Ph¬ng ph¸p 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chât của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh... TÝnh chÊt nµy gä[r]
Trang 1CHUYÊN Đề PHầN I: tỷ lệ thức và tính chât của dãy tỷ số bằng nhau
A Lý thuyết
I Tỷ lệ thức
1 Định nghĩa
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
a
b=
c d
Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ
2 Tính chất
- Tính chất 1 (tính chất cơ bản)
Nếu
a c
b d thì ad = bc
- Tính chất 2 (tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức:
a c a b d c d b
b d c d b a c a
II Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
1 Tính chất
- Từ tỉ lệ thức
a
b=
c
d ta suy ra
a
b=
c
d=
a+c b+d=
a−c b−d(b≠±d)
- Mở rộng: Từ dãy tỉ số bằng nhau
a
c
e f
Ta suy ra
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
2 Chú ý:
- Khi nói ba số x; y; z tỉ lệ với ba số a; b; c tức là ta có
x y z
a b c hay x:y:z = a:b:c
- Khi có dãy tỉ số
a
2=
b
3=
c
5 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết
a:b:c = 2:3:5
- Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức
a
b=
c
1 2
1 2 ; 0 ; k a k c( , 0)
Từ
a
c
e
f suy ra
3
;
B Bài tập
Dạng 1 Tìm số hạng cha biết
1 Tìm một số hạng cha biết
a) Phơng pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
- Nếu
b d d c b
- Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích của hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ cha biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết
b) Các ví dụ
Trang 2Ví dụ 1: Tìm x trong tỉ lệ thức sau: 0, 2 :11 2: 6 7
53 x
Giải: Từ 0, 2 :11 2: 6 7
53 x 6 7 1 1 2 : 0, 2
5 3
x
6 7 4 6 4 7
x x x x
Chú ý: Với dạng toán này thì giáo viên hớng dẫn cho học sinh sử dụng tính chất:
“Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích của hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết” ta trình bày lời giải nh trên Cũng có thể đa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x
Ví dụ 2: ( Bài tập 69a - SBT toán 7 tập 1, NXB GD - Tr 13)
Tìm x biết
60 15
x x
Giải : Từ
60 15
x
x
x x 15 60 x2 900 x2 30 2 x 30 hoặc x 30
Vậy x = 30 hoặc -30
Chú ý: - Ta thấy trong tỉ lệ thức có hai số hạng cha biết nhng hai số hạng đó giống
nhau nên ta đa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức
- Trong ví dụ 2 nếu ta linh động chỉnh sửa đề một tí thì trở thành bài toán khó hơn
Ví dụ 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
13 7
x x
(Đề Violympic lớp 7- Vòng 11- năm học 2010-2011)
Giải:
Cách 1: Từ 37 3 7 37 3 13 259 7 3 39 10 220 22
13 7
x
x
Cách 2: Từ
x
áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
5
Từ đó suy ra:
37
3
x
Ví dụ 4: Tìm x trong tỉ lệ thức
3 2 3 1
5 7 5 4
(Đề Violympic lớp 7 - Vòng 7 năm học 2010-2011)
Giải:
Cách 1: (áp dụng tính chất cơ bản của tỷ lệ thức)
Từ:
3 2 3 1
3 2 5 4 3 1 5 7 15 12 10 8 15 21 5 7
5 7 5 4
22x 8 16x 7 6x 15 x 2,5
Cách 2: (áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)
Trang 3Từ:
3 2 3 1
5 7 5 4
áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có:
3 2 3 1 (3 2) (3 1) 3
1
5 7 5 4 (5 7) (5 4) 3
Từ đó suy ra:
3 2
1
5 7
x x
(Trở về VD3)
Phân tích: Với cách 1 thì học sinh thờng gặp khó khăn khi áp dụng tính chất
