Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C tại điểm nằm trên đồ thị có tung độ y= 2.. Giải phương trình:.[r]
Trang 1SỞ GD & ĐT TRÀ VINH KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2012 TRƯỜNG THPT TRÀ CÚ Môn thi : TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông
Thời gian làm bài : 150 phút,không kể thời gian giao đề
Môn thi: TOÁN - LỚP 12
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,5 điểm) Cho hàm số
x 3 y
x 2
có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm nằm trên đồ thị có tung độ y= 2
Câu II ( 2,0 điểm).
1 Giải phương trình: 2 12
.
2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f x x x x trên đoạn [–1;2]
Câu III ( 2,0 điểm).
1.Tính tích phân: 2 3
0
J 1 cos x sin xdx
2 Cho z = (1 2 )(2 - i + i )2 Tính môđun của số phức z .
Câu IV (1,0 điểm).
Cho khối chóp S.ABC có ABC và SBC là các tam giác đều có cạnh bằng 2a, SA = a
Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Câu V (2,5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
(): 2x + 2y - z+9 = 0 và mặt cầu (S): (x-1) + (y-2) + (z-3) = 81
1 Viết phương trình đường thẳng () đi qua tâm I của mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng () Tìm
giao điểm của đường thẳng () và mặt phẳng ().
2 Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm M(13;-1;0), N(12;0;4) và tiếp xúc với mặt cầu ( S)
-Hết -Họ và tên thí sinh Số báo danh
Trang 2Câu Ý Nội dung Điểm
I
(2,5
đ)
1
(2,0 đ)
* Tập xác định: R\
0,25
* Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: Ta có: y'=
Ta có: y'= 0 x ≠2 Vậy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng ( ,2) và (2,
).
+ Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn: = và = - Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng: x = 2.
=1 và = 1 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng: y = 1.
0,25
0,25
0,25
0,25
+ Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
- Cắt trục hoành tại điểm (3, 0 ), cắt trục tung tại điểm (0, ).
- Nhận điểm I = (2, 1) làm tâm đối xứng.
0,25
0,25
2 Với y = 2 x=1 Vậy: y
0,25
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y - 2 = y ' (1)(x-1) y = x + 1 0,25
x 2
y
1
1
Trang 3(2,0
đ)
( 0,5 đ)
1
(1,0 đ)
2
2log (x 2) log (2 x1) 0
(*)
Điều kiện:
2
2 0
2 1
2 1 0
2
x x
x
Khi đó, (*)
log (x 2) log (2x 1) 0 log (x 2) log (2x 1)
( 2) (2 1) 6 5 0
5 (nhân)
x
x
Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 5
0,25
0,25 0,25
0,25
2
(1,0 đ)
Hàm số f x( )x5 5x45x31 liên tục trên đoạn [–1;2]
Ta có:
'( ) 5 4 20 3 15 2 5 (2 2 4 3)
2
2
0 [ 1; 2] (nhân)
4 3 0
3 [ 1; 2] (loai)
x x
x
Ta có, f(0) 1
(1) 2
( 1) 10
(2) 7
min ( )f x f( 1) 10 ; max ( )f x f(1) 2
0,25
0,25
0,25 0,25
III
(2,0
đ)
1
(1,0 đ) Tính tích phân
2
3 0
3
1 cos sin sin
+
2 3
0
os sin x
+ Tính I1:
2 1 0
sin
= -cosx = 1
+ Tính I2: I 2 =
2 3
0
cos x sin xdx
Đặt ucosx du sinxdx
Suy ra:
0
3 2
u
0,25
0,25
0,25
Trang 4+ Kết quả: = 1+ = 0,25
2
(1,0 đ)
(1 2 )(2 ) (1 2 )(4 4 ) (1 2 )(3 4 ) 3 4 6 8
z= - i +i = - i + i+i = - i + i = + i- i- i
= 11- 2i
Vậy,
0,5 0,5
IV
(1,0 đ)
Gọi M là trung điểm đoạn BC, O là trung điểm đoạn AM.
Do ABC và SBC đều có cạnh bằng 2a nên
2
a
đều SO ^AM (1)
Ta có:
ìï ^
íï ^
Từ (1) và (2) ta suy ra SO ^(ABC) (do AM BC, Ì (ABC))
SO là đường cao của hình chóp S.ABC
Thể tích khối chóp S.ABC là:
3
V = × × = × ×B h AM BC SO× × = ×a × ×a =
Ghi chú: HS có thể trình bày theo bố cục khác, khi chấm có thể cho điểm như sau:
- Vẽ hình đúng: 0,25đ; Xác định được đường cao: 0,25 đ;
Tính đúng diện tích đáy: 0,25 đ; Tính đúng thể tích khối chóp: 0,25 đ.
0,25
0,25
0,5
V
(2,5
đ)
1
(1,5 đ)
*Mặt cầu (S) có tâm là điểm I = (1,2,3).
Do đường thẳng () vuông góc với mp() nên () có một véc tơ chỉ phương chính
là véc tơ pháp tuyến của mp() () có một véc tơ chỉ phương là: = (2,2,-1).
Vậy phương trình tham số của đường thẳng () là:
* Gọi H=(x, y, z) là giao điểm của đường thẳng () và mp().
Từ giả thiết bài toán, ta có pt: 2(1+2t)+2(2+2t) - (3-t)+ 9 = 0
9t+12=0 t = -
Từ đó, suy ra H = ( - , - , )
0,25
0,25
0,5
Trang 50,25
2
(1,0 đ)
Mặt cầu (S) bán kính r = 9.
Mặt phẳng (P) đi qua M(13;-1;0) nên có phương trình dạng :
A(x -13) + B(y + 1) + Cz = 0 với A2B2 C2 0
0,25
Vì điểm N thuộc ( P ) nên thay tọa độ N vào pt (P) ta được: A = B + 4C
Lúc này phương trình mp(P) là: (B + 4C)x + By + Cz -12B – 52C = 0.
Ta có ( P ) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi : d(I,(P)) = 9
B 5C 2B 8BC 17C
B 2BC 8C 0
B 2C
Thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được hai phương trình mặt phẳng thỏa mãn
bài toán:
1
2
(P ) : 8x 4y z 100 0
0,25
0,25
0,25