Ý tưởng: Biến đổi vế trái của bất đẳng thức rồi sử dụng bất đẳng thức Cauchy và tính chất của hàm số sin, tang, cotang.. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm tan2x và cot2x, ta[r]
Trang 1Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-si và tính chất của tam giác.
VD:Với x, y, z là ba góc trong một tam giác nhọn Chứng minh trong mọi tam giác nhọn, ta có :
9 3
Giải
Trong mọi tam giác, ta có: tanx + tany + tanz = tanxtanytanz
Tai lại có :
3
tanxtanytanz3 tan tan tanx y z (Cô-si)
tan tan tanx y z 3 tan tan tan3 x y z
3 tan tan tanx y z 27 tan tan tanx y z
tan tan tanx y z 2 27
tan tan tan x y z 3 3
Mặt khác :
tanx tan y tan z 3 tan x tan y tanz 3tan x tan y tanz
Nên:
3tan tan tan 9 3
Vậy trong mọi tam giác nhọn ta có :
Phương pháp đại số.
VD: Chứng minh:
2
2
2 tan
2 tan tan
2 tan
tan 2
x
x x
x
x x
Ý tưởng: Biến đổi biểu thức Đặt ẩn phụ đưa về bất đẳng thức đại số.
Trang 2Đặt :
2
2 2 2
2 tan 2 tan tan
tan tan 1 tan 2
2 tan tan 2
x A
x x
(1) Đặt: tanx = t Khi đó (1) trở thành:
2 2
1 1
t t A
t
2
2
A t t t
A t t A
A
A A
(2) có nghiệm t
2
2 2
2
2
0
2 tan
2 tan tan
2 tan
tan 2
A A A
t t t x
x x x
hay
x
x x
Vậy:
2
2
2 tan
2 tan tan
2 tan
tan 2
x
x x
x
x x
Trang 3Phương pháp sử dụng bất đẳng thức đạisố và tính chất của các hàm số lượng giác.
VD: Chứng minh: sinxcosxtan2 xcot2 x 2 2
; ,
2
x k k k
Ý tưởng: Biến đổi vế trái của bất đẳng thức rồi sử dụng bất đẳng thức Cauchy và tính
chất của hàm số sin, tang, cotang
4
ó :
Ta c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm tan2x và cot2x, ta được:
Từ (1) và (2) suy ra:
4
Dấu “=” xảy ra
4
4 tan cot
3
2 , ( ) 4
3
2 4
x
x
Vậy: sin x cos x tan2 x cot2 x 2 2
Trang 4VD: Bài trên báo toán học và tuổi trẻ
Cho n N và
x 0;
2
Chứng minh rằng :
4
x
Bất đẳng thức hiển nhiên đúng
4
x
Bất đẳng thức
2
(với 2 0
n
k
)
Xét f x ( ) cot k x tank x 2 cos 2 (*) k x x 0; 4
f
giảm trên 0;4
f x f x
(*)
đúng
Ta có
0;
t x
tann x cotn x tann t cotn t 2 n cos 2 t 2 n cos 2 x
Ta luôn có :
2
n x n x n x n x
Dấu “=” xảy ra x 4
Vậy: tann x cotn x 2 n2 cos 2 2 x