Tài liệu Môn học điều khiển bền vững-(phần 2) pptx

Chú ý rằng,theo đồ thị này không thể dễ dàng bằng trực quan tức thời nhận thấy cáchliên kết hệ SISO .Những đường bao bảo đảm sự bền vững đựơc đưa ra trong hệ thống hệ MIMO dưới dạng giá

Hình 3.15: Biểu đồ Bode Biên Độ hệ thống SISO

Mặc khác, hình 3.14 là các giá trị trị suy biến của hệ đa biến Chú ý rằng,theo đồ thị này không thể dễ dàng bằng trực quan tức thời nhận thấy cáchliên kết hệ SISO Những đường bao bảo đảm sự bền vững đựơc đưa ra trong

hệ thống hệ MIMO dưới dạng giá trị trị suy biến cực tiểu là lớn tại tần sốthấp ( cho chất lượng bền vững) và giá trị trị suy biến cực đại là nhỏ tại tần

số cao (cho ổn định bền vững )

Hình 3.16:Các giá trị trị suy biến của hệ thống

3.3.2 Hàm nhạy và hàm bù nhạy

Khảo sát đặc tính của hệ thống hồi tiếp điển hình, từ đó đưa ra ý tưởng thiết

kế thỏa hiệp giữa mục tiêu chất lượng và điều khiển bền vững nhằm thỏamãn các yêu cầu thiết kế

Xét hệ thống hồi tiếp âm như hình 3.17, trong đó d i là nhiễu đầu vào, d là nhiễu đầu ra, n là nhiễu đo.

Hình 3.17: Sơ đồ hệ thống hồi tiếp âm

Lưu ý: Để liên hệ với phần lý thuyết điều khiển kinh điển, trong mục này taphân tích sơ đồ điều khiển hồi tiếp âm, với bộ điều khiển là Kˆ (Kˆ = -K ở

mô hình hồi tiếp dương)

Các quan hệ truyền đạt của hệ thống vòng kín được thể hiện qua các biểuthức sau:

K G

d K G

G n K G

K G r K G

K G

i 1 ˆ

1 ˆ

1 ˆ 1

ˆ ˆ

K d

K G

K G n K G

K r K G

K

i 1 ˆ

ˆ ˆ

1

ˆ ˆ

1

ˆ ˆ

K d

K G

n K G

K r K G

K

i 1 ˆ

ˆ ˆ

1

1 ˆ

1

ˆ ˆ

d K G

G n K G

r K

1 ˆ

1 ˆ 1

1 ˆ

ue

- Hàm nhạy :

K G

S

ˆ 1

K G T

ˆ 1

y   i (3.156)

Sd K Td Sn K Sr

- Để giảm ảnh hưởng của nhiễu đo n lên đầu ra y, hàm bù nhạy T cần phải

nhỏ Tương tự, từ phương trình (3.158), để làm giảm ảnh hưởng của nhiễu

đầu vào d i , hàm nhạy S cần phải nhỏ.

Nhưng từ định nghĩa ,hàm nhạy và hàm bù nhạy có quan hệ ràng buộc nhưsau:

Do đó, S và T không thể đồng thời nhỏ Để giải quyết mâu thuẫn này,

người ta dựa vào đặc tính tần số của các tín hiệu nhiễu Nhiễu tải d, d i tập trung chủ yếu ở vùng tần số thấp, còn nhiễu đo n tập trung chủ yếu ở vùng tần số cao.

Như vậy, để hệ ít bị ảnh hưởng bởi d, thì S và GS cần phải nhỏ trong

vùng tần số mà d tập trung, cụ thể là vùng tần số thấp Tương tự, điều kiện

để hệ ít nhạy đối với nhiễu d i là |S| và |KˆS| nhỏ trong vùng tần số mà d i

tập trung, cụ thể là vùng tần số thấp

1 ˆ

1

1 1

|

1 ˆ

ˆ 1

ˆ







Như vậy, đối với đầu ra y:

- Để giảm thiểu ảnh hưởng của d, độ lợi vòng L phải lớn (nghĩa là |L|>> 1)

trong vùng tần số mà d tập trung;

- Để giảm thiểu ảnh hưởng của d i, biên độ bộ điều khiển phải đủ lớnKˆ

1

 trong vùng tần số mà d i tập trung

Tương tự, đối với đầu vào (uG)

- Để giảm thiểu ảnh hưởng của d i , L phải lớn (nghĩa là |L|>> 1) trong vùng tần số mà d i tập trung

