Ánh xạ đơn điệu và áp dụng vào các bài toán cân bằng kinh tế

Ánh xạ đơn điệu và áp dụng vào các bài toán cân bằng kinh tế

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MỤC LỤC

Mở đầu 1

Chương 1: TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 1.1 Không gian Hilbert thực 3

1.2 Tập lồi và hàm lồi 7

1.3 Toán tử đơn điệu 14

1.3.1 Các định nghĩa về toán tử đơn điệu 15

13.2 Toán tử đơn điệu tuần hoàn 19

1.3.3 Toán tử đơn điệu cực đại 21

Chương 2: BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU 2.1 Bất đẳng thức biến phân 33

2.2 Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu 39

2.3 Bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đa trị 46

2.4 Bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan 49

Chương 3: MÔ HÌNH NASH – COURNOT VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU 3.1 Phát biểu mô hình 55

3.2 Mô hình Nash – Cournot với bài toán cân bằng 56

3.3 Mô hình Nash – Cournot với bài toán bất đẳng thức biến phân 57

3.4 Mô hình Nash – Cournot với toán tử đơn điệu 58

KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

và đặc biệt là mô hình kinh tế nổi tiếng Nash - Cournot Vì thế, đây là một đề tài vừa có ý nghĩa về mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao Nội dung chính của bản luận văn là trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ sở có liên quan; khái niệm, tính chất và các điều kiện cho các toán tử đơn điệu; áp dụng toán

tử đơn điệu trong bài toán bất đẳng thức biến phân và mô hình kinh tế Nash - Cournot Ngoài phần mở đầu, kết luận và các tài liệu tham khảo, các kết quả nghiên cứu trong bản luận văn được trình bày thành ba chương với tiêu đề:

Chương 1: Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert

Chương 2: Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu

Chương 3: Mô hình Nash - Cournot với toán tử đơn điệu

Nội dung chính của các chương là:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích lồi phục vụ cho việc nghiên cứu toán tử đơn điệu Sau đó, trình bày các khái niệm về toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn và đơn điệu cực đại Song song với các khái niệm này là một số kết quả về tính chất, điều kiện của toán tử đơn điệu

Chương 2: Trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan Sau đó, trình bày một số kết quả về việc sử dụng toán tử đơn điệu trong việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

Chương 3: Trình bày về mô hình kinh tế Nash - Cournot trong lĩnh vực sản xuất kinh doanh Sau đó, sử dụng toán tử đơn điệu để nghiên cứu về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho mô hình

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Để hoàn thành được bản luận văn này, trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Quý, người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện bản luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, các cô giáo trong trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học

Tôi xin cảm ơn tới cơ quan, gia đình và bạn bè đã luôn động viên, ủng hộ giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn tốt nghiệp

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2008

Ngô Thị Việt Hằng

Chương 1

TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Nội dung chính của chương bao gồm: một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert thực và giải tích lồi Tiếp sau đó là các khái niệm về ánh xạ đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại Đồng thời trình bày một số kết quả liên quan đến tính đơn điệu của các toán tử đơn trị và đa trị trong không gian Hilbert

1.1 Không gian Hilbert thực

Chúng ta bắt đầu từ không gian đơn giản nhất là không gian véc tơ tuyến tính trên

trường số thực Đó là một tập hợp khác rỗng X mà trên đó có trang bị hai phép

toán: phép toán cộng hai véc tơ và phép toán nhân một số thực với một véc tơ:

 Nếu trên X được trang bị một chuẩn || , || với các tính chất:

1 || ||x   0, x X; || ||x   0 x 0;

2 ||x||| ||| ||,x  x X,R ;

3 ||x y|||| ||x || y||,x y, X

thì X được gọi là một không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1 Cho X là một không gian tuyến tính thực X được gọi là không

gian tiền Hilbert nếu: với mọi x y, H , xác định một số thực ký hiệu là , x y gọi

là tích vô hướng của x y, X , thỏa mãn các tính chất sau:

1 x y,  y x, ;

2 x y z,  x z,  y z, ;

3 x y,  x y, ,  R;

4 x x, 0 nếu x 0, x x, 0 nếu x0

Mệnh đề 1 1 (Xem [4]) Mọi không gian tiền Hilbert X là không gian tuyến tính

định chuẩn, với chuẩn được xác định:

0

x X sao cho x n x0, thì X được gọi là không gian đủ

Định nghĩa 1.3 Không gian tiền Hilbert và đủ gọi là không gian Hilbert, trong

luận văn này ta thống nhất ký hiệu H là một không gian Hilbert thực

Định nghĩa 1.4 Hai véc tơ x y, H được gọi là hai véc tơ trực giao với nhau, kí

hiệu là x y , nếu x y, 0

Từ định nghĩa dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau đây:

Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f x( ) nào trên không gian Hilbert

H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng ( 1.1 ), trong đó a là một véc tơ của H thỏa mãn (1.2)

nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.2)

Để chứng minh phần ngược lại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liên tục f x( ) trên không gian Hilbert H Tập hợp

 

M  xH f x 

rõ ràng là một không gian con đóng của H Nếu M  0 thì dựa vào cách phân

tích x y z với yM z, M, ta thấy rằng z 0, cho nên f x  f y 0 với mọi xH, do đó f x  0,x , nghĩa là ta có cách biểu diễn (1.1) với a 0 Vậy chỉ còn phải xét trường hợp M  0 Ta có f x 0 0, nên véc tơ :

 0

0

0 0

0,

Định lý vừa chứng minh cho phép lập một tương ứng một đối một giữa các phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên H và các véc tơ aH Tương ứng đó là

một phép đẳng cự tuyến tính, cho nên nếu ta đồng nhất hóa phiếm hàm f với véc

tơ a sinh ra nó thì ta có *

H H, nghĩa là : không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp của nó

Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H Với mỗi

yH cố định ta xét phiếm hàm f H: R được xác định như sau:

f x  Ax y xH

Dễ thấy f là phiếm hàm tuyến tính, liên tục trong H nên theo định lý 1.1 về dạng

tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục, tồn tại duy nhất *

Nhận xét 1.2 Theo định nghĩa, tập  được xem là tập lồi

Định nghĩa 1 8 Tập K H được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu:

Định nghĩa 1 9 Nón K có đỉnh tại x0 được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi,

Định nghĩa 1.11 Hàm f được gọi là

(i) Lồi trên D nếu với mọi 0   1, x y, D , ta có :

f x  y f x   f y ; (ii) Lồi chặt trên D nếu với    0,1 và x y, D x,  y ta có:

f x  y f x   f y ; (iii) Lồi mạnh trên D nếu với    0, 1 ,x y, D , tồn tại R, 0, ta có

Nhận xét 1.4 Từ định nghĩa 1.11 ta dễ thấy (ii)(i), (iii)(i)

Định nghĩa 1.12 Hàm f được gọi là lõm trên D nếu f là hàm lồi trên D

Định nghĩa 1.13 Trên đồ thị (epigraph) của hàm f, ký hiệu là epif , được định nghĩa như sau :

epif  x r  D R f x r

Định nghĩa 1.14 Miền hữu hiệu(effective domain) của hàm f , ký hiệu là domf , được định nghĩa như sau :

Định nghĩa 1.16 Hàm f được gọi là đóng nếu epif là tập đóng trong H R

Định nghĩa 1.17 Với f x  , hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu với mọi  0, tồn tại lân cận xK của x sao cho :

Nhận xét 1.5 Hàm f liên tục tại xH nếu và chỉ nếu f nửa liên tục trên và nửa

liên tục dưới tại x

Định lí 1.2 (Xem [1]) Giả sử f H:   R  là hàm lồi chính thường trên H Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(i) f bị chặn trên trong một lân cận của xH ;

(ii) f liên tục tại xH ;

(iii) int epif   ;

(iv) int domf   và f liên tục trên int domf  

Bây giờ, ta giả sử hàm f H:   R  

Định nghĩa 1.21 Cho hàm f xác định trên một lân cận của xH , hàm f được gọi là khả vi tại x , nếu tồn tại *

Mệnh đề 1.2 (Xem [2]) Giả sử f R: n   R   là hàm lồi , chính thường và

xdomf Hàm f khả vi tại x khi và chỉ khi tồn tại x*R n sao cho

Mệnh đề 1.4 (Xem [1]) Giả sử f là hàm lồi chính thường trên H , xdomf Khi đó, f x   khi và chỉ khi f x, nửa liên tục dưới tại 0, trong đó

a) Điểm xQ được gọi là điểm chấp nhận được của bài toán (P)

b) Điểm xQ được gọi là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P), nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho:

f x  f x ,   x Q U b) Điểm xQ được gọi là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P) nếu:

f x  f x ,  x Q

Nhận xét 1.8 Hiển nhiên điểm xQlà nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P) thì

x là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P)

Nếu tập Q là một tập lồi và f là một hàm lồi trên Q thì bài toán (P) được gọi

là một bài toán qui hoạch lồi

Nếu Q = H thì bài toán (P) được gọi là bài toán tối ưu không ràng buộc

Mệnh đề 1.5 (i) Nếu bài toán (P) là một bài toán qui hoạch lồi thì mọi nghiệm tối

