Một số khái niệm và kết quả cơ bản
Trong không gian Hilbert thực H với C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng, ta định nghĩa tớch vụ hướng hã, ãi và chuẩn tương ứng bằng kxk=p hx, xi với mọi x ∈ H Một dãy {x k } ⊂ H được gọi là hội tụ mạnh tới x ∗ ∈ H, ký hiệu x k → x ∗, nếu kx k − x ∗ k →0 khi k → ∞, trong khi hội tụ yếu được ký hiệu là x k * x ∗ với điều kiện hu, x k − x ∗ i →0 với mọi u ∈ H Dễ dàng nhận thấy rằng dãy hội tụ mạnh sẽ hội tụ yếu, nhưng ngược lại không đúng Tuy nhiên, tính chất Kadec-Klee khẳng định rằng
{kx k k → kx ∗ k và x k * x ∗ }=⇒ x k → x ∗ Cho C 6= ∅, C ⊂ H Ánh xạ S : C → H được gọi là nửa đóng tại 0, nếu {x k } là một dãy trong C sao cho x k * x¯ và (I − S)(x k )→0, thì (I − S)(¯x) = 0.
Xét S là tập con khác rỗng trong không gian Euclide R^n, một dãy {x_k} ⊂ R^n được gọi là hội tụ tựa - Fejér đến S nếu với mỗi x ∈ S tồn tại k_0 ≥ 0 và dãy {δ_k} trong R+ thỏa mãn tổng P∞ k=0 δ_k < ∞, đồng thời điều kiện kx_{k+1} - x_k 2 ≤ kx_k - x_k 2 + δ_k được đảm bảo với mọi k ≥ k_0.
Theo định nghĩa của chuẩn, ta có tính chất quan trọng sau.
Bổ đề 1.1 ([5]) Với mỗi x, y ∈ H, ta có
(i) kx − yk 2 =kxk 2 − kyk 2 −2hx − y, yi ,
(ii) ktx+ (1− t)yk 2 =tkxk 2 + (1− t)kyk 2 − t(1− t)kx − y k 2 , ∀t ∈[0,1].
Hình chiếu của một điểm x ∈ H trên C, ký hiệuP r C (x), là một điểm thuộc C và gần điểm x nhất, được xác định bởi
Hình 1.1: Phép chiếu của điểm x trên một tập lồi C.
Ví dụ 1.1 Cho C = {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : x 2 1 +x 2 2 ≤ 1, x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0} Hãy xác định phép chiếu P r C (x) với mọi x ∈R 2
Bằng hình vẽ, ta dễ dàng thấy rằng, với mỗi (x 1 , x 2 )∈R 2 , P r C (x) được xác định:
{(min{1, x 1 },0)} với x 1 ≥0, x 2 0, {(0,0)} vớix 1 ≤0, x 2 ≤0,
Hình 1.2: Hình minh hoạ Ví dụ 1.1.
Phép chiếu xác định bởi (1.1) có các tính chất sau:
Mệnh đề 1.1 ([20], Theorem 3.14, Proposition 4.8) Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H Khi đó,
(b) hình chiếu P r C (x) của x trên C luôn tồn tại và duy nhất;
(c) kP r C (x)− P r C (y)k 2 ≤ hP r C (x)− P r C (y), x − yi, ∀x, y ∈ H (tính đồng bức);(d) kP r C (x)− P r C (y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ H (tính không giãn).
Mệnh đề 1.2 ([53], Proposition 4.1) Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H Khi đó,
(b) kP r C (x)− P r C (y)k 2 ≤ kx − yk 2 − kP r C (x)− x+y − P r C (y)k 2 , ∀x, y ∈ H; (c) kx − P r C (x − y)k 2 ≤ kyk, ∀x, y ∈ H;
(d) kz − P r C (x − y)k 2 ≤ kx − zk 2 −2hx − z, yi+ 5kyk 2 , ∀x, z ∈ C, y ∈ H.
Sau đây, chúng ta nhắc lại một số khái niệm trong không gian Hilbert thực
Giả sửC là tập con, lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thựcHvà x 0 ∈ C. Khi đó tập
N C (x 0 ) ={ω ∈ H| hω, x − x 0 i ≤0, ∀x ∈ C} được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C tại x 0 và tập −N C (x 0 ) được gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x 0 q N C (x 0 ) w C x 0
Hình 1.3: Nón pháp tuyến ngoài N C (x 0 ).
Ví dụ 1.2 ChoC là một tập con, lồi, đóng khác rỗng trong không gian R n Xét hàm chỉ trên C δ C (x 0 )
Nếu f : H → R ∪ { +∞} là hàm lồi chính thường trên H, w ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x nếu f(y) ≥ hw, y − xi+f(x), ∀y ∈ H.
Tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại điểm x được gọi là dưới vi phân của f tại x, ký hiệu là ∂f(x) Hàm f được xem là khả dưới vi phân tại x nếu ∂f(x) khác rỗng Ngoài ra, f được gọi là khả dưới vi phân trên một tập lồi, đóng C ⊂ H nếu với mọi x thuộc C, ∂f(x) đều khác rỗng.
Theo định nghĩa về nón pháp tuyến và dưới đạo hàm của hàm f, chúng ta có kết quả sau: Định lý 1.1 ([82], Proposition 2.31) khẳng định rằng nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng trong H, và f: H → R ∪ { +∞} là hàm lồi, khả dưới vi phân trên C, thì x₀ thuộc argmin f(x) với mọi x ∈ C khi và chỉ khi
Trong không gian Euclide R^n, xét tập con C lồi, đóng và khác rỗng cùng với hàm song hàm f: C × C → R thỏa mãn điều kiện f(x, x) = 0 Tập dưới vi phân chệch theo biến thứ hai của hàm f(x, y) tại x ∈ C, ký hiệu ∂²f(x, x), được xác định bởi
Một ánh xạ S :C → H, được gọi là
(a) không giãn, nếu kS(x)− S(y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ C;
(b) tựa không giãn, nếu Fix(S)6=∅ và kS(x)− x ∗ k ≤ kx − x ∗ k, ∀(x, x ∗ )∈ C ×Fix(S);
(c) tựa co, nếu Fix(S)6=∅ và tồn tại β ∈(0,1) thỏa mãn kS(x)− x ∗ k ≤ βkx − x ∗ k, ∀(x, x ∗ )∈ C ×Fix(S);
(d) nửa co, nếu Fix(S) 6=∅ và tồn tại β ∈[0,1) thỏa mãn kS(x)− x ∗ k 2 ≤ kx − x ∗ k 2 +βkx − S(x)k 2 , ∀(x, x ∗ )∈ C ×Fix(S); (e) đóng yếu trên C nếu {x k } ⊂ C, x k * xvà S(x k ) * w thì w=S(x);
(f) liên tục yếu nếu x n * x, thì S(x n )* S(x).
(a) nửa liên tục dưới tại x ∈ C nếu với mọi dãy {x k } ⊂ C hội tụ mạnh đến x thì lim inf k→∞ f(x k ) ≥ f(x).
(b) nửa liên tục trên tại x ∈ C nếu với mọi dãy {x k } ⊂ C hội tụ mạnh đến x thì lim sup k→∞ f(x k )≤ f(x).
Hàm f là nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) trên C nếu f nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) tại mọi x ∈ C.
Ta nhắc lại một số bổ đề cơ bản được sử dụng để chứng minh sự hội tụ của thuật toán trong các chương sau.
Bổ đề 1.2 ([89], Lemma 3.1) Cho A : H → H là toán tử β-đơn điệu mạnh và
L-liờn tục Lipschitz, λ ∈ (0,1] và à ∈(0, 2β L 2 ) Khi đú, ỏnh xạ T(x) = x − λàA(x) với mọi x ∈ H, thỏa mãn bất đẳng thức kT(x)− T(y)k ≤(1− λτ)kx − yk, ∀x, y ∈ H, với τ = 1−p
Bổ đề 1.3 ([52], Lemma 2.1) Cho {λ n } và {β n } là dãy không âm thỏa mãn
(i) Tồn tại dãy con {β n k } ⊂ {β n } thỏa mãn lim k→∞ β n k = 0.
(ii) Nếu {λ n } và {β n } thỏa mãn β n+1 − β n < θλ n , ∀θ > 0, thì {β n } thỏa mãn lim n→∞ β n = 0.
Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng
Một số trường hợp riêng của bài toán cân bằng
Bài toán bất đẳng thức biến phân
ChoC là tập con lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thựcHvà ánh xạ F :C → H Bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu VI(F, C), tìm kiếm x ∗ ∈ C sao cho hF(x ∗ ), x − x ∗ i ≥0 với mọi x ∈ C.
Bài toán nghiệm được ký hiệu là S(F, C) Đặt f(x, y) = hF(x), y − xi với mọi x, y thuộc C, bài toán VI(F, C) tương đương với bài toán EP(f, C) Đặc biệt, khi C = H, bài toán VI(F, C) có thể được diễn đạt dưới dạng phương trình F(x) = 0.
Một ánh xạ F :C → H được gọi là
(a) γ-đơn điệu mạnh trên C với γ >0, nếu hF(x)− F(y), x − yi ≥ γkx − yk 2 , ∀x, y ∈ C;
(b) đơn điệu trên C, nếu hF(x)− F(y), x − yi ≥0, ∀x, y ∈ C;
(c) giả đơn điệu trên C, nếu hF(y), x − yi ≥0⇒ hF(x), x − yi ≥0, ∀x, y ∈ C;
(d) β-đơn điệu mạnh ngược trên C với β >0, nếu hF(x)− F(y), x − yi ≥ βkF(x)− F(y)k 2 , ∀x, y ∈ C;
(e) para-đơn điệu trên C, nếu F đơn điệu trên C và hF(x)− F(y), x − yi= 0⇒ F(x) =F(y), ∀x, y ∈ C;
(f) para-đơn điệu chặt trên S ⊂ C, nếu F giả đơn điệu trên C và
(g) L-liên tục Lipschitz trên C, nếu kF(x)− F(y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ C.
Theo định nghĩa, nếu F là β-đơn điệu mạnh ngược, thì F là L-liên tục Lipschitz với hằng số L = β 1 và đơn điệu trên C, dẫn đến quan hệ (a) ⇒ (b) ⇒ (c) Tuy nhiên, chiều ngược lại không đúng trong trường hợp tổng quát Ví dụ, hàm F: C → R được xác định bởi F(x) = x² là giả đơn điệu, nhưng không đơn điệu trên C = R; đồng thời, nó là đơn điệu nhưng không đơn điệu mạnh trên C = [0,1].
Sự tồn tại nghiệm của bài toán VI(F, C) được suy ra từ tính liên tục của F và điều kiện tập C là compact Ta có kết quả sau:
Khi tập C không phải là compact, định lý điểm bất động Brouwer không còn áp dụng Trong trường hợp này, sự tồn tại nghiệm cho bài toán VI(F, C) có thể được chứng minh thông qua tính đơn điệu mạnh và tính liên tục Lipschitz của hàm F.
Mệnh đề 1.3 Nếu F : C → H là β−đơn điệu mạnh trên C và L−liên tục Lipschitz trên C thì bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh Chọn 0< à < 2β L 2 và xột ỏnh xạ T :C → C được xỏc định bởi
Khi đó, với mọi x, y ∈ C, ta có: kT(x)− T(y)k 2 =kP r C (x − àF(x))− P r C (y − àF(y))k 2
=kx − yk 2 −2àhF(x)− F(y), x − yi+à 2 kF(x)− F(y)k 2
Do F liên tục Lipschitz và đơn điệu mạnh trên C, ta có kT(x)− T(y)k 2 ≤kx − yk 2 −2àβkx − yk 2 +à 2 L 2 kx − yk 2
(1− à(2β+àL 2 ) ∈[0,1). Vậy T :C → C là ánh xạ co Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn tại duy nhất x ∗ ∈ C sao cho T(x ∗ ) =x ∗ Do đó, x ∗ ∈ S(F, C).
Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của H và F, với hàm lồi nửa liên tục dưới C → R Bài toán tối ưu OP(F, C) tìm kiếm x ∗ ∈ C sao cho F(x ∗ ) ≤ F(y) với mọi y ∈ C Đặt f(x, y) = F(y) − F(x) cho mọi x, y ∈ C Theo định nghĩa, x ∗ là nghiệm của bài toán OP(F, C) nếu và chỉ nếu x ∗ là nghiệm của bài toán EP(f, C).
Cho C ⊂ H là một nón lồi và đóng,
C ∗ ={x ∈ H: hx, y i ≥0, ∀y ∈ C} là nón đối ngẫu của nón C và một ánh xạ liên tục F : C → H Bài toán bù, ký hiệu CP(F, C) là bài toán tìm x ∗ ∈ C sao cho F(x ∗ ) ∈ C ∗ và hF(x ∗ ), x ∗ i= 0.
Với mọi x, y ∈ C, đặt f(x, y) =hF(x), y − xi Khi đó, bài toán CP(F, C) sẽ tương đương với bài toán EP(f, C).
Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị
Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng và khác rỗng, với ánh xạ đa trị T : C → 2^H nửa liên tục trên, sao cho T(x) là tập compact khác rỗng với mọi x ∈ C Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị, ký hiệu là MVI(T, C), đặt ra yêu cầu tìm x∗ ∈ C và w∗ ∈ T(x∗) sao cho |w∗ - x∗| ≥ 0 với mọi x ∈ C.
Với mỗi x, y ∈ C, đặt f(x, y) = max{hw, y − xi: w ∈ T(x)}.
Khi đó, x ∗ là nghiệm của bài toán MVI(T, C) khi và chỉ khi x ∗ là nghiệm của bài toán EP(f, C).
Khi ánh xạ giá T của bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị MVI(T, C) là đơn trị, bài toán sẽ chuyển thành bài toán bất đẳng thức biến phân thông thường.
Bài toán điểm bất động
Cho C là một tập lồi, đóng và khác rỗng, cùng với ánh xạ đơn trị F: C → C, bài toán điểm bất động FP(F, C) tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ = F(x∗) Đặt f(x, y) = ⟨x - F(x), y - x⟩ với mọi x, y ∈ C, thì bài toán FP(F, C) tương đương với bài toán cân bằng EP(f, C).
Bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị MFP(F, C) nhằm tìm x ∗ ∈ C sao cho x ∗ ∈ F(x ∗ ), với F : C → 2 H là một ánh xạ đa trị lồi, compact và không rỗng Đối với mọi x, y ∈ C, định nghĩa f(x, y) = max w∈F (x) hx − w, y − xi.
Khi đó, x ∗ là nghiệm của bài toán MFP(F, C) khi và chỉ khi x ∗ là nghiệm của bài toán EP(f, C).
Bài toán điểm yên ngựa
Cho C1 và C2 là các tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian H, với hàm g: C1 × C2 → R Điểm (x∗1, x∗2) được xem là điểm yên ngựa của g nếu nó thuộc C = C1 × C2 và thỏa mãn điều kiện g(x∗1, y2) ≤ g(x∗1, x∗2) ≤ g(y1, x∗2) cho mọi (y1, y2) thuộc C1 × C2 Định nghĩa ánh xạ f: C × C → R với f(x, y) = g(y1, x2) − g(x1, y2), trong đó x = (x1, x2) và y = (y1, y2) Khi đó, điểm x∗ = (x∗1, x∗2) là điểm yên ngựa nếu và chỉ nếu g(x∗, y) ≥ 0 cho mọi y = (y1, y2) thuộc C.
Như vậy, x ∗ là nghiệm của bài toán EP(f, C).
Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày các kết quả chính liên quan đến sự tồn tại, tính duy nhất của nghiệm và tính chất của tập nghiệm trong bài toán cân bằng Mặc dù việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất không phải là mục tiêu chính của luận án, chúng tôi sẽ chỉ đề cập đến các kết quả quan trọng mà không đi vào chi tiết chứng minh Các chứng minh cho những kết quả này có thể được tìm thấy trong tài liệu tham khảo [24, 38, 48] Để thuận tiện trong việc trình bày, chúng tôi sẽ xem xét một số giả thiết của song hàm f :C × C →R.
(A1) f(x, ) nửa liên tục dưới với mỗi x ∈ C,
(A3) f(., y) nửa liên tục trên với mỗi y ∈ C.
Mệnh đề 1.4 (Định lý Ky Fan) chỉ ra rằng, cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert H, cùng với một song hàm f : C × C → R thỏa mãn các điều kiện (A2) và (A3) Nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn, trong đó (i) C là tập bị chặn, thì những kết luận quan trọng về cấu trúc và tính chất của tập C có thể được rút ra.
(ii) Tồn tại một tập con bị chặn, khác rỗng W ⊂ C sao cho với mọi x ∈ C\W, tồn tại y ∈ W sao cho f(x, y) 0 sao cho f(x, y) +f(y, x) ≤ −γkx − yk 2 , ∀x, y ∈ C;
(b) đơn điệu chặt trên C nếu bất kỳ x, y ∈ C và x 6=y sao cho f(x, y) +f(y, x)0 và c 2 >0 nếu f(x, y) +f(y, z)≥ f(x, z)− c 1 kx − yk 2 − c 2 ky − zk 2 , ∀x, y, z ∈ C.
Từ định nghĩa trên, ta suy ra mối quan hệ sau:
Trong trường hợp tổng quát, các chiều ngược lại thường không chính xác Cần lưu ý rằng, với song hàm f : C × C → R được xác định bởi f(x, y) = hF(x), y − xi cho mọi x, y ∈ C, ta có thể dễ dàng chứng minh rằng tính đơn điệu của song hàm f tương đương với tính đơn điệu của hàm giá F Cụ thể, nếu song hàm f đơn điệu mạnh, thì ánh xạ F cũng sẽ đơn điệu mạnh.
Mệnh đề 1.5 ([24], Proposition 4.2, [48], Proposition 2.1.16) (i) Nếuf đơn điệu chặt trên C, thì bài toán EP(f, C) có không quá một nghiệm.
(ii) Nếu f(x, ) là hàm lồi với mỗi x ∈ C, f thỏa mãn các điều kiện (A1), (A3) và là đơn điệu mạnh trên C, thì bài toán EP(f, C) có duy nhất nghiệm.
Ánh xạ nghiệm
Gần đây, nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu các thuật toán giải bài toán cân bằng EP(f, C), bao gồm thuật toán đạo hàm tăng cường, thuật toán chiếu-dưới đạo hàm và kỹ thuật tìm kiếm theo tia Amijo Hầu hết các thuật toán này được xây dựng dựa trên nguyên lý điểm bất động của ánh xạ nghiệm S(x) P.L Combettes và S.A Hirstoaga đã giới thiệu ánh xạ nghiệm S r : H → C cho bài toán EP(f, C) với mỗi r > 0.
(1.2) Ở đây, song hàm f thỏa mãn các điều kiện sau
(ii) với mỗi x, y, z ∈ C, lim t→0 f(tz+ (1− t)x, y)≤ f(x, y);
(iii) với mỗi x ∈ C, y 7→ f(x, y) là hàm lồi và nửa liên tục dưới.
Khi đó với mọi x ∈ H, tồn tại y ∈ C thỏa mãn f(y, z) + 1 r hz − y, y − xi ≥0, ∀z ∈ C.
Hơn nữa, ánh xạ Sr:H → C được định nghĩa bởi (1.2) là ánh xạ đơn trị và thỏa mãn tính đơn điệu mạnh ngược kS r (x)− S r (y)k 2 ≤
Trong không gian H, với mọi x, y thuộc H, x* thuộc C là nghiệm của bài toán cân bằng EP(f, C) nếu và chỉ nếu nó là điểm bất động của ánh xạ S_r Đặt f(x, y) bằng F(x), y − x cho mọi x, y thuộc C, với ánh xạ F : C → R^n Do đó, bài toán cân bằng EP(f, C) có thể được diễn tả dưới dạng bài toán VI(F, C).
Trong không gian EuclideR n, K Taji và M Fukushima đã giới thiệu ánh xạ nghiệm S : C → C cho bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) Ánh xạ nghiệm này được xác định cho mọi x ∈ C.
, ∀x ∈ C, ở đây G là ma trận vuông, xác định dương cấp n Khi đó, x ∗ ∈ C là nghiệm của bài toán VI(F, C) nếu và chỉ nếu x ∗ là điểm bất động của ánh xạ S(x).
