Một số tính chất chọn lọc về hệ động lực rời rạc

Một số tính chất chọn lọc về hệ động lực rời rạc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN NGUYÊN BÌNH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CHỌN LỌC

VỀ HỆ ĐỘNG LỰC RỜI RẠC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - năm 2009

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH VŨ NGỌC PHÁT

Thái Nguyên - năm 2009

Mục lục

Một số kí hiệu dùng trong luận văn 5

1.1 Phương trình vi phân và sai phân 6

1.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov 8

1.3 Các định lý và bổ đề bổ trợ 11

Chương 2 ổn định và ổn định hoá các hệ rời rạc 15 2.1 ổn định của các hệ rời rạc 15

2.1.1 ổn định của các hệ rời rạc tuyến tính 15

2.1.2 ổn định của các hệ rời rạc phi tuyến 16

2.1.3 ổn định của hệ rời rạc tuyến tính có trễ 18

2.2 ổn định hoá các hệ rời rạc 25

2.2.1 Bài toán ổn định hoá 25

2.2.2 ổn định hoá của hệ tuyến tính 27

Chương 3 ổn định và ổn định hoá bền vững các hệ có trễ 32 3.1 Sự ổn định hoá bền vững của hệ có trễ 32

3.2 Sự ổn định bền vững và ổn định hoá bền vững của hệ có trễ với nhiễu phi tuyến 37

Lời nói đầu

Lý thuyết định tính các hệ động lực là một trong những hướng nghiêncứu quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân và sai phân Trong lýthuyết đó, tính ổn định là một trong những tính chất tiêu biểu, có nhiều ứngdụng trong thực tế, được quan tâm nghiên cứu trong những thập kỷ gần đây

Được bắt đầu nghiên cứu từ cuối thế kỷ XIX bởi nhà toán học V.Lyapunov và

đến nay đã trở thành một hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết

hệ thống và ứng dụng Các công trình của Luapunov có nhiều kết quả và ýtưởng xuất sắc có giá trị nền tảng cho những nghiên cứu sau này và hơn thế

nó còn có ý nghĩa đặt nền móng cho toàn bộ lý thuyết định tính của phươngtrình vi phân thường Hai phương pháp do ông đề xuất là phương pháp mũLyapunov (phương pháp thứ nhất) và phương pháp hàm Lyapunov (phươngpháp thứ hai hay phương pháp trực tiếp) vẫn là hai cách tiếp cận chính khinghiên cứu về ổn định Đến những năm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự pháttriển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầu nghiên cứu tính ổn địnhcủa các hệ điều khiển Bài toán nghiên cứu tính ổn định các hệ điều khiển

được gọi là bài toán ổn định hoá

Bài toán ổn định cho các hệ rời rạc là một trong những bài toán quantrọng trong lý thuyết định tính các hệ động lực Bài toán này từ trước cho

đến nay nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước,

có thể kể ra đây một số tác giả như Ladas, Agarwal, Gabasov and Kirillova,Myskis, Hoàng Hữu Đường, Nguyễn Khoa Sơn, Vũ Ngọc Phát, Nguyễn VănMinh,

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương và phần tài liệu tham khảo.Chương 1: Cơ sở toán học

Chương 2: ổn định và ổn định hóa các hệ rời rạc

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k ∈ Z+, (1)theo hai hướng khác nhau Một kết quả nghiên cứu theo hướng bất đẳng thức

ma trận và kết quả còn lại nghiên cứu dựa trên tính điều khiển được của cặp

và các hệ rời rạc không chắc chắn có trễ với nhiễu phi tuyến

x(k + 1) =(A + DaFa(k)Ea)x(k) + (B + DbFb(k)Eb)x(k − h)

+ f (k, x(k), x(k − h)), k ∈ Z+, (3)x(k + 1) =(A + DaFa(k)Ea)x(k) + (B + DbFb(k)Eb)x(k − h)

+ (C + DcFc(k)Ec)u(k) + f (k, x(k), x(k − h), u(k)), k ∈ Z+,

(4)trong đó x(k) ∈ Rn là biến trạng thái, u(k) ∈ Rm là biến điều khiển,

A, B, C, Da, Ea, Db, Eb, Dc, Ec là các ma trận hằng cho trước với số chiềuthích hợp, Fa(k), Fb(k), Fc(k) là các ma trận không chắc chắn chưa biết với

để hệ (2) và (4) là ổn định hoá được, mà như chúng ta đã biết điều này khôngphải khi nào cũng thực hiện được với một hệ rời rạc có trễ bất kỳ Mặt khác

