Tài liệu Môn học điều khiển bền vững pdf

Chương 3 ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG3.1 Giới thiệu 3.1.1 Khái niệm điều khiển bền vững Hệ thống điều khiển bền vững làm cho chất lượng của sản phẩm ổn định, không phụ thuộcvào sự thay đổi của đố

Chương 3 ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG

3.1 Giới thiệu

3.1.1 Khái niệm điều khiển bền vững

Hệ thống điều khiển bền vững làm cho chất lượng của sản phẩm ổn định, không phụ thuộcvào sự thay đổi của đối tượng cũng như của nhiễu tác động lên hệ thống.Mục đích của điềukhiển bền vững là chất lượng vòng kín được duy trì mặc dù có những sự thay đổi trong đốitượng

định)

∆

∆ so với mô hình chuẩn

Hình 3.1 : Mô hình điều khiển bền vững

Cho tập mô hình có sai số P∆ và một tập các chỉ tiêu chất lượng, giả sử

hồi tiếp vòng kín được gọi là có tính :

- Chất lượng danh định: nếu các mục tiêu chất lượng được thỏa đối với mô hình danh định

3.1.2 Chuẩn của tín hiệu

3.1.2.1 Khái niệm chuẩn

Trong điều khiển nói riêng cũng như trong các công việc có liên quan đến tín hiệu nóichung,thông thường ta không làm việc chỉ riêng với một tín hiệu hoặc một vài tín hiệu điểnhình mà ngược lại phải làm việc với một tập gồm rất nhiều các tín hiệu khác nhau Khiphải làm việc với nhiều tín hiệu khác nhau như vậy chắc chắn ta sẽ gặp bài toán so sánhcác tín hiệu để chọn lọc ra được những tín hiệu phù hợp cho công việc

Các khái niệm như tín hiệu x1(t) tốt hơn tín hiệu x2(t) chỉ thực sự có nghĩa nếu như chúngcùng được chiếu theo một tiêu chuẩn so sánh nào đó Cũng như vậy nếu ta khẳng định rằng

x1(t) lớn hơn x2(t) thì phải chỉ rõ phép so sánh lớn hơn đó được hiểu theo nghĩa nào, x1(t)

có giá trị cực đại lớn hơn , có năng lượng lớn hơn hay x1(t) chứa nhiều thông tin hơn x2(t)

… Nói một cách khác ,trước khi so sánh x1(t) với x2(t) chúng ta phải gắn cho mỗi một tínhiệu một giá trị đánh giá tín hiệu theo tiêu chuẩn so sánh được lựa chọn

Định nghĩa: Cho một tín hiệu x(t) và một ánh xạ x(t) →||x(t)|| ∈R+ chuyển x(t) thành một

số thực dương ||x(t)||.Số thực dương này sẽ được gọi là chuẩn của x(t) nếu nó thỏa mãn:

||

) (

đây là biên độ hay đỉnh của tín hiệu

Khái niệm chuẩn trong định nghĩa trên không bị giới hạn là chỉ cho một tín hiệu x(t) màcòn được áp dụng được cho cả vector tín hiệu gồm nhiều phần tử và mỗi phần tử lại là mộttín hiệu

Xét một vector tín hiệu:

x x

x x

max

=

3.1.2.3 Quan hệ của chuẩn với ảnh Fourier và ảnh Laplace:

Để phục vụ mục đích sử dụng khái niệm chuẩn vào điều khiển ,ta cần quan tâm tới mốiliên quan giữa chuẩn tín hiệu x(t) là ||x(t)|| với ảnh Fourier X(jω) cũng như ảnh LaplaceX(s) của nó

Định lí 3.1: (Parseval) Chuẩn bậc hai của một tín hiệu x(t) và ảnh Fourier X(jω) của nó

có quan hệ :

ω ω

dt t x t

2

1

| ) (

m m

s a s

a a

s b s

b b s A

s B s

X

+++

+++

)()

(

1 0

1

Định lí 3.2: Xét tín hiệu nhân quả causal x(t) có X(s) dạng (3.12) Để chuẩn bậc 1 của x(t)

là một số hữu hạn ||x(t)||1= K < ∞thì điều kiện cần và đủ là tất cả các điểm cực của X(s)phải nằm bên trái trục ảo (có phần thực âm)

3.1.3 Đại số ma trận

3.1.3.1 Một số ma trận thường gặp:

được gọi là đường chéo phụ

n

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22

21

1 12

11

(3.13)

- Một ma trận vuông A=(aij) có aij = 0 khi i ≠ j ,tức là các phần tử không nằm trên đườngchéo chính đều bằng 0, được gọi là ma trận đường chéo Ma trận đường chéo được ký hiệubởi:

00

00

22 11

0

0 1

0

0 0

- Ma trận vuông A=(aij) có aij = 0 khi i > j (hoặc i < j) được gọi là ma trận tam giác

+ Ma trận tam giác dưới

a

a a

22 21

11

0

00

a

a a

a a

1 12

11

(3.16)

3.1.3.2 Các phép tính về ma trận:

- Phép cộng / trừ: Cho hai ma trận A=(aij) và B=(bij) cùng có m hàng và n cột Tổng hay

với các phần tử

cij = aij + bij i=1,2,… ,m và j=1,2,… ,n.

thực(phức) x tùy ý Tích B = xA = Ax = (bij) được hiểu là ma trận cũng có m hàng và n cộtvới các phần tử

Bij = x.aij i=1,2,….m và j=1,2,… ,n

- Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị của ma trận A=(aij) với m hàng và n cột là ma trận AT

kj

ik b a

1

Một ma trận vuông A ∈R n×n được gọi là ma trận trực giao nếu ATA=AAT=I

3.1.3.3 Hạng của ma trận:

Cho n vector vi i=1,2,…,n Chúng sẽ được gọi là độc lập tuyến tính nếu đẳng thức

a1v1+a2v2+…….+anvn=0 trong đó ai là những số thực (hoặc phức) sẽ đúng khi và chỉ khi a1

= a2 = … =an = 0

nhất p ≤ m vector độc lập tuyến tính và trong số n vector cột có nhiều nhất q ≤ n vectorđộc lập tuyến tính thì hạng ma trận đươc hiểu là:

Rank(A) = min{p,q}

lại nếu Rank(A) <n thì A được nói là ma trận suy biến

Hạng ma trận có các tính chất sau:

3.1.3.4 Ma trận nghịch đảo:

Cho ma trận A=(aij),i=1,2,…,m ; j=1,2,…,n,trong đó aij là những số thực (hoặc phức),nóicách khác A ∈ Rm×n(hoặc A ∈ Cm×n ).Nếu tồn tại một ma trận B thỏa mãn :

AB = BA = I (ma trận đơn vị) (3.21)

Thì ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và ký hiệu là B = A-1

Do phải tồn tại cả hai phép nhân AA-1 và A-1A cho ra kết quả có cùng kiểu nên ma trận A

phải là một ma trận vuông,tức là phải có m = n.Hơn nữa do det(I) = 1 ≠ 0 nên:

det(A)det(A-1) ≠ 0 => det(A) ≠ 0 và det(A-1) ≠ 0 (3.22)

Vậy A phải là ma trận không suy biến

Ma trận nghịch đảo A-1 của A có tính chất sau:

- Tập hợp tất cả các ma trận vuông cùng kiểu và không suy biến cùng với phép nhân ma

- Nghịch đảo ma trận kiểu (2×2):A−1 =a c d b =det(1A)−d c −a b(3.25)

- Cho ma trận A ∈ Rn×n không suy biến Nếu U ∈ Rn×m và V ∈ Rn×m là hai ma trận làmcho (I+VTA-1U) cũng không suy biến thì

2 1

A A

A A

không suy biến,trong đó A1,A2,A3,A4 cũng là các matrận

Nếu A1 không suy biến và B = A4 – A3A1-1A2 cũng không suy biến thì

1 3 1

1 2

1 1

1 1 3

1 2 1 1 1 1 1

4 3

2 1 1

B A

A B

B A A A

A B A A A

A A

A A

Nếu A4 không suy biến và C = A1 – A2A4-1A3 cũng không suy biến thì

1 3

1 4

1 4

1 3

1 4

1 4 2 1 1

1

4 3

2 1 1

A A C A A A

AC A A

A A C C

A A

A A

a

1

(3.33)Vết của ma trận có các tính chất:

3.1.3.6 Giá trị riêng và vector riêng:

Số thực λ được gọi là giá trị riêng và vector x được gọi là vector riêng bên phải ứng với giá trị riêng λ của A thỏa mãn:

Giá trị riêng và vector riêng của ma trận A có những tính chất sau:

a Hai ma trận tương đương A và S-1AS luôn cùng giá trị riêng, nói cách khác giá trị riêng của ma trận bất biến với phép biến đổi tương đương:

b Các giá trị riêng của ma trận bất biến với phép chuyển vị, tức là:

F

Cho A và B là những ma trận phức với không gian tương thích Một số công thức đạohàm :

