Phương pháp giải một vài lớp bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp tt

Từ mối liên hệ giữa hai bài toán này chính là cơ sởdẫn đến một số cách tiếp cận và nghiên cứu việc giải các bài toán dạng mở rộngcủa bài toán bất đẳng thức biến phân như bài toán cân bằn

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng h·, ·i và chuẩn

k · k Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H, và ánh xạ F : C → Hthường được gọi là ánh xạ giá (trong một vài trường hợp, F đi từ H tới H) Theo

E Blum và W Oettli [25], bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) trong H,viết tắt VI(F, C), được viết dưới dạng:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 với mọi x ∈ C

Bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) được giới thiệu lần đầu tiên vàonăm 1966 bởi G.J Hartman và G Stampacchia, khi nghiên cứu việc giải bài toánđiều khiển tối ưu và các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng [42].Năm 1971, M Sibony [74] đã xét bài toán bất đẳng thức biến phân trong trườnghợp ẩn khi tập ràng buộc C là tập nghiệm của phương trình toán tử đơn điệu.Cũng nghiên cứu về bài toán bất đẳng thức biến phân trong trường hợp này, I.Yamada [90] đã xét bài toán với tập C là tập điểm bất động của ánh xạ khônggiãn, đây là trường hợp riêng khi C là nghiệm của toán tử đơn điệu

Trong không gian Hilbert thực H với song hàm f : C × C → R ∪ {+∞},theo L.D Muu và W Oettli [64], bài toán cân bằng EP(f, C), đặt ra là tìm mộtđiểm x∗ ∈ C sao cho f (x∗, x) ≥ 0 với mọi x ∈ C Dễ thấy, trong trường hợp

f (x, y) = hF (x), y − xi với mọi x, y ∈ C, bài toán VI(F, C) được viết dưới dạngbài toán cân bằng EP(f, C) Từ mối liên hệ giữa hai bài toán này chính là cơ sởdẫn đến một số cách tiếp cận và nghiên cứu việc giải các bài toán dạng mở rộngcủa bài toán bất đẳng thức biến phân như bài toán cân bằng, bài toán bất đẳngthức biến phân hai cấp, bài toán cân bằng hai cấp, bài toán bất đẳng thức biếnphân trên tập nghiệm bài toán cân bằng và một số dạng khác.

Năm 1976, R Kluge [47] nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C)trong trường hợp miền ràng buộc C là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân khác, bài toán này được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp,một dạng mở rộng của bài toán bất đẳng thức biến phân, được viết dưới dạng:

Tìm x∗ ∈ S(F, C) sao cho hG(x∗), y − x∗i ≥ 0 với mọi y ∈ S(F, C),

ở đây S(F, C) là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VI(F, C) Hơnnữa, dạng mở rộng của bài toán hai cấp này là bài toán cân bằng hai cấp khi miềnràng buộc của bài toán cân bằng là tập nghiệm của một bài toán cân bằng khác.Bài toán cân bằng hai cấp BEP(g, f, C) được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ Sol(f, C) sao cho g(x∗, x) ≥ 0 với mọi x ∈ Sol(f, C),

ở đây Sol(f, C) là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(f, C)

Trong những năm gần đây, bài toán cân bằng hai cấp là một đề tài hấp dẫnđối với rất nhiều nhà toán học cả về nghiên cứu sự ttồn tại nghiệm và thuật toán.Một số kết quả khá sâu sắc và phong phú đã đạt được trong lĩnh vực nghiên cứu

về sự tồn tại nghiệm, tính chất liên thông và tính ổn định của tập nghiệm, tínhliên tục của ánh xạ nghiệm và các tính chất định tính khác của bài toán bất đẳngthức biến phân, bài toán hai cấp và các dạng bài toán suy rộng như nhóm tácgiả B.S Mordukhovich [61, 62], P Daniele [34], I.V Konov [48], P.Q Khanh [17,

18], N.D Yen [46, 94], L.D Muu [63, 64], P.K Anh [6, 7], N Buong [27, 28], N.N.Tam [80], Những đóng góp đáng kể về thuật toán cho một lớp các bài toán cânbằng hai cấp như thuật toán đạo hàm tăng cường giải bài toán bất đẳng thức biếnphân hai cấp đề xuất bởi P.N Anh, J.K Kim và L.D Muu [16], thuật toán hàmphạt của L.D Muu và B.V Dinh cho bài toán cân bằng hai cấp đơn điệu [36] vàmột số thuật toán khác [35, 45, 81].

