[FULL] Bài giảng Giải tích 2 năm học 2020 – 2021 – Nguyễn Quang Vinh – UET

Định nghĩa tích phân đường loại một Bài toán vật lý dẫn đến khái niệm tích phân đường loại một Giả sử trong mặt phẳng tọa độ Oxy có một sợi dây AB rất mảnh chỉ có độ dài, còn tiết diện k[r]

Chương 1 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Không gian Euclide n chiều Rn

1.1.1.1 Định nghĩa Không gian Euclide n chiều Rn là tập hợp các bộ có thứ tự của n số thực x1,

x2, …, xn tức là Rn = {(x1,x2, …,xn) | xiR}

Khi n = 1 thì R1 là tập hợp các số thực R

Khi n = 2 thì R2 là tập hợp các cặp số thực (x1,x2) hay tập hợp các điểm của mặt phẳng Theo

thói quen từ trước, các điểm của R2 thường được ký hiệu là (x,y) thay cho (x1,x2)

Khi n = 3 thì R3 là tập hợp các bộ ba số thực (x1,x2,x3) hay tập hợp các điểm của không gian

Theo thói quen từ trước, các điểm của R3 thường được ký hiệu là (x,y,z) thay cho (x1,x2,x3)

Vì R1 là tập hợp các điểm của trục số, R2 là tập hợp các điểm của mặt phẳng, R3 là tập hợp các

điểm của không gian nên R1, R2 và R3 được gọi lần lượt là “không gian 1 chiều”, “không gian 2

chiều” và “không gian 3 chiều” Tổng quát, Rn được gọi là “không gian n chiều” hay ngắn gọn “không

gian Rn” và mỗi phần tử của nó được gọi là một điểm, còn (x1,x2,…,xn) được gọi là tọa độ của một

điểm của Rn

1.1.1.2 Khoảng cách trong Rn

Khoảng cách giữa hai điểm M1(x1) và M2(x2) trên trục số (R1) được định nghĩa là

.)xx(xx)

Khoảng cách giữa hai điểm được định nghĩa như trên được gọi là khoảng cách Euclide Cũng

như trên trục số, trong mặt phẳng và trong không gian, khoảng cách Euclide trong Rn có các tính chất: (1) d(M1,M2)  0 và d(M1,M2) = 0  M1  M2

(2) d(M1,M2) = d(M2,M1)

(3) d(M1,M2)  d(M1,M3) + d(M2,M3) – bất đẳng thức tam giác

với M1, M2, M3 là 3 điểm bất kỳ của Rn

Nhận xét Khoảng cách giữa hai điểm trong Rn là ánh xạ từ Rn vào R (Rn  R)

1.1.1.3 Lân cận, tập mở, tập đóng và tập bị chặn trong Rn

Giả sử Mo là một điểm của không gian Rn,  là một số thực dương, khi đó tập hợp tất cả các

điểm MRn sao cho d(M0,M) <  được gọi là  - lân cận của điểm M0 Mọi tập hợp chứa một  - lân cận nào đó của điểm M0 được gọi là lân cận của điểm M0

Giả sử tập hợp E  Rn, điểm ME được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một  - lân cận nào

đó của điểm M nằm hoàn toàn trong E Tập hợp E được gọi là mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong

Giả sử tập hợp E  Rn, điểm NRn được gọi là điểm biên của tập hợp E nếu mọi  - lân cận của điểm N vừa chứa những điểm thuộc E vừa chứa những điểm không thuộc E Điểm biên của tập hợp E

có thể thuộc E cũng có thể không thuộc E Tập hợp tất cả các điểm biên của E được gọi là biên của nó

TailieuVNU.com

Tập hợp E  Rn được gọi là đóng nếu nó chứa mọi điểm biên của nó

Ví dụ 1.1 Giả sử E là tập hợp tất cả các điểm MRn sao cho d(M0,M) < r với M0Rn là một điểm cố định và r là một số thực dương, là một tập hợp mở

Chứng minh Giả sử M là một điểm bất kỳ của E, do đó d(Mo,M) < r Đặt  = r – d(M0,M), khi

đó  - lân cận của M nằm hoàn toàn trong E vì nếu P là một điểm của lân cận ấy thì ta có d(M,P) < ,

do đó theo bất đẳng thức tam giác d(M0,P)  d(M0,M) + d(M,P) < d(M0,M) +  = r

Tập hợp E nói trong ví dụ được gọi là quả cầu mở tâm M0 bán kính r Biên của tập hợp E này gồm các điểm M sao cho d(M0,M) = r được gọi là mặt cầu tâm M0 bán kính r Tập hợp các điểm M sao cho d(M0,M)  r là một tập hợp đóng, được gọi là quả cầu đóng tâm M0 bán kính r

Tập hợp E  Rn được gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu nào đó chứa nó

Tập hợp E  Rn được gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kỳ của nó bởi một đường liên tục nằm hoàn toàn trong E Tập hợp liên thông được gọi là đơn liên nếu nó bị giới hạn bởi một mặt kín, được gọi là đa liên nếu nó bị giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau từng đôi một

1.1.2 Hàm số nhiều biến, hàm véc tơ

1.1.2.1 Hàm số nhiều biến

Xét không gian Euclide n chiều Rn, giả sử D  Rn Khi đó ánh xạ f: D  R xác định bởi x =

(x1,x2, …,xn)  D  u = f(x)  f(x1,x2, …,xn)  R được gọi là hàm số n biến số xác định trên D; D được gọi là miền xác định của hàm số f; còn x1, x2, …, xn được gọi là các biến số độc lập

Theo thói quen từ trước, với n = 2, người ta hay dùng ký kiệu z = f(x,y) đối với hàm số 2 biến và với n = 3, người ta hay dùng ký hiệu u = f(x,y,z) đối với hàm số 3 biến

Cũng như đối với hàm số 1 biến, miền xác định D(f) của hàm số n biến là tập hợp tất cả các

điểm xRn sao cho biểu thức tạo ra hàm số f(x)  f(x1,x2, …,xn) có nghĩa

Ví dụ 1.2 Tìm miền xác định của các hàm số

yx1)y,x(

Xét biểu thức 2 2

yx

1  , để biểu thức này có nghĩa thì biểu thức dưới căn bậc hai phải không

âm, tức là 1 – x2 – y2  0, suy ra miền xác định D(f) của hàm số đã cho là {x2 + y2  1} là quả cầu (hình tròn) đóng tâm O có bán kính r = 1

(b) Hàm số z = f(x,y) = ln(x + y – 1)

Xét biểu thức ln(x + y – 1), để biểu thức này có nghĩa thì đối số của hàm số loga phải dương, tức

là x + y – 1 > 0, suy ra miền xác định D(f) của hàm số đã cho là x + y > 1 (nửa mặt phẳng mở nằm phía trên đường thẳng y = 1 – x)

(c) Hàm số

2 2 2

zyx1

x)

z,y,x(u

zyx1

x





 có nghĩa thì biểu thức dưới căn bậc hai ở mẫu số phải dương, suy

ra miền miền xác định D(f) của hàm số đã cho là {x2 + y2 + z2 < 1} (quả cầu mở tâm O có bán kính r = 1)

Lưu ý Từ đây về sau, các vấn đề sẽ được trình bày chi tiết cho trường hợp n = 2 (hàm số 2 biến)

hoặc n = 3 (hàm số 3 biến) Các vấn đề ấy được mở rộng hoàn toàn tương tự đối với n nguyên dương (hàm số n biến) bất kỳ

1.1.2.2 Hàm véc tơ

TailieuVNU.com

Giả sử Rm, Rn tương ứng là không gian Euclide m, n chiều Ánh xạ f: D  Rm, trong đó D  Rnđược gọi là hàm véc tơ n biến Giá trị của hàm véc tơ f có m thành phần f = (f1, f2, …, fm)

Trường hợp riêng, khi m = 1 và n = 1, hàm véc tơ chính là hàm số một biến được nghiên cứu kỹ trong học phần Giải tích 1 đã học; khi m = 1 và n > 1, hàm véc tơ chính là hàm số nhiều biến vừa được định nghĩa ở trên và sẽ được nhiên cứu trong học phần Giải tích 2 này

1.2 Giới hạn

1.2.1 Giới hạn của hàm số nhiều biến

Ta nói rằng dãy điểm {Mn(xn,yn)} tiến đến điểm M0(x0,y0) trong R2 và viết Mn  M0 khi n nếu

0 n n n

0

xxlim0

)M,M

L)

Nói cách khác: Giả sử hàm số f(x,y) xác định trong một lân cận V nào đó của điểm M0(x0,y0) (có thể không xác định tại M0) Ta nói f(x,y) có giới hạn L khi điểm M(x,y) tiến đến điểm M0(x0,y0) (MM0) và viết lim (x,y) L

) y , x ( ) y , x

 nếu với  > 0 bé tùy ý cho trước,  = () > 0 sao cho với

0 2

0

M,M(d

Lưu ý

1 Giá trị của L, x0, y0 có thể nhận các giá trị -, <hữu hạn>, +

2 Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương, lũy thừa, căn đối với hàm số một biến (n = 1)

trong học phần Giải tích 1 vẫn đúng đối với hàm số nhiều biến (n > 1)

Cụ thể là: Cho các hàm số f(x,y), g(x,y), và giả sử lim (x,y) L

) y , x ( ) y , x



M)y,x(

)y,x(lim

) y , x ( )





+ lim n (x,y) n L,(n N)

) y , x ( )

3 Nguyên lý kẹp vẫn đúng đối với hàm số nhiều biến

Cụ thể là: Cho các hàm số h(x,y), f(x,y), g(x,y); giả sử h(x,y) ≤ f(x,y) ≤ g(x,y) với mọi điểm (x,y) trong một lân cận nào đó của điểm (x0,y0) và lim h(x,y) lim g(x,y) L

) y , x ( ) y , x ( )

y , x ( ) y , x



L)y,

4 Tích của một VCB với một hàm số giới nội cũng là VCB

5 Cần nhấn mạnh rằng, theo định nghĩa giới hạn của hàm số nhiều biến thì giá trị giới hạn L

không phụ thuộc vào cách thức của điểm M tiến đến điểm M0 Do đó, nếu MM0 theo các cách khác nhau mà hàm số tiến đến các giá trị khác nhau thì hàm số không tồn tại giới hạn khi MM0

Do đó, để chứng minh một hàm số không tồn tại giới hạn tại điểm M0 khi MM0, thông thường

có hai cách thực hiện, chẳng hạn đối với hàm số 2 biến f(x,y):

+ Nếu chỉ ra được hai dãy điểm (xn,yn), (x,n,y,n) cùng tiến đến điểm M0(x0,y0) và

0 n

Ví dụ 1.3

(a) Cho

11yx

yx)

y,x(

2 2

2 2

Miền xác định của hàm số f(x,y) là D = R2\{(0,0)}

Đây là giới hạn có dạng vô định

0

0

0x

11d11d

11dd1

1d

d1

1yx

yx)

2 2 2

2 2

2

2 2

xy)

y,x(



 , tìm giới hạn lim (x,y)

) 0 , 0 ( ) y , x

Miền xác định của hàm số f(x,y) là D = R2\{(0,0)}

Đây là giới hạn có dạng vô định

0

0 Nếu cho (x,y)  (0,0) dọc theo đường thẳng y = kx với các phương khác nhau (khi k thay đổi)

k1

k)

kx(x

)kx(x)kx,





 Suy ra, khi (x,y)  (0,0) theo các phương khác nhau thì f(x,y) dẫn đến các giới hạn khác nhau Như vậy, theo định nghĩa, không tồn tại giới hạn lim (x,y)

) 0 , 0 ( ) y , x

(c) Cho hàm số

2 2

yx

xy)

y,x(



 , tìm giới hạn lim (x,y)

) 0 , 0 ( ) y , x

Miền xác định của hàm số f(x,y) là D = R2\{(0,0)}

Đây là giới hạn có dạng vô định

0

0

yx

y,x(

ylim)y,x(lim)

y )

0 , 0 ( ) y , x ( )

(d) Cho hàm số 2 6

3

yx2

xy)

y,x(



 , tìm giới hạn lim (x,y)

) 0 , 0 ( ) y , x

Miền xác định của hàm số f(x,y) là D = R2\{(0,0)}

Đây là giới hạn có dạng vô định

0

0 Nếu cho (x,y)  (0,0) theo đường thẳng y = kx với các phương khác nhau (khi k thay đổi) thì ta

2 3 6

2 3

xk2

xk)

kx(3x

)kx(x)

0 , 0 ( ) y , x

y.y)

y,y

3 3

4 4

yx

yxyxx2)y,x(

yx(lim

)yxyxx2(lim)

y,x(lim1

)yx(lim

3)yxyxx(lim

2 2 ) 0 , 1 ( ) y , x (

4 4

) 0 , 1 ( ) y , x ( )

0 , 1 ( ) y , x ( 2

2 ) 0 , 1 ( ) y , x (

4 4

) 0 , 1 ( ) y , x (

) , ( ) y , x (   

Miền xác định của hàm số f(x,y) là D = R2

e

xe

xxe

2 2

x ) y x ( ) y x

yye

2 2

y ) y x ( ) y x

, ( ) y , x (

2 2 2

yxsin)y2x()y,x(

Miền xác định của hàm số f(x,y) là D = R2\{(0,0)}

y2x

y2xsiny2xy2x

y2xsin)y2x()y,x

0 , 0 ( ) y , x ( )

0 , 0 ( ) y , x

yx)y,x(



 , tìm giới hạn lim (x,y)

) 0 , 0 ( ) y , x

Miền xác định của hàm số f(x,y) là D = R2\{(0,0)}

Đây là giới hạn có dạng vô định

0

0

Ta tìm giới hạn của hàm số 4 2

2

yx

yx)y,x(



 khi (x,y)(0,0) dọc theo đường parabol y = kx2,

0 x 2 2 4

2 2 0 x 2 0

kk

1

klim)

kx(x

)kx(x2lim)kx

nhau ứng với giá trị của k khác nhau; chẳng hạn, nếu (x,y)(0,0) dọc theo đường parabol y = x2 (k =

TailieuVNU.com

1) thì lim 1

) 0

) 0 , 0 ( ) y , x

vậy, theo định nghĩa, không tồn tại giới hạn lim (x,y)

) 0 , 0 ( ) y , x

(i) Chứng minh rằng, hàm số 2 2

2 2

yx

yx)y,x(





 không tồn tại giới hạn lim (x,y)

) 0 , 0 ( ) y , x

Đây là giới hạn có dạng vô định

0

0

Chứng minh: Khi (x,y)(0,0) dọc theo đường y = 0 thì 1

x

x0x

0x)0,x

2 2 2

2 2

0

y0)y,0

2 2

2

2 2

định nghĩa, không tồn tại giới hạn 2 2

2 2 ) 0 , 0 ( ) y , x

yxlim





1.2.2 Khái niệm liên tục của hàm số nhiều biến

1.2.2.1 Định nghĩa Cho hàm số hai biến f(x,y) có miền xác định DR2, ta nói hàm số f(x,y) liên tục tại điểm M0(x0,y0)D nếu tồn tại giới hạn lim (x,y)

) y , x ( ) y , x (  0 0 và giá trị của giới hạn này bằng giá trị của hàm số f(x,y) tại điểm (x0,y0), tức là lim (x,y) (x0,y0)

) 0 , 0 ( ) y , x

gọi là điểm liên tục của hàm số f(x,y)

Hàm số f(x,y) được gọi là hàm số liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền

D

Lưu ý Các tính chất liên tục đối với hàm số một biến (n = 1) đã học trong học phần Giải tích 1

vẫn đúng đối với hàm số nhiều biến (n > 1)

Ví dụ 1.4 Xét tính liên tục của các hàm số sau đây

)0,0()y,x(khiyx

yx)y,

x

2 2

Miền xác định của hàm số f(x,y) là D = R2

yx

yxyx

yxlim)

y,x(

0 2 0

2 0 2 0 2 2

2 2 ) y , x ( ) y , x ( )

y , x ( ) y , x

liên tục tại mọi điểm (x0,y0) ≠ (0,0)

Tại điểm O(0,0) ta có f(0,0) = 0 nhưng không tồn tại lim (x,y)

) 0 , 0 ( ) y , x (  Thật vậy, xét dãy

qyn

px

0x

2 2

2 2 2 2

2 2

2 n 2 n

2 n 2 n n n

qp

qp)y,x(limq

p

qp

n

qn

p

n

qn

pyx

yx)y,x(

hàm số f(x,y) không tồn tại giới hạn khi (x,y)  (0,0) Do đó hàm số f(x,y) không liên tục tại điểm O(0,0)

)0,0()y,x(khiyx

yx)y,x

2 2

liên tục tại mọi điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trừ điểm gốc tọa độ

)0,0()y,x(khiyx

xy)

y,

x

Miền xác định của hàm số f(x,y) là D = R2

yx

yxyx

xylim

)y,x(

0 2 0

0 0 2 2 ) y , x ( ) y , x ( )

y , x ( ) y , x

số liên tục tại mọi điểm (x0,y0) ≠ (0,0)

Tại điểm (x0,y0) = (0,0) thì f(0,0) = 0

Ta có  2 2

yx2

xy)

y,x(

0x, do đó theo nguyên lý kẹp thì lim (x,y) 0

) 0 , 0 ( ) y , x

1M)y,x(

n n n n

n2

1y

x

yxy,x

f khi n   do đó lim (x,y) limfxn,yn (0,0)

n )

0 , 0 ( ) y , x

)0,0()y,x(khiyx

xy)

y,x

tọa độ Oxy khi  > 1, không liên tục tại điểm gốc tọa độ O(0,0) khi   1

1.2.2.2 Điểm gián đoạn của hàm số

Hàm số f(x,y) được gọi là gián đoạn tại điểm M0(x0,y0) nếu nó không liên tục tại điểm đó và điểm M0(x0,y0) được gọi là điểm gián đoạn của hàm số

Như vậy, khái niệm hàm số gián đoạn tại một điểm là phủ định khái niệm hàm số liên tục tại điểm đó, tức là hàm số f(x,y) gián đoạn tại điểm M0(x0,y0) nếu:

(1) hoặc nó không xác định tại điểm M0(x0,y0);

(2) hoặc nó xác định tại điểm M0(x0,y0) nhưng không tồn tại giới hạn lim (x,y)

) y , x ( ) y , x

(3) hoặc nó xác định tại điểm M0(x0,y0) và tồn tại giới hạn lim (x,y)

) y , x ( ) y , x

)

y,x()y,

(a)

1x2y

5xy2x)y,

ra các điểm (x,y)R2 nằm trên đường parabol y2 = 2x – 1 là các điểm gián đoạn của nó

Hơn nữa, tại điểm (x0,y0) không thỏa mãn phương trình y2 – 2x + 1 = 0 thì

)y,x(1x2y

5yxx1x2y

5xy2xlim)

y,

x

(

0 2 0

0 0 2 0 2

2 ) y , x ( ) y , x ( )

điểm không nằm trên đường parabol y2 = 2x – 1

Như vậy, đối với hàm số đang xét, các điểm (x,y)R2 nằm trên đường parabol y2 = 2x – 1 là các điểm gián đoạn của nó Các điểm gián đoạn của hàm số đang xét thuộc trường hợp (1)

)0,0()y,x(khiyx

yx)y,

x

2 2

Hàm số đang xét xác định tại điểm (0,0), tức là f(0,0) = 0 Tuy nhiên, như đã chứng minh ở Ví

dụ 1.3 (a), hàm số này không tồn tại giới hạn khi (x,y)  (0,0), nên điểm (0,0) là điểm gián đoạn của

)0,0()y,x(khi11yx

yx)

y,

x

2 2

Hàm số đang xét xác định tại điểm (0,0), tức là f(0,0) = 0; tuy nhiên, như đã chứng minh ở Ví dụ 1.2.(a), hàm số có lim (x,y) 2

) 0 , 0 ( ) y , x

 ; do đó lim (x,y) (0,0)

) 0 , 0 ( ) y , x

 nên theo định nghĩa, điểm gốc tọa

độ O(0,0) là điểm gián đoạn của hàm số

)0,0()y,x(khi11yx

yx)

y,x

2 2

Hơn nữa, hàm số đang xét liên tục tại mọi tại điểm (x0,y0) ≠ (0,0) Thật vậy, ta có

)y,x(11yx

yx1

1yx

yxlim

)y,

x

(

2 0 2 0

2 0 2 0 2

2

2 2 ) y , x ( ) y , x ( )

Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên tập mở DR2, giả sử điểm M0(x0,y0)D

Cho y = y0 thì hàm số hai biến z = f(x,y0)  g(x) trở thành hàm số một biến đối với x, khi đó nếu hàm số g(x) có đạo hàm tại x = x0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f(x,y) tại điểm M0(x0,y0) và ký hiệu là fx'(x0,y0)hoặc

x

)y,x( 0 0





TailieuVNU.com

Như vậy,

0

0 0 0

x x 0

0 x

x 0 0 ' x

xx

)y,x()y,x(limx

x

)x(g)x(glim)y,x(f

= x0 + x và gọi x là số gia của đối số x thì x  0 khi x  x0

Suy ra hiệu g(x)g(x0) (x,y0) (x0,y0) (x0 x,y0) (x0,y0)được gọi là số gia riêng của hàm số f(x,y) theo biến x tại điểm M0(x0,y0) và ký hiệu là xf(x0,y0)

Do đó ta có thể viết

x

)y,x()y,xx(limx

)y,x(lim)y,x(

0 x 0 0 x 0 x 0 0 ' x

)y,x(limy

y

)y,x()y,x(lim)y

0 0 0

y y 0 0

(2) Từ định nghĩa ta thấy rằng, để tính đạo hàm riêng theo một biến của một hàm số nhiều biến,

ta coi các biến còn lại là hằng số và tính như đạo hàm thông thường đối với hàm số một biến

y

f



không phải là phép chia

Ví dụ 1.6 Tính các đạo hàm riêng

x

)y,x(





, y

)y,x(

)y,x(

)y,x

)y,x

y

xcoty

1y

1.y

xcos.y

xsin

1x

)y,x(

xy

2

x.y

xcos.y

xsin

1y







1.3.1.2 Đạo hàm riêng của hàm hợp

Cho z = f(x,y) trong đó x, y là các hàm số của hai biến độc lập u, v:

)v,u(xx

Khi đó z = f(x(u,v),y(u,v)) được gọi là hàm hợp của hai biến độc lập u, v

Giả sử rằng các hàm số x(u,v), y(u,v) có các đạo hàm riêng

u

)v,u(x





, v

)v,u(x





,u

)v,u(y





, y

)y,x(





tại điểm (x,y) = (x(u,v),y(u,v)) Khi đó các nhà toán học đã chứng minh được:

du

)v,u(y.y

)y,x(du

)v,u(x.x

)y,x(u

)v,u(y.y

)y,x(dv

)v,u(x.x

)y,x(v





của hàm hợp z = f(x,y) = xlny với   

vuln)v,u(yy

vu)v,u(xx

Sử dụng công thức trên ta tính được:

)y,x(du

)v,u(x.x

)y,x(u

2

vu

u)vu(2)vuln(

ln3u.vu

1.y

xyln3

)y,x(dv

)v,u(x.x

)y,x(v

vuln(

lnv

u

v.y

xy

)y,x(x

)y,x(dx

dy.y

)y,x(x

)y,x(dx

)y,x(dt

dy.y

)y,x(dt

dx.x

)y,x(dt

df))t(y),t(x('f

z  với yy(x)2x

x

)y,x

x

e)x1(2.xee)x('y.y

)y,x(x

)y,x())

y1x)y,x(

e)t(yy

te)t(xx

x

)y,x

e1

tey

1

xyy

)y,x(

t 2 t 2

e1

t)e1(e)t21()t('y.y

))t(y),t(x()t('x.x

))t(y),t(x())t(y),t(x('f

1.3.2 Khái niệm vi phân toàn phần, gradient

Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên tập mở DR2, giả sử điểm M0(x0,y0)D

1.3.2.1 Vi phân toàn phần

Giả sử điểm M(x,y) = M(x0 + x,y0 + y)D Biểu thức f(x0,y0) = f(x,y) - f(x0,y0) = f(x0 +

x,y0 + y) - f(x0,y0) được gọi là số gia toàn phần của hàm số z = f(x,y) tại điểm M0(x0,y0)

TailieuVNU.com

Nếu có thể biểu diễn f(x0,y0) = A.x + B.y + .x + .y, trong đó A, B là các số chỉ phụ thuộc vào x0 và y0, còn

0 khi M  M0 tức là khi

0x thì ta nói rằng hàm số z = f(x,y) khả

vi tại điểm M0, còn biểu thức A.x + B.y được gọi là vi phân toàn phần của hàm số z = f(x,y) tại điểm M0 và ký kiệu là dz hoặc df(x0,y0)

Hàm số z = f(x,y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm trong miền ấy

Từ khái niệm khả vi vừa định nghĩa ở trên, ta suy ra rằng: Nếu hàm số z = f(x,y) khả vi tại điểm M0(x0,y0) thì nó liên tục tại điểm này Thật vậy, vì hàm z = f(x,y) khả vi tại điểm M0(x0,y0) nên khi

0

do đó f(x0,y0) = A.x + B.y + .x + .y  0, tức là f(x0,y0) = f(x0 +

x,y0 + y) - f(x0,y0)  0, hay f(x0 + x,y0 + x)  f(x0,y0) điều này chứng tỏ hàm số z = f(x,y) liên tục tại điểm M0(x0,y0)

Nhận xét Ta đã biết, đối với hàm số một biến y = f(x), nếu tại điểm x = x0 tồn tại đạo hàm f’(x0) thì ta có f(x0) = f(x0 + x) – f(x0) = f’(x0).x + .x, trong đó   0 khi x  0, tức là hàm số y = f(x) khả vi tại điểm x0 Tuy nhiên, đối với hàm số nhiều biến, sự tồn tại của tất cả các đạo hàm riêng tại một điểm trong miền xác định của hàm số, chưa đủ để khẳng định hàm số khả vi tại điểm đó

Định lý (điều kiện đủ để hàm số nhiều biến khả vi tại một điểm trong miền xác định của nó) Giả

sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng ở lân cận điểm M0(x0,y0) và giả sử các đạo hàm riêng ấy liên tục tại điểm M0 thì hàm số z = f(x,y) khả vi tại điểm M0 và ta có

y)

y,x(fx)

y,x(f

z    khả vi tại điểm O(0,0)

Miền xác định của hàm số đang xét là tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ, tức là D = R2

0x Như vậy, nếu đặt A = B = 0 và  =  = d thì có thể biểu diễn số gia toàn phần f của hàm số z = f(x,y) tại điểm O(0,0) là  (0,0)(xy) (x)2 (y)2 A.xB.y.x.y Theo định nghĩa, hàm số f(x,y) đang xét khả vi tại điểm O(0,0)

Cách 2 Chứng minh bằng cách sử dụng định lý

Tại điểm O(0,0) hàm số z = f(x,y) đang xét có các đạo hàm riêng tính được theo định nghĩa như sau:

0xlimx

)0,0()0,x(limx

)0,0()0,x0(limx

flim)

x 0

x x 0 x

)0,0()y,0(limy

)0,0()y0,0(limy

flim)

y 0

y x 0 y

x

yx

)yx(xyx)y,x

y

yx

)yx(yyx)y,x(f

Bây giờ ta chứng minh các đạo hàm riêngfx'(x,y),fy'(x,y)liên tục tại điểm O(0,0) Thật vậy, ta

2 2

2 2

2 2 2 '

x

yx

yxxyxy

x

)yx(xyxy

x

)yx(xyx)y

x

)yx(2x

y

2 2

2 2 2

được suy ra từ bất đẳng thức sau đây (xy)2 x2 y22xy(x2y2)(x2 y2)2(x2y2) Do

đó đạo hàm riêngfx'(x,y)liên tục tại điểm O(0,0) Chứng minh tương tự đối với đạo hàm riêng

fy' Theo định lý, hàm số z = f(x,y) đang xét khả vi tại điểm O(0,0)

Cũng như đối với hàm số một biến, nếu x và y là các biến số độc lập thì dx = x và dy = y; do

y,x(fx)

y,x(f)y,x()yy,xx(y)

y,x(fx

02.1arctan

Xét hàm số

x

yarctan)

y,x(

z  , ta cần tính f(x0 + x,y0 + y) với x0 = 1, y0 = 1, x = -0.05 và

y = 0.02

yx

y)

y,x(f





yx

x)y,x(f



 nên theo công thức gần đúng trên ta có

82.0035.0785.0035.042

05.0

*102.0

*)1,1()02.1

Lưu ý Vi phân toàn phần của hàm số z = f(x,y) có cùng một dạng dù cho x, y là các biến số độc

lập hoặc là các hàm số phụ thuộc vào các biến số độc lập khác Do đó, vi phân toàn phần của hàm số nhiều biến cũng có dạng bất biến như vi phân của hàm số một biến Như vậy, các công thức d(x  y) =

dx  dy, d(xy) = xdy + ydx, 2

y

xdyydxy

đúng khi x, y là các biến số độc lập thì cũng đúng khi

x, y là các hàm số phụ thuộc vào các biến số độc lập khác

)y,x(i

Tương tự, đối với hàm số 3 biến u = f(x,y,z) có các đạo hàm riêng tại điểm M0(x0,y0,z0) Biểu

)z,y,x(j.y

)z,y,x(ix

)z,y

 

k là các véc tơ đơn vị tương ứng với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz của hệ trục tọa độ Oxyz, được gọi là gradient của hàm số u =

TailieuVNU.com

f(x,y,z) tại điểm M0, tức là véc tơ đi qua điểm M0 và có các tọa độ là các đạo hàm riêng của hàm số f(x,y,z) tại điểm M0 và được ký hiệu là gradf(x0,y0,z0)

Ví dụ 1.11 Cho u = f(x,y,z) = x3 + y3 + z3 + 3xyz, tính gradf(1,2,-1)

x

)z,y,x

)1,2,1(ix

)1,2,1()

1.3.3 Định nghĩa đạo hàm theo hướng, ý nghĩa và công thức tính

Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên tập mở DR2, giả sử điểm M0(x0,y0)D

xxx

0

M(



theo đường thẳng định hướng trên thì

0x

0 khi đó, nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

2 2

0 0 0

0 ) 0 , 0 ( ) y , x ( 0 0 0

0

)y()x(

)y,x()xy,xx(lim)

y,x()y,x(lim

đạo hàm của hàm số f(x,y) theo hướngl tại điểm M0 và ký hiệu là

l

)y,x( 0 0





Tương tự, đối với hàm số 3 biến, từ điểm M0 vẽ một đường thẳng định hướng có véc tơ đơn vị là

z

yy

y

xx

0 2

0 2

0

M(

2

0 0 0 0

0 0

) 0 , 0 , 0 ( ) z , y , x ( 0 0 0 0

0

)z()y()x(

)z,y,x()zz,xy,xx(

l i m)

z,y,x()z,y,x(

x

)y,x(l

)y,x

; trong đó cos, cos là các thành phần của

TailieuVNU.com

véc tơ đơn vịl trong hệ trục tọa độ Oxy (tức là

y

)z,y,x(cos

x

)z,y,x(l

)z,y,x

; trong đó cos, cos, cos là các thành phần của véc tơ đơn vị

cos i cos j cos k

l ) và được gọi là các cosin chỉ phương của véc tơl

Ví dụ 1.12

(a) Tìm đạo hàm của hàm số z = f(x,y) = x2 – y2 tại điểm M0(1,1) theo hướng véc tơ



l lập với hướng dương của trục Ox một góc  = 60o

)1,1(

21.2x

)1,1(

y2y

)y,x(

x2x

)y,x(

330cos

2

160cos

0 o

2

3)

2(2

1.230cosy

)1,1(60cosx

)1,1(l

2i3

2kj2i23

1MMMM

1l3122

M

0

2 2

3

2cos

3

2cos

)1,2,3(

12y

)1,2,3(

4x

)1,2,3(

zxy3z

)z,y,x(

xyz2y

)z,y,x(

zyx

)z,y,x(

2 2 3

3 2

do đó

3

2223

1.363

2.123

2.4cosz

)1,2,3(cos

y

)1,2,3(cos

x

)1,2,3(l

)1,2,1(

1k2j2i3

1MM

3

2cos 

Từ Ví dụ 1.11 ta có 3

x

)1,2,1

2.93

2.93

1.3cosy

)1,2,1(cos

y

)1,2,1(cos

x

)1,2,1(l

Nhận xét (1) Đạo hàm của hàm số f(x,y) theo hướngl tại điểm M0(x0,y0) và gradient của hàm

số f(x,y) tại điểm M0 chính là tích vô hướng của véc tơ gradf(x0,y0) với véc tơl

(2) Đạo hàm của hàm số f(x,y) theo hướng

0 0 l

0 0

)y,x(cos

y

)y,x(cos

x

)y,x(l

0 0 l

0 0 0

0 0

0

y

)y,x(x

)y,x()

y,x(gradfl

)y

số f theo hướng véc tơl tại điểm M0 có giá trị lớn nhất khi véc tơ



l cùng hướng với véc tơ gradf

Ta cũng có kết quả tương tự đối với hàm số 3 biến trở lên

xx

)y,x(

y2y

)y,x(

)4,3(

)4,3(







Trong trường hợp này, véc tơl cùng hướng với gradf(x,y) nên

5

225

825

6y

)4,3(x

)4,3()

