nguyên lý bù trừ Để đếm số cách làm công việc A với tính chất b nào đó ngoài cách đếm trực tiếp ta còn có thể làm như sau: -đếm số cách làm công việc A bình thường không quan tâm đến b [r]
Trang 1Bài 1 : Bài toán đếm
A Tóm tắt lý thuyết
1 Quy tắc cộn g
-Quy tắc cộng: giả sử một công việc nào đó khi thức hiện có thể thực hiện theo 2 phương
án
+Phương án A: có n cách thực hiện
+Phương án B : có m cách thực hiện
(không có cách nào trong phương án A trùng với 1 cách nafoddos trong phương án
B khi đó có m+n cách làm công việc trên )
VD: một lớp 11a1 có 20 học sinh nam, 25 học sinh nữ Cần chọn 1 em tham gia vào đội thiếu niên tiền phong của nhà trường , hỏi có bao nhiêu cách chọn
Giải: công việc trên khi làm có thể thực hiện theo 2 phương án
Phương án A: chọn một bạn học sinh nam : có 20 cách chọn
Phương án B : chọn 1 bạn học sinh nữ : có 25 cách chọn
Theo quy tắc cộng có 20 + 25 = 45 cách chọn
*Quy tắc cộng mở rộng
Giả sử 1 công việc nào đó khi thực hiện có thể thực hiện theo k phương án
+Phương án 1 : có n1 cách
+Phương án 2 có n2 cách
………
+Phương án n có nk cách
Giả sử không có cách nào trong phương án này trùng với phương án khác
Khi đó có n1 +n2 +…+nk (cách)
2 quy tắc nhân
giả sử một công việc nào đó khi làm có thể thực hiện theo 2 công đoạn liên tiếp
CĐ 1 : có n cách với mỗi cách của công đoạn 1 CĐ 2 có m cách thực hiện
Khi đó có n.m cách thực hiện công việc trên
VD: trong tủ quần áo của một bạn học sinh nào đó có 10 cái áo; 5 cái quần Cần chọn 1
bộ quần áo để chọn đi học Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Giải: để chọn một bộ quần áo đi học ta thực hiện 2 công đoạn liên tiếp
CĐ 1 : chọn một cái áo: có 10 cách
CĐ 2 : chọn một cái quần : có 5 cách
Theo quy tắc nhân có 5.10=50 ( cách )
*Quy tắc nhân mở rộng
Giả sử có một công việc nào đó khi thực hiện có thể thực hiện theo k công đoạn liên tiếp
CĐ 1: có n1 cách với mỗi cách của công đoạn 1
CĐ 2: có n2 cách với mỗi cách của công đoạn 2
CĐ k: có nk cách
Khi đó có n1.n2 nk (cách)
VD: cho các chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7.
Trang 2a) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số
b) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau
Giải
a) giả sử số tự nhiên cần lập là abcd
a ∈{1;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 } a❑i{0 ;1 ;2; ;7 }
Để lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu của bài toán ta thực hiện 4 công đoạn sau:
CĐ 1: chọn 1 chữ số đặt vào a1: 7 cách
CĐ 2: chọn 1 chữ số đặt vào a2: 8 cách
CĐ 3: chọn 1 chữ số đặt vào a3: 8 cách
CĐ 4: chọn 1 chữ số đặt vào a4: 8 cách
Theo quy tắc nhân có tất cả 7.8.8.8=3584 (cách )
b) giả sử số tự nhiên cần lập là abcd
ai{1 ;2;3 ; ;7 } aj{1 ;2;3 ; ;7 } ;i=2,4
ai aj với ij
để lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán ta thực hiện 4 công đoạn liên tiếp
CĐ 1: chọn a1:7 cách
CĐ 2: chọn a2: 7 cách
CĐ 3: chọn a3: 6 cách
CĐ 4: chọn a4 : 5 cách
Theo quy tắc nhân có : 7.7.6.5=1470(số)
3.hoán vị
*Định nghĩa: cho tập hợp A có n phần tử (nN*).kết quả của việc sắp xếp n phần tử trong tập A theo thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử trong tập A
VD: cho tập hợp A gồm 4 chữ số 1;2;3;4 hãy liệt kê các hoán vị của A
Giải :
1234;1243;1324;1342;1432;1423;…
*công thức tính số hoán vị của n phần tử
Kí hiệu : Pn là số hoán vị của n phần tử trong tập A nào đó Khi đó
Pn=1.2.3….n=n!