(a+b)(c+d) chính vì thế mà giáo viên cần định hớng cho học sinh giải theo cách 2 Chú ý: Giáo viên có thể hớng dẫn cho học sinh tính chất: a +m = b + m a = b hoặc tính chất: (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd
Dạng 2 Tìm nhiều số hạng cha biết
1 Các ví dụ
Ví dụ 1: (Bài tập 54-SGK toán 7 tập 1-NXB GD-Tr30)
Tìm hai số x, y biết: 3 5
x y
và x y 16
Giải:
Cách 1: (áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)
áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có:
16 2
3 5 3 5 8
x y x y
3
x
5
y
Vậy x = 6; y = 10
Cách 2: (Đặt dãy tỷ số bằng k rồi biểu diễn x, y qua k)
Đặt3 5
x y
=k x 3 ;k y 5k Thay các giá trị này vào x + y = 16 ta đợc:
3k 5k 16 8k 16 k 2
- Với k=2 thay vào x=3k ta đợc x=3.2=6
- Với k=2 thay vào y=5k ta đợc y=5.2=10
Vậy x = 6, y = 10
Ví dụ 2: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4
x y z
và x +y + z = 27
Giải:
- Cách 1 Từ 2 3 4
x y z
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
27 3
2 3 4 2 3 4 9
x y z x y z
Từ đó suy ra: + 3 2.3 6
2
x
3
y
4
z
Vậy x=6, y=9, z=12
Trang 4- Cách 2 :
2 3 4
x y z
k x k y k z k
Thay các giá trị này vào: x +y + z = 27 ta đợc :
2k 3k 4k 27 9k 27 k 3
+ Với k=3 thay vào x2 ,k y3 ,k z4k ta đợc x=6, y=9, z=12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12
Từ đó ta có thể thành lập các bài toán sau:
Ví dụ 3: Tìm 3 số x,y,z biết 2 3 4
x y z
và 2x + 3y – 5z = -21
Giải:
2 3 4
x y z
k x k y k z k
(giải tơng tự cách 2 -VD1)
- Cách 2: Từ 2 3 4
x y z
suy ra
4 9 20
áp dụng tính chât của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3
6; 9; 12
Nhận xét: Qua các ví dụ trên thì ta thấy nếu điều kiện đi kèm mà đơn giản thì
ta nên áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, còn nếu điều kiện đi kèm mà phức tạp thì ta nên đặt dãy tỷ số bằng k rồi biểu diễn các yếu tố (x, y, z, ) cần tìm qua k, sau đó thay vào điều kiện đi kèm để tìm k rồi tìm x, y, z , Điều đó đợc thể hiện qua các bài toán sau:
Ví dụ 4: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4
x y z
và 2x2 3y2 5z2 405
Giải:
2 3 4
x y z
k x k y k z k
thay vào 2x2 3y2 5z2 405ta đợc:
2.4k 3.9k 5.16k 405 k 9 k 3 hoặc k 3.
+ Với k=3 thay vào x2 ;k y3 ;k z4kta đợc x=6, y=9, z=12
+ Với k=-3 thay vào x2 ,k y3 ,k z4k ta đợc x=-6, y=-9, z=-12
Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12
- Cách 2: từ 2 3 4
x y z
suy ra
2 2 2 2 2 3 2 5 2
áp dụng tinh chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
9
Từ đó suy ra:
2
2
2
2
2
2
4
9
16
x
y
z
Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12
Trang 5Ví dụ 5: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4
x y z
và x.y.z = 648
Giải:
2 3 4
x y z
k x k y k z k
Thay vào x.y.z = 648 ta đợc 24k3
=648
k=3 (Trở về cách 2 VD 1)
- Cách 2: Từ 2 3 4
x y z
3 648
Từ đó tìm đợc y = 9; z = 12
Ví dụ 6 Tìm x,y, z biết 9 6 ;
2
z
x y x
và x +y +z = 27
Giải: Từ 9 6
6 9 2 3
x y x y
x y
và từ 2 2 4
z x z
x
Từ đó 2 3 4
x y z
Sau đó ta giải tiếp nh cách 1- ví dụ 2
Nhận xét: Qua các ví dụ trên thì ta có thể đa ra các trờng hợp tổng quát sau:
2 Bài toán cơ bản thờng gặp:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x y z
ab c (1) và x +y + z =d (2) ( trong đó a, b, c, a+b+c
0
và a, b, c, d là các số cho trớc)
Cách giải:
- Cách 1: đặt x y z k x k a y k b z k c ; ;
ab c thay vào (2)
Ta có k.a + k.b + k.c = d
k a b c d k
a b c
Từ đó tìm đợc
.
a b c a b c a b c
- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
a b c a b c a b c a b c a b c a b c
3 Hớng khai thác từ bài trên nh sau.
- Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) nh sau:
* m x m y m z e1 2 3
*
n x n y n z f
*n x1 3n y2 3n z3 3 f
*x.y.z = g
- Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) nh sau:
1 2 3 4
;
x y y z
a a a a
Trang 6+
3 1
; a
x a y
y a z a
+ a x a y a y a z2 1 ; 4 3
+ b x b y b z1 2 3
+
b x b z b y b x b z b y
+
3 3
1 2 2
z b
x b y b
- Thay đổi cả hai điều kiện
Dạng 3: Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
1 Một số phơng pháp :
Để Chứng minh tỷ lệ thức :
a c
b d Ta có một số phơng pháp sau :
Phơng pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc
Phơng Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số a c;
b d có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho
tr-ớc một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k
Phơng pháp 3:
Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để biến đổi tỷ số ở vế trái (VT) thành vế phải (VP), tỷ số ở VP thành VT hoặc biến đổi VT=C, VT=C rồi suy ra VT=VP
Phơng pháp 4:
Dùng tính chất hoán vị, tính chât của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh
2 Các ví dụ
Ví dụ 1:( Bài tập 73 SGK-NXBGD-T14 )
Cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:
a c
b d hãy suy ra tỷ lệ thức:
a b c d
Giải:
Cách 1: Xét tích + c a b ac bc (1)
+ a c d ac ad (2)
Từ
(3)
a c
ad bc
b d
Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
a b c d
- Cách 2: Đặt a c k a bk c dk,
b d
Ta có:
1 1 (1)
,( 0)
b k
b
1 1(2)
,( 0)
d k
d
Trang 7Từ (1) và (2) suy ra:
a b c d
- Cách 3: từ
a c b d
b d a c
Ta có:
Do đó:
a b c d
- Cách 4: Từ
a c a b a b a a b a b c d
- Cách 5: Từ a c b d 1 b 1 d a b c d
Bằng cách chứng minh tơng tự từ tỉ lệ thức
a c
b d ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
;
a b c d a b c d
(Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
Ví dụ 2: chứng minh rằng nếu a2 bc thì
(*)
a b c a
a b c a
(với ab a c, )
Giáo viên có thể hớng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải nh sau:
(2)
a bc a a b c
c a
Từ đây ta áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau để đa
vê (*)
Giải:
- Cách 1: Từ :
a bc
c a c a c a a b c a
Cách 2: Đặt a c k a bk c ak,
b a
Ta có: +
(1)
b k
b
a b bk b b k k
+
(2)
0 ,
a k
a
c a ak a a k k
Từ (1) và (2) suy ra:
a b c a
a b c a
- Cách 3: Ta có
2
2
, 0
a a b
do a bc
a b a a b a ab bc ab
b c a c a
a b
b c a c a
Do đó:
a b c a
a b c b
Ngợc lại từ
a b c a
a b c b
ta cũng suy ra đợc a2 = bc
Trang 8Từ đó ta có bài toán cho
a b c a
a b c b
chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì
từ 3 số a, b, c có 1 số đợc dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức
Ví dụ 3: Cho 4 số khác 0 là a a a a1 , , , 2 3 4 thoả mãn 2 2
2 1 3 ; 3 2 4
a a a a a a chứng tỏ
3 3 3
(Đề thi HSG trờng THCS Phan Huy Chú năm hoc 2010-2011)
Giải: Từ
(1)
2 1 3
2 3
a a
a a a
a a
(2)
3 2 4
3 4
a a
a a a
a a
Từ (1) và (2) suy ra
(3) 3
3 3
a a a a a a a a a a
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
(4)
3 3
1 2
Từ (3) và (4) suy ra:
Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:
Cho
1 2 4
2 3 4
a a a
a a a chứng minh rằng
3
Ví dụ 4: Cho
a c
b d Chứng minh rằng:
2012
2012 2012
2012 2012 ( ) 2012
a c
Giải:
2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012
2012
2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012
a c
Đ ặt k (k 0) a kb; c kd.
b d
và
2012
(a c) (kb kd) [k(b d)] k (b d)
Từ (1) và (2) suy ra:
2012
2012 2012
2012 2012 ( ) 2012
a c
Dạng 4: Toán chia tỉ lệ
1.Phơng pháp giải
Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết
Bớc 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bớc 3:Tìm các số hạng cha biết
Bớc 4:Kết luận.
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Số viên bi của ba bạn Nam, Minh, Hoàng tỉ lệ với các số 2; 4; 5 Cả ba bạn
có tất cả 99 viên bi Tính tổng số viên bi của Minh và Hoàng (Đề Violympic Vòng 7 năm học 2010-2011)
Lời giải:
Trang 9Gọi số viên bi của ba bạn Nam, Minh, Hoàng là a,b,c (a,b,c 0) Lúc đó a, b, c
tỷ lệ với 2; 4; 5 nên ta có tỷ lệ thức:
a
2=
b
4=
c
5 .
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
99 9
2 4 5 2 4 5 11
a b c a b c
Từ đó suy ra
2
4
5
a
a b
b c
c
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số viên bi của Minh và Hoàng là: 54 viên
Ví dụ 2: Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số
thứ hai là
2
3 ,giữa số thứ hai và số thứ 3 là
4
9 .Tìm ba số đó.
