Huong dan giai de tuyen sinh 10 mon Toan nam hoc20112012

c Xác định vị trí của D trên AC để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kính nhỏ nhất... Đẳng thức xảy ra khi x=y.[r]

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN

NĂM HỌC 2011-2012 Câu 1:

a) Giải hệ:

1 12 2 12

y y







 

 b) Giải phương trình: 3x46x3x2  2x1 0

Câu 2:

a) Cho hai số dương x,y thỏa mãn x y 1 Tìm GTNN của biểu thức: 2 2

A

    

b) Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x3 (2m1)x23(m4)x m 12 0

Câu 3: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn xy yz xz  2 Tính tổng:

(2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 )

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A Trên cạnh AC lấy điểm D, vẽ đường tròn tâm O đường

kính CD Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại E, đường thẳng AE cắt đường tròn (O) tại F a) Chứng minh rằng: CA là đường phân giác của góc BCF.

b) Lấy điểm M đối xứng với D qua A, điểm N đối xứng với D qua BC Chứng minh tứ giác BMCN nội tiếp.

c) Xác định vị trí của D trên AC để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kính nhỏ

nhất

Câu 5: Cho 3 số dương a,b,c Chứng minh rằng:

3

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1:

a) ĐK: y0;y12

Dễ thấy x=0 không là nghiệm của hệ Do đó x 0

Hệ pt

(1) 12

(2) 12





 

 

 (1)*2-(2) được pt:

0 3( 12)( 12) 2 ( 12) ( 12) 0 36

y y  y            Thay vào (1) được 144

x 

ĐS: (144;36)

b) Ta có: 3x46x3x2 2x1 0  3(x42x3x2) 2( x2x) 1 0 

2 2 2

3(x x) 2(x x) 1 0

Đặt t x2x, ta được phương trình:

2

1

3

t

t







 



+ Với

2

t   x  x   x 

+ Với

2

0

t   x  x 

, vô nghiệm

ĐS:

2

x 

Câu 2:

a) Ta có:

1

A

Ta có BĐT: (x y )2 4 ,xy x y , 0 Đẳng thức xảy ra khi x=y Suy ra: 2

( )

xy  x y Ta có:

2

( )

A

 Do vậy GTNN của A bằng 9 khi

1 2

x y

b) Nhận thấy x=1 là nghiệm của phương trình

( ) (12 12) ( 2 3 1) 0

PT  x  x  x m  x  x   x x2( 1) 12( x1)m x( 1)( 2 x1) 0

2

(x 1)(x 12 2mx m) 0

       (x1)(x22mx m 12) 0 2

1

x

x mx m





 

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt  pt x: ( 22mx m 12) 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1



' ( ) ( 12) 0

m m



Câu 3: Thay xy yz xz  2 Ta xét

2

2

xy y yz xz xy y z xz z y x y z x y y x z z x z

( )( )( )( )

( ) ( )( )

x y y z x z y z

x z x y

  ( vì x,y,z>0) Tương tự…, ta có: Sx y z(  )y x z(  )z x y(  ) 2( xy yz xz  ) 4

ĐS: S=4 Câu 4:

a) Ta có:

+ DCF DEF (1) ( góc nội tiếp chắn cung DF)

+ Tứ giác ABCE có BAC 1v(gt); BEC 1v (góc DEC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy ra ABCE là tứ giác nội tiếp nên : AEB ACB ( góc nội tiếp chắn cung AB) hay ta có

DEFDCB (2)

Từ (1) và (2) ta có DCF DCB hay CA là phân giác của góc BCF.

b) Ta có tam giác MBD và tam giác NBD là hai tam giác cân tại B; tam giác DCN cân tại C

Nên MBN 2ABC Khi đó: MBN ACN  2ABC2ACB2.90o 180o Suy ra MBNC là tứ

giác nội tiếp

c) Ta thấy BC là dây cố định của đường tròn ngoại tiếp MBNC Do đó đường tròn ngoại tiếp MBNC có bán đường kính nhỏ nhất bằng BC khi góc BMC vuông  M  A D A

Câu 5:

+ Chứng minh bđt:

x y z x y z  (*), với mọi x,y,z>0 Đẳng thức xảy ra khi x=y=z.

Áp dụng BĐT Cosi cho 3 số dương, ta có:

Dấu “=” xảy

ra khi x=y=z

(x y z)( ) 9

+ Áp dụng (*) trên:

a ba b b   a b Đẳng thức xảy ra khi a=b

b c b c c   b c Đẳng thức xảy ra khi b=c

c a c a a   c a Đẳng thức xảy ra khi a=c

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta có:

a b b  c c  a  a b c   a b c (đpcm) Đẳng thức xảy ra khi a=b=c