- Để giảm thiểu ảnh hưởng của d, biên độ đối tượng (không thay đổi được trong thiết kế điều khiển) phải đủ lớn (|G|>> 1) trong vùng tần số mà d tập

trung

Tóm lại, một trong những mục tiêu thiết kế là độ lợi vòng (và cả độ lợi của

bộ điều khiển, nếu được) phải lớn trong vùng tần số mà d và di tập trung, cụthể là vùng tần số thấp

Sau đây, ta xét ảnh hưởng của sai lệch mô hình lên hệ thống hồi tiếp Giả

sử mô hình đối tượng có sai số nhân là (I +  )G, với  ổn định, và hệ

thống kín ổn định danh định (ổn định khi  =0) Hệ thống kín có sai số môhình sẽ ổn định nếu:

K G K

G

ˆ 1

ˆ 1

) 1

không có nghiệm ở nửa phải mặt phẳng phức Ta thấy rằng, điều này sẽđược thỏa nếu như T đủ nhỏ, hay |T| phải nhỏ ở vùng tần số mà tập trung, cụ thể là vùng tần số cao

Để ý rằng, nếu |L| rất lớn thì |T|  1 và |S| 0 Do đó, từ (3.156) ta thấynếu như (L j lớn ở trong một dải tần số rộng, thì nhiễu đo n cũng sẽ)truyền qua hệ thống trong vùng tần số đó, nghĩa là:

y=Tr TnGSd i Sd  (r - n)

vì rằng nhiễu đo n tập trung chủ yếu ở vùng tần số cao Hơn nữa, nếu độ lợi

vòng lớn ở ngoài vùng băng thông của G, nghĩa là ( L j >>1 trong khi)

G j <<1, thì có thể làm cho tín hiệu điều khiển quá lớn, gây bão hòa ở

cơ cấu chấp hành Điều này có thể được lý giải từ (3.157) như sau:

G, vì đối với dải tần số mà ( G j <<1 thì ) G1j >>1

Tương tự, biên độ của bộ điều khiển, |Kˆ |, không được quá lớn trong vùng

tần số mà độ lợi vòng nhỏ nhằm tránh làm bão hòa cơ cấu chấp hành Vì lẽ

khi độ lợi vòng nhỏ ( (L j <<1), thì)

u=KˆS(r n d)  T i d i= ˆ (K r n d  )

Do đó, một điều cần lưu ý khi thiết kế là |Kˆ | không được lớn quá khi độ lợivòng nhỏ

Từ những điều trình bày ở trên, ta tổng kết lại các ý tưởng thiết kế sau đây:

- Để đảm bảo mục tiêu chất lượng trong một vùng tần số nào đó, cụ thể làvùng tần số thấp (0,l), hệ thống cần phải có:

trong đó M có trị số không quá lớn.

Những ý tưởng thiết kế này được minh họa trong hình 3.18 Những tần số

Những điều phân tích trên đây là cơ sở cho một kỹ thuật thiết kế điều khiển:

đó là nắn dạng vòng (loop shaping) Mục tiêu nắn dạng vòng là tìm ra một

bộ điều khiển sao cho độ lợi vòng |L| tránh được các vùng giới hạn (xem hình 3.18) chỉ định bởi các điều kiện về chất lượng và bền vững

3.3.3 Thiết kế bền vững H

3.3.3.1 Mô tả không gian H và RH

Không gian vector Hardy có chuẩn vô cùng, ký hiệu là H, là không gian

các hàm phức G(s) của biến phức s (s C) mà trong nửa hở mặt phẳng phức

bên phải (miền có phần thực của biến s lớn hơn 0) thỏa mãn:

- là hàm giải tích (phân tích được thành chuỗi lũy thừa), và

- bị chặn, tức tồn tại giá trị M dương nào đó để ( ) G s M có phần thựcdương

Tập con đặc biệt của H mà trong điều khiển bền vững rất được quan tâm là

tập hợp gồm các hàm G(s) thực - hữu tỷ (real-rational) thuộc H, tức là cáchàm hữu tỷ phức G(s) H với các hệ số là những số thực dạng

Trong lý thuyết hàm phức, người ta chỉ ra được rằng: một hàm thực – hữu tỷG(s) bất kỳ sẽ thuộc RH khi và chỉ khi

- lim ( )s G s  , hay ( )G  bị chặn (khi m≤n),được gọi là hàm hợp thức và

- G(s) không có cực trên nửa kín mặt phẳng phức bên phải Nói cách khácG(s) không có điểm cực với Re(s) ≥ 0.Một hàm G(s) có tính chất như vậygọi là hàm bền

Nếu hàm truyền hợp thức G(s) không những ở nửa hở bên phải mặt phẳngphức bị chặn khi s  mà còn thỏa mãn (khi m<n)

0

|)(

3.3.3.2 Sai số mô hình phân tích coprime

Phần này trình bày một số kết quả về phân tích coprime bên trái LCF (Left Coprime Factorization) Ta cũng có thể suy ra kết quả tương tự đối với phân tích coprime bên phải nhờ vào tính đối ngẫu.

thì được gọi là phân tích coprime bên trái chuẩn.

Một đối tượng G có thể có vô số phân tích coprime bên trái, nhưng chỉ có

một phân tích coprime bên trái chuẩn

Xác định phân tích coprime bên trái chuẩn

Phân tích coprime bên trái chuẩn có thể được xác định từ mô hình trạng thái

của G và nghiệm của phương trình Riccati Giả sử A, B, C, D là mô hình trạng thái của G, ký hiệu là:

B A

trong đó: ( )s (sI ) 1

G C A B D Để xác định phân tích coprime bên trái,

trước tiên ta cần phải tìm nghiệm của phương trình Riccati sau:

Sai số mô hình phân tích coprime bên trái

Sau đây, ta định nghĩa sai số mô hình phân tích coprime bên trái Giả sử G

là mô hình đối tượng, (N, M ) là một phân tích coprime bên trái của G Hệ

có sai số mô hình phân tích coprime bên trái chuẩn được định nghĩa nhưsau:

Hình 3.19: Biểu diễn sai số mô hình phân tích coprime bên trái

Mục tiêu của điều khiển bền vững là tìm bộ điều khiển K ổn định hóa không chỉ mô hình danh định G, mà cả họ mô hình G 

Ưu điểm của cách biểu diễn sai số mô hình trên đây so với biểu diễn sai sốcộng và sai số nhân là số cực không ổn định có thể thay đổi do tác động củasai số mô hình

có sai số; (M, N ) là phân tích coprime bên trái của G; M, N , M, N

 RH Hệ ổn định bền vững với mọi ΔM N thỏa

Bài toán tối ưu H

Tìm bộ điều khiển K (nếu tồn tại) ổn định hóa đối tượng danh định G và

cực tiểu hóa chuẩn H sau đây:

Bài toán tối ưu H phức tạp ở chỗ phải thực hiện cực tiểu hóa chuẩn (3.174)

trong điều kiện tồn tại bộ điều khiển K ổn định hóa hệ thống Để giải quyết

vấn đề này, thông thường người ta giải bài toán ổn định bền vững với mộtgiá trị  cho trước, rồi sau đó thực hiện quá trình lặp  để tìm giá trị min.Glover và McFarlane đã sử dụng bài toán mở rộng Nehari (Nehariextension problem), và dạng phân tích coprime chuẩn của mô hình đốitượng để tìm ra lời giải không gian trạng thái cho bài toán tối ưu H màkhông cần phải thực hiện quá trình lặp  để tìm min Hơn nữa, từ cách tiếpcận này, tác giả có thể tính được độ dự trữ ổn định cực đại max ( =1 min )một cách chính xác

Phần sau đây chỉ trình bày một số kết quả chính mà Glover và McFarlane đãthực hiện

Định lý 3.6: Bộ điều khiển K ổn định hóa hệ thống và thỏa

V M

V M



Các định lý trên cho ta những nhận xét sau:

- Độ dự trữ ổn định cực đại có thể được tính trực tiếp từ công thức (3.178)

- Việc xác định bộ điều khiển tối ưu H có thể được thực hiện thông qua bàitoán mở rộng Nehari (Nehari extension)

Bài toán tối ưu con

Độ dự trữ ổn định cực đại cho ta một cận dưới của , đó là min = 1/max.Việc giải bài toán tối ưu H với  > min cho kết quả là một tập các bộ điều

khiển ổn định hóa K sao cho

Bước 1: Giải hai phương trình Riccati GCARE và GFARE.

Phương trình GCARE (Generalized Control Algebraic Riccati Equation)

1 2 min (1 max( ))

Đây chính là công thức tính min ở bước 2

Ta thấy rằng đối với bài toán ổn định bền vững cho mô hình phân tíchcoprime bên trái chuẩn, ta chỉ cần tìm nghiệm của các phương trình GFARE

và GCARE là đủ để tính được giá trị min mà không cần phải thực hiện thủ

tục lặp .

