Nghiên cứu hiệu chỉnh hóa trong bài toán cân bằng

Nghiên cứu hiệu chỉnh hóa trong bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS TSKH LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN - 2009

Chương 2 Phương pháp chiếu và đạo hàm tăng cường giải bài toán

2.1 Phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng 162.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường giải bài toán cân bằng 25Chương 3 Phương pháp hàm đánh giá 403.1 Hàm đánh giá A.Auslender 423.2 Hàm đánh giá M.Fukushima 48

Mở đầu

Bài toán cân bằng có nhiều ứng dụng trong khoa học, kĩ thuật và đời sốngnhư: vật lí (đặc biệt là cơ học), hoá học, sinh học, quân sự, nông nghiệp,kinh tế, viễn thông Bài toán cân bằng là bài toán tổng quát, nó bao gồmcác trường hợp riêng như: bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân,bài toán bù phi tuyến, bài toán Nash trong trò chơi hợp tác Do có ứngdụng thực tế rộng rãi nên việc quy về bài toán cân bằng và đưa ra các thuậttoán giải bài toán cân bằng là cần thiết Ngày nay với sự phát triển nhanhchóng của kĩ thuật tin học nên phạm vi và khả năng ứng dụng của bài toáncân bằng ngày càng mở rộng

Luận văn này nhằm giới thiệu về bài toán cân bằng và một số phươngpháp hiệu chỉnh cho bài toán cân bằng Luận văn gồm mục lục, ba chương,phần kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1 trước hết nhắc lại khái niệm và kết quả cơ bản nhất về tập lồi

và hàm lồi sẽ được dùng ở các chương sau Tiếp theo là giới thiệu về bàitoán cân bằng và các trường hợp riêng của nó Phần này được coi là cơ sở

lí thuyết cho các phương pháp sẽ dùng đến ở các chương sau

Chương 2 trình bày hai phương pháp hiệu chỉnh bài toán cân bằng, đó

là phương pháp chiếu và phương pháp đạo hàm tăng cường

Chương 3giới thiệu hai loại hàm đánh giá là hàm đánh giá Auslender vàhàm đánh giá Fukushima Các thuật toán tương ứng với hai loại hàm đánhgiá này được trình bày chi tiết trong chương 3

Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã nhận được sự giúp đỡ và hướngdẫn tận tình của GS.TSKH Lê Dũng Mưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc đến thày của mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thày cô trong Bộ môn toán, Trường

Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, cùng các bạn học viên lớp caohọc toán K1 đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, động viên, khích lệ để luận

văn được hoàn thành.

Mặc dù tác giả đã cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếusót, hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thàycô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Thái Nguyên, 10/2009

Học viên

Hoàng Thị Kim Ngọc

Chương 1

Bài toán cân bằng

Chương này nhằm giới thiệu một số khái niệm và kiến thức cơ bản về bàitoán cân bằng và các trường hợp riêng của nó Trước tiên ta khái quát lạimột số kiến thức về giải tích lồi sẽ dùng đến trong các phần của luận văn.1.1 Các kiến thức chuẩn bị

Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu, phân tích vàxây dựng các thuật toán giải bài toán cân bằng Mục đích chính của phầnnày là nhắc lại một số kiến thức về giải tích lồi, các định lý không đượcchứng minh có thể xem trong [4]

Kí hiệu R là tập số thực, Rn là không gian Euclid n chiều

Định nghĩa 1.1.1 [4] Cho hai điểm a, b trong không gian Euclid n-chiều

(a) (b) (c) (d)

Hình 1.1 (a), (c)- Tập lồi; (b), (d)- Tập không lồi

Định lý 1.1.1 [1]Tập lồi là đóng với phép giao, phép hợp, phép cộng, phépnhân với một số và phép lấy tổ hợp tuyến tính Tức là, nếu A và B là haitập lồi trong Rn thì các tập sau cũng là tập lồi:

a, A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B},

b, αA + βB := {x = αa + βb : a ∈ A, b ∈ B}

Định nghĩa 1.1.3 [1] Tập A ⊂ Rn được gọi là nón nếu:

x ∈ A, λ ≥ 0 ⇒ λx ∈ A

Một nón luôn chứa điểm gốc 0 ∈ Rn Tập A ⊂ Rn được gọi là nón lồi nếu

A vừa là nón vừa là tập lồi, tức là

là một nón lồi đóng hay là nón pháp tuyến ngoài của A tại x0

Định nghĩa 1.1.5 [3] Cho tập lồi khác rỗng A ⊆ Rn Vecto d 6= 0 đượcgọi là phương lùi xa của A nếu với mỗi x ∈ A có:

{x + λd | λ ≥ 0} ⊂ A

Nhận xét [3]

?Mọi nửa đường thẳng song song với một phương lùi xa d xuất phát từ một

điểm bất kì của A đều nằm trọn trong A Rõ ràng, tập A không bị chặn khi

và chỉ khi A có một phương lùi xa.

? Tập tất cả các phương lùi xa của tập lồi A ⊆ Rn cùng vecto 0 tạo thànhnón lồi Nón lồi được gọi là nón lùi xa của tập A và kí hiệu là recA

? Ta nói hai phương d1 và d2 là khác biệt nếu d1 6= αd2, α > 0 Phương lùi

xa d của tập A được gọi là phương cực biên của A nếu không tồn tại cácphương lùi xa khác biệt d1 và d2 của A sao cho d = λ1d1+ λ2d2, λ1, λ2 > 0

Định nghĩa 1.1.6 [1] Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửakhông gian đóng được gọi là tập lồi đa diện hay gọi là khúc lồi

Định nghĩa 1.1.7 [1] Tập con B của khúc lồi A được gọi là một diện của

A nếu hễ B chứa một điểm trong của một đoạn thẳng nào đó của A thì Bchứa cả đoạn thẳng đó của A Tức là,

∀a, b ∈ A nếu x = λa + (1 − λ)b ∈ B, 0 < λ < 1 ⇒ a, b ∈ B.Một diện có thứ nguyên bằng 0 được gọi làmột đỉnhhay một điểm cực biên

Định nghĩa 1.1.8 [5] Cho M, K là các tập lồi khác rỗng của Rn, M ⊆ K

c, Hàm f đơn điệu trên M nếu với mỗi cặp x, y ∈ M ta có:

b, Hàm f là hàm lồi chặt trên tập lồi X, nếu:

fλx + (1 − λ)y < λf (x) + (1 − λ)f (y),với bất kì x, y ∈ X, x 6= y và λ ∈ (0, 1)

c, Hàm f là hàm lồi mạnh với hệ số β > 0 trên tập lồi X nếu:

fλx + (1 − λ)y ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − β(1 − λ)λ k x − y k2,với bất kì x, y ∈ X và λ ∈ (0, 1)

d, Hàm f được gọi là hàm tựa lồi trên tập lồi X, nếu với ∀α ∈ R, tập mứcdưới Lα(f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} là tập lồi

Định lý 1.1.3 [1]Cho f là hàm lồi trên tập lồi A và g là hàm lồi trên tậplồi B Khi đó, các hàm sau là hàm lồi trên tập lồi A ∩ B:

a, λf + βg, ∀λ, β ≥ 0,

b, max(f, g)

Định lí 1.1.3 nhìn chung không đúng cho hàm tựa lồi Một hàm lồi có thểkhông liên tục tại một điểm trên biên miền xác định của nó Tuy nhiên, nólại liên tục tại mọi điểm trong của tập đó theo định lí sau:

Định lý 1.1.4 [1] Một hàm lồi xác định trên tập lồi A thì liên tục tại mọi

điểm trong của tập A

Định lý 1.1.5 [4] Cho hàm f lồi, khả vi trên tập lồi A Khi đó với mọi

x, y ∈ A có:

f (y) − f (x) ≥Nếu f lồi chặt, khả vi trên tập lồi A Khi đó với mọi x, y ∈ A và x 6= y tacó:

f (y) − f (x) >

Nếu f là lồi mạnh với hệ số β > 0, khả vi trên tập lồi A Khi đó với mọi

x, y ∈ A ta có:

Định lý 1.1.6 [1] Cho f là hàm lồi, khả vi trên tập lồi đóng A Một điểm

x∗ ∈ A là nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch lồi:

min

x∈A f (x)khi và chỉ khi nó là điểm dừng của f trên A, tức là:

có nghiệm duy nhất

Định nghĩa 1.1.10 [1] Cho f là một hàm lồi trên tập lồi A Một vecto

y∗ ∈ Rn được gọi là dưới vi phân của f tại x∗ ∈ A nếu:

f (x) ≥ f (x∗) + ∗, x − x∗, ∀x ∈ A

Tập hợp tất cả các điểm y∗ thoả mãn bất đẳng thức trên được kí hiệu ∂f(x∗).Tập ∂f(x∗) nhìn chung thường chứa nhiều điểm Trong trường hợp ∂f(x∗)chỉ chứa duy nhất một điểm ta nói rằng f khả vi tại x∗

Ví dụ 1.1.2 f(x) =k x k khả vi tại mọi điểm x 6= 0 do ∂f(x) = k x k−1

là cực tiểu tuyệt đối của f trên D nếu f(x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ D

Định lý 1.1.7 [1] a, Mọi điểm cực tiểu địa phương của một hàm lồi trênmột tập lồi đều là điểm cực tiểu tuyệt đối

b, Nếu x∗ là điểm cực tiểu của hàm lồi f trên tập lồi D và x∗ ∈ intD thì

0 ∈ ∂f (x∗)

Định lý 1.1.8 [1] Cực đại của một hàm lồi (nếu có ) trên một tập lồi có

điểm cực biên bao giờ cũng đạt tại một điểm cực biên

1.2 Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng

Bài toán cân bằng có ý nghĩa quan trọng trong kinh tế và nhiều lĩnh vựcthực tiễn khác Hơn nữa, bài toán cân bằng là sự mở rộng của nhiều bàitoán khác như: bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toáncân bằng Nash Vì lí do đó mà lớp các bài toán cân bằng được nhiều nhàtoán học quan tâm, nghiên cứu Phần này sẽ giới thiệu dạng toán học củabài toán cân bằng và một số bài toán tương đương với bài toán cân bằng.Nội dung chủ yếu của phần này được tham khảo trong [2]

Trong toàn bộ luận văn này ta luôn giả thiết K là tập lồi đóng khác rỗngtrong Rn

Định nghĩa 1.2.1 [2] Cho hàm f : K ì K → R thoả mãn f(x, x) =

0, ∀x ∈ K Khi đó, bài toán cân bằng được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ K sao cho f(x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ K (1.1)

Hàm số f thoả mãn tính chất f(x, x) = 0, ∀x ∈ K được gọi là hàm cânbằng trên K.

Như đã nói ở trên, các bài toán quan trọng có thể đưa về bài toán cân bằng.Dưới đây ta trình bày sự tương đương của bài toán cân bằng với các bàitoán khác

Bài toán tối ưu [2]

Cho J : K → R là một hàm số xác định trên K Khi đó, bài toán tối ưu

được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ K sao cho J(x∗) ≤ J (y), ∀y ∈ K (1.2)Nếu ta đặt f(x, y) := J(y) − J(x) với ∀x, y ∈ K thì bài toán tối ưu tương

đương với bài toán cân bằng

Thật vậy, giả sử x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (1.2) nên theo định nghĩa

Vậy x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (1.1)

Ngược lại, cho x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (1.1) nên ta có:

f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ K

Theo cách đặt ta có:

f (x∗, y) = J (y) − J (x∗) ≥ 0, ∀y ∈ K

⇒ J(y) ≥ J(x∗), ∀y ∈ K

Vậy x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (1.2)

Bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát [2]