VD: cho các chữ số 1;2;3;4;5 Hỏi có thể lập được bao nhiêu só tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số trên
Giải :
Mỗi một số lập được chính là một hoán vị của 5 chữ số trên ⇒số các số lập được là :
P5 = 5! =120 (số )
4.chỉnh hợp
Định nghĩa : cho tập hợp A có n phần tử (n N*);kN sao cho tập k và sắp xếp chung theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử trong tập hợp A
VD: cho tập hợp A gồm 8 chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8 hãy liệt kê một số chỉnh hợp chập 3 của
8 chữ số trên
Trang 3Giải: 123;456;894;…
* Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử trong tập hợp A(1k ≤ n) : A❑n k=
n !
(n − k)!
Quy ước :
0! =1; A❑n
o =1
A❑n k= n!
(n − k )! ;kN ;0 ≤ k ≤ n
VD : cho tập A gồm các chữ số 1 → 7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ
số khác 0 từ 7 chữ số trên
Giải : mỗi số lập được là một chỉnh hợp chập 3 của 7 chữ số ban đầu
⇒số các số lập được là :
A❑73= (7 −3)!7 ! = 210 (số)
5 tổ hợp
*Định nghĩa : cho tập hợp gồm n phần tử (nN*) ; kN ; 1 ≤ k ≤ n Kết quả của việc lấy ra k phần tử từ tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử trong A
VD: cho A={a ;b ; c ;d } hãy liệt kê một số tập hợp chập 2 của 4 phần tử trong A
Giải :
Các tổ hợp chập 2 của 4 phần tử trong A là :
{a ;b };{a ; c }; {a ; d }; {b ;c }; {b ;d }; {c ;d }
*công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử
Kí hiệu : C❑n k là số tổ hợp chập k của n phần tử
khi đó : C❑n k= n !
(n− k )! k ! (1 ≤ k ≤ n) quy ước : C❑n
0 = 1 ⇒C❑n k= n !
(n− k )! k ! 0k ≤ n
VD: một lớp có 20 học sinh cần chọn 2 bạn tham gia đội xung kích Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Giải:
Mỗi một danh sách gồm 2 bạn tham gia xung kích chính là một tổ hợp chập 2 của 20 học sinh trong lớp
⇒ Có số cách chọn là : C❑202 =20 !
(20 −2)!2 ! = 190 (cách )
6 phân biệt hoán vị và chỉnh hợp
- Giống nhau: các phần tử lấy ra đều sắp xếp theo thứ tự
- Khác nhau : + hoán vị lấy ra tất
+ chỉnh hợp lấy ra một bộ phận
7 phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp
- Giống nhau : đều lấy ra một bộ phận các phần tử từ tập hợp ban đầu
- Khác nhau : + chỉnh hợp lấy ra phải sắp xếp
Trang 4+ tổ hợp lấy ra là xong
VD : một lớp 11a có 20 học sinh
a) cần xếp lớp này thành 1 hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách
b) cần lấy ra 4 bạn của lớp tham gia vào đội văn nghệ của trường
c) cần lấy ra 4 bạn của lớp và xếp thành một hàng ngang Hỏi có bao nhiêu cách
Giải :
a) Mỗi hàng dọc là một hoán vị của 20 học sinh
⇒ số hàng dọc là : P20 = 20!
b)mỗi danh sách gồm 4 bạn tham gia đội văn nghệ là một tổ hợp chập 4 của
20 ⇒ số cách chọn là C❑204 = 4845 ( cách chọn )
c) mỗi hàng ngang lập được là một chỉnh hợp chập 4 của 20 học sinh
⇒số hàng ngang lập được là
A204=20 !