điều kiện đặt ra cho hàm f(.) cũng là một trở ngại trong quá trình nghiêncứu, ở đây chúng tôi đã giả thiết điều kiện tăng trưởng cho f(.), tức là trong

Em xin cảm ơn các thầy cô của ĐH Thái Nguyên và Viện Toán học đãtận tình giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học

Tôi xin cảm ơn Trường ĐH Kinh tế & QTKD Thái Nguyên, khoa Khoahọc cơ bản trường ĐH Kinh tế & QTKD Thái Nguyên, khoa Toán trường

ĐHSP Thái Nguyên, khoa Sau Đại học trường ĐHSP Thái Nguyên đã quantâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện kế hoạch học tập củamình

Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đã cổ vũ động viên tôi trongsuốt quá trình làm luận văn

Một số kí hiệu dùng trong luận văn

• Z+ là tập tất cả các số nguyên không âm; R+ tập tất cả các số thựckhông âm; Rn

và chuẩn véc tơ là k k; Rnìr không gian các ma trận (n ì r) chiều

• AT ma trận chuyển vị của ma trận A; Ma trận A được gọi là đối xứngnếu A = AT; I là ma trận đơn vị

• Sp(A) tập tất cả các giá trị riêng của A

• λmax(A) = max{Reλ : λ ∈ Sp(A)}; λmin(A) = min{Reλ : λ ∈Sp(A)}

• k A klà chuẩn của ma trận A, được định nghĩa bởi k A k= (Pn

Đối với hệ không dừng

(

˙x = A(t)x + g(t), t ≥ 0,x(t0) = x0, t0 ≥ 0, (1.4)trong đó A(t) là hàm liên tục theo t và k A(t) k≤ m(t), với m(t), g(t) là cáchàm khả tích thì hệ (1.4) cũng có nghiệm duy nhất Nghiệm này biểu diễnqua ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất

trong đó Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.5) thỏa mãn

(i)d

dtΦ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s,

(ii)Φ(t, t) = I

Bên cạnh các hệ phương trình vi phân ta cũng xét các hệ sai phân tươngứng, xét hệ

x(k + 1) = f (k, x(k)), k = 0, 1, 2, (1.6)trong đó f(.) : Z+

x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k), k ∈ Z+, (1.7)thì với điều kiện ban đầu x(0) = x0 tuỳ ý và dãy

g = {g(0), g(1), , g(k − 1), },

nghiÖm x(k) t¹i b­íc k > 0 cho bëi c«ng thøc Cauchy

x(k + 1) = Ăk)x(k), k ∈ Z+

Ta cã thÓ biÓu diÔn c«ng thøc cña F (k, s) nh­ sau

F (k, s) = Ăk − 1).Ăk − 2) Ăs), k ≥ s ≥ 0, F (k, k) = Ị

NÕu Ặ) lµ ma trËn h»ng th× F (k, s) = Ak−s, k ≥ s ≥ 0 vµ khi ®ãnghiÖm cña hÖ tuyÕn tÝnh dõng víi thêi gian rêi r¹c lµ

§Þnh lý 1.1.1 (BÊt ®¼ng thøc Gronwall rêi r¹c [3]) Cho z(k), ăk) : Z+ −→

Z+ lµ c¸c d·y sè kh«ng ©m, C ≥ 0 vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

Định nghĩa 1.2.1 Nghiệm x(t) của hệ phương trình (1.1) được gọi là ổn

định nếu với mỗi  > 0, t0 ≥ 0 cho trước, tồn tại số δ > 0 (phụ thuộc , t0)sao cho bất kỳ nghiệm y(t) : y(t0) = y(0) của hệ thoả mãn k y0 − x0 k< δthì ta đều có k y(t) − x(t) k< , ∀t ≥ t0

• Nghiệm x(t) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và có một số

δ > 0 sao cho với k y0 − x0 k< δ thì k y(t) − x(t) k→ 0 khi t → ∞

• Nghiệm x(t) gọi là ổn định mũ nếu nó là ổn định tiệm cận và thêmvào đó tồn tại các hằng số dương α, M sao cho nếu k y0 − x0 k< δ thì

k y(t) − x(t) k< M e−αt với mọi t ≥ t0

Nhận xét rằng bằng cách đổi biến z = x − y (y là nghiệm bất kỳ) phươngtrình (1.1) đưa được về dạng

˙z = F (t, z), (1.8)trong đó F (t, z) = f(t, z + y) − f(t, y), F (t, 0) = 0 Khi đó nghiên cứu sự