ưu địa phương đều là nghiệm tối ưu toàn cục

(ii) Giả sử trong bài toán (P) ta có Q = H và f là một hàm lồi Để x là nghiệm tối

ưu toàn cục của bài toán (P), điều kiện cần và đủ là :

 

0f x

Chứng minh

(i) Giả sử xQ là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P), theo định nghĩa, tồn

tại lân cận U của điểm x sao cho:

Chứng tỏ x là nghiệm tối ưu toàn cục

(ii) x là nghiệm tối ưu toàn cục của (P) f x  f x  x X

(a) Nếu x* 0 : (1.5) có thể nhận giá trị lớn nhất bằng cách lấy x là số âm có trị

tuyệt đối rất lớn Do đó, cận trên của (1.5) bằng 

Mệnh đề 1.7 (Xem [1]) Cho f là hàm xác định trên H, domf  , ta có

**

f  f , trong đó

Định lý 1.2 (Định lý Fenchel – Moreau – Xem [1]) Cho hàm f H:    , , khi đó **

f  f khi và chỉ khi f là hàm lồi đóng

Sau đây chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả quan trọng về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert

1.3 Toán tử đơn điệu

Như chúng ta đã biết, ánh xạ F từ không gian X vào không gian Y là đơn trị nếu

ứng với mỗi phần tử xX , xác định duy nhất một phần tử F x( ) y Y và ta thường ký hiệu là:

:

F X Y

Ánh xạ F từ không gian X vào không gian Y là đa trị nếu ứng với mỗi phần tử

xX , thì F x( ) là một tập con của không gian Y (có thể là tập rỗng) và ta thường

hay ký hiệu là:

F X  hay F X: ( )Y Hiển nhiên ánh xạ đơn trị là một trường hợp riêng của ánh xạ đa trị Trong bản luận văn này ta qui ước: nếu chỉ nói ánh xạ (toán tử) thì đó là ánh xạ đơn trị Trường hợp ánh xạ đa trị sẽ được nói rõ

Đối với ánh xạ đơn trị F thì ánh xạ ngược:

1:

Ví dụ 1.3 Xét toán tử đa trị trong R :

 1 0( )

0

khi khi

f z  f x  u zx  z H Thay z y ta có :

uv x y 

Vậy T  f là toán tử đơn điệu Điều phải chứng minh 

Định nghĩa 1.28 Toán tử đa trị T H: 2H được gọi là đơn điệu chặt nếu:

uv x, y 0 với x y, domT x,   y, u T x , v T y 

Định nghĩa 1.29 Toán tử đa trị T H: 2H được gọi là đơn điệu mạnh nếu với hằng số R,  0, x y, domT, u T x , v T y , ta có

2,

Hiển nhiên domAH và A là toán tử đơn trị Theo định nghĩa, A là toán tử đơn

điệu khi và chỉ khi:

AxAy x y  , x y, H , hay

A x y xy  , x y, H Đặt z  x y, ta có :

Az z  , z H

Mệnh đề 1.10 Các tính chất sau là luôn đúng

(i) T H: 2H đơn điệu khi và chỉ khi T1:H 2H là đơn điệu

(ii) Nếu T H i : 2H i1, 2, là các toán tử đơn điệu và nếu i 0i1,2, thì

1 1T 2 2T

cũng là toán tử đơn điệu

(iii) Nếu A H: H là toán tử tuyến tính, bH , và nếu T H: H là toán tử đơn điệu thì

S x A T Axb

cũng là toán tử đơn điệu Ngoài ra, nếu A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu chặt thì S là toán tử đơn điệu chặt ở đây, *

A là toán tử liên hợp của A

Chứng minh

(i) Theo định nghĩa, toán tử T là đơn điệu khi và chỉ khi:

uv x y  , x y, domT, u T x , v T y , hay

T là toán tử đơn điệu

(ii) Hiển nhiên ta có:

dom T T  z H T z T z   = domT1domT2

x ydomT,   *  

uS x  A T Axb ,   *  

vS y  A T Ayb Chọn:

u T Axb và v1T Ay bsao cho:

* 1

Từ đó chứng tỏ S là toán tử đơn điệu

Giả sử A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu chặt Khi đó, nếu x y thì

