế trái (a) là số vô tỷ, nên vế trái (a) khác 0

2

2

x x

x x

4 5 4 2

x 2x 3x 5 0

x 0 (x 2).x x 2x 3x 5

Việc kiểm tra x 5

3

3

- 2x4 + 3x2 – 5  0 và x4  0 Điều đó có nghĩa là cách 2 tốt hơn cách 1

Qua các ví dụ trên, có thế nói rằng bất cứ lời giải nào của bài toán giải phương trình có chứa công đoạn tìm điều kiện xác định của phương trình cũng

có thể thay thế bởi một lời giải không dài hơn và không có công đoạn tìm điều kiện xác định của phương trình, có thể nói rằng trong khá nhiều trường hợp công đoạn tìm điều kiện xác định của phương trình làm cho lời giải bài toán giải phương trình dài ra, phức tạp hơn

2.3.3 Đặt điều kiện với phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại

Nếu giải phương trình bằng phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại thì việc đặt điều kiện có vai trò như một hoặc một vài phép biến đổi hệ quả Hiểu rõ vấn

đề này, ta sẽ biết cách đặt điều kiện sao cho hợp lí trong khi giải phương trình bằng phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại

Nhận định trên sẽ được minh hoạ qua các ví dụ có kèm theo nhận xét dưới đây