ổn định của nghiệm x(t) nào đó của hệ (1.1) tương đương với nghiên cứutính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.8) Để đơn giản, từ đây ta sẽ xét hệ(1.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là f(t, 0) = 0, t ∈ R+ Ta nói

• Hệ (1.1) là ổn định nếu với mỗi  > 0, t0 ∈ R+ cho trước, tồn tại số

δ > 0 (phụ thuộc , t0) sao cho bất kỳ nghiệm x(t) : x(t0) = x(0) của hệthoả mãn k x0 k< δ thì k x(t) k<  với mọi t ≥ t0

• Hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và thêm vào đó tồn tại

δ > 0 sao cho nếu k x0 k< δ thì lim

t→∞ k x(t) k= 0

• Hệ (1.1) là ổn định mũ nếu nó là ổn định tiệm cận và tồn tại các hằng

số dương α, M sao cho mọi nghiệm x(t) : x(t0) = x0 của (1.1) :k x0 k< δthì k x(t) k< Me−αt với mọi t ≥ t0

Trong các định nghĩa trên nếu δ không phụ thuộc t0 thì sự ổn định (ổn

định tiệm cận) được gọi là ổn định đều (ổn định tiệm cận đều)

Sự ổn định của các hệ rời rạc được định nghĩa tương tự Xét hệ (1.6) ởtrên

Định nghĩa 1.2.2 Hệ (1.6) gọi là ổn định nếu với mỗi  > 0, k0 ∈ Z+

tồn tại δ > 0 (δ phụ thuộc , k0) sao cho với mọi nghiệm x(k) của hệ mà

k x(0) k< δ thì k x(k) k<  với mọi k ≥ k0 Hệ là ổn định tiệm cận nếu nó

ổn định và có một số δ > 0 sao cho lim

t→∞ k x(k) k= 0 với mọi nghiệm x(k)

mà k x(0) k< δ

Lý thuyết định tính phương trình vi phân có hai phương pháp chủ yếunghiên cứu tính ổn định của các nghiệm đó là phương pháp số mũ Lyapunov

và phương pháp dùng hàm Lyapunov (phương pháp trực tiếp) Trong phạm

vi của luận văn chúng tôi chỉ nêu một số kết quả chủ yếu về phương phápthứ hai Lyapunov

Phương pháp thứ hai nghiên cứu sự ổn định là phương pháp dùng hàmLyapunov, đối với phương pháp này chưa có một thuật toán tổng quát nào

để tìm được hàm Lyapunov cho tất cả các phương trình

Xét hệ phương trình phi tuyến

˙x(t) = f (x(t)), f (0) = 0, t ∈ R+ (1.9)Nhắc lại, một hàm số V (x) : Rn

−→ R là hàm xác định dương nếu

V (x) ≥ 0với mọi x ∈ Rn và V (x) = 0 khi và chỉ khi x = 0

Định nghĩa 1.2.3 Hàm V (x) : D ⊆ Rn

−→ R, D là lân cận tuỳ ý của 0,gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.9) nếu

(i)V (x) là hàm khả vi liên tục trên D

(iv) ∃c > 0 : DfV (x) ≤ −c k x k, x ∈ D\{0}

Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ để hệ (1.9) là ổn định tiệm cận

Định lý 1.2.4 ([3]) Nếu hệ (1.9) có hàm Lyapunov thì ổn định Hơn nữa,nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì hệ ổn định tiệm cận đều.

BA =B(I + AB)−1(I + AB)A = B(I + AB)−1A + B(I + AB)−1ABA

=B(I + AB)−1A(I + BA)

Vậy ta có

(I + BA)−1 = I − B(I + AB)−1A

Chiều ngược lại được chứng minh hoàn toàn tương tự 

Bổ đề 1.3.2 Giả sử A, B, C là các ma trận vuông (n ì n) chiều, B khảnghịch Khi đó ta có các khẳng định sau:

(i) B + AC không suy biến khi và chỉ khi I + CB−1A là không suy biến.(ii) Nếu B + AC không suy biến thì

= I + ACB−1− AD−1CB−1 − A(CB−1A)D−1CB−1

= I + A(I − D−1)CB−1 − A(D − I)D−1CB−1

Định lý 1.3.4 (Sylvester conditions ([6])) Ma trận A − (n ì n) chiều là xác

định dương nếu det(Di) > 0, i = 1, 2, , n và xác định âm nếu(−1)idet(Di) > 0, i = 1, 2, , n trong đó

Bổ đề 1.3.6 Cho A là ma trận khối đối xứng, khi đó tính xác định âm (dương)của ma trận A sẽ không thay đổi khi ta hoán vị lần lượt khối cột i với khốicột j và khối hàng i với khối hàng j

Sau khi hoán vị lần lựơt khối cột i với khối cột j và khối hàng i với khốihàng j, ma trận A trở thành ma trận A0 có dạng

Để chứng minh bổ đề ta chỉ cần chứng minh tính xác định âm của matrận khối A và A0 là tương đương

Thật vậy, giả sử A là ma trận xác định âm, λ là giá trị riêng nào đó của

A0 Vì λ là giá trị riêng của A0 nên det(A0 − λI) = 0, I là ma trận đơn vịcùng số chiều với A0 Theo tính chất của định thức ta có

det(A0 − λI) = 0 ⇔ det(A − λI) = 0

Điều đó có nghĩa là nếu λ là giá trị riêng của A0 thì nó cũng là giá trịriêng của A Vì A là ma trận đối xứng xác định âm nên theo Bổ đề 1.3.5 ta

có λ < 0, tức là mọi giá trị riêng của A0 là âm, hay ma trận A0 xác định âm.Chiều ngược lại được chứng minh hoàn toàn tương tự 

Bổ đề 1.3.7 (Schur complement lemma [15]) Với mọi ma trận P − (n ì n)chiều, M −(nìm) chiều và ma trận đối xứng xác định dương Q−(mìm)chiều, ta có

A ∈ Rnìn

Bổ đề 1.3.9 ([16]) Cho E, H và F là các ma trận thực có số chiều thíchhợp và FTF ≤ I Khi đó khẳng định sau là đúng:

EF HT + HFTET ≤ EET + −1HHT,  > 0

x(k) = Akx0.

Để x(k) → 0 khi k → ∞ theo định nghĩa ổn định tiệm cận thì hoặc

k A k= q < 1hoặc Ak → 0 khi k → ∞, do đó ta có định lý sau

Định lý 2.1.1 ([3]) Hệ (2.1) là ổn định tiệm cận nếu một trong hai điều kiệnsau xảy ra

(i) Tồn tại một số q : 0 < q < 1 sao cho k A k= q < 1

(ii)| λ |< 1 với mọi λ ∈ Sp(A)

Bây giờ ta xét hệ tuyến tính không dừng

x(k + 1) = A(k)x(k), k ∈ Z+ (2.2)

Định lý 2.1.2 ([3]) Đối với hệ 2.2 ta có khẳng định

(i) Hệ là ổn định tiệm cận nếu tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho k A(k) k≤ q vớimọi k ∈ Z+

(ii) Nếu A(k) = A+C(k) trong đó A là ma trận ổn định và k C(k) k≤ a,khi đó hệ sẽ ổn định với a đủ nhỏ.

2(k + 1)yk, k ∈ Z+,trong đó

14(k + 1)

Định lý 2.1.4 (Định lý Lyapunov cho hệ rời rạc) Xét hệ rời rạc

x(k + 1) = f (k, x(k)), k ∈ Z+ (2.3)Nếu tồn tại hàm số V (x) : Rn

ATP A − P + Q = 0,thì hệ phương trình 2.4 là ổn định tiệm cận

Chứng minh.

Xét hàm số V (x) = x(k)TP x(k) Do P là ma trận đối xứng xác địnhdương nên điều kiện (i) của Định lý 2.1.4 đương nhiên thoả mãn

2x(k) −

1

4y(k),trong đó

181

9 16

, Q = P − ATP A =



1 54

5 4

119 16

(i) Tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho k A(k) k≤ q, ∀k ∈ Z+

(ii) k g(k, x) k≤ L(k) k x k, ∀k ∈ Z+ với lim

k→∞supL(k) = 0

Khi đó hệ (2.5) là ổn định tiệm cận

q + L(k) < q + , ∀k > N.

Do đó,

k x(k) k≤k x0 k (q + L(0))(q + L(N − 1))(q + )k−N, ∀k > N

Từ đó suy ra k x(k) k→ 0 khi k → ∞ Định lý được chứng minh

2.1.3 ổn định của hệ rời rạc tuyến tính có trễ

Xét hệ rời rạc có trễ

x(k + 1) = Ax(k) + Bx(k − h), k ∈ Z+, (2.6)trong đó x(.) ∈ Rn, A, B là ma trận hằng, h ≥ 0 cho trước, điều kiện ban

đầu của hệ là

x(0) = x(−1) = = x(−h) = x0

Như vậy với mỗi x0 cho trước hệ luôn có nghiệm xác định, nghiệm ở bước

k được truy hồi từ k − h bước trước đó

Định nghĩa 2.1.8 Hệ (2.6) gọi là ổn định tiệm cận không phụ thuộc độ chậm

nếu với bất kỳ h ≥ 0 nào thì hệ cũng là ổn định tiệm cận

Để đơn giản ta vẫn nói hệ ổn định tiệm cận thay cho nói hệ ổn định tiệm

cận không phụ thuộc độ chậm Định lý dưới đây cho ta điều kiện đủ để hệ

(2.6) là ổn định tiệm cận

Định lý 2.1.9 [14] Hệ (2.6) là ổn định tiệm cận nếu một trong hai điều kiện

sau đây xảy ra

(i) Tồn tại hai ma trận đối xứng xác định dương P, W sao cho

=x(k)T[ATP A + Q − P ]x(k) + 2x(k)TATP Bx(k − h)+ x(k − h)T[BTP B − Q]x(k − h) (2.9)(i) Đưa (2.9) về dạng chính tắc bằng cách sau

∆Vk = − [M x(k − h) + N x(k)]T[M x(k − h) + N x(k)]

+ x(k)T[NTN + ATP A + Q − P ]x(k)

= − x(k − h)TMTM x(k − h) − 2x(k)TNTM x(k − h)+ x(k)T[ATP A + Q − P ]x(k)

M = [Q − BTP B]12và

N = −[Q − BTP B]−12BTP A

Theo Định lý 2.1.4, hệ (2.6) sẽ ổn định tiệm cận nếu có điều kiện (2.11)và

NTN + ATP A + Q − P < 0, (2.12)tức là

(ii) Nếu đưa (2.9) về dạng chính tắc bằng cách sau

4Vk = − [ ˆM x(k − h) + ˆN x(k)]T[ ˆM x(k − h) + ˆN x(k)]

+ x(k − h)T[ ˆMTM + Bˆ TP B − Q]x(k − h)

= − 2x(k)TNˆTM x(k − h) − x(k)ˆ TNˆTN x(k)ˆ+ x(k − h)TBTP Bx(k − h)

Bằng lý luận tương tự ta cũng có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.1.10 Xét hệ phương trình

(x(k + 1) = −14x(k) + 14x(k − h) + 14y(k − h),y(k + 1) = 14x(k) + 14y(k) + 14y(k − h),

trong đó

A = −1

4 0

1 4

1 4

, B =

1 4

1 4

0 14

.Lấy

P =16 0

0 16

, Q = 2 1

1 6

,

rõ ràng P, Q là xác định dương và

BTP B = 1 1

1 2

.Khi đó

0 −12



Hệ quả 2.1.11 Hệ 2.6 là ổn định tiệm nếu một trong hai điều kiện sau xảyra:

(i) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P, R, Λ, Ω nghiệm đúnghệ

(

ATΛ−1A + Ω + R = P,

BΩ−1BT + Λ = P−1 (2.13)(ii) Tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương Π, S, Γ, Σ nghiệm đúnghệ

(

BTΣ−1B + Γ + S = Π,

AΓ−1AT + Σ = Π−1 (2.14)Chứng minh

(i) Từ (i) của Định lý 2.1.9 ta có hệ 2.6 ổn định tiệm cận nếu

ATΛ−1A + Ω + R = P

Γ = Z + ATΠA.

Chú ý rằng với phép biến đổi P = Π, W = BTP AZ−1ATP B thì có ngay

Z = ATΠBW−1BTΠA Do đó nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác địnhdương P, W để (2.7) là đúng thì cũng tồn tại các ma trận đối xứng xác địnhdương Π, Z để (2.8) đúng và ngược lại

Hệ quả 2.1.12 Hệ 2.6 là ổn định tiệm cận nếu A hoặc B không suy biến vàtồn tại hai số dương p, q sao cho

Giả sử B là không suy biến Rõ ràng các ma trận sau là xác định dương

Nếu A là không suy biến, việc chứng minh hoàn toàn tương tự 

Hệ quả 2.1.13 Hệ 2.6 là ổn định tiệm cận nếu tồn tại một số α dương saocho

ATA + αI < α[BBT + αI]−1 (2.19)Chứng minh

Trong Hệ quả 2.1.11 lấy Λ = λI và Ω = ωI với α = λω > 0 thì

A =

pa 2

pa 2

pa

2 −pa

2

, B =

−q1−a 2

q

1−a 2



, 0 < a < 1