Phương pháp đạo hàm tăng cường được G.M Kopelevich [50] đưa ra vào năm

1976 áp dụng giải bài toán tìm điểm yên ngựa sau đó được phát triển cho bài toánbất đẳng thức biến phân đã trở thành một công cụ hữu hiệu để phân tích và pháttriển mở rộng các thuật toán giải với khá nhiều dạng khác nhau Phương phápnày sử dụng hai phép chiếu trong mỗi bước lặp như sau:

và giảm giả thiết đơn điệu trên song hàm cân bằng.

Một tiếp cận cơ bản khác là phương pháp hiệu chỉnh kiểu Tikhonov được đềxuất bởi A Moudafi [60] Ý tưởng chính của phương pháp này là kết hợp giữaphương pháp hàm phạt và phương pháp điểm gần kề để đưa việc giải bài toán cânbằng hai cấp EP(g, Sol (f, C)) về việc giải một dãy các bài toán cân bằng đơnđiệu EP(h, C), trong đó với mỗi  > 0, song hàm cân bằng h được xác định bởi

h(x, y) = f (x, y) + g(x, y) với mọi x, y ∈ C Khi đó, thuật toán lặp được xâydựng khá đơn giản với dãy lặp {xk} xác định bởi:

x0 ∈ C, hk(xk+1, y) + 1

rk k+1 − xk, y − xk+1 ≥ 0, ∀y ∈ C

Bằng cách chọn các tham số dương k > 0, rk > 0 (với mọi k ∈ N) thỏa mãnlim infk→∞rk > 0 và P∞

k=0rkk < ∞, dãy lặp {xk} hội tụ yếu tới một nghiệm củabài toán cân bằng hai cấp BEP(f, g, C) với điều kiện các song hàm f và g thỏamãn tính chất đơn điệu trong không gian Hilbert thực H

Thời gian gần đây, trong hai cuốn sách "Continuous and Distributed Systems"[72] và "Cybernetics and System Analysis" [73], V Semenov nghiên cứu bài toánbất đẳng thức biến phân trong trường hợp tổng quát hơn khi C là tập nghiệmchung của một họ hữu hạn bài toán cân bằng đơn điệu Đây là một trường hợpđặc biệt của bài toán cân bằng hai cấp Vấn đề đặt ra là cần xây dựng các thuậttoán mới, mở rộng, cải tiến và thực thi hóa các phương pháp đã có để giải cácbài toán hai cấp này, đặc biệt là các bài toán với các song hàm và ánh xạ giá cómột số tính chất như giả đơn điệu, tựa đơn điệu, para-đơn điệu Vì vậy, trên cơ

sở kế thừa và phát huy các kết quả đã có trong và ngoài nước về các thuật toángiải một lớp các bài toán hai cấp, chúng tôi chọn đề tài: "Phương pháp giải mộtvài lớp bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân hai cấp" với hai mục tiêuchính là đề xuất thuật toán và nghiên cứu ứng dụng tính toán trên máy tính

2 Mục tiêu nghiên cứu

(i) Xây dựng thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

(ii) Nghiên cứu đề xuất thuật toán mới giải bài toán bất đẳng thức biến phântrên tập nghiệm của bài toán cân bằng

(iii) Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải bài toán cân bằng trên tập nghiệm củabài toán bất đẳng thức biến phân

(iv) Xây dựng thuật toán xấp xỉ một phép chiếu giải bài toán cân bằng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

(i) Xây dựng phương pháp ánh xạ nghiệm để giải bài toán cân bằng và chứngminh tính tựa không giãn và tựa co của ánh xạ nghiệm trong Rn

(ii) Đề xuất thuật toán tìm nghiệm của bài toán BVI(F, G, C)

(iii) Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải bài toán VIEP(F, f, C)

(iV) Đề xuất thuật toán giải bài toán EVIP(g, F, C)

(V) Nghiên cứu xây dựng thuật toán xấp xỉ một phép chiếu giải bài toán EP(f, C)

4 Phương pháp nghiên cứu

• Để tìm nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, chúng tôi sử dụngcác kỹ thuật chiếu và xấp xỉ gắn kết

• Để có được thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệmcủa bài toán cân bằng, chúng tôi dựa trên nền tảng của thuật toán đạo hàmtăng cường đã được đề xuất giải bài toán cân bằng

• Xây dựng và chứng minh sự hội tụ mạnh của thuật toán dưới đạo hàm giảibài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân,chúng tôi dựa trên các kỹ thuật dưới đạo hàm và điểm bất động.

• Để thu được sự hội tụ của phương pháp một phép chiếu giải bài toán cânbằng, chúng tôi mở rộng phương pháp chiếu siêu phẳng và các kỹ thuật laighép

5 Kết quả của luận án

Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:

• Đề xuất phương pháp ánh xạ nghiệm để giải bài toán cân bằng và chứng minhđược tính tựa không giãn và tựa co của ánh xạ nghiệm S(x)

• Xây dựng được thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân haicấp với giả thiết ánh xạ F đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz và G đơn điệumạnh ngược

• Đề xuất và chứng minh sự hội tụ của thuật toán dưới đạo hàm giải bài toánbất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng với giả thiếtsong hàm f giả đơn điệu, thỏa mãn điều kiện kiểu Lipschitz và ánh xạ F liêntục Lipschitz, đơn điệu mạnh

• Nghiên cứu thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tậpnghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân dưới giả thiết song hàm f đơn điệumạnh và ánh xạ F liên tục Lipschitz, para-đơn điệu và đóng yếu

• Xây dựng phương pháp xấp xỉ một phép chiếu giải bài toán cân bằng dướiđiều kiện của song hàm thỏa mãn điều kiện para-đơn điệu

• Đưa ra một số ví dụ minh họa cho các thuật toán mới được đề xuất.

Các kết quả chính của luận án được công bố trong 05 bài báo đã xuất bản trongcác tạp chí quốc tế có uy tín và được báo cáo tại:

• Hội nghị Toán học Miền Trung–Tây Nguyên lần thứ nhất (12-14/8/2015 tạiĐại học Quy Nhơn)

• Hội nghị lần thứ IV về Ứng dụng Toán học (23-25/12/2015, tại Đại học Kinh

tế quốc dân - Hà Nội)

• Hội thảo Việt Nam-Hàn Quốc (20-24/2/2017, Đại học Duy Tân, Đà Nẵng)

• Hội nghị quốc tế về ứng dụng toán học tại Việt Nam lần thứ II (VIAMC 2017)(15-18/12/2017, Đại học Sài Gòn, Thành phố Hồ Chí Minh)

• Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX (14-18/8/2018, Nha Trang)

6 Bố cục của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình khoa học của tác giả liênquan đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 5 chương:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấpChương 3 Thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài toán bất đẳng thức biếnphân trên tập nghiệm bài toán cân bằng

Chương 4 Thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bài toán cân bằng trên tậpnghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân

Chương 5 Một thuật toán kiểu chiếu giải bài toán cân bằng

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi, bài toán bấtđẳng thức biến phân, bài toán cân bằng, bài toán hai cấp và sự tồn tại nghiệmcủa bài toán được sử dụng trong các chương tiếp theo Các thuật toán thông dụnggiải bài toán hai cấp như thuật toán đạo hàm tăng cường, thuật toán điểm gần

kề, thuật toán chiếu dưới đạo hàm được trình bày một cách khá chi tiết trongphần cuối chương Những thuật toán này có liên quan đến các thuật toán mớitrong các chương sau Nội dung chương được viết dựa trên các tài liệu tham khảo[5, 20, 29, 82]

• Mục 1.1 trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản dùng cho các chươngsau

• Mục 1.2 trình bày baif toán cân bằng và các trường hợp riêng

• Mục 1.3 trình bày một số bài toán hai cấp

• Mục 1.4 trình bày một số thuật toán giải bài toán hai cấp

có dạng của bài toán cực tiểu hai cấp [76] như sau:

Gần đây, P.N Anh [16] đã đề xuất thuật toán đạo hàm tăng cường kết hợp

kỹ thuật điểm bất động của ánh xạ không giãn giải bài toán bất đẳng thức biếnphân hai cấp BVI(F, G, C) trong không gian Euclide Rn Thuật toán xây dựnghai vòng lặp Tại mỗi bước lặp k của vòng lặp ngoài, áp dụng thuật toán đạo hàmtăng cường thường được sử dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân, tính k -nghiệm của bài toán V I(G, C) với điều kiện hàm giá F là đơn điệu mạnh, liên tụcLipschitz và G là giả đơn điệu, liên tục Lipchitz trên C, cùng với các dãy tham

số được chọn một cách thích hợp Khi đó, dãy lặp {xk} và {zk} cùng hội tụ đếnđiểm x∗ là nghiệm của bài toán BVI(F, G, C) Tuy nhiên, ở mỗi bước lặp, ta chỉtìm được nghiệm xấp xỉ của bài toán bất đẳng thức biến phân

Trong chương này, chúng tôi xây dựng thuật toán chiếu giải bài toán BVI(F, G, C)với điều kiện ánh xạ giá F là đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz, ánh xạ giá Gđơn điệu mạnh ngược Nội dung của chương 2 được viết dựa trên bài báo [CT1]trong Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến Luận án

hàm giải bài toán bất đẳng thức biến phân VI(G, C) và tính dãy lặp xk+1 =

P rC(xk − λG(xk)) (k = 0, 1, · · · ) với λ > 0 và x0 ∈ C Thứ hai, sử dụng Nguyên

lý điểm bất động của ánh xạ co Banach tìm điểm bất động duy nhất của ánh xạ

co Tλ = I − λµF với I là ánh xạ đồng nhất, µ ∈ (0,2βL2) và λ ∈ (0, 1] Thuật toánđược trình bày chi tiết như sau

Thuật toán 2.1 Chọn x0 ∈ C, k = 0, dãy số dương {αk}, λ, µ thỏa mãn

1

α k+1 − α1

k

= 0,

(B1) G là ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với hệ số η trên H;

(B2) F là β− đơn điệu mạnh và L−liên tục Lipschitz trên C;

(B3) Tập nghiệm Ω của bài toán BVI(F, G, C) khác rỗng

Khi đó, dãy {xk} và {yk} xác định bởi Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh tới x∗ ∈ Ω.Xét trường hợp đặc biệt F (x) = x với mọi x ∈ H Dễ dàng nhận thấy rằng F

là ánh xạ L-liên tục Lipschitz với hệ số L = 1 và β-đơn điệu mạnh với hệ số β = 1

trên H Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BVI(F, G, C) có dạngbài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất trên tập nghiệm của bài toán bất đẳngthức biến phân.

Hệ quả 2.1 Cho C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực

H và G : H → H là ánh xạ đơn điệu mạnh ngược với hệ số η Dãy lặp {xk} đượcxác định bởi

1

αk+1 − α1

k

= 0,

Chương 3

Thuật toán dưới đạo hàm giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập

nghiệm của bài toán cân bằng

Xét trong không gian Hilbert thực H, cho song hàm f : C × C → R, ta xétbài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng, ký hiệu

là VIEP(F, f, C) như sau:

Tìm x∗ ∈ Sol(f, C) sao cho hF (x∗), y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ Sol(f, C) (3.1)

Ở đây Sol(f, C) là tập nghiệm bài toán cân bằng EP(f, C) sau:

Tìm y∗ ∈ C thỏa mãn f (y∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C (3.2)Trong những nghiên cứu gần đây, nhiều tác giả đã đưa ra các thuật toángiải bài toán VIEP(F, f, C) như thuật toán chiếu dưới đạo hàm, thuật toán đạohàm tăng cường P.E Maingé [52] đã giới thiệu thuật toán chiếu dưới đạo hàmgiải bài toán V IEP (F, f, C) trong trường hợp F (x) = x, với mọi x ∈ C dướidạng: Tìm x∗ ∈ Sol(f, C) : hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, với mọi x ∈ Sol(f, C), ở đây

x∗ = P rSol(f,C)(0), ánh xạ F : H → H đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz,song hàm f (x, y) = hG(x), y − xi + ϕ(y) − ϕ(x), với G : H → H đơn điệu và

ϕ : Rn → (−∞, +∞] là hàm nửa liên tục dưới và lồi Bằng cách chọn các tham sốphù hợp, tác giả đã chứng minh được sự hội tụ yếu của dãy lặp trong thuật toán.Xét T : C → C là ánh xạ không giãn và Fix(T ) là tập điểm bất động của ánh

xạ T , P.E Maingé và A Moudafi [55] giới thiệu thuật toán xấp xỉ gắn kết kết hợpvới thuật toán đạo hàm tăng cường giải bài toán V I(F, Sol(f, C) ∩ F ix(T )) Dướicác điều kiện của tham số, tác giả chứng minh được dãy {xk} hội tụ mạnh đếnnghiệm của bài toán V I(F, Sol(f, C) ∩ F ix(T ))

Trong chương này, chúng tôi xây dựng thuật toán chiếu dưới đạo hàm giải bàitoán VIEP(F, f, C) Nội dung chương 3 được viết dựa trên bài báo[CT3]

3.1 Thuật toán

Xuất phát từ ý tưởng của P.N Anh và P.T Vuong, chúng tôi xây dựng thuậttoán giải bài toán VIEP(F, f, C) dựa trên thuật toán chiếu-dưới đạo hàm và kỹthuật điểm bất động với giả thiết ánh xạ giá F là đơn điệu mạnh và liên tụcLipschitz, song hàm f thỏa mãn tính chất giả đơn điệu

Thuật toán 3.1 Chọn x0 ∈ C, k = 0, λ = inf{λk : k = 0, 1, } > 0, µ ∈



0, 2βL2

,{βk} ⊂ (0, 1],

Bước lặp thứ k, (k = 0, 1, 2, ) Có xk, thực hiện các bước sau:

Bước 1 Tính dưới đạo hàm của hàm lồi wk ∈ ∂k

Ngược lại, quay lại Bước 1 với k được thay bởi k + 1.

3.2 Định lý hội tụ

Sự hội tụ của Thuật toán 3.1 được trình bày thông qua định lý sau đây

Định lý 3.1 Cho H là một không gian Hilbert thực, C là tập con, lồi, đóng, khácrỗng trong H Ánh xạ F : C → H và song hàm f : C × C → R thỏa mãn các giảthiết

(C1) Với mỗi x ∈ C, f (x, ·) hàm lồi, nửa liên tục dưới trên C Nếu {xk} ⊂ C

bị chặn và k & 0 khi k → ∞ thì {wk} bị chặn, với wk ∈ ∂k

2 f (xk, xk);

(C2) f là giả đơn điệu trên C theo x∗ là nghiệm của bài toán VIEP(F, f, C) vàthỏa mãn điều kiện para-đơn điệu chặt;

(C3) Với mỗi x ∈ C, f (·, x) là nửa liên tục trên trên C;

(C4) Tập nghiệm Sol(f, C) của bài toán EP(f, C) khác rỗng;

(C5) F là L− liên tục Lipschitz và β− đơn điệu mạnh

Khi đó, các dãy {xk} và {yk} sinh bởi Thuật toán 3.1 hội tụ mạnh đến nghiệmduy nhất của bài toán VIEP(F, f, C)

Ta áp dụng Thuật toán 3.1 để giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấpBVI(F, G, C) trong trường hợp f (x, y) = hG(x), y − xi với mọi x, y ∈ C và

∂k

2 f (x, x) = {G(x)} ∀x ∈ C, k ≥ 0

Thuật toán 3.1 và sự hội tụ của nó dẫn đến kết quả sau

Thuật toán 3.2 Lấy x0 ∈ C, k = 0,µ ∈ 0, 2βL2

, βk ∈ (0, 1] ∀k,

Thuật toán đạo hàm giải toán bất đẳng thức biến phân tập

nghiệm tốn cân bằng< /h3>

Xét khơng gian Hilbert thực H, cho song hàm f : C × C → R, ta xétbài toán bất đẳng thức biến. .. data-page="12">

trên H Khi đó, tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp BVI(F, G, C) có dạngbài tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tập nghiệm toán bất đẳngthức biến phân.

Hệ 2.1 Cho C tập con, lồi,... {yk} sinh Thuật tốn 3.1 hội tụ mạnh đến nghiệmduy toán VIEP(F, f, C)

Ta áp dụng Thuật toán 3.1 để giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấpBVI(F, G, C) trường hợp f (x, y) = hG(x), y −