Dựa trên ý tưởng của K Taji và M Fukushima, bài viết này đề xuất một ánh xạ nghiệm để giải bài toán EP(f, C) trong không gian hữu hạn chiều R^n Chúng tôi cũng nghiên cứu tính co, tính không giãn và tính giả co chặt của ánh xạ nghiệm S(x) dưới giả thiết rằng hàm f là đơn điệu, thông qua việc lựa chọn các tham số chính quy phù hợp.
Xét bài toán EP(f, C) thỏa mãn với mỗi x ∈ C, hàm f(x, ) là lồi và khả dưới vi phân trên C Ánh xạ nghiệm S(x) xác định bởi:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét ma trận vuông G có cấp n và chứng minh rằng nghiệm của bài toán cân bằng EP(f, C) tương đương với điểm bất động của ánh xạ nghiệm S(x) Bổ đề sẽ được trình bày để minh họa mối liên hệ này.
Bổ đề 1.4 Xét bài toán EP(f, C), song hàm f(x, ) là lồi, khả dưới vi phân và ánh xạ S(x) được xác định bởi (1.3) Khi đó, x ∗ ∈ C là nghiệm của bài toán
EP(f, C) khi và chỉ khi x ∗ là điểm bất động của ánh xạ S(x).
Chứng minh Giả sử x ∗ là nghiệm của bài toán EP(f, C) Vì G là ma trận vuông xác định dương cấp n, ta có y − x ∗ , G(y − x ∗ )
Theo điều kiện cân bằng f(x, x) = 0, nên x ∗ là nghiệm của bài toán min f(x ∗ , y) + 1
Ngược lại, giả sử x ∗ =S(x ∗ ) thì x ∗ là nghiệm của bài toán lồi mạnh min f(x ∗ , y) + 1
0∈ ∂f(x ∗ , ã)(x ∗ ) +N C (x ∗ ), ở đây N C (x ∗ ) là nón pháp tuyến ngoài tại điểm x ∗ trên C Vì vậy, ta có hw ∗ , x ∗ − xi ≥0, ∀x ∈ C, (1.4) với w ∗ ∈ ∂f(x ∗ , ã)(x ∗ ) Vỡ f(x ∗ , ) là hàm lồi trờn C nờn f(x ∗ , x)− f(x ∗ , x ∗ )≥ hw ∗ , x − x ∗ i , ∀x ∈ C (1.5)
Kết hợp (1.4), (1.5) và f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C, suy ra f(x ∗ , x) ≥ 0 với mọi x ∈ C Vậy, x ∗ là nghiệm của bài toán cân bằng EP(f, C).
Dựa trên kết quả từ Bổ đề 1.4, chúng tôi chứng minh tính tựa co và tựa không giãn của ánh xạ nghiệm S(x) thông qua các định lý tiếp theo Định lý 1.2 xác định rằng cho tập con C là lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Euclide R n, hàm f : C × C → R là γ-giả đơn điệu mạnh trên C, thỏa mãn điều kiện Lipschitz với các hằng số c 1 > 0 và c 2 > 0 Đồng thời, f(x, ) là hàm lồi và khả dưới vi phân trên C, và với mỗi x ∈ C, ánh xạ nghiệm được xét đến.
2c 1 và γ > c 2, thì S là tựa co trên C với hằng số δ= √ 1
1+2λ(γ−c 2 ) Chứng minh Theo điều kiện của cực trị có điều kiện, thì
Mặt khác, theo định lý Moreau-Rockafellar, ta có
0 =S(x)− x+λw 1 +w 2 , (1.6) trong đó w 1 ∈ ∂ 2 f(x, S(x)) và w 2 ∈ N C (S(x)) Theo định nghĩa nón pháp tuyến, ta có w 2 , y − S(x)
Kết hợp với (1.6), ta được x − S(x)− λw 1 , y − S(x)
≤0, ∀y ∈ C. Điều này tương đương với x − S(x), y − S(x)
Theo giả thiết, song hàm f thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz với hằng sốc 1 >0 và c 2 >0 trên C và x ∗ ∈ C, x ∈ C, nên ta có f(x, x ∗ )− f(x, S(x))≤ f(S(x), x ∗ ) +c 1 kx − S(x)k 2 +c 2 kS(x)− x ∗ k 2 (1.11)
Vì x ∗ là nghiệm duy nhất của bài toán cân bằng EP(f, C) và S(x) ∈ C, nên f(x ∗ , S(x))≥0 Theo giả thiết, hàm f là γ-giả đơn điệu mạnh, do đó suy ra f(S(x), x ∗ )≤ −γkS(x)− x ∗ k 2 Thay thế kết quả này vào bất đẳng thức, ta có f(x, x ∗ )− f(x, S(x)) ≤ −γkS(x)− x ∗ k 2 +c 1 kx − S(x)k 2 +c 2 kS(x)− x ∗ k 2.
= −(γ − c 2)kS(x)− x ∗ k 2 +c 1 kx − S(x)k 2 Kết hợp điều này với (1.10), ta có x − S(x), x ∗ − S(x)
≤ kx − x ∗ k 2 , và do đó kS(x)− x ∗ k ≤ δkx − x ∗ k, với δ= √ 1
Chúng ta đã chứng minh tính tựa co của ánh xạ nghiệm S(x) trong bài toán cân bằng EP(f, C) với điều kiện f đơn điệu mạnh và thỏa mãn điều kiện Lipschitz Tuy nhiên, các điều kiện này phụ thuộc vào tham số γ > 0 và γ > c² Do đó, chúng ta cần xem xét ánh xạ nghiệm.
Chúng ta có thể chứng minh tính tựa không giãn của ánh xạ nghiệm S(x) dựa trên giả thiết rằng song hàm f là giả đơn điệu và thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz, như được nêu trong định lý dưới đây Định lý 1.3 khẳng định rằng, cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Euclide R^n, song hàm f: C × C → R giả đơn điệu, thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz với các hằng số c1, c2 > 0, và f(x, ) là hàm lồi, khả vi phân với mỗi x ∈ C Nếu λ thuộc khoảng (2c1, ), thì tính chất này sẽ được đảm bảo.
2) và γ > c 2 thì ánh xạ nghiệm S(x) được xác định bởi công thức (1.13) là tựa không giãn trên C.
Chứng minh Theo điều kiện của cực trị có điều kiện, thì
(S(x)) +N C (S(x)). Theo định lý Moreau-Rockafellar, ta có
0 =S(x)− x+λw 1 +w 2 , với w 1 ∈ ∂ 2 f(z x , S(x)) và w 2 ∈ N C (S(x)) Theo định nghĩa nón pháp tuyến thì w 2 , y − S(x)
Cho y =x ∗ ∈ C, bất đẳng thức (1.15) có dạng f(z x , x ∗ )− f(z x , S(x))≥ w 1 , x ∗ − S(x)
Vì x ∗ ∈Sol(f, C) nênf(x ∗ , y)≥0với mọi y ∈ C Mặt khác, theo giả thiết f là giả đơn điệu trên C nên f(y, x ∗ )≤0với mọi y ∈ C Do đó f(z x , x ∗ )≤0 Khi đó, theo (1.17) ta được
≥ λf(z x , S(x)) (1.18) Mặt khác, theo giả thiết, song hàm f thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz nên f(z x , S(x))≥ f(x, S(x))− f(x, z x )− c 1 kx − z x k 2 − c 2 kz x − S(x)k 2 (1.19) Thay (1.19) vào (1.18), ta có
, nên ta có λ[f(x, y)− f(x, z x )]≥ hz x − x, z x − yi ∀y ∈ C.
=kx − x ∗ k 2 − kS(x)− xk 2 − kS(x)− x ∗ k 2 , ta được kx − x ∗ k 2 − kS(x)− xk 2 − kS(x)− x ∗ k 2
2), từ bất đẳng thức trên, ta được kS(x)− x ∗ k 2 ≤ kx − x ∗ k 2 − kS(x)− xk 2 −2 z x − x, z x − S(x) +2λc 1 kx − z x k 2 + 2λc 2 kz x − S(x)k 2
= kx − x ∗ k 2 − kS(x)− z x k 2 − kz x − xk 2 +2λc 1 kx − z x k 2 + 2λc 2 kz x − S(x)k 2
Một số bài toán hai cấp
Bài toán cân bằng hai cấp
a Tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán cân bằng khác
Giả sử C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng của một không gian Hilbert thực
H và f, g : C × C → R là các song hàm cân bằng xác định trên C Bài toán cân bằng hai cấp, ký hiệu BEP(f, g, C) được phát biểu như sau
Tìm x ∗ ∈Sol(f, C) thỏa mãn g(x ∗ , y)≥0, ∀y ∈Sol(f, C) (1.22) ở đó, Sol(f, C) là tập nghiệm của bài toán cân bằng
Bài toán BEP(f, g, C), theo hiểu biết của chúng tôi, được tác giả A Moudafi
Trong nghiên cứu này, chúng tôi xem xét và phát triển thuật toán điểm gần kề cho bài toán BEP(f, g, C) với các hàm f và g đơn điệu trên tập C Mặc dù có hình thức đơn giản, bài toán này rất tổng quát và bao gồm nhiều lớp bài toán quan trọng khác Bên cạnh đó, tập ràng buộc được xác định là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.
Trong không gian Hilbert thực H, bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu EVIP(g, F, C), được định nghĩa như sau
Tìm x ∗ ∈S(F, C) thỏa mãn g(x ∗ , x) ≥0, ∀x ∈S(F, C), (1.23) trong đó, song hàm g : C × C → R và S(F, C) là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
Tìm y ∗ ∈ C thỏa mãn hF(y ∗ ), y − y ∗ i ≥0, ∀y ∈ C, và F :C → H.
Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp
a Tập ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân khác
Trong không gian Hilbert thực H, ánh xạ giá F, G:C → H dẫn đến bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, ký hiệu là BVI(F, G, C) Mục tiêu của bài toán này là tìm x ∗ ∈S(G, C) thỏa mãn F(x ∗ ), x − x ∗ i ≥0, ∀x ∈S(G, C) Tập nghiệm S(G, C) bao gồm các nghiệm y ∗ ∈ C thỏa mãn hG(y ∗ ), x − y ∗ i ≥0, ∀x ∈ C Đặt g(x, y) = hG(x), y − xi và f(x, y) = hF(x), y − xi với mọi x, y ∈ C, ta thấy bài toán BVI(F, G, C) tương đương với bài toán BEP(f, g, C) Tập nghiệm của bài toán BVI(F, G, C) được ký hiệu là Ω.
Bài toán BVI(F, G, C) đã thu hút sự chú ý của nhiều tác giả gần đây, đặc biệt trong việc phát triển các thuật toán giải dựa trên tính đơn điệu của các ánh xạ giá F và G Tập ràng buộc trong bài toán này chính là tập nghiệm của bài toán cân bằng.
Giả sử C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng của một không gian Hilbert thực
H Cho song hàm f : C × C → R và ánh xạ giá F : C → H Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng, ký hiệu là VIEP(F, f, C), là bài toán tìm x ∗ ∈Sol(f, C) sao cho hF(x ∗ ), x − x ∗ i ≥0, ∀x ∈Sol(f, C), (1.25) ở đây Sol(f, C) là tập nghiệm bài toán cân bằng EP(f, C) tìmy ∗ ∈ C sao cho f(y ∗ , y) ≥0, ∀y ∈ C.
Ta luôn giả sử song hàm f thỏa mãn điều kiện cân bằng f(y, y) = 0với mọi y ∈ C và với mỗi x ∈ C thì hàm f(x, y) là hàm lồi và khả vi theo biến y trên C.
Khi đó, với mỗix, y ∈ C, ta đặtf(x, y) =hF(x), y−xithì bài toán VIEP(F, f, C) tương đương với bài toán BEP(f, g, C).
Một trường hợp đặc biệt của bài toán VIEP(F, f, C) là khi F(x) = x − x₀ Trong trường hợp này, bài toán VIEP(F, f, C) tương đương với bài toán MNEP(f, C), nhằm tìm giá trị tối thiểu của kx − x₀k với x thuộc tập hợp Sol(f, C), tức là tìm hình chiếu của điểm x₀ lên tập hợp Sol(f, C).
Một số thuật toán giải bài toán hai cấp
Thuật toán đạo hàm tăng cường
Thuật toán đạo hàm tăng cường là một phương pháp hiệu quả để giải bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá đơn điệu và liên tục Lipschitz Gần đây, trong nghiên cứu về việc phát triển thuật toán cho bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, tác giả đã áp dụng thuật toán này thông qua việc xây dựng các dãy lặp.
L 2 1 , các dãy số dương {δ k }, {λ k }, {α k }, {β k }, {γ k } và { k } thỏa mãn
P k=0 k < ∞,00.
Những nghiên cứu ban đầu về thuật toán xấp xỉ gắn kết được giới thiệu trong bài báo [79] Khi đó, dãy {x n } được xác định bởi:
Ánh xạ g : H → H là ánh xạ co, trong khi S : C → H là ánh xạ không giãn Dựa trên các điều kiện đã cho cho dãy tham số {α n } và {r n }, tác giả đã chứng minh rằng dãy {x n } và {u n } hội tụ mạnh đến z = P r (Fix(S) ∩ Sol(f,C)) g(z).
Bài toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn VIFIX trong không gian Hilbert H là một vấn đề quan trọng trong toán học Việc nghiên cứu bài toán này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về tính chất của ánh xạ mà còn mở ra những ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Để tìm x ∗ ∈Fix(T) thỏa mãn điều kiện h(I − V)(x ∗ ), x − x ∗ i ≥0 với mọi x ∈Fix(T), trong đó V là ánh xạ không giãn và I là ánh xạ đồng nhất, các thuật toán thường sử dụng hai dạng dãy lặp: dạng ẩn và dạng hiện Cụ thể, dãy lặp được biểu diễn như sau: x k =tf(x k ) + (1− t)T(x k ) và x k+1 =λ k f(x k ) + (1− λ k )T(x k ), với f là ánh xạ co trên C, t thuộc (0,1) và {λ k } thuộc (0,1).
Khi đó, thuật toán xấp xỉ gắn kết giải bài toán VIFIX trong [54] được trình bày dưới dạng:
x 0 ∈ C, x k+1 =λ k f(x k ) + (1− λ k )[α k V(x k ) + (1− α k )T(x k )], với f : C → C là ánh xạ co Khi đó, dãy {x k } hội tụ mạnh đến nghiệm của bài toán VIFIX.
Chúng tôi đã phát triển một thuật toán mới để giải bài toán EVIP(g, F, C) bằng cách kết hợp thuật toán xấp xỉ gắn kết với kỹ thuật dưới đạo hàm Việc này giúp đơn giản hóa quá trình tính toán, tránh được sự phức tạp khi phải giải bài toán cân bằng phụ tại mỗi bước lặp Bên cạnh đó, chúng tôi cũng trình bày chi tiết về sự hội tụ mạnh của các dãy lặp trong không gian Hilbert thực H.
Giả sử song hàm g và ánh xạ giá F thỏa mãn các điều kiện sau:
(D 1 ) g làρ-đơn điệu mạnh, g(x, ã) là hàm liờn tục yếu và lồi trờnC với mỗi x ∈ C,
∂ 2 g(x, ã)(x) là nửa liờn tục trờn và g(x, x) = 0 với mọi x ∈ C;
(D 2 ) F :C → H là para-đơn điệu, đóng yếu và liên tục trên C;
(D 3 ) Tập nghiệm S(F, C) ={¯x ∈ C: hF(¯x), y −¯xi ≥0, ∀y ∈ C} khác rỗng. Thuật toán được mô tả chi tiết như sau.
Thuật toỏn 4.1 Lấy x 0 ∈ C, à ∈ (0,+∞), dóy cỏc số thực khụng õm {α k } và {λ k } thỏa mãn
Bước lặp thứ k,(k = 0,1,2, ) Có x k , thực hiện các bước sau:
Bước 1 Tính dưới đạo hàm của hàm lồi w k ∈ ∂ 2 g(x k , x k ).
Bước 2 Tớnh d k =F(x k ) +α k w k , η k = max{à, kd k k} và x k+1 =P r C x k − λ η k k d k Nếux k+1 =x k , thì dừng thuật toán,x k là nghiệm của bài toán EVIP(g, F, C). Ngược lại, quay lại Bước 1 với k được thay bởi k+ 1.
Ta có thể dễ dàng kiểm tra điều kiện (4.2) thỏa mãn bởi λ k = 1
Thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài toán EVIP(g, F, C) dừng lại ở Bước 2, nơi ta tính các dưới đạo hàm của hàm lồi, khả dưới vi phân w k ∈ ∂ 2 k f(x k , x k ) Tiếp theo, các giá trị d k được tính dựa trên các dưới đạo hàm và lựa chọn các giá trị của dãy tham số η k Dãy lặp {x k} được xác định thông qua phép chiếu trên tập C Nếu cần thiết, ta quay trở về Bước 1 và thực hiện lại các bước tương tự.
Hình 4.1: Hình minh hoạ Thuật toán 4.1.
Định lý hội tụ
Để chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 4.1 ta cần dùng một số bổ đề kỹ thuật sau.
Bổ đề 4.1 khẳng định rằng cho các dãy số thực không âm {a n}, {b n} và {c n} thỏa mãn điều kiện a n+1 ≤ (1 + b n)a n + c n với mọi n ≥ n 0, trong đó tổng ∑∞ n=n 0 b n và ∑∞ n=n 0 c n đều hội tụ, thì giới hạn lim n→∞ a n tồn tại Nếu thêm điều kiện rằng dãy {a n} có một dãy con hội tụ đến 0, thì giới hạn này sẽ bằng 0.
Bổ đề 4.2 cho rằng với dãy số thực không âm {a n }, tồn tại một số tự nhiên p ≥ m cho mỗi số tự nhiên m, sao cho a p ≤ a p+1 Định nghĩa n 0 là số tự nhiên thỏa mãn a n 0 ≤ a n 0 +1 với mọi n ≥ n 0 Ta định nghĩa τ(n) là giá trị lớn nhất k thuộc N, trong khoảng từ n 0 đến n, sao cho a k ≤ a k+1.
Khi đó, {τ(n)} n≥n 0 là dãy không giảm thỏa mãn lim n→∞ τ(n) =∞ và a τ (n) ≤ a τ (n)+1 và a n ≤ a τ (n)+1 , ∀n ≥ n 0
Bổ đề 4.3 khẳng định rằng nếu φ là hàm số xác định trên C với biểu thức φ(ã) = hF(ã), ã − qi, trong đó q thuộc H và F: C → H là hàm đơn điệu, đóng yếu trên C, đồng thời liên tục Lipschitz trên các tập con bị chặn của C, thì φ sẽ là nửa liên tục dưới yếu trên C.
Bổ đề 4.4 Cho dãy {x k } và {w k } sinh bởi bởi Thuật toán 4.1 Khi đó
(ii) Với mọi x ∗ ∈ S(F, C), kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 − 2λ k η k hF(x k ), x k − x ∗ i − 2α k λ k η k hx k − x ∗ , w k i+ 5λ 2 k
Chứng minh (i) Theo tính chất không giãn của phép chiếu P r C , {x k } ∈ C và từ Bước 2 của Thuật toán 4.1 ta có kd k k ≤ η k Suy ra kx k+1 − x k k
(ii) Áp dụng tính chấtvi Bổ đề (1.2) cho x=x k ∈ C, z=x ∗ ∈ C và y = λ η k k d k ∈ H, và sử dụng x k+1 =P r C x k − λ η k k d k
2 Kết hợp bất đẳng thức cuối với kd k k ≤ η k , và d k =F(x k ) +α k w k , ta được kx k+1 − x ∗ k 2 ≤kx k − x ∗ k 2 −2 λ k η k hd k , x k − x ∗ i+ 5λ 2 k
Theo Định lý 4.1, nếu các Giả thiết (D 1 )−(D 3 ) được thỏa mãn, thì dãy {x k } được sinh ra từ Thuật toán 4.1 sẽ hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán EVIP(g, F, C).
Chứng minh Quá trình chứng minh định lý được chia thành các bước sau. Bước 1 Chứng minh dãy {x k } bị chặn.
