BO DE LUYEN THI HOC SINH GIOI TOAN 9 CO DAP AN

Híng dÉn tr¶ lêi Câu 1: Giáo viên: Hãy dùng kiến thức về căn thức để làm bài tập 1 Häc sinh lªn b¶ng lµm... Hỏi: Em đã dùng kiến thứ nào để làm bài tập trên.[r]

Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi

b) Cho M = x2 + y2 + 2z2 + t2 ; với x , y , z , t là số tự nhiên

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tơng ứng của x,y,z,t biết rằng:

¿

x2− y2+t2=21

x2+3 y2+4 z2=101

¿{

¿

Câu 4 :

Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính AC

và vẽ đờng tròn tâm K đờng kính BC MN là tiếp chung ngoài của hai đờng tròn (M

(I), N ∈(K ) ) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn

a) Chứng minh các đờng thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D

b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất Câu 5 :

Chứng minh rằng nếu |a|+|b| > 2 thì phơng trình sau có nghiệm

vµ tÝch cña 2 biÓu thøc nµy lµ d¬ng nªn ta cã :

= a2 - a(b+c) + b2 - b(a+c) + c2 - c(a+b)

Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên :

0 <a<(b+c) ; suy ra a2 < a(b+c) ; do đó a2 - a(b+c) < 0

0 <b<(a+c) ; suy ra b2 < b(a+c) ; do đó b2 - b(a+c) < 0

0 <c<(a+b) ; suy ra c2 < c(a+b) ; do đó c2 - c(a+b) < 0

Từ đó suy ra Δ < 0 Vậy phơng trình vô nghiệm

Gọi D là giao điểm của AM và BN

Q là giao điểm của MN và Cx

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có

QM=QC=QN ;

Từ đó suy ra Δ MCN vuông

Tứ giác DMCN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật ;

Mà Q là trung điểm của MN , suy ra Q là trung điểm của DC

2 a+2√2 a (1− a)+(1 −a)−1=¿ (2)

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki , ta có :

( √2.√a+1 √1− a¿2≤(2+1)[a+(1 −a)]

Cho hai soỏ nguyeõn dửụng a vaứ b a b 

ủeàu khoõng chia heỏt cho 5 Chửựng minh raống a4 – b4 5.

Baứi 2 :

a) Ruựt goùn : x 2 x 1 : x1 1 

b) Tớnh : 4 15 10   6 4  15

Baứi 3 :

Cho a > 2 ; b > 2 Chứng minh rằng : ab > a + b

Bài 4 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

A = x2 x 1 x 2 x 1

Bài 5 :

Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng :

4 SABC  AM.BC + BM.CA + CM.AB

F

E M

C B

Lấy (1) + (2) vế theo vế

Ta được : BE AM + CF AM  BA’ AM + CA’ AM

Hay : ( BE + CF ) AM  AM ( BA’ + CA’)

Nên : ( BE + CF ) AM  AM BC

Do đó ta có tổng diện tích :

2 ( SABM + SACM )  BC AM  SABM + SACM

1 2



BC AM (*)

Tương tự ta chứng minh được :  SABM + SCBM

1 2



AC BM (**)

 SACM + SCBM

1 2



AB CM (***)Cộng vế theo vế (*) , (**), (***) cho ta

2(SABM + SACM + SCBM)

1 2



( BC AM + AC BM + AB CM )

 2 S ABC

1 2

3 51

x x y

Dấu bằng xảy ra khi nào ?

Bàài3: Cho biểu thức

Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x

Tớnh giá trị của biểu thức : P = x2+y2+xy

xy - 1

Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi

Bài 1: Chứng minh rằng nếu phơng trình bậc hai a x 2b x c  0 có hai nghiệm dơng x x1; 2

thì phơng trình cx2bx a 0 cũng có hai nghiệm x x3; 4

đồng thời: x1x2x3x4 4

.Bài 2:

1 Cho a; b; c là các số thực đôi một khác nhau Rút gọn biểu thức sau:

Bài 4: Cho đờng tròn (O; R) và một đờng thẳng d đi qua O Lấy A và B là hai điểm thuộc d sao

cho OA = OB < R; M là điểm tuỳ ý trên (O; R) thoả mãn OM không vuông góc với d

đồng thời M không thuộc d Các đờng thẳng MA, Mo, MB Cắt (O; R) lần lợt tại Q, R,

a b a b 

2 T×m tÊt c¶ c¸c bé sè nguyªn d¬ng x; y; z sao cho: x y z  2 2x2y

lµ sè chÝnhph¬ng

d S C D

Q II P R

Kh«ng lµm mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö MA > MB

1 Gäi C; D lµ giao ®iÓm cña d víi (O; R) Ta cã CMD   900

2 KÎ QE // d (E MP) Gäi I lµ trung ®iÓm cña PQ vµ

K QE MR Ta cã OI PQ( B¸n kÝnh vu«ng gãc víi d©y t¹i

trung ®iÓm cña d©y)Theo GT OA = OB suy ra KQ = KE ( V× QE // AB)V× K lµ trung ®iÓm cña QE vµ I lµ trung ®iÓm cña PQ nªn IK//PE

Do đó:QIK QPE  (1) (Hai góc đồng vị)

mà QRM QPM (2) (Cùng chắn cung QM của (O) )

Từ ( 1) và (2) suy ra QRK QIK  suy ra tứ giác QRIK là tứ giác nội

tiếp

Ta có: KQI BSQ (3) ( hai góc đồng vị )

KQI KRI (4) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung KI của

đ-ờng tròn ngoại tiếp tứ giác QRIK)

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác SRIQ là tứ giác nội tiếp

  900

SRO SIO

    SR OR suy ra SR là tiếp tuyến của (O; R)

Hỏi: Hãy nêu những kiến thức đã dùng trong bài?

b) Tính giá trị của P khi a = 3 + 2 √2

c) Tìm các giá trị của a sao cho P < 0

Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi

Gọi O là tâm đờng tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD Qua

A, B, C, D lần lợt vẽ các đờng thẳng dA, dB, dC, dD sao cho dA  OA, dB  OB, dC  OC, dD 

OD Các cặp đờng thẳng dA và dB, dB và dC, dC và dD, dD và dA tơng ứng cắt nhau tại các điểm

Hỏi: Khi nào đựơc gọi là số chính phơng?

Học sinh: Số chính phơng là bình phơng của số tự nhiên

Học sinh len bảng làm

Giả sử tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n2 + 2006 là số chính phơng

thì n2 + 2006 = m2 với m là số tự nhiên => (m-n)(m+n) = 2006 (*)

Khi đó:

- nếu m và n khác tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) lẻ Mâu thuẫn với (*)

- nếu m và n cùng tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) chia hết cho 4, nhng 2006 không chia hết cho

4 Cũng mâu thuẫn với (*)

Biến đổi phơng trình đã cho (1) <=> 2(x2+2) = 5√(x+1)(x2− x+1)

Hỏi: Em hãy đặt ẩn phụ để giải phơng trình này?

Thử và thấy các giá trị trên thoả mãn điều kiện (*)

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm: x = 5+√37

2 và x =

5 −√372

Giáo viên: Trong bài này áp dụng bất đẳng thức cô si để làm

Do phơng trình x2 - 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1 và x 2 nên ta có : 9a2 + 4a > 0 (1) ;

a2

Theo (1) thì 9a2 + 4a > 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A  2

A = 2 <=> 9a2 + 4a = a2 <=> a = -1/2

Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 thì x1 = -1 và x2 = -1/2

Vậy Anhỏ nhất = 2, đạt đợc khi a = -1/2 ; x1 = -1 và x2 = -1/2

4 1)

Học sinh lên bảng vẽ hình

Giáo viên gọi ý để học sinh trả lời từng ý một

Hỏi: Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta cần chứng minh điều gì?

Học sinh: để chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta đi chứng minh góc tạo bởi 3 điểm đó bằng góc bẹt.

Hỏi: Em nào chứng minh đợc điều này?

Học sinh: Lên bảng làm:

Dễ thấy AKBO, BLCO, CMDO và DNAO là các tứ giác nội tiếp

và các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng là phân giác các góc A, B, C, D của tứ giác ABCD

Có éKOL + éLOM = p - éOKB - éOLB + p - éOLC - éOMC

= p - éBAO - éBCO + p - éCBO - éCDO

= 2p - ( éA + éB + éC + éD )/2 = 2p - p = p

Từ đó suy ra các điểm K, O, M thẳng hàng

4 2

Giáo viên: Chứng minh tơng tự nh trên ta đợc ba điểm naof thẳng hàng?

Học sinh: Chứng minh tơng tự ta đợc ba điểm N, O, L thẳng hàng.

Giáo viên cho học sinh lên bảng làm.

Học sinh lên bảng làm.

Chứng minh tơng tự nh trên, ta đợc N, O, L thẳng hàng

Ta chứng minh tứ giác KLMN nội tiếp Thật vậy, có:

éNKL + éNML = éAKO + éOKB + éDMO + éOMC

Giáo viên chép lên bảng bài tập về nhà cho học sinh chép vào vở ghi

Baì 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab

Tính giá trị của biểu thức: P = a− b

a+b

Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2 +2y2 = 5xy

Tính giá trị của biểu thức E = x − y

Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi

2/Cho đờng thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1

a/ Chứng minh rằng đờng thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

c/ Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng là lớn nhất

Bài 6 Cho tam giác OAB (OA = OB) Vẽ đờng cao OH, AK biết OA = a, AOH  .

a/ Tính các cạnh tam giác AKB theo a và  .

b/ Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và 2 Từ đó biểu diễn sin2 , cos2

 theo sin , cos.

Bài 7 :

Cho hình vuông ABCD O là một điểm thuọc miền trong hình vuông sao cho OA : OB : OC =

1 : 2 : 3 Tính số đo góc AOB ?

Hớng dẫn trả lời

Hỏi : Hãy nêu cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?

Học sinh : Ta phải chứng minh biểu thức đó lớn hơn hoặc bằng một hằng số

Học sinh lên bảng làm

√n+1)<2 (đpcm)Bài 3 :

Giáo viên gợi ý học sinh làm bài Dùng tính chất đối nghịch để làm bài này

§êng th¼ng ®i qua ®iÓm (0 ; b) nªn : b = m.0 + n ⇒ n = b.

§êng th¼ng ®i qua ®iÓm (a ; 0) nªn: 0 = m.a + b ⇒ m = − b

¿x o=−1

y o=1

¿{

¿

Vậy các đờng thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1).

b) Gọi A là giao điểm của đờng thẳng (1) với trục tung Ta có: x = 0 ⇒ y = 1

2≥

12

Theo Pitago thì AB2 = AK2 + BK2 = a2sin22α + a2(1 – cos2a2) = a2

[sin22 α+(1− 2cos 2α +cos22 α)] Vì sin22α + cos22α = 1 nên AB2 = a2(1 + 1 – 2cos2α) = 2a2(1 - cos2α)

- So sánh giá trị của AK, ta có asin2α = 2a.sinα cosα vậy sin2α = 2sinα.cosα

- So sánh giá trị của BK ta có: 2a.sin2α = a(1 – cos2α) hay cos2α = 1 – 2sin2α

O

K

HO

K

a) Ta có BAK = AOH = α Từ tam giác vuông OHA, ta có AH = OAsinα = asinα vậy

AB = 2asinα , mặt khác trong tam giác vuông AKB thì AK = AB cosα suy ra AK = 2a.sinα.cosα và BK = AB.sinα nên BK = 2a.sin2α

b) Với tam giác OKA : AK = OA sin AOK nên AK = asin2α OK = OAcos AOK nên OK = acos2α

- Với tam giác AKB ta có : AK = asin2α mà BK = OB – OK= a – acos2α hay BK = a(1 – cos2α)

Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề

Hỏi: Em đa dùng kiến thức nào để làm bài này?

b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1

Tính giá trị của biểu thức: A = x2007+ y2007 + z2007

Bài 3: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị của biểu thức:

1 : 2 : 3 nên CK = a ; OB = BK = 2a, OC = 3a Trong tam giác vuông OBK ta có OK2 = OB2 +

BK2 = 8a2 Vì vậy OK2 + CK2 = 8a2 + a2 = 9a2 Mặt khác OC2 = 9a2 nh vậy, OC2 = OK2 +KC2 Theo định lí Pitago đảo thì DOKC vuông tại K hay OKC = 90o Vì CBK= ABO vàBCK = BAO, hơn nữa các góc này nhọn, nên K thuộc phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đờng thẳng song song AB và CD.Từ đó BKC = BKO + OKC = 45o + 90o = 135o Vì BKC = AOB suy ra AOB = 135o

Cho tửự giaực ABCD coự E, F laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa caực caùnh AD, BC

ẹửụứng thaỳng EF caột caực ủửụứng thaỳng AB, CD laàn lửụùt taùi M, N

Chửựng minh raống MA.NC = MB.ND

a Ruựt goùn P b Cho a=19− 8√3 Tớnh P

Giáo viên: hãy nêu điều kiện xác định của biểu thức?

Giáo viên: Hãy dùng giả thiết để làm bài này.

Giáo viên: Hãy dùng công thức tổng quát để tính tổng?

Em nào biến đổi đợc công thức tổng quát của bài này?

Học sinh lên bảng biến đổi công thức tổng quát và làm bài tập trên

Cho tứ giác ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AB, CD lần lượt tại M, N.

Chứng minh rằng MA.NC = MB.ND

NC FC (hệ quả đlí Talet)

Xét DEAG và DEDH có:

3 51

x x y

Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau E là

điểm bất kì trên cung AD Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N

1 Chứng minh rằng tích

OM ON

AM DN là một hằng số Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng

AM DN , khi đó cho biết vị trí của điểm E ?

2 Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không phải

là đờng kính K là điểm chuyển động trên cung lớn GH Xác định vị trí của K để chu vicủa tam giác GHK lớn nhất

Hớng dẫn trả lời

Bài 1

1.1

Giáo viên: Em nào làm đợc bài này?

Gợi ý: Các em đa phơng trình trên về phơng rình trị tuyệt đối

Vậy tập nghiệm của pt (1) là: S 1; 81

Giáo viên: Hãy nhận xét bài làm của bạn.

Học sinh đứng tại chỗ nhận xét bài làm của bạn.

Học sinh lên bảng làm: Nếu học sinh dùng cách đa về dạng quen thuộc đã làm thì giáo viên giới thiệu cách làm sau đây.

Dùng công thức nghiệm của phơng trình bạc hai

Giáo viên: Hãy sử dụng công thức nghiệm của phơng trình bậc hai để làm

Để có nghiệm nguyên thì đen ta của phơng trình bậc hai phải nh thế nào?

Học sinh: Đen ta phải là số chính phơng

Giáo viên cho học sinh lên bảng vẽ hình và ghi giả thiết kết luận của bài toán.

Học sinh lên bảng làm theo yêu cầu của giáo viên

Gợi ý: Các em dùng kiến thức về tâm giác đồng dạng để chứng minh

22

x y

x y xy

Vậy: Tổng min

12

 E là trung điểm của dây cung AD.

Nêú học sinh không làm đợc cho học sinh suy nghĩ trao đổi và tìm ra hớng giải của bài tốaêụhc sinh thảo luận theo nhóm hai ngời một để tìm ra lời giải

3.2

Hỏi: Chi vi của tam giác GKH đợc tính theo công thức nào?

Hỏi: Chu vi đó lớn nhất khi nào?

Học sinh lên bảng làm

GKH

D có cạnh GH cố định, nên chu vi của nó lớn nhất khi tổng KG KH lớn nhất.

Trên tia đối của tia KG lấy điểm N sao cho KN = KH Khi đó, DHKN cân tại K Suy ra

(góc nội tiếp chắn cung nhỏ GH cố định), do đó GNH

không đổi Vậy N chạy trên cung tròn (O') tập hợp các điểm nhìn đoạn GH dới góc

GN là dây cung của cung tròn (O') nên GN lớn nhất khi GN là đờng kính của cung tròn, suy

ra DGHK vuông tại H, do đó KGH KHG (vì lần lợt phụ với hai góc bằng nhau) Khi đó,

K là trung điểm của cung lớn GH.

Vậy: Chu vi của DGKH lớn nhất khi K là trung điểm của cung lớn GH.

Giáo viên: Em hãy nêu những kiến thức đã dùng trong bài này?

c2(c − b)(c −a)

Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi

Môn : Toán lớp 9

Bài 1:

1 Giải hệ phơng trình:

4 4

Bài 3:

Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau ờng tròn (O1) nội tiếp trong tam giác ACD Đờng tròn (O2) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OD củatam giác OBD và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) Đờng tròn (O3) tiếp xúc với 2 cạnh OB và

Đ-OC của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đờng tròn (O) Đờng tròn (O4) tiếp xúc với 2 tia

CA và CD và tiếp xúc ngoài với đờng tròn (O1) Tính bán kính của các đờng tròn (O1), (O2),(O3), (O4) theo R

Hớng dẫn trả lời Bài 1

1.1

Giáo viên: hãy nêu điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm?

Học sinh đứng tại chỗ trả lời.

x y

Giáo viên : Với điều kiện trên em nào giải đợc hệ phơng trình này ?

x y

Giáo viên: Hãy nêu điều kiện tồn tại của bài tóan

Học sinh đứng tịa chỗ trả lời

Điều kiện: ab b; c c; a

Giáo viên: Em nào làm đợc bài toán này?

Học sinh suy nghĩ trả lời

     

02

Giáo viên: Em nào giải đợc bài tóan này?

Học sinh suy nghĩ trả lời

Giáo viên:

Theo giả thiết diện tích của hình vuông có dạng S abbb k  2 k0,kZ

Giáo viên: Hãy tìm điều kiện của k?

Nếu y lẻ: y1;3;5;7;9 y2 1;9; 25; 49;81 b1;5;9 Khi đó 2xycó chữ số tận cùng là số

chẵn, nên chữ số hàng chục của k2 phải là số chẵn khác với 1; 5; 9, do đó S không thể là

abbb.

Nếu y chẵn:

20; 2; 4;6;8 0; 4;16;36;64 0; 4;6

y  , khi đó 20xy có chữ số hàng chục là số chẵn, nên chữ số hàng chục

của k2 phải là số lẻ, do đó không thể bằng 4 hoặc 6, nghĩa là k2 abbb.

Với y = 8: y2 = 64; k2 100x2160x64, khi đó x chỉ có thể là 3 hoặc 8 thì chữ số hàng

chục của k2 mới bằng 4, suy ra k 2 382 1444 hoặc k 2 882 7744(không thoả điều kiện

bài toán)

Vậy: bài toán có một lời giải duy nhất: Hình vuông cần xác định có cạnh k 38 và diện tích1444

S  .

Đây là bài toán dùng nhiều kiến thức về số học nếu học sinh còn băn khoăn giáo viên vừa giải vừa gợi ý cho học sinh để học sinh tìm ra lời giải

2.2

Giáo viên: Vừa làm vừa đặt câu hỏi cho học sinh làm theo

Học sinhlàm theo yêu cầu của giáo viên

Theo giả thiết, cha của A có thể là B hoặc C:

Nếu B là cha của A thì C không thể song sinh với A, vì nếu nh thế thì C là con của B, trái giả thiết, do đó C và B là song sinh và khác giới tính (gt), nên C là phái nữ Mặt khác, con gái của

B không thể là C nên phải là A, do đó A là phái nữ Vậy B khác giới tính với hai ngời còn lại là

A và C (cùng là phái nữ)

Nếu C là cha của A thì C chỉ có thể là song sinh với B, theo giả thiết B phải là phái nữ Mặt khác, con gái của B không thể là C (gt) nên phải là A, suy ra C và B là vợ chồng chứ không phải là song sinh, dẫn đến mâu thuẫn

Vậy chỉ có duy nhất trờng hợp B là cha của A và B khác giới tính với hai ngời còn lại là A và C(cùng là phái nữ)

Giáo viên chốt lại: đây là bài tóan dùng phơng pháp phản chứng để làm, phơng pháp này rất hay dùng cho những bài toán khó và khả năng xảy ra của nó cỉ có hai trờng hợp

Bài 3

Giáo viên cho học sinh lên bảng vé hình và ghi giả thiết và kết luận

Học sinh lên bảng lànm theo yêu cầu của giao viên

+ Giáo viên: Gọi r là độ dài bán kính đờng tròn (O1)