Giải:
Gọi 3 số phải tìm là a,b,c Theo bài ra ta có
;
b c và a3 b3 c3 1009
Giải tiếp ta đợc a=-4 , b=-6, c=- 9
Phân tích: Đối với bài toán trên thì học sinh gặp khó khăn khi chuyển ngôn
ngữ thực tế về ngôn ngữ ký hiệu Giáo viên có thể hớng dãn:
? Để giải bài toán trên trớc hết ta phải làm gì? (Gọi ba số cần tìm là: a, b, c)
? Ta biểu diễn tổng lũy thừa bậc ba của ba số là -1009 thông qua a, b, c nh thế nào? Giáo viên hỏi tơng tự cho các yếu tố tiếp theo rồi HD HS gắn kết các yếu tố đó lại với nhau
Dạng 5: Một số sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
Ví dụ 1:
a (Bài tập 62 – SGK NXBGD- Tr 31) Tìm 2 số x,y biết rằng 2 5
x y
và x.y=10 Học sinh thờng mắc sai lầm nh sau :
10
1
2 5 2.5 10
x y x y
suy ra x=2, y=5
b Tìm các số x,y,z biết rằng: 2 3 4
x y z
và x.y.z= 648 Học sinh thờng mắc sai lầm nh sau:
648
27
2 3 4 2.3.4 24
x y z x y z
Suy ra a=54, b= 81, c= 108
Từ ví dụ 1 ta thấy học sinh thờng mắc sai lầm khi áp dụng tơng tự
Học sinh áp dụng:
.
x y x y
ab a b hay
.
x y z x y z
ab c a b c
Giáo viên có thể lấy ví dụ:
Trang 10Cho
1 2
x y
a b nếu học sinh áp dụng tính chất trên thì
1.1 1 2.2 4
x y xy
a b ab
điều này vô lý
ở một số bài toán khác, khi rút gọn học sinh thờng bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm Tôi xin tiếp tục đa ra một số ví dụ sau:
Ví dụ 2: Cho 3 tỉ số bằng nhau là
b c c a a b Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1: Từ:
b c c a a b
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2
Học sinh thờng bỏ quên điều kiện a+b+c= 0 mà rút gọn luôn bằng
1
2 điều đó
dẫn đến tìm thiếu giá trị Để giải bài toán trên giáo viên có thê hớng dẫn học sinh làm
nh sau:
+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c nên mỗi tỉ số a ; b ; c
b c c a a b đều bằng -1
1
Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1
Ví dụ 3: Cho biểu thức
x y y z z t t x P
z t t x x y z y
Tính giá trị của P biết rằng
(1)
y z t z t x t x y x y z
Giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
y z t z t x t x y x y z x y z t
Cách 2:Từ (1) suy ra
x z t z t x t x y x y z
x y z t x y z t x y z t x y z t
Nhận xét: ở cách 1 học sinh mắc sai lầm nh bài tập 3 còn ở cách 2 học sinh
mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t = z+t+x = x+y+t = x+y+z Để có lời giải đúng giáo viên hớng dẫn học sinh làm nh sau:
- Nếu x+y+z+t 0 suy ra y+z+t = z+t+x = x+y+t = x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
- Nếu x+y+z+t =0 x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
Trang 11ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách nh nhau, nhng ở bài tập 3 nên dùng cách 1, bài tập 4 nên dùng cách 2
Ví dụ 4: Một học sinh lớp 7 trình bày lời giải bài toán “Tìm x y biết:
2 1 3 2 2 3 1
x
Nh sau:
Ta có:
2 1 3 2 2 3 1
x
(1)
Từ hai tỷ số đầu ta có:
2 1 3 2 2 3 1
x y x y
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
2 3 1 6
x y x
12
x y
(3)
6x = 12 x = 2
Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta đợc y = 3
Thử lại thấy thoả mãn Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm
Em hãy nhận xét lời giải của học sinh trên
Giải :Học sinh trên sai nh sau
Từ (3) phải xét hai trờng hợp:
TH1 : 2x+3y-1 0.Khi đó ta mới suy ra 6x=12 Từ đó giải tiếp nh trên
TH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y, thay vào hai tỉ số đầu, ta có:
1 3 1 1 3 1 3 2
0
Suy ra 2-3y =3y-2 =0
2 3
y
Từ đó tìm tiếp
1 2
x
PHầN II: BàI TOáN Tỉ Lệ THUậN – Tỉ Lệ NGHịCH
A Lý thuyết
Nếu hai đại lợng tỉ lệ thuận với nhau:
y = kx (k 0)
Nếu hai đại lợng tỉ lệ nghịch với nhau:
x.y = a (a0)
x1 ứng với y1
x2 ứng với y2
x3 ứng với y3
3
1 2
) y y y k
x x x
)x y ; x y ;
x1 ứng với y1
x2 ứng với y2
x3 ứng với y3
1 1 2 2 3 3
3
1 2 1
x y x y x y a
y
x y x
x y x y
B Bài tập
Bài tập 1(bt113-BVT-Tr42): Một số M đợc chia làm ba phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ (thuận) với 5 và 6; phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ (thuận) với 8 và
9 Biết phần thứ ba hơn phần thứ hai là 150 Tìm số M
Giải:
Gọi ba phần của số M lần lợt là x; y; z
Theo bài ra ta có: +)
(1) 5
6 5 6 20 24
+)
(2) 8
9 8 9 24 27
z