Với mỗi x ∗ ∈ S(F, C), ta có hF(x ∗ ), x − x ∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ C Do tính đơn điệu của ánh xạ giá F, ta có hF(x ∗ )− F(x k ), x ∗ − x k i ≥ 0 với {x k } ∈ C, dẫn đến hF(x k ), x k − x ∗ i ≥ 0 Kết hợp điều này với bất đẳng thức (4.3), ta suy ra kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 −2α k λ k η k hx k − x ∗ , w k i + 5λ 2 k Do đó, kx k+1 − x ∗ k 2 − 5 k.
X j=0 λ 2 j − 2α k λ k η k hx k − x ∗ , w k i. với mỗi k ≥1, đặt a k =kx k − x ∗ k 2 −5 k−1
Giả sử tồn tại chỉ số k₀ > 0 sao cho dãy {aₖ} không tăng với k ≥ k₀, điều này cho thấy {aₖ} bị chặn trên bởi aₖ₀ với mọi k ≥ k₀ Do đó, ta có aₖ = kxₖ - x∗ k² - 5k−1.
Sử dụng giả thiết (4.2) rằng P∞ k=0 λ 2 k < ∞, ta có kx k − x ∗ k 2 ≤5 k−1
Trường hợp 2 Theo Bổ đề 4.2, tồn tại một dãy con {τ k } thỏa mãn: a τ k < a τ k +1 và a k < a τ k +1 , ∀k ≥1 (4.5) Thay thế k=τ k trong (4.4) và sử dụng (4.5), ta được hx τ k − x ∗ , w τ k i ≤0.
Mặt khác, theo giả thiết hàm g(x, ) là hàm lồi và song hàmg có tính chất ρ-đơn điệu mạnh thỏa mãn điều kiện cân bằng g(x, x) = 0, với mọi x ∈ C, ta có
Khi đó, với mọi w ∗ ∈ ∂ 2 g(x ∗ , x ∗ ), sử dụng giả thiết g(x, x) = 0 với mọi x ∈ C, ta có ρkx τ k − x ∗ k 2 ≤ − g(x ∗ , x τ k )
≤kw ∗ kkx τ k − x ∗ k. Điều này chỉ ra rằng, dãy {x τ k } bị chặn và do đó dãy {a τ k } được xác định bởi a τ k = kx τ k − x ∗ k 2 −5 τ k −1
P k=0 λ 2 τ k cũng bị chặn Kết hợp với (4.5) suy ra dãy {a k } bị chặn Do đó, dãy {x k } bị chặn.
Bước 2 Với mỗi x ∗ ∈ S(F, C) và dãy {z k } bị chặn trong C thỏa mãn k→∞limhF(z k ), z k − x ∗ i= 0, (4.6)
Ta chứng minh bất kỳ điểm tụ yếu nào của dãy {z k } đều thuộc S(F, C).
Giả sử tồn tại dãy {z k j } ⊂ {z k } thỏa mãn z k j * zˆ∈ H, với C là tập lồi và đóng, từ đó suy ra ˆz ∈ C Áp dụng Bổ đề 4.3 cho q = x ∗, φ(x) = hF(x), x − x ∗ i và Giả thiết (D 2), ta có φ là hàm nửa liên tục dưới yếu trên C Do đó, hF(ˆz), zˆ− x ∗ i = φ(z) ≤ lim inf j→∞ φ(z k j ) = lim inf j→∞ hF(z k j ), z k j − x ∗ i Với giả thiết ánh xạ F đơn điệu và x ∗ ∈ S(F, C), ta có thể rút ra những kết luận quan trọng về tính chất của hàm φ trong không gian C.
Theo (4.6), ta có lim inf j→∞ hF(z k j ), z k j − x ∗ i= 0. Kết hợp với (4.7) và (4.8), ta được hF(ˆz),ˆz − x ∗ i= 0 Mặt khác, theo giả thiết F là para-đơn điệu và x ∗ ∈ S(F, C), nên ta suy ra zˆ∈ S(F, C).
Bước 3 Chứng minh với mọi x ∗ ∈ S(F, C), tồn tại γ >0 thỏa mãn hF(x k+1 ), x k+1 − x ∗ i − hF(x k ), x k − x ∗ i ≤ γλ k Thật vậy, theo Bổ đề 4.4 và tính liên tục Lipschitz của ánh xạ F, ta có hF(x k+1 ), x k+1 − x ∗ i − hF(x k ), x k − x ∗ i
Bước 4 Chứng minh dãy x k hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất x ∗ của bài toán EVIP(g, F, C).
Theo Bước 1, dãy {x k } đã được chứng minh là bị chặn Nhờ tính liên tục Lipschitz của ánh xạ F trên C, dãy {F(x k )} cũng bị chặn, dẫn đến việc dãy {w k } bị chặn theo giả thiết (D 1) Khi đó, với d k = F(x k ) + α k w k và η k = max{à, kd k k}, dãy {η k } cũng bị chặn, tồn tại hằng số δ > 0 sao cho à ≤ η k ≤ δ, ∀k ≥ 0 Cuối cùng, đặt b j = kx j − x ∗ k 2 + j−1.
X i=0 λ 2 i Theo (4.3) trong Bổ đề 4.4, ta có thể viết lại dạng tương đương như sau kx k+1 − x ∗ k 2 + k
Kéo theo, b k+1 ≤ b k − λ k η k hF(x k ), x k − x ∗ i −2α k λ k η k hx k − x ∗ , w k i (4.10) Xét hai trường hợp như sau:
Trường hợp 1 Giả sử tồn tại k 0 sao cho dãy {b k } là dãy không tăng, tức là b k+1 ≤ b k với mọi k ≥ k 0, ta xét kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 − λ k hF(x k ), x k − x ∗ i η k + 5λ 2 k
Vì F là đơn điệu và x ∗ ∈ Sol(f, C) nên hF(x k ), x k − x ∗ i ≥ hF(x ∗ ), x k − x ∗ i ≥0 Do đó, kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 + 5λ 2 k (4.11) Theo Bổ đề 4.1 và giả thiết
P k=0 λ 2 k < ∞, tồn tại giới hạn tồn tại lim k→∞ kx k − x ∗ k và
Sử dụng (4.9) và (4.12), ta có
Từ Bổ đề 1.3 và các giả thiết
P k=0 λ k =∞, ta có k→∞limhF(x k ), x k − x ∗ i= 0. Hơn nữa, bất kỳ điểm tụ yếu nào của dãy {x k } đều thuộc S(F, C) Bổ đề 4.4 chỉ ra rằng λ k α k η k hx k − x ∗ , w k i ≤ 1
Vì dãy {x k } bị chặn và
Hơn nữa, từ (4.9) và giả thiết P∞ k=0 λ k α k = ∞, dễ dàng thấy P∞ k=0 λ k α k η k = ∞. Kết hợp điều này với (4.13), ta được lim inf k→∞ hx k − x ∗ , w k i ≤0 (4.14)
Do song hàm g là ρ-đơn điệu mạnh và w k ∈ ∂ 2 g(x k , x k ), nên ta có ρkx k − x ∗ k 2 ≤ − g(x k , x ∗ )− g(x ∗ , x k )
Vậy ρlim inf k→∞ kx k − x ∗ k 2 ≤lim inf k→∞ hw k , x k − x ∗ i −lim inf k→∞ g(x ∗ , x k ).
Từ điều này và (4.14), ta được lim inf k→∞ kx k − x ∗ k 2 ≤ −1 ρlim inf k→∞ g(x ∗ , x k ) (4.16)
Vỡ dóy {x k } bị chặn và do tính liên tục yếu của hàm g(x ∗ , ã), tồn tại dóy con {x k j } ⊂ {x k } hội tụ yếu đến điểm x¯ trong H thỏa mãn lim inf k→∞ g(x ∗ , x k ) = lim inf j→∞ g(x ∗ , x k j ) = g(x ∗ , x¯) Ở đây, x ∗ là nghiệm duy nhất của bài toán EVIP(g, F, C), do đó suy ra x¯ ∈ S(F, C) và g(x ∗ , x¯) ≥ 0 Kết hợp hai kết quả trên, ta có lim inf k→∞ kx k − x ∗ k 2 = 0.
Vậy tồn tại lim k→∞ kx k − x ∗ k và do đó lim k→∞ kx k − x ∗ k 2 = 0.
Trong trường hợp không tồn tại k 0 sao cho dãy {b k } (k ≥ k 0) là dãy không tăng, sẽ có một dãy con {b k j } ⊂ {b k } thỏa mãn b k j < b k j +1 cho mọi j ≥ 0 Do đó, tồn tại một dãy chỉ số {τ k } theo Bổ đề 4.2 với b τ k < b τ k +1 và b k < b τ k +1 Chúng ta ký hiệu W(x τ k ) là tập điểm tụ yếu của dãy {x τ k }, và có W(x τ k ) ⊂ S(F, C) Hơn nữa, vì song hàm g là ρ-đơn điệu mạnh, từ (4.10) và w τ k ∈ ∂ 2 g(x τ k , x τ k ), ta có hF(x τ k ), x τ k − x ∗ i ≤ −2α τ k hx τ k − x ∗ , w τ k i.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình ≤ −2α τ k ρkx τ k − x ∗ k 2 −2α τ k hw ∗ , x τ k − x ∗ i, với w ∗ ∈ ∂ 2 g(x ∗ , x ∗ ) Điều này dẫn đến bất đẳng thức hF(x τ k ), x τ k − x ∗ i ≤ −2α τ k [ρkx τ k − x ∗ k 2 +hw ∗ , x τ k − x ∗ i] Kết hợp với điều kiện hF(x τ k ), x τ k − x ∗ i ≥0 và tính chất bị chặn của dãy {x k }, ta có giới hạn k→∞limhF(x τ k ), x τ k − x ∗ i= 0 Hơn nữa, từ bất đẳng thức hF(x τ k ), x τ k − x ∗ i ≥0 và (4.18), ta suy ra hw τ k , x τ k − x ∗ i ≤0.
Từ (4.15), suy ra g(x ∗ , x τ k )≤ −ρkx τ k − x ∗ k 2 Chuyển qua giới hạn trên khi k → ∞ lim sup k→∞ kx τ k − x ∗ k 2 ≤ −1 ρlim sup k→∞ g(x ∗ , x τ k ) = −1 ρ g(x ∗ ,¯z)≤0,
Và do đó k→∞lim kx τ k − x ∗ k 2 = 0.
Sử dụng bất đẳng thức b k < b τ k +1 , với mọi k ≥ k 0 , kx k − x ∗ k 2 + k−1
Theo cách xác định τ k và hF(x j ), x j − x ∗ i ≥0, ta được τ k ≤ k và do đó kx k − x ∗ k 2 ≤ kx τ k +1 − x ∗ k 2 + k
Kết hợp điều này với điều kiện (4.2), suy ra các khẳng định sau đúng:
• lim k→∞ Pk j=τ k λ j hF (x j ),x j −x ∗ i η j = 0, vì Pk j=τ k hF(x j ), x j − x ∗ i → 0, λ k → 0 và dãy η k bị chặn;
Vậy, lim k→∞ kx k − x ∗ k = 0 và dãy {x k } hội tụ mạnh đến x ∗ là nghiệm duy nhất của bài toán EVIP(g, F, C).
Một thuật toán kiểu chiếu giải bài toán cân bằng 81
Thuật toán
Trong những năm gần đây, bài toán cân bằng đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học, đặc biệt trong việc nghiên cứu lý thuyết về sự tồn tại nghiệm và phát triển các thuật toán Các thuật toán như thuật toán xấp xỉ, thuật toán điểm gần kề, và thuật toán ergodic đã được nghiên cứu rộng rãi và cho kết quả hiệu quả, nhất là khi hàm f có tính chất đơn điệu và không liên tục kiểu Lipschitz Trong số đó, thuật toán chiếu nổi bật với vai trò quan trọng nhờ tính đơn giản và thuận tiện khi thực hiện trên máy tính Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc trình bày Thuật toán chiếu cơ bản để giải bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C).
Bước lặp thứ k(k = 0,1,2, ) bao gồm các bước sau:
Bước 2 Nếu x k+1 =x k thì dừng, và kết luận x k là nghiệm.
Ngược lại, thay k bởi k+ 1 và chuyển về Bước 1.
Nếu toán tử F là β-đơn điệu mạnh và liên tục L-Lipschitz trên C, thì dãy {x k } được sinh ra bởi Thuật toán chiếu cơ bản sẽ hoặc dừng lại sau một số bước lặp hữu hạn tại nghiệm duy nhất của bài toán VI(F, C), hoặc hội tụ tới nghiệm của bài toán này.
Xuất phát từ mối quan hệ giữa bài toán cân bằng EP(f, C) và bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C), G Mastroeni đã giới thiệu phương pháp chiếu cải biên bằng cách thay thế f(x, y) = hF(x), y − xi, với hàm giá F : C → R n Tại mỗi bước lặp k, dãy lặp {x k+1} được xác định theo công thức x k+1 = argmin λf(x k, x) + 1.
Trong bài viết này, chúng tôi đã chứng minh rằng dãy {x k } hội tụ đến nghiệm duy nhất của bài toán cân bằng EP(f, C) với λ >0 Tuy nhiên, phương pháp này gặp hạn chế khi yêu cầu giải một bài toán lồi mạnh, với điều kiện song hàm f đơn điệu mạnh và thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong R n, điều này khó kiểm tra Để khắc phục điều này, các tác giả trong bài báo [68] đã phát triển một thuật toán dựa trên ý tưởng của thuật toán đạo hàm tăng cường, sử dụng hai phép chiếu để giải bài toán cân bằng EP(f, C) và chứng minh sự hội tụ của các dãy lặp trong những điều kiện thích hợp Thuật toán này xây dựng hai dãy {x k } và {y k } nhằm đạt được mục tiêu trên.
Thuật toán yêu cầu biết hằng số Lipschitz của song hàm f, nhưng trong nhiều trường hợp, việc xác định hằng số này gặp khó khăn hoặc song hàm f không đáp ứng điều kiện Lipschitz, dẫn đến việc không thể áp dụng thuật toán trực tiếp Để khắc phục điều này, nghiên cứu [68] đã đề xuất một thuật toán tìm kiếm theo tia, cho phép đạt được kết quả hội tụ chỉ với điều kiện song hàm f là đơn điệu.
Chúng tôi đề xuất một thuật toán mới để giải bài toán cân bằng EP(f, C) trong không gian Euclide R n, dựa trên việc tận dụng và kế thừa các nghiên cứu trước đây về phương pháp giải bài toán cân bằng Thuật toán này sử dụng tính chất para-đơn điệu của song hàm f, bỏ qua tính liên tục theo điều kiện Lipschitz và loại bỏ một phép chiếu Chúng tôi giới thiệu cách xấp xỉ phép chiếu thông qua việc mở rộng các thuật toán chiếu, thuật toán dưới đạo hàm và thuật toán chiếu phản xạ tách.
Ta giả sử các dãy số dương {λ k }, { k } và {β k } thỏa mãn
(E 3) λ= inf{λ k : k = 0,1, } >0,¯ λ = sup{λ k : k= 0,1, } < ∞. và song hàm f : R n × R n → R, thỏa mãn các điều kiện:
(E 5 ) với mỗi x ∈ C, f(x, ã) là hàm lồi, nửa liờn tục dưới và f(ã, x) liờn tục trờn C; (E 6 ) f là para-đơn điệu chặt đối với Sol(f, C);
(E 7) nếu dãy {x k } bị chặn và k & 0 khi k → ∞, thì dãy {w k } bị chặn với w k ∈ ∂ 2 k f(x k , x k );
(E 8 ) f tựa liên tục đối với Sol(f, C), tức là với mỗi x ∗ ∈ Sol(f, C) với mọi x ∈
R n , y ∈ C, θ > 0, tồn tại hàm h:R n+2 → R thỏa mãn kx − yk ≤ θβ k ⇒ |f(x, x ∗ )− f(y, x ∗ )| ≤ h(x ∗ , θ, β k ) và
X k=0 β k h(x ∗ , θ, β k )< ∞, với {β k } được xác định bởi (A 1 ).
Thuật toán được mô tả chi tiết theo các vòng lặp như sau.
Thuật toán 5.1 Vòng lặp ngoài
Lấy k= 0, x 0 ∈R n , θ > 0, các dãy số dương {λ k }, { k }, {β k } thỏa mãn (E 1)−(E 3). Bước lặp thứ k,(k = 0,1,2, ) Có x k , thực hiện các bước sau:
Trường hợp ngược lại, chạy Vòng lặp trong (x k , θ, β k ).
W¯ j ={x ∈R n :hx − y j , y 0 − y j i ≤0}; y j+1 =P r C ¯ j ∩ W ¯ j(x k ), j :=j+ 1; dừng z k =y j , δ k =δ j−1 Bước 2 Tính dưới đạo hàm của hàm lồi w k ∈ ∂ 2 k f(z k , z k );
Bước 3 Tính γ k = max{λ k , kw k k}, α k = β γ k k, và x k+1
z k − α k w k nếu hg k , z k − α k w k − z k i+δ k ≤0 z k − α k w k − hg k ,z k −α kg k w k k k 2 −z k i+δ k g k trường hợp ngược lại;
Nếu x k+1 = x k, thuật toán sẽ dừng lại và x k sẽ là nghiệm của bài toán EP(f, C) Nếu không, quay lại Bước 1 với k được thay bằng k+1 Ở đây, C là tập hợp các x thuộc R n sao cho g(x) ≤ 0, với g là hàm lồi, liên tục và khả vi Hệ các ràng buộc bao gồm các bất đẳng thức g j (x) ≤ 0 (j ∈ J) được thay thế bằng g(x) = max{g j (x) : j ∈ J}.
Trong Thuật toán 5.1, tại Vòng lặp ngoài, chúng tôi xem xét hai trường hợp Nếu g(x_k) ≤ 0, thì z_k = x_k, và chỉ cần tính các dưới đạo hàm của hàm lồi khả dưới vi phân Dãy lặp {x_{k+1}} được xác định thông qua dãy {z_k} và các dưới đạo hàm Ngược lại, trong trường hợp g_k > 0, chúng tôi thực hiện Vòng lặp trong với y_0 = x_k, thay thế phép chiếu lên tập C bằng cách chiếu vào giao của hai nửa không gian, từ đó xây dựng dãy y_j = x_k và y_{j+1} = z_k, x_{k+1}.
Thuật toán 5.1 sử dụng hình chiếu {y k+1} của x k vào giao của hai nửa không gian C ¯ j ∩ W ¯ j, cho phép chúng tôi xây dựng một phương pháp chiếu để giải bài toán cân bằng EP(f, C) mà không cần phải giải bài toán lồi mạnh, như yêu cầu của các thuật toán đạo hàm tăng cường và các phương pháp khác.
Định lý hội tụ
Để chứng minh sự hội tụ của Thuật toán 5.1, ta nhắc lại một số bổ đề kỹ thuật sau.
Bổ đề 5.1 ([23], Proposition 2.7) Cho g : R n → R là hàm lồi Lấy y, z, w ∈ R n và 06=v ∈ ∂g(z), ta định nghĩa
W z,w ={x ∈R n :hx − z, w − zi ≤0} và C z ={x ∈R n : g(z) +hv, x − zi ≤0}.
P r C z ∩W z,w (w) =w+ max{0, λ 1 }v +λ 2(w − z), với λ 1 và λ 2 là nghiệm của hệ tuyến tính:
λ 1 kvk 2 +λ 2 hv, w − zi=−hv, w − zi − g(z) λ 1 hv, w − zi+λ 2 kw − zk 2 =−kw − zk 2 và
Bổ đề 5.2 khẳng định rằng, cho S là một tập con không rỗng của không gian Hilbert H và x thuộc S, nếu dãy {x k } trong H hội tụ tựa Fejér tới S, thì tồn tại giới hạn lim k→∞ kx k − xk Thêm vào đó, nếu tất cả các điểm tụ yếu của dãy {x k } đều thuộc S, thì dãy {x k } sẽ hội tụ yếu.
Bổ đề 5.3 Cho C ¯ j , W ¯ j và C k là các tập con được xác định bởi Thuật toán 5.1 với mọi j, k ≥0 Khi đó, ta có các khẳng định sau đây:
(ii) Vòng lặp trong (x k , θ, β k ) được xác định.
Chứng minh (i)Sử dụng Tính chất 3.1(a) trong [23], vớiC =R n , f (x) = max{0, g(x)} tức là f ∗ = 0 và S ∗ = {x ∈ R n : f(x) = f ∗ } = {x ∈ R n : g(x) ≤ 0} 6= ∅, ta có
C ⊆ C ¯ j ∩ W ¯ j với mọi j ≥ 0, điều này cho thấy nếu g(x k ) > 0 thì vòng lặp trong (x k , θ, β k ) sẽ chạy, dẫn đến C ⊆ C k Ngược lại, nếu g(x k ) ≤ 0, theo vòng lặp ngoài, ta có z k = x k và hg k , x − z k i ≤ g + (x) − g + (z k ) = g + (x) với mọi x ∈ R n Khi đó, đối với mỗi x ∈ C, nếu g(x) ≤ 0 thì g + (x) = 0 và hg k , x − z k i ≤ 0, từ đó suy ra C ⊆ C k cho mọi k ≥ 0.
Theo Bổ đề 5.1 và chứng minh phần (i), ta có ∅ 6= C ⊆ C ¯ j ∩ W ¯ j, từ đó xác định được điểm chiếu y j+1 Áp dụng Định lý 2 trong [22] với C = R n, x 0 = x k và f(x) = max{0, g(x)}, ta thấy dãy {y j} hội tụ đến P r C (x k) khi j → ∞ Như vậy, với θβ k > 0, sau một số bước hữu hạn, Vòng lặp trong (x k, θ, β k) sẽ dừng lại.
Bổ đề 5.4 khẳng định rằng cho dãy {x k} và {z k} được xác định bởi Thuật toán 5.1, với mỗi x ∗ thuộc Sol(f, C), ta có kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kz k − x ∗ k 2 + 2α k f(z k, x ∗) + 2α k k + β k 2 Hơn nữa, nếu dãy {k} và {β k} thỏa mãn các điều kiện (E 1)−(E 2) và hàm f đáp ứng giả thiết (E 6), thì dãy {x k} sẽ hội tụ tựa-Fejér đến Sol(f, C).
Chứng minh Sử dụng Bổ đề 5.3(i) và tính không giãn của phép chiếu P r C , với mỗi x ∗ ∈ Sol(f, C), ta có Sol(f, C) subseteqC k và kx k+1 − x ∗ k 2 =kP r C k (z k − α k w k )− P r C k (x ∗ )k 2
=kz k − x ∗ k 2 −2α k hw k , z k − x ∗ i+β k 2 (5.2) Theo định nghĩa của k −dưới vi phân theo biến thứ hai ∂ 2 k f(z k , z k ), ta có f(z k , x)− f(z k , z k )≥ hw k , x − z k i − k ∀x ∈ C.
Với x = x ∗ ∈ C và f(z k , z k ) = 0, ta có f(z k , x ∗ ) ≥ hw k , x ∗ − z k i − k Kết hợp điều này với (5.2), ta nhận được kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kz k − x ∗ k 2 + 2α k f(z k , x ∗ ) + 2α k k + β k 2 Đặt z¯ k = P r C (z k ) Nếu g(z k ) ≤ 0 thì d(z k , C) = 0, ngược lại d(z k , C) = kz k − ¯z k k ≤ β k θ Từ giả thiết (E 4 ) của song hàm f, ta có f(z k , x ∗ ) ≤ f(¯z k , x ∗ ) + h(x ∗ , θ, β k ) Chú ý rằng, nếu z k ∈ C thì kz k − x ∗ k ≤ kx k − x ∗ k Ngược lại, kz k − x ∗ k ≤ kx k − x ∗ k Từ đây, kết hợp với (5.3) và (5.4), ta có kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 + 2α k [f(¯z k , x ∗ ) + h(x ∗ , θ, β k )] + 2α k k + β k 2.
Vì f là giả đơn điệu trên C × C, z¯ k ∈ C và x ∗ ∈ Sol(f, C) nên ta có f(x ∗ , z¯ k ) ≥0 và f(¯z k , x ∗ )≤0 Sử dụng các giả thiết (E 1)−(E 3), ta được kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 +η k , với η k = 2α k h(x ∗ , θ, β k ) + 2α k k +β k 2 >0 với mọi k ≥0 và
Do đó, dãy {x k } hội tụ tựa-Fejér đến Sol(f, C).
Kết quả hội tụ của Thuật toán 5.1 được thể hiện qua định lý hội tụ 5.1 Theo định lý này, khi các Giả thiết (E 4 )−(E 8 ) được thỏa mãn, cùng với các tham số θ và các dãy số {β k }, {λ k }, {k} đáp ứng các điều kiện (E 1 )−(E 3 ), thì các dãy {x k } và {z k } do Thuật toán 5.1 sinh ra sẽ hội tụ đến x ∗, là nghiệm của bài toán cân bằng EP(f, C).
Theo Bổ đề 5.4, ta có bất đẳng thức kz k − x ∗ k ≤ kx k − x ∗ k với mọi k ≥ 0 Kết hợp điều này với giả thiết (E 8 ) và c 2 = lim k→∞ kx k − x ∗ k 2 < +∞, ta suy ra rằng dãy {z k } bị chặn, từ đó dẫn đến dãy {w k } cũng bị chặn.
Từ điều này, kết hợp với (5.5), −f(¯z k , x ∗ )≥0 và giả thiết (E 1 )−(E 2 ), ta có
Từ bất đẳng thức này, sử dụng Giả thiết (E 1) và Bổ đề (1.3), ta có
Vì dãy { z¯ k } ⊂ C bị chặn nên tồn tại một dãy con {¯z k j } hội tụ đến x¯∈ C và thỏa mãn lim sup k→∞ f(¯z k , x ∗ ) = lim j→∞ f(¯z k j , x ∗ ).
Hơn nữa, vỡ song hàm f(ã, x ∗ ) nửa liờn tục trờn với mỗi x ∗ ∈ Sol(f, C), nờn f(¯x, x ∗ )≥lim sup k→∞ f(¯z k , x ∗ )
Giả sử hàm f là giả đơn điệu trên C × C với điều kiện f(x ∗ ,¯x) ≥ 0, ta có f(¯x, x ∗ ) ≤ 0 và do đó f(¯x, x ∗ ) = 0 Theo giả thiết, hàm f thỏa mãn tính tiền đơn điệu chặt, do đó có thể khẳng định rằng ¯x ∈ Sol(f, C) và lim k→∞ kx k − xk¯ = lim j→∞ kx k j −¯xk = 0 Kết quả là lim k→∞ kz k − xk¯ = 0, cho thấy dãy {x k } và {z k } cùng hội tụ đến điểm ¯x ∈ Sol(f, C).
Một số tính toán
Một ứng dụng khá quan trọng của bài toán cân bằng EP(f, C) là mô hình cân bằng kinh tế độc quyền Nash-Cournot trong không gian Euclide R n , ở đây
• n là số công ty tham gia sản xuất một loại hàng hóa;
• x i là số lượng hàng hóa do công ty thứ i sản xuất và x= (x 1 , , x n );
• C i là tập chiến lược của công ty thứ i Đặt C =C 1 × × C n;
• f(x, y) =φ(x, y)− φ(x, x), ∀x, y ∈ C, với x[y i ] là ký hiệu của véc tơ thu được từ x = (x 1 , x 2 , , x i , x i+1 , , x n) bằng cách thay thế x i bởi y i và φ(x, y) −f 1 (x[y 1 ])− − f n (x[y n ]).
Khi đó, điểm x ∗ ∈ C là điểm cân bằng Nash nếu f j (x ∗ )≥ f j (x ∗ [x j ]), ∀x j ∈ C j , j = 1, ã ã ã , n.
Như vậy, bài toán tìm điểm cân bằng Nash tương đương với việc giải bài toán cân bằng EP(f, C).
Trong Thuật toán 5.1, việc xác định dãy lặp {x k } gặp khó khăn do yêu cầu chọn tham số β k (với mọi k ≥0) phù hợp với điều kiện (E 8) và (E 1) Để minh họa, chúng tôi sẽ trình bày một số ví dụ ứng dụng của Thuật toán 5.1, nhằm chỉ ra điều kiện tựa liên tục của song hàm f và tính khả thi trong việc lựa chọn tham số β k.
Ví dụ 5.1 trình bày ánh xạ F từ R^n đến R^n và hàm lồi ϕ từ R^n đến R ∪ { +∞} với tính khả dưới vi phân Bài toán bất đẳng thức biến phân suy rộng trong R^n, ký hiệu là VI(C, F, ϕ), nhằm tìm x ∗ thuộc C sao cho điều kiện hF(x ∗ ), x − x ∗ i + ϕ(x) − ϕ(x ∗ ) ≥ 0 được thỏa mãn với mọi x thuộc C.
Ký hiệu S(C, F, ϕ) là tập nghiệm của bài toán VI(C, F, ϕ) Nếu ta đặt f(x, y) =hF(x), y − xi+ϕ(y)− ϕ(x), ∀x, y ∈ C thì
Ta giả sử ánh xạ giá F và ϕ thỏa mãn các điều kiện sau:
(E 10) F(x) là nửa liên tục trên trên C;
(E 11 ) F là tựa liên tục đối với S(C, F, ϕ), tức là với mỗi x ∗ ∈ S(C, F, ϕ) với mọi x, y ∈R n , θ > 0, kx − yk ≤ θβ k ⇒ |hF(x), x ∗ − xi − ϕ(x)− hF(y), x ∗ − yi+ϕ(y)| ≤ h(x ∗ , θ, β k ), với P∞ k=0 β k h(x ∗ , θ, β k ) < ∞ và {β k } được xác định bởi (E 1 );
(E 12 ) F là para-đơn điệu chặt đối với S(C, F, ϕ).
Khi đó, Thuật toán 5.1 có thể được viết lại dưới dạng sau.
Thuật toán 5.2 Vòng lặp ngoài
Lấy k = 0, x 0 ∈R n , θ > 0, các dãy số dương β k , λ k , k thỏa mãn (A 1 )−(A 3 ).Bước lặp thứ k,(k = 0,1,2, ) Có x k , thực hiện các bước sau:
Bước 1 Nếu g(x k )≤0 thì z k =x k ;g + (x) = max{0, g(x)};g k ∈ ∂g + (z k ); δ k = 0;C k ={x ∈R n :hg k , x − z k i+δ k ≤0} Trường hợp khác, chạy Vòng lặp trong (x k , θ, β k ).
Vòng lặp trong (x k , θ, β k ) y 0 =x k , j = 0; khi d(y j , C) > θβ k g j ∈ ∂g(y j );δ j =g(y j ); ¯C j ={x ∈R n :hg j , x − y j i+δ j ≤0};
Bước 3.Tính γ k = max{λ k , kF(z k ) +u k k};α k = β γ k k, và x k+1 =P r C k (z k − α k F(z k )). Nếu x k+1 =x k , thì dừng thuật toán, x k là nghiệm của bài toán VI(C, F, ϕ). Ngược lại, quay lại Bước 1 với k được thay bởi k+ 1.
Thuật toán 5.2 được trình bày trong định lý 5.2, trong đó giả sử các giả thiết (E 9)−(E 12) được thỏa mãn và các tham số θ cùng với dãy số {β k }, {λ k }, { k } đáp ứng các ràng buộc (E 1 )−(E 3) Kết quả là, dãy {x k } và {z k } được sinh ra từ Thuật toán 5.2 sẽ hội tụ về điểm x ∗ thuộc tập S(C, F, ϕ).
Ví dụ 5.2 Xét mô hình cân bằng Nash-Cournot EP(f, C) trong không gian R n
Tập chiến lược C là một tập con lồi và đóng của R n, không rỗng, với hàm song f được định nghĩa bởi công thức f(x, y) = hP x + Qy + q, y − xi cho mọi x, y thuộc C Trong đó, Q là ma trận đối xứng cấp n, nửa xác định dương, và P là ma trận đối xứng thuộc R n×n thỏa mãn điều kiện Q − P là nửa xác định âm, cùng với q thuộc R n.
Khi ma trận Q là đối xứng và nửa xác định dương, hàm f(x, ã) sẽ là hàm lồi và khả vi trên C tại mỗi điểm cố định x ∈ C Đồng thời, f cũng là hàm para-đơn điệu chặt trên C.
C bị chặn trên R n thì điều kiện (E 8 ) của song hàm f thỏa mãn Thật vậy, với mỗi x ∗ ∈ Sol(f, C), kx − yk ≤ θβ k , x ∈R n và y ∈ C, ta có
|f(x, x ∗ )− f(y, x ∗ )|=|hP x+Qx ∗ +q, x ∗ − xi+hP y+Qx ∗ +q, x ∗ − yi|
=|hQx ∗ +q, y − xi+hx ∗ , P(x − y)i+hP y, yi − hP x, xi|
≤kQx ∗ +qkky − xk+kx ∗ kkP kkx − yk+|hP y, yi − hP x, xi|
=kQx ∗ +qkky − xk+kx ∗ kkP kkx − yk+|hP(x+y), x − yi|
≤kQx ∗ +qkky − xk+kx ∗ kkP kkx − yk+kP k(kxk+kyk)kx − yk
≤kQx ∗ +qkky − xk+kx ∗ kkP kkx − yk+kP k(2kyk+θβ k )kx − yk
Để đảm bảo rằng M = θ(kQx ∗ +qk+kx ∗ kkP k+kP ksup{2kyk+θβ k : y ∈ C, k = 0,1, }) < ∞, chúng ta chọn h(x ∗ , θ, β k ) = M β k Giả thiết (B 5) được thỏa mãn trên ràng buộc (A 1) và ∂ 2 k f(z k , z k ) = {(P +Q)z k +q} Để minh họa cho tính toán của Thuật toán 5.1, chúng ta chọn n = 3 và xác định ma trận Q như sau.
Q=AA T +B+D, ở đây ma trận A là ma trận cỡ 3×3, ma trận B là ma trận phản đối xứng cấp
Trong bài viết này, chúng ta xem xét ma trận Q với các giá trị được chọn ngẫu nhiên trong khoảng (−3,3) và các phần tử chéo của ma trận D được chọn ngẫu nhiên trong khoảng (0,1) Đặt P = 2Q, ta có Q là ma trận xác định dương và Q − P là ma trận nửa xác định âm Tập ràng buộc C được xác định bởi những điều kiện này.
Khi đó, g(x) = max{−1− x 1 , −x 2 ,1− x 3 , x 2 1 + 2x 2 2 +x 2 3 −8} và x ∈ D khi và chỉ khi g(x)≤0 Dữ liệu ban đầu được cho như sau:
• Sai số -nghiệm, nếu kx k+1 − z k k ≤ ;
• Các tham số λ k =λ= 321, β k = 2k+1 1 , θ= 1, k = 0 với mọi k ≥0;
Ta được bảng kết quả sau của Thuật toán 5.1
Test Prob Iter (k) CPU times/s Test Prob Iter (k) CPU times/s
Bảng 5.1 trình bày kết quả của Thuật toán 5.1 với các sai số và điểm xuất phát khác nhau Bằng cách lựa chọn các tham số chính quy α_k và λ_k khác nhau, với điểm xuất phát x_0 = (0,1,2) và sai số là 10^(-3), chúng ta thu được các bước lặp tương ứng.
Test Prob λ k β k No Iter (k) CPU-times/s
Bảng 5.2 trình bày các tham số khác nhau của Thuật toán 5.1, cho phép so sánh với các thuật toán khác Chúng tôi đã thu thập kết quả tính toán từ thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ (ký hiệu IP SA) và thuật toán đạo hàm tăng cường (ký hiệu EA) Trong quá trình thử nghiệm, ba thuật toán được so sánh chủ yếu dựa trên số bước lặp và thời gian tính toán của CPU Thông tin chi tiết về các số liệu này được cung cấp trong Bảng 5.3, kèm theo các thông số và dữ liệu ban đầu của các thuật toán được lựa chọn.
- Thuật toán 5.1: λ k = 500 + 2k+1 1 , β k = 4k+1 3 với mọik ≥0, sai số là -nghiệm nếu kx k+1 − z k k ≤ ;
- Thuật toán IP SA: β k = k+1 1 , ρ k = 1, k = 0, ξ k = 0 với mọi k ≥ 0, sai số là -nghiệm nếu kx k+1 − x k k ≤ ;
1, sai số là -nghiệm nếu ky k − x k k ≤ , G(x) = 1 2 kxk 2 với mọi x ∈ C.
Test Prob No Iter (k) CPU-times/s
Thuật toán 5.1 IP SA EA Thuật toán 5.1 IP SA EA
Bảng 5.3: So sánh kết quả của Thuật toán 5.1 với hai thuật toán IP SA, EA với điểm bắt đầu x 0 = (0,1,2) và sai số = 10 −3
Từ các kết quả tính toán sơ bộ được trình bày trong các bảng, chúng tôi nhận thấy rằng:
Tốc độ hội tụ của các thuật toán giải bài toán cân bằng, như thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ, thuật toán đạo hàm tăng cường, thuật toán điểm gần kề và thuật toán hàm khoảng cách, phụ thuộc vào điểm khởi đầu x0.
(b) Tốc độ hội tụ của thuật toán phụ thuộc vào sự lựa chọn các tham số λ k và β k
Thuật toán kiểu chiếu giải bài toán cân bằng EP(f, C) với song hàm f thỏa mãn tính chất para-đơn điệu và tập C được xác định bởi hệ ràng buộc gồm các bất đẳng thức của hàm lồi, liên tục, không nhất thiết phải khả vi trong không gian Euclide R n Thuật toán bao gồm hai vòng lặp: Vòng lặp ngoài và Vòng lặp trong Trong Vòng lặp ngoài, nếu g(x k ) ≤ 0, thuật toán sử dụng dưới đạo hàm để tính các dưới đạo hàm xấp xỉ của hàm lồi khả dưới vi phân và xác định dãy lặp {x k } Ngược lại, trong Vòng lặp trong, dãy lặp {y k+1 } được xác định là hình chiếu của {x k } vào giao của hai nửa không gian C ¯ j và W ¯ j chứa tập nghiệm Sự hội tụ của các dãy lặp đến nghiệm của bài toán được chứng minh với điều kiện phù hợp của song hàm f và các dãy tham số Chương này cũng giới thiệu ứng dụng giải bài toán bất đẳng thức biến phân suy rộng VI(C, F, ϕ) trong không gian R n thông qua Thuật toán 5.2, sử dụng ví dụ từ tài liệu tham khảo [58], và so sánh các tính toán với thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỉ IP SA và thuật toán đạo hàm tăng cường EA.
Trong luận án này, chúng tôi đã phát triển một số thuật toán để giải quyết bài toán hai cấp, liên quan đến bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng Các kết quả đạt được trong luận án này là rất đáng chú ý.
• Chứng minh được tính co, tính không giãn và tính giả co chặt của ánh xạ nghiệm dưới giả thiết đơn điệu của song hàm f.
Đề xuất thuật toán chiếu nhằm giải bài toán bất đẳng thức hai cấp BVI(F, G, C) trong không gian Hilbert thực H bằng cách kết hợp phương pháp chiếu đạo hàm với kỹ thuật điểm bất động.
Xây dựng thuật toán dưới đạo hàm nhằm giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng VIEP(F, f, C) thông qua việc kết hợp phương pháp chiếu dưới đạo hàm và kỹ thuật điểm bất động.
Đề xuất và chứng minh sự hội tụ của thuật toán chiếu dưới đạo hàm trong việc giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân EVIP(g, F, C) là một nghiên cứu quan trọng Nghiên cứu này không chỉ góp phần làm sáng tỏ các phương pháp giải quyết bài toán mà còn mở ra hướng đi mới cho các ứng dụng trong lĩnh vực tối ưu hóa và phân tích toán học.
• Nghiên cứu đề xuất thuật toán một phép chiếu để giải bài toán cân bằng trong không gian Euclide R n
2 Một số hướng nghiên cứu tiếp theo
Bên cạnh những kết quả đã đạt được trong luận án, một số vấn đề tồn tại cần được nghiên cứu mở rộng trong thời gian tới:
• Mở rộng các thuật toán trong luận án để nghiên cứu giải bài toán cân bằng hai cấp.
• Nghiên cứu sai số và đánh giá tốc độ hội của các thuật toán trong luận án.
• Triển khai ứng dụng các thuật toán đề xuất cho các mô hình thực tiễn và tính toán độ phức tạp của thuật toán.
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ
[CT1] T.T.H Anh, L.B Long, T.V Anh (2014), A projection method for bilevel variational inequalities, J Inequal Appl., 2014:205 (ISSN: 1029 - 242X, SCIE).