Người ta cần đến chuẩn của ma trận là nhằm phục vụ việc khảo sát tính giải tích của nó.Có

Những chuẩn thông thường được sử dụng:

A

1 1

- Chuẩn 2 của ma trận A

) (

A

1 1

- Chuẩn Euclide của ma trận A (chuẩn Frobenius)

) (

2

A A trace a

i j ij

với A* là ma trận chuyển vị và lấy liên hiệp λi(A*A) là trị riêng của ma trận A*A là một số thực không âm

3.1.4 Trị suy biến của ma trận – độ lợi chính(Principal gain)

Trị suy biến của ma trận A(m x l) được ký hiệu là σi ( A) được định nghĩa như sau:

k i

A A

giả sử rằng σi được sắp xếp theo thứ tự sao cho σi ≥ σi+ 1 Như vậy, σ1 là trị suy biếnlớn nhất và σk là trị suy biến nhỏ nhất Ký hiệu σ là trị suy biến lớn nhất và σ là trị suy

biến nhỏ nhất

Ta có:

) ( max ) ( max )

Độ lợi của hệ đa biến nằm giữa độ lợi chính lớn nhất và nhỏ nhất

Trong Matlab tìm trị suy biến của ma trận A dùng lệnh svd(A)

Ổn định nội là yêu cầu cơ bản đối với một hệ thống hồi tiếp thực Ý nghĩa của ổn định nội

là khi đầu vào hệ thống bằng không thì tất cả các trạng thái hệ thống đều phải về không từmọi giá trị ban đầu Mọi hệ thống tự động đều phải bảo đảm ổn định nội mới hoạt độngđược

G K

++

Hình 3.2 : Sơ đồ hệ thống dùng để phân tích ổn định nội

hệ thống đều hữu hạn khi tín hiệu vào là hữu hạn

Ví dụ, ta khảo sát điều kiện ổn định nội của hệ thống hình 3.2:

2

1 1

1 2

2 1

2 1 2 2

2

1 1

1 1

1 2

1 2 1 1

) (

) (

) (

) (

w GK I Gw GK I e

GKe Gw

w Ge w

e

Kw KG I w KG I e

KGe Kw

w Ke w

−

=

⇒

+ +

= +

=

− +

−

=

⇒

+ +

= +

3.1.6 Định lý độ lợi nhỏ (Small Gain Theorem)

Cho hệ thống được biểu diễn như hình 3.3:Gọi λi là trị riêng của G

-Giả thiết rằng G(s) ổn định, ρ(G(jω)) là bán kính phổ của G(jω) Hệ thống vòng kín ổnđịnh nếu ρ (G(jω )) = max( )λi < 1, hoặc G ( jω) < 1 , ∀ω

Đối với hệ SISO thì

1 ) ( )) (

ρG j G j

(3.53)Định lý độ lợi nhỏ chỉ là điều kiện đủ để xét ổn định của hệ thống Điểm mạnh của định línày là nó không yêu cầu những thông tin chi tiết về hệ thống.Vì vậy nó không chỉ ứngdụng được cho hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian mà còn ứng dụng được cho hệthống phi tuyến, thay đổi theo thời gian

3.1.7 Ổn định bền vững

3.1.7.1 Định lý ổn định bền vững

Đây là mô hình cơ bản dùng để phân tích tính ổn định bền vững của một hệ thống Nếu hệ

danh định ổn định thì M ổn định và ∆ là sai số có thể làm cho hệ thống mất ổn định Định

Hình 3.4 : Sơ đồ cấu trúc phân tích ổn định bền vững Định lý ổn định bền vững:

định bền vững với mọi ∆ ( σ ( ∆ ) ≤ 1 )nếu và chỉ nếu khi một trong các điều kiện sau thỏamãn:

Hình 3.5 : Sai số cộng

Ta có:

v s = −K s δ s w s +G s v s (3.58)hay

1

v s = − +I K s G s − K s δ s w s (3.59)vậy

)]

()([

)()()

(

s G s K I

s s K s

) ( ) (

<

I

s s

Hình 3.6 : Sai số nhân ở đầu ra

)()()(

s K s G I

s s K s G

( ) (

) ( ) ( )

z

t v t Cx t

y

t w t Bu t Ax t

=

) ( )

(

) ( ) ( )

(

) ( ) ( ) ( )

w

M

Ngõ ra y là ngõ ra hồi tiếp và đo được Ngõ ra z là điều khiển được Tín hiệu nhiễu w lànhiễu hệ thống và v là nhiễu đo