Ay Ax, kéo theo Ay b Axb Giả sử u v u v, , ,1 1 được lấy như ở trên, vì T là

toán tử đơn điệu chặt nên:

v u Ayb  Axb  Suy ra :

v u y x 

Từ đó chứng tỏ S là toán tử đơn điệu chặt Mệnh đề được chứng minh 

1.3.2 Toán tử đơn điệu tuần hoàn

Cho T là toán tử đa trị trên R , tức là với mỗi n xR n thì T x là một tập ( có thể  

bằng rỗng ) Như thường lệ, ta ký hiệu miền xác định của T là :

Định nghĩa 1.30 Cho : T R n 2R n là toán tử đa trị và tập hợp khác rỗng

CdomT Ta nói T là toán tử đơn điệu tuần hoàn trên C, nếu với mọi số nguyên không âm m và mọi cặp x y i, iG T , x iC i0, 1, 2, ,m ta có:

R sao cho S x  f x  với mọi xR n

Chứng minh

Điều kiện đủ : Giả sử f là hàm lồi, đóng chính thường, S x  f x  với mọi x ,

dùng định nghĩa của dưới vi phân thấy rằng:

Điều kiện cần: Giả sử S là một toán tử đơn điệu tuần hoàn, ta cần chứng tỏ rằng tồn

tại một hàm f là lồi, đóng, chính thường thỏa mãn S x  f x  Thật vậy, ta xác định hàm f trên R n như sau:

trong đó cận trên đúng được lấy trên tất cả các cặp x y i, iG S  và các số

nguyên dương m Do f là bao trên của một họ các hàm aphin nên f là một hàm

lồi đóng Do S là một toán tử đơn điệu tuần hoàn nên:

1.3.3 Toán tử đơn điệu cực đại

Định nghĩa 1.31 Toán tử đa trị T H: 2H là đơn điệu cực đại nếu T là toán tử

đơn điệu, và đồ thị của nó không là tập con thực sự của đồ thị của bất cứ một toán

tử đơn điệu nào khác

Ví dụ 1.4 Xét các toán tử :T R i 2 (R i1, 2) cho bởi các công thức:

Dễ nhận thấy T T1, 2 đều là các toán tử đơn điệu Tuy nhiên, T1 không phải là toán

tử đơn điệu cực đại vì G T chứa thực sự trong  1 G T  2

Mệnh đề 1.12 Giả sử toán tử T H: 2H là đơn điệu Khi đó, T là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi, với mọi  a b,  H H , nếu:

là mâu thuẫn với giả thiết

Ngược lại, giả sử b T a ( ) Xét với mọi toán tử đơn điệu Tˆ có:

ˆ

G T G T Hiển nhiên nếu ( , )a b G T( )ˆ thì:

b u a  x ,  x u, G T( )

và suy ra b T a ( )( , )a b G T( ) Nghĩa là G T( )ˆ G T( ) Điều này chứng tỏ T là

toán tử đơn điệu cực đại Mệnh đề được chứng minh 

Định nghĩa 1.32 Toán tử đa trị S H: 2H được gọi là toán tử tràn khi và chỉ khi với mỗi vH tồn tại xH thoả mãn vS x 

Mệnh đề 1.13 Toán tử đa trị T H: 2H là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi T là toán tử đơn điệu cực đại ( 0)

Chứng minh

Giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại và 0 Do Mệnh đề 1.10, T là toán tử đơn điệu Để chứng minh rằng T là toán tử đơn điệu cực đại, ta sử dụng Mệnh đề 1.12 Giả sử  a b,  H H thoả mãn:

b u a  x ,  x u, G T Vì:

Ngược lại, giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại và 0 Đặt TT ,

T T sẽ là toán tử đơn điệu cực đại Mệnh đề được chứng minh 

Định nghĩa 1.33 Miền ảnh của một toán tử đa trị T H: 2H là tập hợp được kí hiệu là rgeT và được cho bởi công thức:

Định lý 1.5 ( Định lý Minty) Cho T H: 2H là toán tử đơn điệu và  0 Khi

đó, T là toán tử đơn điệu cực đại khi và chỉ khi I T là toán tử tràn, hay

rge I T H

Chứng minh

Theo Mệnh đề 1.13, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử  1

Điều kiện cần: Giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại áp dụng Định lý 1.4 cho

CH , ta thấy rằng với mỗi z H , tồn tại xH sao cho:

Vậy I T là toán tử tràn, hay rge I TH

Điều kiện đủ: Giả sử rge I TH và  x u,  H H thoả mãn:

ta được :

hay u T x   Vậy, T là toán tử đơn điệu cực đại Định lý được chứng minh 

Định lý 1.6 Cho hàm số f H:   R   là lồi, chính thường, nửa liên tục dưới Khi đó ánh xạ đa trị T H: 2H cho bởi công thức:

d

h x  f x  x  d x

Ta có h d  là tổng của một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới, một hàm lồi mạnh, liên tục, và một hàm tuyến tính liên tục Vì vậy h d  là hàm lồi mạnh, chính thường, nửa liên tục dưới Nếu ydomf và cf y , thì với mọi xH ta có:

f x  f y  c xy

Do đó ta thu được:

21

 

d

Vậy h d  thoả mãn điều kiện bức, theo nghĩa h x d   khi x  

Do h d  là bức và lồi mạnh nên bài toán bài toán:

 

min h d x :xR n

có duy nhất nghiệm Gọi *

0h d x Sử dụng Định lý Moreau-Rockafellar, ta có:

n n

Định nghĩa 1.34 Toán tử đa trị : T H 2H được gọi là bị chặn địa phương tại một điểm xD T , nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho tập hợp:

một phần tử duy nhất J x H sao cho:

,

x J x  x  J x

Như vậy, J là ánh xạ một - một từ H vào H và liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô

*yếu Hơn thế nữa, J còn là toán tử đơn điệu chặt

Từ kết quả ở trên ta có: nếu toán tử đa trị T H: 2H là toán tử đơn điệu cực đại thì khi đó toán tử 1

T là đơn điệu Ta ký hiệu khoảng biến thiên của T là R T  

và được xác định:

( ) :

R T D T   T x xH Mặt khác, nếu T T1, 2 là hai toán tử đơn điệu thì toán tử T1T2 được xác định như sau:

1 2 1 2 1 2: 1 1( ), 2 2( )

T T x T x T x  x x x T x x T x

cũng là toán tử đơn điệu theo Mệnh đề 1.10

Vấn đề đặt ra ở đây là nếu T T1, 2 là hai toán tử đơn điệu cực đại thì T1T2 có

là toán tử đơn điệu cực đại không? Để trả lời câu hỏi này chúng ta sẽ sử dụng tới các mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.14 (Xem [12]) Cho không gian Hilbert H , J là ánh xạ đối ngẫu được xác định ở trên và toán tử T H: 2H là đơn điệu cực đại Với mỗi  0,

 

0 T x

Theo [12], với mỗi  0, ta ký hiệu B là tập dưới vi phân của hàm chỉ số của hình cầu đóng U có tâm 0, bán kính  trong H Khi đó, B là toán tử chuẩn tắc cho U, nghĩa là:

Mệnh đề 1.16 (Xem [12]) Cho không gian Hilbert H và cho T H: 2H là toán

tử đơn điệu sao cho 0D T  Giả sử rằng tồn tại 0 0 sao cho toán tử đơn điệu

T B là cực đại với mọi   0 Khi đó, T là toán tử đơn điệu cực đại

Sau đây chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh kết quả chính của vấn đề được nêu ra ở trên

Định lý 1.7 (Xem [12]) Cho không gian Hilbert H và T1, T2 là hai toán tử đa trị, đơn điệu cực đại từ H vào 2 H Giả sử rằng một trong hai điều kiện sau được thoả mãn:

(a) D T 1 intD T( )2  ;

(b) tồn tại xclD T 1 clD T 2 sao cho T2 bị chặn địa phương tại x

Khi đó T1T2 là toán tử đơn điệu cực đại

Chứng minh

Trong giả thiết, mệnh đề (a) và (b) là tương đương nên để chứng minh định

lý ta chỉ xét trường hợp (a) Nếu cần có thể tịnh tiến, ta giả sử rằng:

 

Cho J là ánh xạ đối ngẫu được xác định ở trên Theo Mệnh đề 1.10, T1T2 là toán

tử đơn điệu Để chứng minh T1T2 là toán tử đơn điệu cực đại, theo Hệ quả 1.1 của Mệnh đề 1.14, ta cần chỉ ra R T 1 T2 J là toàn bộ H

Thực vậy, cho *

1 2

x R T  T J Nếu cần, trừ đi một ánh xạ hằng từ T2, ta có thể quy về lập luận cho trường hợp *

1

.2

Việc chứng minh sự tồn tại của x thoả mãn (1.13) đủ để chứng minh rằng:

S  bị chặn địa phương tại 0 Do

đó tồn tại các số  0, 2 0 sao cho:

Thực vậy, cho T1, T2 là hai toán tử đơn điệu cực đại sao cho:

với D T không cần bị chặn Tịnh tiến miền xác định của  2 T1 và T2 nếu cần, ta có thể giả sử rằng điểm gốc tọa độ thuộc vào miền giao của (1.27) Với mỗi  0, ánh xạ đơn điệu cực đại B được xác định ở trên thoả mãn: