Ứng dụng GTLN – GTNN của hàm số tìm số nghiệm phương trình và bất phương trình

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình sau.. Tổng tất cả các phần tử của S bằng: A.[r]

Câu 5 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 2xm 1 tan cos x 2x

có nghiệm thuộc đoạn 0;

f x ax bx cx với , , ,d a b c d là các số thực, có đồ thị như hình bên

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f xm 1 m có đúng

4 nghiệm phân biệt

Câu 11 Cho hàm số f x liên tục trên đoạn    0;3 và có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình    4 2 

f x m x  x  có nghiệm thuộc đoạn  0;3

A Phương trình đã cho vô nghiệm

B. Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực

C. Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt

D. Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào giá trị của tham số m

2172

12

m f  C   1

02

m f  D   1

02

m f 

Câu 18 Cho hàm số y f x  có f     , 2 m 1 f  1   Hàm số m 2 y f x có bảng biến

thiên như hình vẽ bên

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 1   2 1

Câu 19 Cho hàm số f x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên Có bao nhiêu số

nguyên m để phương trình f f x 1 m có ít nhất 6 nghiệm thực phân biệt?

x  C x 0 3 D x 0 1

Câu 21 Cho phương trình 2x22mx   (4 x 1 m là tham số) Gọi p q, lần lượt là các giá trị

mnguyên nhỏ nhất và giá trị lớn nhất thuộc 10; 10 để phương trình có nghiệm Khi

với x y z, , là ẩn số thực, m là tham số Số giá trị

nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm là

Câu 26 Cho phương trình m2 x 3 2m1 1  x m 1 Biết rằng tập hợp tất cả các giá

trị của tham số thực m để phương trình có nghiệm là đoạn  a b; Giá trị của biểu thức

5a3b bằng

Câu 28 Cho hàm số y f x  liên tục trên 1;3 và có đồ thị như hình vẽ sau:

Bất phương trình ( )f x  x 1 7  có nghiệm thuộc x m 1;3 khi và chỉ khi

Câu 30 Tìm số thực m lớn nhất để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x

sin  cos  1 sin 2  sin  cos 2018

Ta xét các trường hợp:

Đặt hàm số thì đồng biến trên và có tập giá trị là

Mà nên tồn tại duy nhất sao cho ta có bảng biến thiên của

Suy ra bảng biến thiên của là:

Ta có đạt giá trị nhỏ nhất là tại duy nhất giá trị

Ta xét các trường hợp:

Mà nên tồn tại duy nhất sao cho ta có bảng biến thiên của

Suy ra bảng biến thiên của là:

Ta có đạt giá trị nhỏ nhất là tại duy nhất giá trị

nghịch biến trên và có tập giá trị là

Mà nên tồn tại duy nhất sao cho ta có bảng biến thiên của

Suy ra bảng biến thiên của là:

Ta có đạt giá trị lớn nhất là tại duy nhất giá trị

a b

Câu 5 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 2xm 1 tan cos x 2x

có nghiệm thuộc đoạn 0;

Ta có cos 2xm 1 tan cos x 2x 2 2

2 cos x 1 m 1 tan cosx x

Do m nên phương trình  1 có nghiệm khi m   1; 0; 1

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số mthỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 6 Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m 0; 2019 để bất phương trình:

[0;1]

max ( ) 1f t 

Do đó, m 1, mà m 0; 2019  m [1; 2019]

 có 2019 giá trị nguyên của m

f x ax bx cx với , , ,d a b c d là các số thực, có đồ thị như hình bên

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f xm 1 m có đúng

4 nghiệm phân biệt

Đặt t  x m 1t  , phương trình trở thành: 1 f t  m  *

+ Với t    1 x m

+ Với t   1 x m       Khi đó với mỗi t 1 x m t 1 t 1 cho ta hai giá trị x

Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi  * có đúng 2

Điều kiện : 3

x  x  x

*) Nhận thấy x 0 không là nghiệm của phương trình

*) Với x 0 chia cả hai vế của phương trình cho 3

Bảng biến thiên của hàm số f t :

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình  2 có nghiệm t 2; 

Từ bảng biến thiên ta thấy m 7 Kết hợp m là số nguyên và m   2019; 2019 suy ra

có 2013 giá trị m

Câu 11 Cho hàm số f x liên tục trên đoạn    0;3 và có bảng biến thiên như sau:

Lời giải Chọn A

ming x g 1 1; maxg x g 3 65

Từ bảng biến thiên ta có:          

0;3 [0;3]

h x x x  x

x x

0;2minh x  8 Vậy m  3  1

Trước khi làm thì tắt hàm g x  bằng lệnh “ SHIFT + MODE +  + 5 + 1”

Bước 1: Vào môi trường TABLE bằng lệnh “Mode + 7”

Quan sát bên cột f x  có giá trị f x   5, 67 nên loại m  5

Ba trường hợp còn lại làm tương tự như trên chỉ có m  3 thỏa mãn giá trị lớn nhất của f x  là 5

Câu 13 Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Phương trình trở thành ( ) 3.f t  Kẻ đường thẳng y 3 cắt đồ thị hàm số f x  tại bốn

Dựa vào BBT suy ra: để PT có nghiệm 22 42 2 2 3 2 2 2 3

Với m 2, m  9;9 m 2;3; 4;5;6;7;8;9( 8 giá trị thỏa mãn )

Với m  2 23, m  9;9     m  6; 7; 8; 9(4giá trị thỏa mãn )

Vậy có tất cả 12 giá trị nguyên của tham số m   9;9 thỏa mãn yêu cầu bài toán

A Phương trình đã cho vô nghiệm

B. Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thực

C. Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt

D. Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào giá trị của tham số m

Lời giải Chọn B

m

x   x có chứa đúng hai số nguyên là

Lời giải Chọn B

Do vậy, tổng các giá trị nguyên dương của m là 14 15 29 

Câu 17 Cho hàm số f x  liên tục trên Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ

12

02

02

m f 

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị của hàm số y f x và yx (hình vẽ) ta có BBT của g t  như sau:

Vậy yêu cầu bài toán tương đương với     1

2

mg  f 

Câu 18 Cho hàm số y f x  có f     , 2 m 1 f  1   Hàm số m 2 y f x có bảng biến

thiên như hình vẽ bên

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 1   2 1

 Do đó h x    0, x  2;1 Bảng biến thiên của hàm số yh x  trên khoảng 2;1

Khi đó, phương trình h x  có nghiệm m x   2;1 khi và chỉ khi h 1    m h 2

Câu 19 Cho hàm số f x  liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên Có bao nhiêu số

nguyên m để phương trình f f x 1 m có ít nhất 6 nghiệm thực phân biệt?

Lời giải Chọn A

Nhận xét: Số nghiệm của phương trình f x ba cũng chính là số nghiệm của

phương trình f x a

Xét phương trình f f x 1 m  1

Đặt t f x 1 Khi đó ta có phương trình f t m  *

f x t

f x t

Phương trình f x  1 t t3, 3 0;1 có 3 nghiệm, phương trình f x  1 t4,t4 1; 2 có

3 nghiệm, phương trình f x  1 t t5, 5 2;3 có 1 nghiệm Dựa vào đồ thị ta thấy các nghiệm trên là các nghiệm phân biệt Suy ra phương trình  1 có 7 nghiệm phân biệt

Nhìn bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x  đạt giá trị nhỏ nhất trên 0; 7

Câu 21 Cho phương trình 2x22mx    ( m là tham số) Gọi 4 x 1 p q, lần lượt là các giá trị

mnguyên nhỏ nhất và giá trị lớn nhất thuộc 10; 10 để phương trình có nghiệm Khi

đó giá trị T  p 2q là

Lời giải Chọn B

x x



Bảng biến thiên sau

Câu 23 Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình

24

Mặt khác m nguyên âm nên S      4; 3; 2; 1

Câu 24 Cho hàm số y f x( ) có bảng xét dấu của '( )f x như sau:

1 2'( ) 1 2 ' 1 f x x ,

2

22

1

2

x x

x x

x x

với x y z, , là ẩn số thực, m là tham số Số giá trị

nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm là

Lời giải Chọn D

x y z x y z  xyyzxz     Vây x   Suy ra: y z 0   2 2 2

Từ bảng biến thiên ta thấy: 54 f t 66 với   t  3;1

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình f t m có nghiệm

 3;1

t  

   Vậy có 13 giá trị nguyên của mđể hệ phương trình có nghiệm

Câu 26 Cho phương trình m2 x 3 2m1 1  x m 1 Biết rằng tập hợp tất cả các giá

trị của tham số thực m để phương trình có nghiệm là đoạn  a b; Giá trị của biểu thức

5 3

    Vậy 5a3b Đáp án D 8

Câu 28 Cho hàm số y f x  liên tục trên 1;3 và có đồ thị như hình vẽ sau:

Bất phương trình f x( ) x 1 7 x m có nghiệm thuộc 1;3 khi và chỉ khi

Ta có:

Mà m   2018;2018 và m nguyên nên có 2020 giá trị của m thỏa mãn

Câu 30 Tìm số thực m lớn nhất để bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x

sin  cos  1 sin 2  sin  cos 2018

Đặt t sinx  cosx   t2 1 sin 2x 2  1 t 2

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:



    

Vậy có 19 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nhận xét: Trên tinh thần thi trắc nghiệm, học sinh hoàn toàn có thể sử dụng tính năng

TABLE của máy tính cầm tay để tìm

Dựa vào bảng biến thiên suy ra: 6057 0

   và m nguyên suy ra 1514    m 1

Vậy có 1514 giá trị m nguyên thỏa mãn

Nhận xét: Đề bài cho thừa giả thiết đồ thị y f x 

Lời giải Chọn B

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi thì

Vậy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x  1;3 thì m  2

Vì m nguyên dương nên S  1; 2 có 2 phần tử Tổng các phần tử bằng 3

Câu 36 Số giá trị nguyên của tham số m nằm trong khoảng 0; 2020 để phương trình

x   x m có nghiệm là

Lời giải Chọn D

     

1;2maxh x h 2 48 Phương trình đã cho có nghiệm thuộc  1; 2  Phương trình  4 có nghiệm trên  1; 2

Lời giải Chọn A

+ Với m 1 h x  f 2x  thỏa mãn 1 1  *

Do x 1 thì 2x  1 1 f 2x   và 1 1 0 x 1 thì 2x  1 1 f 2x   1 1 0

+ Với m  1 h x  f 2x 1 2f x  1