Tín hiệu v và w là những quá trình nhiễu trắng Trạng thái ban đầu của x(0) được giả sử làmột vector ngẫu nhiên

Nhiều sự giả sử khác nhau định nghĩa trạng thái x(t) t∈R và ngõ ra điều khiển được z(t),t

0 )

( ) ( ) ( )

(t Qz t +u t Ru t t ≥

là một quá trình ngẫu nhiên

Vấn đề của điều khiển hệ thống là giá trị mong đợi của tích phân :

dt t Ru t u t Qz t z

E

T

T

T( ) ( ) ( ) ( ] [

0

là nhỏ Đây là vấn đề điều khiển tuyến tính nhiễu loạn Khoảng thời gian [0 T] là xác định

đo được ở quá khứ y(s) s t≤ được giả sử có giá trị cho hồi tiếp Hình (3.7) làm rõ trườnghợp này :

Hình 3.7 : Hồi tiếp LQG 3.2.2 Bộ quan sát

Xem xét hệ thống quan sát :

R

t

t Cx t

y

t Bu t Ax t

(

) ( ) ( )

(



(3.70)

Đây là hệ thống (3.67) nhưng không có nhiễu hệ thống w và nhiễu đo v Trạng thái x của

hệ thống (3.70) không thể sử dụng được trực tiếp bởi vì chỉ ngõ ra y là đo được Xây dựnglại trạng thái với sự chính xác tùy ý bởi việc kết nối một bộ quan sát :

R t t x C t y L t Bu t x A t

trạng thái của hệ thống (3.70) với thành phần thêm vào L[y(t) −C x(t)].L là ma trận độlợi quan sát cần được lựa chọn phù hợp Sai số quan sát y(t)−C x ˆ t( ) là sự khác nhau giữangõ ra đo được thực tế y(t) và ngõ ra y(t) =C x(t).Thành phần thêm vào L

Hình 3.8 : Cấu trúc của một bộ quan sát

Hình (3.8) cho thấy cấu trúc của bộ quan sát Định nghĩa :

) ( ) ( )

x( ) = ( − )~( ) ∈

Nếu hệ thống (3.70) được tìm thấy thì tồn tại ma trận độ lợi L mà sai số hệ thống (3.73) là

ổn định Nếu sai số hệ thống là ổn định thì x~(t) → 0khi t→ ∞cho bất kỳ sai số ~x (0) Vìvậy

) ( )

Trạng thái ước lượng hội tụ về trạng thái thực

Trong Matlab dùng hai lệnh acker và place để tính ma trận L của khâu quan sát trạng

SYSTEM MODEL

và v(t) đều trực giao qua lại với nhau.

Hình 3.9 : Bộ quan sát trạng thái của Kalman

Gọi x ˆ t( ) là ước lượng của x

Phương trình trạng thái của khâu lọc Kalman :

yˆ

L C

Độ lợi L sẽ được chọn sao cho giá trị trung bình của sai số ước lượng toàn phương là bénhất

3.2.3.2 Cơ sở toán học:

Lý thuyết xác suất:

Từ phương trình (3.75) được thêm vào bởi nhiễu quá trình, trạng thái x(t) bây giờ cũng làmột quá trình ngẫu nhiên như là y(t) Để khảo sát những đặc tính thông thường của quátrình ngẫu nhiên cần nhắc lại một số khái niệm lý thuyết xác suất (Papoulis 1984) Mặc dùw(t) và v(t) là những đại lượng ngẫu nhiên không biết được, nhưng cần biết một vài đặcđiểm để hổ trợ việc thiết kế các bộ điều khiển Chẳng hạn như có thể biết được giá trị trungbình hoặc tổng năng lượng của chúng

PDF đặc trưng cho xác suất mà z lấy giá trị bên trong vùng vi phân dξ đặt giữa ξ

Giá trị mong muốn của hàm g(z) của vector ngẫu nhiên được xác định như sau :

E{g (z)} = ∫∞

∞

−

) ( ξ

Π

được minh họa ở hình 3.10 Vì vậy những vector ngẫu nhiên lấy giá trị gần với z có xácsuất lớn nhất và xác suất sẽ giảm khi lấy giá trị xa z Nhiều biến ngẫu nhiên là Gaussian Nếu vector ngẫu nhiên là một hàm của thời gian được gọi là một quá trình ngẫu nhiênđược tượng trưng là z(t) Khi đó PDF có thể thay đổi theo thời gian và chúng ta viết là ƒ z(

tình huống này, giá trị mong đợi và ma trận hiệp phương sai là những hàm thời gian vì thếchúng có thể biểu hiện z (t) và Pz(t)