Trong bước 3, ta chọn  min nhằm để bảo đảm sự tồn tại của bộ điềukhiển có khả năng ổn định hóa hệ thống

Trong trường hợp bài toán tối ưu,  min, thì ma trận W1 trong (3.182) suybiến Và do đó, (3.182) sẽ không áp dụng được Tuy nhiên nếu ta chọn gần min (ví dụ  1.05min) thì kết quả bài toán tối ưu con và bài toán tối

ưu sẽ khác nhau không đáng kể

3.3.4 Nắn dạng vòng H

3.3.4.1 Thủ tục thiết kế nắn dạng vòng H:

(LSDP – Loop Shaping Design Procedure)

Nắn dạng vòng H(Hloop shaping) là một kỹ thuật thiết kế doMcFarlane và Glover đề xuất năm 1988 Kỹ thuật thiết kế này kết hợp ýtưởng nắn dạng vòng (phần hàm nhạy và hàm bù nhạy) và bài toán ổn địnhbền vững H Nắn dạng vòng thực hiện sự thỏa hiệp giữa mục tiêu chấtlượng và mục tiêu ổn định bền vững, trong khi bài toán tối ưu H đảm bảotính ổn định nội cho hệ vòng kín

Kỹ thuật thiết kế gồm hai phần chính:

a Nắn dạng vòng: chỉ định dạng hàm truyền hở của đối tượng danh định.

b Ổn định bền vững H: giải bài toán ổn định bền vững H dạng phân

tích coprime cho đối tượng đã được nắn dạng ở trên

   , trong đó  max(.) là trị riêng lớn nhất Nếu minquá lớn thì trở về bước 1 (Thông thường 1<min<5 thì chấpnhận được)

Bước 3: Chọn >min, tổng hợp bộ điều khiển Ksao cho

) (I G s K M s I

K

(Việc xác định Kđã được trình bày ở phần 3.3)

Bước 4: Bộ điều khiển K cần tìm được tính theo công thức:

K = W 1 KW 2

Thủ tục thiết kế được minh họa trong hình 3.21

Hình 3.21: Thủ tục thiết kế H loop shaping

G

1

K

-Khác với phương pháp thiết kế nắn dạng vòng cổ điển (nắn dạng hàm S

và T), ở đây ta không cần quan tâm đến tính ổn định vòng kín, cũng nhưthông tin về pha của đối tượng danh định, vì điều kiện ổn định nội đã đượcđảm bảo trong bài toán ổn định bền vững Hở bước 3

- Thủ tục thiết kế sử dụng thích hợp cho các đối tượng ổn định, không ổnđịnh, cực tiểu pha, không cực tiểu pha; đối tượng chỉ cần thỏa mãn yêu cầu

tối thiểu cho mọi thiết kế là không có các chế độ ẩn Cụ thể là nếu đối tượng không cực tiểu pha thì các hạn chế về chất lượng điều khiển vẫn thể hiện trong thủ tục thiết kế quả giá trị của min

3.3.4.2 Sơ đồ điều khiển:

Trên đây ta chỉ quan tâm đến vòng điều khiển, không quan tâm đến vị trí tín hiệu đặt được đưa vào vòng điều khiển như thế nào Thông thường, tín hiệu đặt đưa vào vòng điều khiển như hình 3.22 với hồi tiếp đơn vị

Hình 3.22: Sơ đồ điều khiển hồi tiếp đơn vị

Nếu bộ điều khiển K đạt được từ thủ tục nắn dạng vòng H, thì K và các hàm nắn dạng W1, W2 có thể được tách ra riêng rẽ, và nhờ đó ta có thể

có các sơ đồ điều khiển khác nhau

Hình 3.23 là sơ đồ điều khiển với bộ điều khiển thiết kế theo thủ tục LSDP

Ta có thể thay đổi sơ đồ này một chút như hình 3.24, mà không làm thay đổi

Hình 3.23: Sơ đồ điều khiển hồi tiếp đơn vị với bộ điều khiển đạt được

)()(1

)()(

2

s K s G

s W s G

y

) 0 ( ) 0 ( W2

không thể trực tiếp can thiệp vào vị trí điểm cực – zero được, mà mọi đặctính mong muốn ta chỉ có thể đưa vào hệ thống thông qua các hàm nắn dạng

các mục tiêu chất lượng và ổn định bền vững của hệ thống, và thường cóchứa khâu tích phân để đảm bảo sai số xác lập bằng 0

Đối với hệ SISO, việc lựa chọn các hàm nắn dạng đơn giản hơn: W2 thường

được chọn bằng 1, và W1 được chọn sao cho thỏa hiệp được các mục tiêuchất lượng và ổn định bền vững của hệ thống

y

t Bw t

Ax t

(

) ( )

( )

( 2

1 )

Cho hệ thống vòng hở :

w Bu Ax

Dx

v Cx

Có ma trận chuyển đổi

u B A sI D w A sI D

z

s G s

1 )

( 1

12 11

)(

y

s G s

( 1

22 21

1)(

)

(3.195)Kết nối hệ thống như hình (3.25) với một bộ điều khiển Ce chúng ta có cânbằng của tín hiệu :

Hình 3.25 : Hệ thống hồi tiếp với ngõ vào và ngõ ra nhiễu loạn

v C G C I w G C G

C

I

u

v u G w G C y

C

u

s H

e e

s H

e e

e e

1 22 )

(

21

1 22

22 21

22 21

)(

)(

)(

z

s H

e e

s H

) (

21

1 22 12

11

12 11

)(

s H s H u

12 11

)()

(

)()

(

(3.198)

Từ (3.198) theo ta có :

2 2

) (

~ ) ( 2 1

) ) (

) ( ) (

) ( ( lim )) ( ) ( ) ( ) ( (

lim

H

d j H j H trace

t u

t z t u

t z E t

u t u t z t z E

T t

T T

e

y

v++

-z

Hình 3.26: Vấn đề chuẩn H 2

3.4.3 Vấn đề chuẩn H 2 và lời giải của nó

Vấn đề tối ưu chuẩn H2 là lựa chọn bộ điều khiển K ở hình (3.26) để :

a Ổn định với hệ thống vòng kín và

b Cực tiểu hoá chuẩn H2 của hệ thống vòng kín (với v là vào, z là ngõ ra)

Sơ đồ hình 3.26 được mô tả bởi hệ phương trình trang thái sau:

)()

()

()

(t Ax t B1v t B2u t

(3.200)

)()

()

()

(t C1x t D11v t D12u t

)()

()

()

Giả sử rằng v là nhiễu trắng ngõ vào với ma trận mật độ V=I

Hồi tiếp trạng thái:

Đầu tiên, xem xét lời giải với hồi tiếp trạng thái Khảo sát hai phương trình :

G

e C

zv

yu

()

()

(t Ax t B1v t B2u t

(3.204)

)()

()

()

)()

(

)()

()

()

12

1 12 12

1

t u

t z D I t

u

t x C D I t u D t x C t

12 12 12

( )

( )( )

12

D D D

D I

T

Là xác định dương Điều kiện cần và đủ cho (3.208) làD12T D12

không suybiến Lời giải của vấn đề điều chỉnh là luật hồi tiếp trạng thái:

) ( )

()

()

(t Ax t B1v t B2u t

(3.210)

()

()

(t C2x t D21v t D22u t

Phương trình thứ hai có thể trở thành dạng chuẩn cho bộ lọc Kalman nếucoi y(t) – D22u(t) như là biến quan sát hơn là y(t).Nếu biểu thị nhiễu sự quansát là v(t)D21v(t)thì :

)()

()

()

(t Ax t B1v t B2u t

(3.212)

)()()

()

)()()

()()(

)(

21 21 21

21

21 21

T T

T T

D D D

D I

D I t v t v D

I E t v t v t

D I

21 21 21

( )

( [(

) ( )

( )

(t K x t

(3.217)

K giống như độ lợi hồi tiếp trạng thái ở (3.209)

Xem xét vấn đề tối ưu H 2 cho đối tượng tổng quát :

)()

()

()

(t Ax t B1v t B2u t

(3.218)

)()

()

(t C1x t D12u t

)()

()

()

Giả sử :

 Hệ thống x(t)Ax(t)B2u(t),y(t)C2x(t)là ổn định và tìmđược

1

D C

B sI A

có hạng đầy đủ các hàng ngang cho mọi

2

D C

B sI A

có hạng đầy đủ các cột cho mọi s  j và

D12 có hạng đầy đủ các cột

Dưới những giả sử này bộ điều khiển hồi tiếp ngõ ra tối ưu là

)]

( )

( )

( [ ) ( )

( )

(t A x t B2u t L y t C2x t D22u t

(3.221)

) ( )

))(

(

0)(

))(

(

1 21 2

1 21 21 21 1 2 1

1

1 12 2

1 12 12 12 1 2 1

T T

T T

T T

T T

T T

B D Y C D D D B YC B

B AY AY

C D X B D

D D C XB C

C XA X