(20− 4)!=
20 !
16 !=116280( cách)
8 nguyên lý bù trừ
Để đếm số cách làm công việc A với tính chất b nào đó ngoài cách đếm trực tiếp ta còn
có thể làm như sau:
-đếm số cách làm công việc A bình thường ( không quan tâm đến b) giả sử là n
- đếm số cách làm công việc A với tính chất phủ định của tính chất b , giả sử là m
⇒số cách làm công việc A với tính chất b là n-m ( cách )
VD; một lớp 11a có 10 nam; 10 nữ Cần chọn ra một nhóm gồm 5 người trong đó có ít nhất 1 bạn nam Hỏi có bao nhiêu cách
giải :
cách 1:để làm công việc trên ta có 5 phương án
PA 1: nhóm có 1 nam: có C101 .C104 = 2100 cách chọn
PA 2 : nhóm có 2 nam: có C102 .C103 = 5400 cách chọn
PA 3 nhóm có 3 nam : có C103 .C102 = 5400 cách chọn
PA 4 nhóm có 4 nam: có C104 .C101 =2100 cách chọn
PA 5 nhóm có 5 nam:có C105 =252 cách chọn
Theo quy tắc cộng có : 2100.2+5400.2+252 =15252( cách chọn)
Cách 2:
- số cách lập nhóm có 5 người là C❑205 =15504( cách chọn )
- số cách lập nhóm có 5 người không có bạn nam nào là : C❑105 =252( cách chọn )
- theo nguyên lý bù trừ có : 15504-252=15252 ( cách )
B Các dạng toán khác
Dạng 1: đếm số các số tạo thành
Cho tập hợp X gồm các số nào đó Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số
từ các chữ số trong tập hợp X thỏa mãn tính chất nào đó
Trang 5*phương pháp
- giả sử số cần lập có dạng a1a2 a n chỉ ra tập các chữ số mà a1; a2;…an có thể nhận
- ta thực hiện các công đoạn chọn các chữ số từ a1; a2;…an
- Áp dụng quy tắc nhân suy ra số các chữ số lập được
*một số nguyên tắc
- a1 không được phép nhận chữ số 0
- khi số cần lập không yêu cầu các chữ số khác nhau thì chữ số được chọn trong các công đoạn trước có thể được chọn lại trong công đoạn sau
- khi số cần lập yêu cầu các chữ số đôi một khác nhau thì chữ số được chọn trong các công đoạn trước không được chọn lại cho các công đoạn sau
- ưu tiên chọn các vị trí a1: quan trọng nhất trước rồi mới chọn vào các vị trí ai còn lại
- nếu thấy có một số số ai có vài trò như nhau và đôi một khác nhau thì thay vì chọn riêng lẻ thì có thể dùng hoán vị hoặc chỉnh hợp đẻ chọn tất
VD: từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho
a)các chữ số có 5 chữ số khác nhau
b) các chữ số khác nhau và số đầu tiên là 3
c)Các chữ số khác nhau và không tận cùng là 4
Giải :
a) Cách 1: giả sử số cần lập là a1a2a3a4a5
ai{1 ;2; 7 } ; i=1,5
để lập số trên ta thực hiện 5 công đoạn
CĐ 1: chọn a1: 7 cách
CĐ 2: chọn a2: 6 cách
CĐ 3 : chọn a3: 5 cách
CĐ 4 : chọn a4: 4 cách
CĐ 5 : chọn a5: 3 cách
Theo quy tắc nhân có : 7.6.5.4.3=2520( cách)
Cách 2: mỗi số lập được là một chỉnh hợp chập 5 của 7
⇒ Số các số lập được là A❑75=2520 ( số)
b)giả sử số cần lập là 3 a1a2a3a4
ai{1 ;2;3 ; ;7 } i=1,4
số các số lập được là chỉnh hợp chập 4 của 6 : A❑64=360 (số )
c)giả sử số cần lập là a1a2a3a4a5
số cách lập số không có 4 là : C❑64 = 360(số)
số cách lập số có 4 là : C❑75 = 2520 theo nguyên lý bù trừ : 2520-360 =2160 (số)
VD: từ 7 chữ số 0;1;2;3;4;5;6 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau
Giải : giả sử số cần lập là a1a2a3a4
a1∈{1 ;2 ; ;6 } a4∈{0 ;2 ;4 ;6 } ai {0 ;1 ;2;3 ; 4 ;5 ;6 } i=2,3
Trang 6Theo quy tắc nhân có :4.4.5.5=400(số )
TH 1: a4=0
Để lập số trên ta chỉ cần chọn nốt a1; a2; a3
Số các số là A❑63=120 (số)
TH 2: a4 0 để lập số trên ta thực hiện theo 3 công đoạn
CĐ 1: chọn a4 : 3 cách
CĐ 2 : chọn a1 : 5 cách
CĐ 3 : chọn a2a3 : A❑52 = 20 cách
Theo quy tắc nhân 3.5.20=300 số
Theo quy tắc công 120+300=420 số
VD: từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt chữ số 5
Giải:
Vì vị trí chọn chữ số 5 có 4 cách
Giả sử số cần lập là 5a1a2a3 ; ai ={1 ;2;3 ; 4 ;5 ;6 ;7 } i=1 ;3
Mỗi số lập được là chỉnh hợp chập 3 của 6
Số các số lập được là A❑63 = 120 (số )
⇒số các số lập được có bốn chữ số là 4.120=480(số)
VD: từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau sao
cho luôn có mặt chữ số 1 và 5
Giải:
CĐ 1: chọn hai vị trí để sắp xếp chữ số 1;5 có tất cả A❑52(cách)
CĐ 2 : chọn 3 vị trí còn lại là A❑53(cách)
Theo quy tắc nhân có A52 A53 =1200 (số )
VD: chọn tập A={0 ;1 ;2;3 ; 4 ;5 ;6 } hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho
a) các chữ số khác nhau và số lập được chia hết cho 5
b) các số 1;2 đứng cạnh nhau
Giải:
a) giả sử số cần lập là
a4 ={0 ;5 } ; a1={1 ;2;3 ; 4 ;5 ;6 } ; ai ={0 ;1 ;2;3 ; 4 ;5 ;6 ; } ; i=2,4
TH 1: a4 =0
Để lập số trên a1;a2;a3 ; có tất cả A❑63 = 120 (số )
TH 2 : a4 5
Để lập số trên ta phải lập trên 3 công đoạn
CĐ 1 : chọn a1 có 5 cách
CĐ 2 : chọn a2;a3 có cách
Theo quy tắc nhân có 5 A❑52=100 (số)
Theo quy tắc cộng có 120+100=220 (số)
Trang 7b) giả sử số cần lập là a1a2a3a4
a1={1 ;2;3 ; 4 ;5 ;6 } ; ai ={0 ;1 ;2;3 ; 4 ;5 ;6 ; }; i=2,4
TH1 : chữ số 1;2 đặt ở vị trí a1a2
Để lập số trên ta thực hiện 3 công đoạn
CĐ 1: sắp xếp chữ số 1 và 2 vào a1a2 : có 2 cách
CĐ 2: chọn a3 có 7 cách
CĐ 3: chọn a4 có 7 cách
Theo quy tắc nhân có : 2.7.7=98 (số)
TH 2: chữ số 1 và 2 đặt ở vị trí a2a3
Để lập số ta thực hiện 3 công đoạn
CĐ 1: sắp xếp 1 và 2 vào a2a3 : có 2 cách
CĐ 2: chọn a1 có 6 cách
CĐ 3 : chọn a4 có 7 cách
Theo quy tắc nhân có : 2.6.7=84 số
TH 3 : chữ số 1 và 2 được đặt ở vị trí a3a4
Cũng có 84 số
Theo quy tắc cộng có 84.2+98 = 266 (số)
VD: từ các số 1;2;3;4;5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiện 2 lần, 4 chữ số còn lại xuất hiện 1 lần
