Câu 6a: Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình; viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị gồm 2 câu nhỏ.. 2 Theo chương trình nâng cao Câu [r]
Trang 1Sở GD & ĐT thanh hóa Đề thi kiểm tra chất lợng học kì Ii
Trờng THPT Đông Sơn I Năm học 2011 – 2012 2012
-*** - Môn : Toán 11
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
-*** -I Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)
Câu I (2 điểm)
1 Tính giới hạn: lim (√n2
+n+1− n)
2 Tìm a để hàm số
x2−3 x +2
2 x − 4 với x >2
2 x2+a với x ≤2
¿f (x)={
¿
¿
liên tục trên tập xác định
Câu II (2 điểm)
1 Tính đạo hàm của hàm số y=2012 x3
− x sin 3 x+√cos2x +1+1000.
2 Cho hàm số y=2 x4− x2− 3 có đồ thị (C) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = - 1.
Câu III (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA = a√2, AC = 2a, BC = a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC)
1 Chứng minh đờng thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).
2 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
3 Gọi () là mặt phẳng đi qua trung điểm M của BC và vuông góc với AC Tính diện tích thiết
diện của hình chóp cắt bởi ()
II Phần riêng (3 điểm)
Thí sinh chỉ đợc chọn một trong hai phần: Theo chơng trình Chuẩn hoặc Nâng cao
1 Theo chơng trình Chuẩn
Câu IVa (2 điểm)
1 Chứng minh rằng phơng trình x2− sin x −5=0 có nghiệm
2 Tính giới hạn: lim
x →0
√1+2 x √3 1+3 x −1 sin 4 x
Câu Va (1 điểm) Cho hàm số y= 2 x −1
x − 1 có đồ thị (C) Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1
2.
2 Theo chơng trình Nâng cao
Câu IVb (2 điểm)
1 Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (u n) biết
u2+u5−u3=10
u4+u6=26
¿{
¿
¿
2 Tìm ba số khác nhau có tổng bằng 146 là ba số hạng đầu của một cấp số nhân, đồng thời là các số hạng thứ nhất, thứ 17 và 19 của một cấp số cộng
Câu Vb (1 điểm) Cho hàm số
3 3
y x x có đồ thị (C) và đờng thẳng d: y = m(x + 1) + 2 Chứng minh rằng khi m thay đổi thì d luôn cắt (C) tại một điểm M cố định Xác định các giá trị của m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp tuyến với đồ thị (C) tại N và P vuông góc với nhau.
-Hết -Họ và tên thí sinh : SBD :
Trờng thpt đông sơn i Kì thi kiểm tra chất lơng học kì ii
Năm học 2011 - 2012 Hớng dẫn chấm toán 11
- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5
- Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn đợc điểm tối đa
- Học sinh làm không đúng chơng trình học của mình, hoặc làm cả hai phần thì không tính điểm phần riêng.
Trang 2C©u Néi dung §iÓm
Trang 3I.1 Tính giới hạn dãy số 1,00
lim(√n2+n+1− n)=lim n
2
+n+1− n2
√n2
+n+1+n=lim
1+1
n
√1+1
n+
1
n2+1
=1
Hàm số có tập xác định là R
- Nếu x > 2 thì f (x)= x
2
− 3 x+2
2 x − 4 nên f(x) liên tục
- Nếu x < 2 thì f (x)=2 x2+a nên f(x) liên tục
0,25
- Tại x = 2 ta có
lim
x→ 2+ ¿
2 x− 4=x →2+¿(x − 1) (x − 2)lim
2( x −2)= lim
x → 2+¿x − 1
2 =1
¿
lim
x→ 2 − f (x)= lim
x →2 −(2 x2
f(x) liên tục tại x = 2 ⇔ x→ 2+ ¿f (x)= lim lim
x →2 − f ( x)=f (2)⇔a+ 8=12⇔ a=−152¿
Vậy hàm số liên tục trên tập xác định khi a = −15
2
0,25
y’= 6036 x2− sin 3 x −3 x cos 3 x − sin x cos x
√cos2x +1
1,0
Phơng trình tiếp tuyến: y = -6(x + 1) - 2 ⇔ y=−6 x −8 0,5
Ta có (SAB) (ABC), (SAC) (ABC), SA = (SAB) (SAC) ⇒SA (ABC) 0,5
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB ⇒AH SB.
Do BC (SAB) nên BC AH AH (SBC) AH = d(A, (SBC)) 0,25
AB2=AC2− BC2=4 a2− a2=3 a2⇒ AB=a√3 0,25
Ta có 1
AH2=
1
SA2+
1
AB2=
1
2 a2+
1
3 a2=
5
6 a2⇒ AH= a√30
Vậy d ( A ,(SBC))= a√30
Từ M kẻ MK AC, K ∈ AC Từ K kẻ đờng thẳng song song với SA cắt SC tại N.
Do SA (ABC) nên NK (ABC) ⇒ NK ⊥ AC⇒ AC⊥(MNK)
(MNK) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AC nên (MNK )≡(α)
Suy ra thiết diện là tam giác vuông MNK
0,25
S
ABM H
Trang 4Ta có Δ CMK~ Δ CAB(g.g) nên MK
MC=
AB
AC ⇒MK=AB MC
a√3 a 2
2 a =
a√3 4
0,25
KC2=MC2− MK2=a2
4 −
3 a2
16 =
a2
16⇒KC= a
Do NK //SA nên NK
SA =
CK
CA⇒ NK=KC SA
a
4 a√2
2a =
a√2 8 Vậy SMNK=1
2MK NK =
1 2
a√3
4 .
a√2
8 =
a2√6 64
0,25
f(0) = - 5, f(3) = 4 – 2012 sin3 > 0 f(0).f(3) < 0 0,5
∃ x0∈
¿
¿
(0; 3) để cho f (x0)=0 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm 0,25
lim
x →0
√1+2 x √31+3 x −1
sin 4 x =limx→ 0
√1+2 x √31+3 x −√31+3 x +√31+3 x −1 sin 4 x
¿lim
x→ 0
3
√1+3 x(√1+2 x −1)
sin 4 x +limx →0
3
√1+3 x − 1 sin 4 x
0,25
¿lim
x→ 0
3
√1+3 x (1+2 x −1) sin 4 x (√1+2 x+1)+limx →0
1+3 x −1
¿lim
x→ 0[ 4 x
sin 4 x ⋅
3
√1+3 x
2(√1+2 x +1)]+lim
= 1
4+
1
4=
1
y '= −1
¿ ¿ Do M∈(C )⇒ M(a ; 2 a −1
a −1 ), a ≠ 1
Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại M suy ra d : y= −1
¿ ¿
0,25
Do A=d ∩ Ox ⇒ A (2 a2
Do tam giác OAB vuông tại O nên SOAB=1
2OA OB=
1
2|2a2− 2a+ 1|¿
Theo bài ra ta có SOAB=1
2⇒1
2|2 a2−2 a+1|¿
¿
¿
0,25
⇔
¿
¿
¿
và M(12;0) Vậy có hai điểm cần tìm là M1(0 ; 1),M2(12;0) 0,25
Trang 5u4+u6=26
⇔
¿u1+d −(u1+2 d)+u1+4 d=10
u1+3 d +u1+5 d=26
⇔
¿u1+3 d =10
2u1+8 d=26
¿{
¿
¿
0,5
⇔
u1=1
d=3
¿{
Số hạng tổng quát un = 1 + 3(n – 2012 1) = 3n – 2012 2 0,5
Do ba số là các số hạng thứ nhất, thứ 17 và 19 của một cấp số cộng nên ta gọi ba
số là u1;u1+16 d ;u1+18 d, do ba số khác nhau nên d ≠¿
¿
Theo bài ra ta có
u1+u1+16 d +u1+18 d=146
u1(u1+18 d)=¿
¿
⇔
3 u1+34 d=146
14 u1d +256 d2=0
¿{
0,25
⇔
3 u1+34 d =146
14 u1+256 d =0
⇔
¿u1=128
d=− 7
¿{
0,25
Ta có y=x3−3 x ⇒ y'=3 x2−3
Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phơng trình
x3− 3 x =m(x+1)+2⇔(x +1)(x2
− x −2 −m)=0
⇔
¿
¿
¿
+) Với x = - 1 suy ra d luôn cắt (C) tại điểm M(-1; 2) cố định
0,25
Để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác – 2012 1
⇒ Δ=1 − 4(− 2− m)>0
1+1 −2 −m≠ 0
⇔− 9
4<m≠ 0
¿{
0,25
+ Gọi x1; x2 là hoành độ của N và P suy ra x1; x2 là nghiệm của (*)
Theo định lí Viet ta có
x1+x2=1
x1 x2=−2 −m
¿{
¿
¿
Do hai tiếp tuyến của (C) tại N, P vuông góc với nhau nên y '(x1)y '(x2)=−1
⇔(3 x12−3)(3 x22− 3)=−1 ⇔9¿
0,25
Trang 6⇔ 9¿9 m2+18 m+1=0⇔m= −3 ± 2√2
3
Đối chiếu với điều kiện ta đợc m= −3 ± 2√2
3
0,25
) M(–1;2) (d) cắt (C) tại 3 điểm phõn biệt
4
Tiếp tuyến tại N, P vuụng gúc y x'( ) '( )N y x P 1 m 3 2 23
Cấu trúc đề thi học kì II môn toán lớp 11
năm học 2011 - 2012
I Phần chung (7 điểm)
Câu I.
Trang 71 Tính giới hạn dãy số dạng - .
2 Tìm điều kiện để hàm số liên tục trên tập xác định.
Câu II.
1 Tính đạo hàm của hàm số.
2 Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.
Câu III
1 Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng.
2 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
3 Tính diện tích thiết diện của hình chóp.
II Phần riêng (3 điểm)
1 Chơng trình chuẩn.
Câu IVa.
1 Chứng minh phơng trình có nghiệm.
2 Tính giới hạn hàm số, giới hạn lợng giác.
CâuVa Bài toán liên quan đến tiếp tuyến.
2 Chơng trình nâng cao.
Câu IVb
1 Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.
2 Tìm các số hạng của cấp số cộng, cấp số nhân.
Câu Vb Bài toán liên quan đến tiếp tuyến.
Chủ đề - Mạch KTKN
Phần chung
1,0
1
1,0
2 2,0
1,0
1 1,0
Trang 80,5 0,5 1,0
Quan hệ vuông góc 1
1,0
1
1,0
1
1,0
3 3,0
2,5
3
2,5 2 2,0
8 7,0
Phần riêng
1,0
1 1,0
1,0
2 2,0
3,0
3 3,0
Tổng toàn bài 3
2,5
6
5,5
2
2,0
11 10,0
Diễn giải:
1) Chủ đề – Hình học: 3,0 điểm
– Đại số & Giải tích: 7,0 điểm + Giới hạn: 2,0 điểm
+ Liên tục: 2,0 điểm + Đạo hàm: 3,0 điểm 2) Mức nhận biết:
– Chuẩn hoá: 8,0 điểm (hoặc 7,0 điểm)
– Phân hoá: 2,0 điểm (hoặc 3,0 điểm)
Mô tả chi tiết:
I Phần chung:
Câu 1: Tính giới hạn của hàm số và dãy số (gồm 2 câu nhỏ)
Câu 2: Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm hoặc xét tính liên tục của hàm số trên
tập xác định của nó
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số (gồm 2 câu nhỏ)
Câu 4: Bài toán hình học không gian (gồm 3 câu nhỏ)
II Phần riêng:
1) Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương
trình
Câu 6a: Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình; viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị (gồm 2 câu nhỏ).
2) Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương
trình
Câu 6b: Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình; viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số với hệ số góc cho trước (gồm 2 câu nhỏ).