Cho T : K → 2R là ánh xạ nửa liên tục trên từ một điểm vào một tập hợpsao cho T (x) là tập compact, ∀x ∈ K Khi đó, bài toán bất đẳng thức biếnphân tổng quát được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ K, ξ∗ ∈ T (x∗) ∗, y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ K (1.3)Nếu ta đặt f(x, y) := maxξ∈T (x) thì bài toán cânbằng (1.1) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát.Thật vậy, giả sử x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (1.3) nên có:

Vậy x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (1.1)

Ngược lại, cho x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (1.1) nên

Vậy x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (1.3)

• Nếu T là ánh xạ đơn trị thì bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát làbài toán bất đẳng thức biến phân sau:

Tìm x∗ ∈ K ∗), y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ K (1.4)

trên bài toán (1.4) tương đương với bài toán cân bằng (1.1)

Bài toán bù phi tuyến [2]

Cho K ⊆ Rn là một nón lồi đóng, K∗

= {x ∈ Rn |

là nón đối cực của nón K

Cho ánh xạ T : K → Rn liên tục Khi đó, bài toán bù phi tuyến được phátbiểu như sau:

Tìm x∗ ∈ K sao cho T (x∗

) ∈ K ∗), x∗ = 0 (1.5)

(1.5) sẽ tương đương với bài toán cân bằng (1.1)

Thật vậy, giả sử x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (1.5) nên ta có:

Vậy x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán cân bằng (1.1)

Ngược lại, cho x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (1.1) ta có:

Chú ý Khi K là nón lồi đóng thì bài toán bất đẳng thức biến phân (1.4)

chính là bài toán bù phi tuyến (1.5).

Bài toán điểm bất động Kakutani [2]

Cho T : Rn → 2Rn với K ∩T (x) là tập compact lồi, khác rỗng, với ∀x ∈ K.Khi đó, bài toán điểm bất động Kakutani được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ K sao cho x∗ ∈ T (x∗) (1.6)Nếu ta đặt f(x, y) := maxξ∈T (x) thì bài toán cânbằng (1.1) tương đương với bài toán điểm bất động (1.6)

Thật vậy, giả sử x∗ ∈ K là nghiệm của (1.6) nên

T (x∗) = x∗.Mặt khác theo cách đặt ta có

Vậy x∗ ∈ K là nghiệm của (1.6)

• Nếu T là ánh xạ đơn trị thì bài toán điểm bất động Kakutani trở thànhbài toán điểm bất động Brouwer sau:

Tìm x∗ ∈ K sao cho x∗

= T (x∗) (1.7)

như trên chỉ ra được rằng bài toán (1.7) tương đương với bài toán cân bằng.

Bài toán cân bằng Nash (trong trò chơi không hợp tác) [2]

• Cho I = {1, 2, , p} là tập chỉ số hữu hạn (tập p−người chơi )

• Ki là tập lồi khác rỗng của Rn

i (tập chiến lược của người chơi thứ i )

•Hàm fi : K1ì ì Kp → R cho trước (hàm tổn thất của người chơi thứ

i khi vi phạm chiến lược của những người chơi với ∀i ∈ I )

Khi đó, bài toán cân bằng Nash được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ K sao cho fi(x∗) ≤ fi(x∗[yi]), ∀i ∈ I, ∀y ∈ K (1.8)

Điểm thoả mãn (1.8) gọi là điểm cân bằng Nash Về ý nghĩa kinh tế, điểmcân bằng này nói lên rằng bất kì đối thủ nào chọn phương án ra khỏi điểmcân bằng trong khi các đối thủ còn lại vẫn giữ phương án điểm cân bằngthì đối thủ ra khỏi điểm cân bằng sẽ bị thua thiệt

Nếu ta đặt f : KìK → R được xác định bởi f(x, y) := Pp

i=1

{fi(x[yi]) − fi(x)}với ∀x, y ∈ K thì bài toán cân bằng Nash (1.8) tương đương với bài toáncân bằng (1.1)

Thật vậy, giả sử x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (1.8) nên:

Theo cách đặt có:

f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ K

Vậy x∗ ∈ K là nghiệm của (1.1)

Ngược lại, cho x∗ ∈ K là nghiệm của (1.1) mà không là nghiệm của (1.9)

2.1 Phương pháp chiếu giải bài toán cân bằng

Phương pháp chiếu là phương pháp cơ bản nhất để giải bài toán đối ngẫucủa bài toán cân bằng Trước tiên ta định nghĩa bài toán đối ngẫu

Định nghĩa 2.1.1 [2] Bài toán đối ngẫu của bài toán cân bằng được phátbiểu như sau:

Tìm x∗ ∈ K sao cho : f(y, x∗) ≤ 0, ∀y ∈ K (2.1)Trong đó, f : K ì K → R là hàm liên tục thoả mãn:

Chứng minhCho x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán đối ngẫu, lấy y ∈ K, ∀λ ∈[0, 1] ta định nghĩa zλ ∈ K như sau:

zλ := λy + (1 − λ)x∗.Với mỗi λ ∈ [0, 1] ta có

? Mệnh đề đảo của định lí 2.1.1 không đúng Thật vậy, lấy N = 1 và lấy

K = [0, 2] và kí hiệu S1 là tập nghiệm của bài toán đối ngẫu, S2 là tậpnghiệm của bài toán cân bằng Khi đó,

a, f (x, y) = (x − y)2 ⇒ S1 = ∅, S2 = [0, 2] ⇒ S1 * S2

b, f (x, y) = max{0, | x − y | −1} ⇒ S1 = {1}, S2 = [0, 2] ⇒ S1 * S2

? Khi f là giả đơn điệu, nghĩa là ∀x, y ∈ K : f(x, y) ≥ 0 ⇒ f(y, x) ≤ 0,mệnh đề đảo của 2.1.1 đúng Khi đó, bài toán đối ngẫu và bài toán cânbằng có cùng tập nghiệm

Ta có thuật toán chiếu 2.1 sau để giải bài toán đối ngẫu

Thuật toán chiếu 2.1 [2]

Bước 1: Cho k = 0, x0 ∈ K và r0 = k x0 k

Bước 2: Lấy xk và rk

(i) Định nghĩa:

(2.6)

Do tính chất của phép chiếu trực giao và x∗ ∈ Lf(yk) nên số hạng cuốicùng của (2.6) không dương, tức là:

Vậy dãy {k xk − x∗ k}k≥0 không tăng và do đó hội tụ

b, Theo kết quả a, ta có dãy {k xk − x∗ k}k≥0 hội tụ

Mặt khác, k xk k= k xk − x∗ + x∗ k≤ k xk − x∗ k + k x∗ k

⇒ {xk}k≥0 bị chặn

c, Ta viết lại (2.8) dạng:

tk(2 − tk) k xk− PLf(yk )(xk) k2≤ k xk − x∗ k2 − k xk+1 − x∗ k2 (2.9)Vì 0 < α ≤ tk ≤ 2 − α với 0 < α < 1 ta có 0 < α(2 − α) ≤ tk(2 − tk)

Do tÝnh liªn tôc cña f nªn suy ra:

• Cho B(δ) = B(δ) ∩ Kb , xÐt bµi to¸n c©n b»ng ([EPδ) víi hµm f vµ tËpchÊp nhËn B(δ)b :

rk0 ≥ r∗ − δ Khi đó:

r∗ + 1 − δ ≤ rk + 1, ∀k ≥ k0

Do đó,

bB(δ) ⊂ Kk, ∀k ≥ k0.Lấy z ∈ B(δ)b , ta có z ∈ Kk, ∀k ≥ k0 Vì vậy,

Theo định lí 2.1.1 suy ra x là nghiệm của bài toán (EPdδ) với 0 < δ < 1

• x là nghiệm của bài toán cân bằng 1.1?

Cho x là nghiệm của bài toán ([EPδ), tức là f(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ B(δ)b

Theo giả thiết có f(x, x) = 0

Từ các điều trên ta khẳng định x là nghiệm của bài toán tối ưu lồi:

min

y∈ b B(δ)

f (x, y) (2.19)Hàm g : Rn

Với hàm g vừa định nghĩa ta có thể viết lại (2.19) như sau:

Lại do g là hàm lồi, nên x là điểm cực tiểu không ràng buộc của g

Tức là, g(x) ≤ g(y), ∀y ∈ Rn, trong đó g(x) = f(x, x) = 0 ≤ g(y) =

Theo mệnh đề 2.1.2a, ta có {k xk− x}k≥0 hội tụ

Vì thế dãy con {k xk n−x}kn≥0hội tụ về 0, nên {k xk−x}k≥0 hội tụ về 0, tức

là lim

Định lí sau đây sẽ chỉ ra tính chất hội tụ thuật toán chiếu liên tiếp 2.1

Định lý 2.1.2 [2]Cho {xk}k≥0 và {yk}k≥0 ⊂ K là dãy được tính từ thuậttoán 2.1 Khi đó:

b, Nếu bài toán cân bằng vô nghiệm thì {xk}k≥0 không hội tụ

Chứng minh

a, Do +∞T

k=0

Lf(yk) 6= ∅ và theo mệnh đề 2.1.2, 2.1.3 suy ra {xk}k≥0 hội tụ

đến nghiệm của bài toán cân bằng

b, Bằng phản chứng, giả sử {xk}k≥0 ⊂ Rn hội tụ tới nghiệm x∗

∈ Rn

Do {xk}k≥0 hội tụ nên {xk}k≥0 bị chặn và lim

k→+∞{xk+1 − xk} = 0

Phần còn lại của chứng minh được lập luận như trong chứng minh mệnh

đề 2.1.3 Do đó, x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng 1.2.1 Mâu thuẫn với giảthiết Vậy bài toán cân bằng vô nghiệm 

Hệ quả 2.1.1 [2] Nếu bài toán đối ngẫu có nghiệm thì {xk}k≥0 hội tụ tớinghiệm của bài toán cân bằng

Lf(yk) Theo định lí 2.1.2 suy ra điều phải chứng minh

Hệ quả 2.1.2 [2]Cho {xk}k≥0, {yk}k≥0 là các dãy được tính từ thuật toán2.1 Nếu f là giả đơn điệu và hoặc {xk}k≥0 hoặc {yk}k≥0 bị chặn thì{xk}k≥0 hội tụ đến nghiệm của bài toán cân bằng

Lf(yk) 6= ∅ Theo định lí 2.1.2 suy ra điều phải chứng minh 

2.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường giải bài toán cân bằng

Phương pháp đạo hàm tăng cường lần đầu tiên được Korpelevich đề xuất

để giải bài toán tìm điểm yên ngựa, sau đó được phát triển cho bài toán bất

đẳng thức biến phân Phương pháp đạo hàm tăng cường giải bài toán cânbằng là sự mở rộng của nguyên lí bài toán cân bằng phụ Nhưng ở phươngpháp đạo hàm tăng cường cho phép giải các bài toán không cần giả thiết

đơn điệu mạnh cho hàm f mà chỉ yêu cầu hàm này thoả mãn điều kiệnLipschitz Trước tiên ta định nghĩa bài toán cân bằng phụ

Định nghĩa 2.2.1 [2] Cho L : K ì K → R và  > 0, ta xét bài toán cânbằng phụ sau:

Tìm x∗ ∈ K sao cho : f(x∗, y) + L(x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ K (2.21)Mệnh đề 2.2.1 [2] Cho f : K ì K → R với f(x, x) = 0, ∀x ∈ K và cho

Vậy x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán cân bằng phụ

(⇐⇐⇐) Cho x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán cân bằng phụ, ta sẽ chứng minh

x∗ ∈ K cũng là nghiệm của bài toán cân bằng

Do x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán cân bằng phụ nên nó cũng là nghiệm