Giải:
Chọn số cần lập là a1a2a3a4a5a6
a i ∈{1 ;2 ;3 ;4 ;5 } và i=1 ;6
Để lập só trên ta thực hiện 2 công đoạn
CĐ 1: chọn 2 vị trí đặt chữ số 1: có C❑62=15 (cách)
CĐ 2: chọn 4 vị trí đặt các chữ số còn lại : có 4!=24 cách
Theo quy tắc nhân có: 15.25= 360 số
VD : từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số sao cho chữ số
1 xuất hiện 3 lần các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần
Giải :
Gọi số cần tìm là a1a2 a8
a1∈{1 ;2 ;3; 4 ;5 } ; a i ∈{0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 } ; i=2,8
Để lập số thỏa mãn ta thực hiện 3 công đoạn
CĐ 1: chọn một vị trí đặt chữ số 0: 7 cách
CĐ 2: chọn 3 vị trí đặt chữ số 1 : C73 cách
CĐ 3: chọn 4 vị trí còn lại : 4! Cách
Theo quy tắc nhân có 7 C73.4! = 5880 (cách
VD có thể lập được bao nhiều số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt nhỏ hơn 6543
Giải : gọi số cần lập là a1a2a3a4
TH 1: a1<6 để lập số thỏa mãn yêu cầu bài toán ta thực hiện 2 công đoạn
CĐ 1: chọn a1: 5 cách
Trang 8CĐ 2 : chọn a2a3a4 : A❑93 cách
Theo quy tắc nhân có : 5 A❑93 =2520 (số )
TH 2: a1 = 6 ; a2 < 5 để lập số thỏa mãn ta thực hiện 2 công đoạn
CĐ 1: chọn a2 : 5 cách
CĐ 2: chọn a3a4 : A❑82 cách
Theo quy tắc nhân có 5 A❑8
2 = 280 (số )
TH 3: a1 = 6 ; a2=5 ; a3 < 4 để lập số trên ta thực hiện 2 công đoạn
CĐ 1: chọn a3 : 4 cách
CĐ 2: chọn a4 : 7 cách
Theo quy tắc nhân 4.7 = 28 (số )
TH4 : a1 = 6 ; a2=5 ; a3 = 4 ; a4 <3 có 3 số
Theo quy tắc cộng : 2520+280+28+3= 2831(số )
VD: cho các số 1;2;3;…;9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cso 6 chữ số khác nhau sao cho tổng chữ số hàng chục , hàng trăm, hàng nghìn bằng 8
Giải:
Gọi số cần tìm là a1a2a3a4a5a6
a i ∈{0 ;1;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8 ;9} ; i=1 ;6
Theo giả thiết : a3+ a4 + a5 = 8
Có hai bộ gồm 3 số tự nhiên khác nhau có tổng bằng 8 là :
{1 ;2;5 } {1 ;3 ;4 }
Để lập số trên ta thực hiện 3 công đoạn liên tiếp
CĐ 1: chọn 1 trong 2 bộ trên : 2 cách
CĐ 2: sắp xếp 3 chữ số trong bộ đã chọn a3a4a5 : 3! cách
CĐ 3: chọn các vị trí còn lại : A63 cách
Theo quy tắc nhân có 2.3! A63 = 1440 ( số )
VD: từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và số
đó chia hết cho 9
Giải:
Gọi số cần lập là: a1a2a3
a1∈{1 ;2 ;3; 4 ;5 } a i ∈{0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 } i=2 ;3
Theo giả thiết : ( a1 + a2 +a3)⋮9
Dễ thấy : 3 a1 + a2 +a3 12
⇒ a1 + a2 +a3 = 9
Có ba bộ gồm ba chữ số tự nhiên khác nhau có tổng bằng 9 là :
{1;3;5} ; {0;4;5} ; {2;3;4}
TH 1: Sử dụng bộ {0;4;5}
Để lập số ta thực hiện 2 công đoạn
CĐ 1: chọn a1 : có 2 cách
CĐ 2: chọn a2a3: có 2! Cách
Trang 9Theo quy tắc nhân: 2.2!= 4 số
TH 2 : sử dụng bộ {1;3;5} hoặc {2;3;4} để lập số ta thực hiện hai công đoạn
CĐ 1: chọn 1 trong 2 bộ trên : 2 cách
CĐ 2: xếp 3 số trong bộ trên vào a1a2a3 : có 3! Cách
Theo quy tắc nhân có 2.3! = 12 số
Theo quy tắc cộng có 4+12=16 số
VD: từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau sao cho tổng ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng ba chữ số cuối 1 đơn vị
Giải :
Giả sử số cần lập là a1a2a3a4a5a6
a i ∈{1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 } ; i=1 ;6
Theo giả thiết a1 + a2 +a3 +1 = a4+a5+a6
Do số cần lập có 6 chữ số khác nhau và đầu bài chỉ cho 6 chữ số nên cả 6 chữ số chỉ có mặt một lần trong số cần lập
⇒ a1 +a2+a3+a4+a5+a6= 21
⇔2(a1+a2+a3)+1=21
⇔ a1 + a2 +a3 =10
⇒có ba bộ gồm ba chữ số khác nhau có tổng là 10 là
{1;4;5} ; {1;3;6} ; {2;3;5}
Để lập số trên ta thực hiện ba công đoạn
CĐ 1: chọn 1 trong 3 bộ trên: 3 cách
CĐ 2: xếp ba chữ số trong bộ đã chọn vào a1a2a3 : 3 cách
CĐ 3:chọn ba vị trí còn lại : 3! Cách
Theo quy tắc nhân có : 3.3.3!=108 cách
VD: từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3
Giải :
Giả sử số cần lập là a1a2a3
a1∈{1 ;2 ;3; 4 ;5 ; } ; a i ∈{0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 ; } ; i=2 ;3
+Lập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau: để lập số này ta thực hiện theo 2 công đoạn
CĐ 1: chọn a1 : 5 cách
CĐ 2: chọn a2a3 : A❑5
2 cách Theo quy tắc nhân có 5 A❑52 = 100 số
+ lập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3
a1 + a2 +a3 ⋮ 3
dễ thấy : 3 a1 + a2 +a3 12
⇒ a1 + a2 +a3 {3;6;9;12}
Có tám bộ gồm 3 chữ số khác nhau thỏa mãn
{0;1;2}; {0;4;5} ; {0;1;5} ; {0;2;4} ; {1;2;3} ;{2;3;4} ; {3;4;5} ; { 1;3;5}
Trang 10TH 1: sử dụng bộ {0;1;2} để lập số ta thực hiện 2 công đoạn
Theo quy tắc nhân có 2.2!=4 ( số )
TH2 :sử dụng bộ {1;2;3}
Theo quy tắc cộng có : 4.4+4.6=40 (số)
Theo nguyên lý bù trừ có:100-40=60 số
VD: từ các chữ số 0;1;2;…;9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho chữ số sau lớn hơn chữ số liền trước
Giải:
Chữ số 0 không thể có mặt trong số ta lập
5 chữ số bất kì từ 1 đến 9 luôn xếp được duy nhất một số thỏa mãn yêu cầu bài toán
⇒các số thỏa mãn : C95=126 (số)
VD: cho các chữ số 1;2;…;9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau tính
tổng các số nhận được
Giải:
Số các số lập được : A❑94=3024 (số)
Cách 1: giả sử n=a1a2a3a4 là một số bất kì trong 3024 số trên
Ta đặt b1=10-a1 ; b2=10-a2 ; b3=10-a3 ; b4=10-a4
Dễ thấy : b1 ; b2 ; b3 ; b4 {1 ;2; ;9}
Do a1 ; a2 ; a3 ; a4 đôi một khác nhau lên b1 ; b2 ; b3 ; b4 đôi một khác nhau
⇒n’=b1b2b3b4 chính là một số trong 3024 số trên
Có n+n’=11110
Mỗi số n chỉ có duy nhất