Hình 3.10 : Gaussian PDF

Nhiều quá trình ngẫu nhiên z(t) quan trọng là có PDF bất biến theo thời gian Đó là nhữngquá trình tĩnh, thậm chí chúng là hàm thời gian ngẫu nhiên chúng vẫn có trị trung bình vàhiệp phương sai là hằng số

Đặc trưng cho liên hệ giữa hai quá trình ngẫu nhiên z(t) và x(t), có thể sử dụng PDF kếthợp ƒzx (ς,ξ,t1,t2), tượng trưng cho xác xuất mà (z(t1), x(t2)) ở trong vùng vi phân d

ς× dξ ở giữa (ς , ξ) Giả sử rằng các quá trình z(t) và x(t) là liên kết tĩnh , PDF kết hợpkhông là hàm của cả hai thời gian t1 và t2nhưng nó chỉ dựa vào sai biệt (t1-t2)

Trong nhiều trường hợp tĩnh, giá trị mong muốn của hàm hai biến g(z,x) được xác địnhbởi:

Xem như z(t1) và z(t2 ) như là hai quá trình ngẫu nhiên của quá trình tĩnh, hàm tự tươngquan z(t) được xác định như sau:

trong đó P là ma trận hằng và δ(t) là xung Dirac z(t) là trực giao với

z(t +τ ) với các giá trị τ ≠ 0 Điều này có nghĩa là giá trị của quá trình z(t) tại thời điểm tkhông có sự liên hệ với giá trị tại các thời điểm τ ≠ t.Vì vậy z(t) là một nhiễu trắng Ví

dụ như nhiễu nhiệt ở mạch điện nguyên nhân vì sự chuyển động nhiệt ở các electron ở điệntrở

Chú ý rằng Pδ(0) là hiệp phương sai của z(t) P được gọi là ma trận mật độ phổ.Thỉnhthoảng nó cũng được xem như là ma trận hiệp phương sai

3.2.2.3 Thiết kế bộ lọc Kalman:

Giả sử x(0) có thể được thay thế bằng các đại lượng biết trước x (giá trị trung bình của

x(0)) và hiệp phương sai P0) , có thể biểu diễn nó như sau :

Ma trân mật độ phổ W và V sẽ giả sử đã biết trước.Theo tính chất của hàm tự tương quan,

W và V là bán xác định dương Giả sử thêm rằng V là không suy biến.Tóm lại, có thể giả

sử rằng :

w(t) ≈ (0,W), W≥0 (3.94) v(t) ≈

Việc giả sử w(t) và v(t) là nhiễu trắng có thể là xấu trong một vài ứng dụng.Thí dụ nhưnhiễu ở tần số thấp Tuy nhiên, giả sử rằng w(t) không là nhiễu trắng, có thể xác địnhđược một hệ thống:

Đặc tính động có nhiễu trắng quá trình n(t) Một thủ tục tương tự có thể làm theo các bướcnhư thế nếu v(t) không phải là nhiễu trắng Do đó, có thể mô tả một hệ thống không cónhiễu trắng dưới dạng một hệ thống điều chỉnh với nhiễu trắng và nhiễu đo lường

Xác định hệ thống (3.96), (3.97) miêu tả nhiễu không phải là nhiễu trắng w(t) (hoặc v(t))dựa trên phân tích mật độ phổ của nhiễu w(t) Chi tiết xem Lewis (1986 )

Bây giờ thiết kế bộ ước lượng cho hệ thống (3.75), (3.76) dưới những giả sử đã được liệt

kê Cho bộ quan sát có dạng như sau:

) ( ˆ

là ước lượng của ngõ ra y(t)

Độ lợi của bộ ước lượng L phải được chọn để cung cấp ước lượng tối ưu trong sự hiệndiện của nhiễu w(t) và v(t) Để chọn L, chúng ta sẽ phải xác định sai số ước lượng:

Nếu bộ quan sát là ổn định tiệm cận và w(t) và v(t) là quá trình tĩnh khi đó sai số ~x (t) sẽthực sự tiến đến trạng thái ổn định với trị trung bình và hiệp phương sai là hằng số Độ lợi

L sẽ được chọn lựa để làm tối thiểu hiệp phương sai cũa sai số P Vì vậy, độ lợi tối ưu L sẽ

là ma trận hằng của độ lợi bộ quan sát

Trước khi xác định độ lợi tối ưu L, chúng ta sẽ tính toán giá trị trung bình và hiệp phương

muốn: