viÖc d¹y " phÐp chia hÕt" vµ øng dông cña nã trong chư¬ng tr×nh to¸n häc phæ th«ng, t«i chØ xin ®a ra mét sè kinh nghiÖm gióp häc sinh líp 6 gi¶i c¸c bµi tËp vÒ" phÐp chia hết" trong tập[r]
Trang 1A Phần mở đầu
I/ Lí do chọn đề tài
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáodục cũng không ngừng đổi mới Các nhà trường đã ngàycàng chú trọng hơn đến chất lợng giáo dục toàn diện bêncạnh sự đầu t thích đáng cho giáo dục mũi nhọn Với vai trò
là môn học công cụ, bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiệncho các em học tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác
Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắckiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải đợc nângcao để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi
mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục vànhu cầu học tập của học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi
Điều đó đòi hỏi trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọckiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng vàphát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tốt
tư duy toán học
Với đối tượng học sinh khá, giỏi, các em có tư duy nhạybén, có nhu cầu hiểu biết ngày càng cao, làm thế nào để cáchọc sinh này phát huy hết khả năng của mình, đó là tráchnhiệm của các giáo viên chúng ta Bản thân tôi, trong 3 nămhọc vừa qua được nhà trường phân công dạy toán lớp 6
Qua giảng dạy tôi nhận thấy “phép chia hết" là đề tài lí thú,
phong phú và đa dạng của số học lớp 6 và không thể thiếukhi bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn toán 6 cũng như môntoán THCS Với bài viết này, tôi không tham vọng lớn bàn về
Trang 2việc dạy " phép chia hết" và ứng dụng của nó trong chươngtrình toán học phổ thông, tôi chỉ xin đa ra một số kinhnghiệm giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập về" phép chiahết" trong tập hợp số tự nhiên mà tôi đã từng áp dụng thànhcông Tôi hy vọng nó sẽ có ích cho các đồng nghiệp khi bồidỡng học sinh khá, giỏi
II Nhiệm vụ của đề tài
Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày
“Một vài kinh nghiệm giúp học sinh lớp 6 giải các bài tập vềphép chia hết trong tập hợp N” Cụ thể là :
- Các phương pháp thường dùng khi giải các bài toán vềphép chia hết
- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải các bài toán vềphép chia hết
- Củng cố và hớng dẫn học sinh làm bài tập
III Đối t ượ ng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu qua các tiết dạy về “Phép chia hếttrong N” trong SGK Toán 6 tập 1, qua định hớng đổi mớiphương pháp dạy toán 6
Đối tượng khảo sát : Học sinh lớp 6
IV Ph ư ơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu
- Phương pháp thực hành
- Đúc rút 1 phần kinh nghiện qua các đồng nghiệp vàbản thân khi dạy phần Phép chia hết
Trang 3B.Nội dung
I/ Tr ư ớc hết học sinh cần nắm vững định nghĩa phép chia hết trong SGK lớp 6 tập 1, các dấu hiệu chia hết cũng n h ư các tính chất về quan hệ chia hết.
1 Định nghĩa
Cho 2 số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0, nếu có số tựnhiên x sao cho b.x = a, thì ta nói a chia hết cho b và ta cóphép chia hết a: b= x
2.Các dấu hiệu chia hết
a) Dấu hiệu chia hết cho 2
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số
đó là số chẵn
b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ sốcủa số đó chia hết cho 3 (hoặc 9)
Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các
chữ số của số đó chia cho 3 (hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu vàngược lại
c) Dấu hiệu chia hết cho 5
Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng bằng 0hoặc 5
d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi 2 chữ số tậncùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25)
e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)
Một số chia hết cho 8 hoặc 125 khi và chỉ khi 3 chữ số tậncùng của số đó chia hết cho 8 hoặc 125
Trang 4f) DÊu hiÖu chi hÕt cho 11
Mét sè chi hÕt cho 11 khi vµ chØ khi hiÖu gi÷a tæng c¸c ch÷
sè hµng lÎ vµ tæng c¸c ch÷ sè hµng ch½n (tõ tr¸i sang ph¶i)chia hÕt cho 11
3
TÝnh chÊt cña 2 quan hÖ chia hÕt
+ 0 chia hÕt cho b víi b lµ sè tù nhiªn kh¸c 0
+ a chia hÕt cho a víi mäi a lµ sè tù nhiªn kh¸c 0
+ NÕu a chia hÕt cho b vµ b chia hÕt cho a th× a = b
+ NÕu a chia hÕt cho b vµ b chia hÕt cho c th× a chia hÕtcho c
+ NÕu a chia hÕt cho b vµ a chia hÕt cho c mµ (b, c) = 1th× a chia hÕt cho b.c
+ nÕu a chia hÕt cho m vµ a chia hÕt cho n th× a chia hÕtcho BCNN(m,n)
+ NÕu a.b chia hÕt cho c vµ (b,c) =1 th× a chia hÕt cho c+ NÕu a chia hÕt cho m th× k.a chia hÕt cho m víi mäi k lµ
Trang 5+ Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn với n là số tựnhiên
II/ Khi học sinh đ nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáoã
viên có thể đa ra một vài phương pháp thường dùng để
giải các bài toán chia hết.
Với học sinh lớp 6 tôi thường sử dụng 5 phương phápsau:
1 ph ươ ng pháp 1 : Dựa vào định nghĩa phép chia hết
Để chứng minh a chia hết cho b ( b khác 0), ta biểudiễn số a dới dạng một tích các thừa số, trong đó có 1 thừa
số bằng b (hoặc chia hết cho b) a = b.k ( k N) hoặc a
=m.k ( m chia hết cho b)
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng số có dạng aaaaaa bao giờ cũng chiahết cho 7
Giải :
aaaaaa = a.111111 = a 7.15873 chia hết cho 7
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng số có dạng abcabc bao giờ cũngchia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13
Giải :
Ta có : abcabc = abc 000+abc = abc (1000+1) = abc.1001 = abc 11.7.13 nên abcabc chia hết cho 11, chiahết cho 7 và chia hết cho 13
Ví dụ 3: Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộngvới số gồm 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn
được một số chia hết cho 11
Giải
Gọi 2 số đó là ab và ba Ta có :
Trang 6ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a +b) chia hết cho 11
2 Ph ư ơng pháp 2 : Dùng các tính chất của phép chia hết.
2.1 Dùng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu
* Để chứng minh a chia hết cho b ( b 0) ta có thể làm nhsau:
- Viết a = m + n mà m M b và nM b
- Viết a = m - n mà m M b và nM b
* Để chứng minh a không chia hết cho b ta viết a dới dạngtổng của các số mà chỉ có một số hạng của tổng không chiahết cho b, còn các số hạng khác đều chia hết cho b
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng :
a) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chiahết cho 4
Giải
a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1 , n + 2
Tổng của 3 số đó là : n + ( n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n +1) M 3
b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : n , n+1, n+2, n+3 Tổngcủa 4 số đó là : n + ( n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 4n +
4 + 2
= 4(n+1) + 2 không chia hết cho 4
Vậy tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4
Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp cha chắc
đ chia hết cho n.ã
Trang 72.2 Dùng tính chất chia hết của 1 tích.
Để chứng minh a chia hết cho b (b ạ 0) ta có thể chứngminh bằng một trong các cách sau:
+ Ta chứng minh (a.m) chia hết cho b; (m, b) = 1 ị a chiahết cho b
+ Biểu diễn b = m.n với (m,n)= 1, sau đó chứng minh a chiahết cho m, a chia hết cho n
+ Biểu diễn a= a1 a2,, b = b1.b2, rồi chứng minh a1 chia hếtcho b1; a2 chia hết cho b2
Ví dụ 5: chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15 với "
a, b là số tự nhiên
Giải:
Vì 1980 chia hết cho 3 nên 1980.a chia hết cho 3 với " a.Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995.b chia hết cho 3 với " bNên (1980a + 1995b) chia hết cho 3
Chứng minh tơng tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5với " a, b mà (3,5) = 1
ị (1980 a + 1995b) chia hết cho 15
Ví dụ 6: chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Giải: Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 ( n N)
Tích của 2 số chẵn liên tiếp là 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1)
Vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên n.(n+ 1) chia hếtcho 2
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4.n.(n+1) chia hết cho (4.2)
ị 4.n.(n+1) chia hết cho 8
ị 2n.(2n + 2) chia hết cho 8
Trang 8* Giáo viên nhận xét : Như vậy khi gặp những bài toán
chứng minh một tổng, một hiệu hoặc một tích chia hết cho một số mà các tổng, hiệu, tích đó có thể phân tích đợc thành tích các thừa số, ta thờng sử dụng các tính chất của phép chia hết.
3 Ph ư ơng pháp 3: Dùng định lí về chia có d ư
để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trường hợp
về số d khi chia n cho p:
Ta viết n = p.k + r, trong đó r = 0, 1, , p-1; k N Rồixét tất cả các trường hợp của r
Ví dụ 7: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3).(n+6) chia hết cho 2
Giải: Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k + 1 hoặc n= 2k
- Với n= 2k +1 ta có:
(n+3).(n+6) = (2k+1 +3).(2k+1+6) = (2k+4).(2k+7) = 2.(k+2).(2k+7) chia hết cho 2
- Với n= 2k ta có :
( n+3)(n+6) = (2k+3)(2k+6) = (2k+3)(k+3).2 chia hết cho 2 Vậy với mọi n N thì (n+3)(n+6) chia hết cho 2
Ví dụ 8: chứng minh rằng:
a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4
Giải: a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2
Tích của số tự nhiên liên tiếp là : n.(n+1).(n+2)
Mọi số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số
d 0;1;2
- Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 ị n.(n + 1).(n+ 2) chia hếtcho 3
Trang 9Sau khi giải bài tập tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêubài tập này ở dạng tổng quát
Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.
Giáo viên nhận xét: Phơng pháp này thờng đợc sử dụng khi chứng minh một biểu thức có chứa biến chia hết cho các số
tự nhiên có một chữ số Khi chứng minh một biểu thức chia hết cho các số tự nhiên lớn hơn 10 ta không sử dụng phơng pháp này vì phải xét nhiều trờng hợp.
4 Ph ơng pháp 4 : Dùng các dấu hiệu chia hết có liên quan
Trang 10
9999931999 – 5555571997 = 0 chia hết cho 10 ( đpcm)
Ví dụ 10: Chứng minh rằng : 1028 + 8 chia hết cho 72
Giải:
Ta có 1028 + 8 = ( 100 0 + 8) = 100 .08 có tổng cácchữ số bằng 9 nên chia hết cho 9
1028 + 8 = = 100 .08 có tận cùng bằng 008 nên chia hếtcho 8
Vì ( 8,9) =1 nên 1028+ 8 M (8.9) hay 1028+ 8 M 72
*Giáo viên nhận xét: Phương pháp này thờng sử dụng để
chứng minh các bài toán mà số chia là các số tròn chục ( 10,
100, ) hay các số chia mà dấu hiệu chia hết có liên quan
đến chữ số tận cùng ( ví dụ : 5, 4, 8, 25, 125), hoặc số chia
có thể phân tích thành tích các số có dạng nh trên.
5 Ph ư ơng pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet.
Nội dung của nguyên tắc Đirichlet: “Nếu có n+1 con thỏ, xếp
vào n chuồng, thì ít nhất 1 chuồng chứa từ 2 con thỏ trở lên.
Ví dụ11: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm
đợc 2 số có hiệu chia hết cho 5
Hiệu của 2 số chia hết cho 5
III/ Khi học sinh đ nắm vững các phã ư ơng pháp th ư ờng dùng để Chứng minh chia hết, giáo viên có thể giao một
số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một
28 chữ số 0 27 chữ số 0
27 chữ số 0
Trang 11cách có hệ thống, đ ư ợc đào sâu các kiến thức về phép chia hết
Nếu y = 5 thì 21 xy không chia hết cho 4
Nếu y = 0 thì 21 xy chia hết cho 4 ú x 0 M 4 ị x {0; 2; 4
; 6 ; 8} (1)
21 x 0 M 3 ú (2 + 1 + x + 0) M 3 ú (3+ x)M 3 ị x {0; 3; 6;9} ( 2)
Kết hợp (1) và ( 2) ị x {0; 6}
Vậy các số cần tìm là: 2100 ; 2160
Bài 2: Cho các chữ số 0, a, b H y viết tất cả các số có 3 chữã
số tạo bởi 3 số trên Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết 211
Trang 12Bµi 3: a) Cho A = 2 +2 2 +2 3 + +2 60
Chøng minh r»ng : AM3; AM7; A M15
b) Cho B = 3 + 3 3 + 3 5 + + 3 1991 Chøng minh r»ng : B chia hÕt cho 13 vµ B chia hÕt cho 41.
Gi¶i:
*A = 2 +22 +23 + +260 = ( 2+ 22) + ( 23 + 24) + + (259 + 260)
=
= 2( 1+ 2) + 23 ( 1+2) + + 259 (1+2) = 2.3+ 23 3 + +259 3 =
VËy A chia hÕt cho 3, A chia hÕt cho 7 vµ A chia hÕt cho 15.b) B = 3 + 33 + 35 + + 31991
= ( 3 + 33 + 35) + ( 37 + 39+311) + + ( 31987+ 31989 + 31991) = 3( 1 + 32 + 34) + 37( 1+ 32+34) + + 31987(1+ 32+34) = 3 91 + 37.91 + + 31987.91
= 91( 3 + 37 + + 31987) M 13 ( v× 91 M 13)
Trang 13sau chia hÕt cho 6.
Trang 14Mà (n+2) chia hết cho (n+2) => 3(n+2) chia hết cho (n+2)
=> [ (3n +10) - (3n +6)] chia hết cho (n+2)
=> 4 chia hết cho (n+2)
đến đây giải tiếp nh ở cách 1
Bài 7: Tìm số tự nhiên n để n+15 n+3 là số tự nhiên
Vậy với n {0;1;3;9} thì n+15 n+3 là số tự nhiên
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ( 3n +1, 4n
Bài 9 : Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai bị
điểm dới 2, chỉ có 2 học sinh đợc điểm 10 Chứng minh rằng
ít nhất cũng tìm đợc 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.
Giải :
Có 45 -2 = 43 học sinh được phân chia và 8 loại điểm( từ 2 đến 9) Giả sử mỗi điểm trong 8 loại là điểm không có
Trang 15quá 5 học sinh, thì lớp học không có quá 8.5 = 40 học sinh( ít hơn 43 học sinh)
Vậy tồn tại ít nhất có 6 học sinh có điểm kiểm tra bằngnhau
Bài 10: Chứng minh rằng nếu abc M 37 thì cab M 37 vàbca M 37
Giải: Vì abc M 37 nên ( 100a + 10b + c) M 37
Bài 11: Chứng minh rằng nếu ( 6x + 11y ) chia hết cho 31 thì
( x + 7y) chia hết cho 31 với mọi số tự nhiên x, y.
Giải :
Vì ( 6x + 11y) M 31 nên ( 6x + 11y + 31y ) M 31
ị ( 6x + 42 y) M 31 ị 6 ( x + 7y ) M 31
mà ( 6, 31 ) = 1 ị ( x + 7y ) M 31 ( đpcm)
Bài 12 : Một số khi chia cho 6 d 4, khi chia cho 7 d 6, chia
cho 11 d 3 Tìm d cho phép chia số đó cho 642.
Trang 16được số chia hết cho các số 5, 7 ,9 ?
đợc số chia hết cho các số 6, 7, 8, 9?
Giải:
a) Giả sử số viết thêm là abc Ta có 579 abc chia hết cho
5, 7 ,9 suy ra 579 abc chia hết cho 5 7 9 = 315 ( vì 3, 5, 7
đôi một nguyên tố cùng nhau)
Mặt khác 579 abc = 579000 + abc = ( 315.1838 + 30 + abc
) M 315
Mà 315.1838M 315 suy ra ( 30 + abc ) M 315
Do 30 30 + abc 30 + 999 = 1029
nên ( 30 + abc ) { 315; 630; 945}
Trang 17suy ra abc { 285; 600; 915}
Vậy 3 số có thể viết thêm là 285; 600; 915
b) Gọi số phải viết thêm là abc Ta có :
523 abc chia hết cho 6, 7, 8, 9 nên 523 abc chia hết choBCNN(6,7,8,9) = 504
Mặt khác 523 abc = 523000 + abc = 504.1037 + 352+ abc
Vì 504 1037 M 504 nên ( 352 + abc ) M 504 ú abc =k.504 - 352 với k N ị k { 1; 2 } ú abc { 152 ;656}
Vậy 2 số có thể viết thêm là 152 và 656
Bài 14: Một bạn viết các số từ 1 đến abc Bạn đó phảiviết tất cả m chữ số Biết rằng m chia hết cho abc , tìmabc
Vậy bạn đó đã viết các số tự nhiên từ 1 đến 108
Bài 15: Chứng minh rằng: 2n + 11 1 chia hết cho 3.
Giải:
* Cách 1: Ta có : 2n + 11 1 = 3n + ( 11 1 - n)
vì một số chia cho 3 d bao nhiêu thì tổng các chữ số của số
ấy chia cho 3 cũng d bấy nhiêu nên 11 1 và n có cùng số
dư khi chia cho 3
n chữ số
n chữ số
n chữ số n chữ số
Trang 18- Nếu n = 3k+ 2 ị 2n + 11 1 = 2( 3k+2) + 11 1
= 6k + 3 + 11 12 chia hết cho 3 ( vì số 11 12 có tổng các chữ số bằng 3k + 3 chia hết cho3)
* Trên đây là một số ví dụ và một số dạng bài tập về "phépchia hết" Các bài toán về "phép chia hết" thật đa dạng vàphong phú nếu như chúng ta chỉ hướng dẫn học sinh giảinhững bài tập ở mức độ trung bình thì các em khong thể thấy
được "cái hay" của dạng toán này, đồng thời có khi các emcòn có cảm giác là khó và phức tạp Qua các bài tập trên tathấy, mặc dù mỗi dạng bài tập sử dụng phương pháp biến
đổi ban đầu khác nhau, nhưng cuối cùng đều quy về địnhnghĩa và các tính chất của phép chia hết Chính vì vậy, việcnắm vững định nghĩa về phép chia hết, các tính chất và cácdấu hiệu chia hết là vấn đề then chốt giúp học sinh có thể
định hớng đợc cách giải bài tập giúp học sinh có t duy sángtạo và sự linh hoạt khi giải toán Khi đã làm được nh vậy thì
n chữ số
n chữ số 3k+2 chữ số 3k +1 chữ số 1
3k +1 chữ số 1