Tính chất của số phức phần này là kiến thức của cả BÀI TẬP MẪU và BÀI TẬP PHÁT TRIỂN.. Phép chia hai số phức.[r]
Trang 11 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Tính chất của số phức (phần này là kiến thức của cả BÀI TẬP MẪU và BÀI TẬP PHÁT TRIỂN).
1 Các kiến thức cơ bản về số phức
i2 = −1).
®
a = c
b = d (phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau).
Phép cộng hai số phức
z1+ z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) · i
Phép trừ hai số phức
z1− z2 = (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) · i
Phép nhân hai số phức
z1· z2 = (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) · i
k.z = k · (a + bi) = ka + kbi
Phép chia hai số phức.
z1
z2 =
z1· z2
z2· z2 =
z1· z2
|z2|2 = (a + bi) · (c − di)
c2+ d2 = (ac + bd) + (bc − ad)i
c2+ d2 = ac + bd
c2+ d2 + bc − ad
c2+ d2i
Trang 2|z| =pa2+ b2
• |z · z0| = |z||z0|
• ||z| − |z0|| ≤ |z + z0| ≤ |z| + |z0|
• |z z
0
| = |z|
|z0|
• ||z| − |z0|| ≤ |z − z0| ≤ |z| + |z0|
• ¯¯z = z
• z + z0= ¯z + z0
• z − z0 = ¯z − z0
• ¯z · z0 = z · z0
• z z
0
= z
z0
• z · ¯z = a2+ b2
3 Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
Đặt Sn = u1+ u2+ · · · + un, khi đó
Sn = u1(1 − q
n)
1 − q (q 6= 1)
2 BÀI TẬP MẪU
Lời giải.
Sử dụng công thức tính mô đun của số phức để làm.
5.
3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Câu 1 Cho số phức z = 1
2−
√ 3
A z · ¯z = −|z| B z =¯ −1
2 +
√ 3
2 i C |z| =
√ 2
2 i D |z| = 1.
Lời giải.
2 + i
√ 3
2 +
√ 3
z ¯z = 1 suy ra “z · ¯z = −|z|” sai.
|z| =
…
1
4+
3
√ 2
Trang 3Câu 2 Cho số phức z thỏa mãn (1 − i)z + 4¯z = 7 − 7i Khi đó, mô-đun của z bằng bao nhiêu?
A |z| =√3 B |z| =√5 C |z| = 3 D |z| = 5.
Lời giải.
(1 − i)z + 4¯z = 7 − 7i ⇔ (1 − i)(a + bi) + 4(a − bi) = 7 − 7i
⇔ a + bi − ai + b + 4a − 4bi = 7 − 7i
⇔ (5a + b) − (a + 3b)i = 7 − 7i
⇔
® 5a + b = 7
− a − 3b = −7 ⇔
®
a = 1
b = 2 ⇒ z = 1 + 2i Vậy |z| =√12+ 22 =√
5
.
Câu 3 Cho hai số phức z và z0 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A z + z¯ 0= z + z0 B |z · z0| = |z| · |z0| C z · z0= z · z0 D |z + z0| = |z| + |z0|
Lời giải.
Câu 4 Cho hai số phức z1 = 1 + i và z2 = −5 + 2i Tính mô-đun của số phức z1+ z2.
Lời giải.
Ta có
z1+ z2= (1 + i) + (−5 + 2i) = −4 + 3i ⇔ |z1+ z2| =p(−4)2+ 32 = 5
.
Câu 5 Cho số phức z thỏa mãn (2z − 1)(1 + i) + (¯z + 1)(1 − i) = 2 − 2i Giá trị của |z| là
A
√
2
√ 3
√ 2
3 .
Lời giải.
Gọi z = a + bi(a, b ∈R) ta có:
(2z − 1)(1 + i) + (¯z + 1)(1 − i) = 2 − 2i ⇔ [(2a − 1) + 2bi](1 + i) + [(a + 1) − bi](1 − i) = 2 − 2i
⇔ (2a − 2b − 1) + (2a + 2b − 1)i = (a − b + 1) − (a + b + 1)i = 2 − 2i
⇔ (3a − 3b) + (a + b − 2) = 2 − 2i ⇔
® 3a − 3b = 2
a + b = 0 ⇔
a = 1 3
b = −1
3. Vậy |z| =
√
2
3
Trang 4.
Câu 6 Cho số phức z = (3 − 2i)(1 + i)2 Môđun của w = iz + ¯z là
Lời giải.
Ta có
z = (3 − 2i)(1 + i)2 = (3 − 2i)2i = 4 + 6i ⇔
®
iz = i(4 + 6i) = −6 + 4i
z = 4 − 6i
Mà w = iz + ¯z = −6 + 4i + 4 − 6i = −2 − 2i ⇒ |w| = p(−2)2+ (−2)2 =√
8 = 2√
2.
Câu 7 Cho số phức z thỏa z =¯ (
√
3 + i)3
i − 1 Môđun của số phức z + iz¯ là
Lời giải.
√
3 + i)3
i − 1 = 4 − 4i ⇒ z = 4 + 4i.
Câu 8 Cho z = 1 − 2i và w = 2 + i Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
z
w
|w| = 1. D z · w = z · w = 4 + 3i.
Lời giải.
• w
z =
2 + i
1 − 2i = i.
•
(
|z · w| = |4 − 3i| =p42+ (−3)2= 5
|z| · |w| =p12+ (−2)2·p22+ 12= 5
⇒ |z · w| = |z| · |w| = 5.
•
z w
= | − i| = p02+ (−1)2 = 1
|z|
|w| =
√ 5
√
5 = 1
⇒
z w
|w| = 1.
•
®
z · w = 4 − 3i = 4 + 3i
¯
z · ¯w = (1 + 2i)(2 − i) = 4 + 3i ⇒ z · w = z · w = 4 + 3i.
Câu 9 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| =√2 và z2 là số thuần ảo?
Lời giải.
Trang 5Gọi z = a + bi (a, b ∈R) Ta có |z| =√a2+ b2 và z2 = a2− b2+ 2abi.
Yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
®
a2+ b2= 2
a2− b2= 0 ⇔
®
a2 = 1
b2= 1 ⇔
®
a = ±1
b = ±1
Câu 10 Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức |z − (2 + i)| =√10 và z · ¯z = 25.
A z = 3 + 4i; z = 5 B z = 3 + 4i; z = −5 C z = −3 + 4i; z = 5 D z = 3 − 4i; z = −5.
Lời giải.
Gọi z = a + bi với a, b ∈R⇒ ¯z = a − bi.
|z − (2 + i)| =√10 ⇔ |a − 2 + (b − 1)i| =√
10
⇔p(a − 2)2+ (b − 1)2 =√
10
⇔ (a − 2)2+ (b − 1)2= 10(∗)
Từ (∗) và (∗∗) ⇒
® (a − 2)2+ (b − 1)2 = 10
a2+ b2 = 25 ⇔
®
a = 3
b = 4 ∨
®
a = 5
b = 0 Vậy z = 3 + 4i; z = 5.
Câu 11 Cho số phứcz = a+bi(a, b ∈R)thỏa mãn7a+4+2bi = −10+(6−5a)i TínhP = (a+b)|z|
17 C P = 12√
17 D P = 72
√ 2
49 .
Lời giải.
Ta có
(7a + 4) + 2bi = −10 + (6 − 5a)i ⇔
® 7a + 4 = −10 2b = 6 − 5a
⇔
®
a = −2
b = 8
a2+ b2 = (−2 + 8)p(−2)2+ 82 = 12√
17.
Câu 12 Cho số phức z1 = 1 − 2i, z2 = 2 + i Mô-đun của số phức w = z1− 2z2+ 3 là
A |w| =√5 B |w| = 5 C |w| = 4 D |w| =√13.
Lời giải.
Ta có:
w = z1− 2z2+ 3 ⇔ w = 1 − 2i − 2(2 + i) + 3 = −4i
⇔ |w| =p(−4)2 = 4
Trang 6Câu 13 Cho số phứcz thỏa mãn điều kiện(2+i)z+1 − i
1 + i = 5−i Mô-đun của số phứcw = 1+2z+z2
có giá trị là
Lời giải.
Ta có
(2 + i)z +1 − i
1 + i = 5 − i ⇔ (2 + i)z +
(1 − i)2 (1 + i)(1 − i) = 5 − i
⇔ (2 + i)z +−2i
2 = 5 − i
⇔ (2 + i)z = 5
⇔ z = 5
2 + i = 2 − i
Câu 14 Cho số phức z thỏa z = 2i − 2 Mô-đun của số phức z2020 là
Lời giải.
Ta có:
z2020 = 22020(i − 1)2020= 22020(−2i)1010= 23030i ⇒ z2020 = 23030
.
Câu 15 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: |z|2+ |z|2 = 50 và z + z = 8
Lời giải.
Đặt z = x + yi(x, y ∈R), ta có z = x − yi, |z|¯ 2 = |¯z|2 = x2+ y2.
Ta có:
®
|z|2+ |¯z|2 = 50
z + ¯z = 8 ⇔
®
x2+ y2 = 25
®
x = 4
y = ±3 Vậy có 2 số phức thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 16 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?
(1 + i)2020
21009 − i
=√
5.
C (1 + i)2020− 21010i = 21010 D (1 + i)2020= (1 − i)2020.
Lời giải.
(1 + i)2020= (2i)1010 = 21010 Suy ra A đúng.
Trang 7Câu 17 Có bao nhiêu số phức z thỏa
z + 1
i − z
= 1 và
z − i
2 + z
= 1
Lời giải.
Ta có:
z + 1
i − z
= 1
z − i
2 + z
= 1
⇔
®
|z + 1| = |i − z|
|z − i| = |2 + z| ⇔
®
x = −y 4x + 2y = −3 ⇔
x = −3 2
y = 3 2
⇒ z = −3
2 +
3
2i.
Câu 18 Cho số phức z = −m + i
1 − m(m − 2i), m ∈R Tìm |z|max
Lời giải.
1 − m(m − 2i) =
m
m2+ 1 +
i
m2+ 1 ⇒ |z| =
… 1
m2+ 1 ≤ 1 ⇒ |z|max= 1 ⇔ m = 0.
Câu 19 Cho số phức z = 1 + i2+ i4+ · · · + i2n+ · · · + i2020, n ∈N Mô-đun của z bằng
Lời giải.
z = 1 + i21 − (i
2)1010
1 − i2 = 1 ⇒ |z| = 1.
Câu 20 Cho số phứcz có phần thực và phần ảo là các số dương thỏa mãnz +(1−i)5· ¯z − 2 − i
i6 =
3 + 20i Khi đó mô-đun của số phức w = 1 + z + z2+ z3 có giá trị bằng bao nhiêu?
Lời giải.
Ta có
• 2 − i3
= (2 + i)3= 8 + 12i + 6i2+ i3 = 2 + 11i
• (1 − i)5 = (1 − i) ·(1 − i)22= (1 − i) · (−2i)2= −4 + 4i
Gọi z = x + yi.
Khi đó
z + (1 − i)5· ¯z − 2 − i
i6 = 3 + 20i ⇔ x + yi + (−4 + 4i) · (x − yi) = 1 + 9i
⇔ (x − 4x + 4y) + (4x + 5y)i = 1 + 9i
⇔
®
x − 4x + 4y = 1 4x + 5y = 9 ⇔
®
x = 1
y = 1 ⇒ z = 1 + i
Trang 8Nhóm:
Trang 9BẢNG ĐÁP ÁN
1 D 2 B 3 D 4 A 5 D 6 B 7 C 8 A 9 C 10 A
11 C 12 C 13 A 14 D 15 B 16 C 17 A 18 C 19 D 20 B
... 82 = 12√17.
Câu 12 Cho số phức< /h3> z1 = − 2i, z2 = + i Mô-đun số phức< /h3> w = z1− 2z2+ là... class="page_container" data-page="6">
Câu 13 Cho số phức< /h3>z thỏa mãn điều kiện(2+i)z+1 − i
1 + i = 5−i Mô-đun số phức< /h3>w = 1+2z+z2
có... z = 5
2 + i = − i
Câu 14 Cho số phức< /h3> z thỏa z = 2i − 2 Mơ-đun số phức< /h3> z2020 là
Lời giải.
Ta