4,3(gradfl

,4M

xcos

1x

)z,y,x(

11z

)z,y,x(

1.2

3.32

1.3y

2

,3

,4

,3

,4

3ik.z2

,3

,4

fj.y2

,3

,4

fi.x2

,3

,4f2

,3

,4

gradf

và

8

730

8

312

,3

1.3.4 Đạo hàm riêng cấp cao, vi phân toàn phần cấp cao, công thức Taylor

1.3.4.1 Đạo hàm riêng cấp cao

Xét hàm số 2 biến z = f(x,y), các đạo hàm riêng

x

)y,x()y,x(

)y,x()y

)y,x()y,x(

x

)y,x()

y

)y,x()

y,x(f

)y,x()

)y,x()y,x(

"

y

)y,x(xy

x

)y,x()

y

)y,x()y,x(

Định lý Nếu trong một lân cận nào đó của điểm M(x,y) mà hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm

riêng cấp 2: fxy" (x,y),fyx" (x,y), đồng thời các đạo hàm riêng này liên tục tại điểm M thì

)y,x(f

1.3.4.2 Vi phân toàn phần cấp cao

Xét hàm số 2 biến z = f(x,y), vi phân toàn phần của nó df(x,y)fx'(x,y).dxfy'(x,y).dy tại điểm M(x,y) được gọi là vi phân toàn phần cấp 1 Khi đó, nếu vi phân toàn phần của vi phân toàn phần cấp 1 nếu tồn tại thì được gọi là vi phân toàn phần cấp 2 và được ký hiệu là d2f(x,y)

TailieuVNU.com

Trong trường hợp x và y là các biến độc lập, tức là dx và dy là các hằng số thì ta có

y,x(fdx)

y,x(fdy)

y,x(fdx)

y,x(fd)y,x(df

x '

y '

x 2

"

x

' y '

x

dy)

y,x(fdxdy.)y,x(f)y,x(fdx)

y,x(fdy.y

dy)

y,x(fdx

"

x 2

dy)

y,x(fdxdy)

y,x(f2dx)

y,x(f)y,x(

Tiếp tục định nghĩa tương tự, ta định nghĩa vi phần toàn phần cấp 3: d3f(x,y) = d(d2f(x,y)), …

và để cho tiện khi viết công thức đối với vi phân toàn phần cấp n trong trường hợp x và y là các biến độc lập ta dùng ký hiệu tượng trưng dy (x,y)

y

dxx)y,x(d

n n

dy(d)

y,x(fxd)

y,x(fdy)

y,x(fdxdy)

y,x(f2dx)

dxx)

(a) Tìm vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số z = f(x,y) = sinxsiny

Ta có fx'(x,y)cosxsiny và fy'(x,y)sinxcosy nên fx"2(x,y)sinxsiny,

ycosxcos

2

dy.ysinxsindxdy.ycosxcos2dx.ysinxsin)

)y,x(

)y,x(

)y,x(

3 3

3 2

2

3 3

3

3

dyy

)y,x(dxdy

yx

)y,x(.3dydxyx

)y,x(.3dx

x và y = y0 + y, thì ta có

)y,x(yy

xx)!

1n(

1)y,x(yy

xx

!k

1)y,x()

1 k

0 0 k 0

trong đó x1 = x0 + .x và y1 = y0 + .y với 0 <  < 1

Ví dụ 1.16 (a) Khai triển hàm số f(x,y) = 2x2 – xy – y2 – 6x – 3y + 5 theo công thức Taylor ở lân cận điểm M0(1,-2)

Ta có f(1,-2) = 2.12 – 1.(-2) – (-2)2 – 6.1 – 3.(-2) + 5 = 5 và các đạo hàm riêng

6yx

)y,x(y

x

)y,x

)2,1(y

x

)2,1

)2,1(x.x

)2,1(

!1

1)2,1()y,x(yy

xx

!k

1)y,x

0 0 k 0

2 2

2

)y.(

y

)2,1(y.x.yx

)2,1(2)x.(

Sau khi thay các giá trị đã xác định được vào biểu thức trên ta được



)2y)(

2()2y).(

1x).(

1.(

2)1x.(

42

1)2y.(

0)1x.(

0.15)

y

)1,1()1x.(

x

)1,1()1,1()1,1(yy

xx

!k

1)1,1()

2 2

2

)1y.(

y

)1,1()1y)(

1x.(

yx

)1,1(2)1x.(

x

)1,1(

3 2

2

3 3 3

3

)1y.(

y

)1,1()

1y)(

1x.(

yx

)1,1(3)1y()1x.(

yx

)1,1(3)1x.(

x

)1,1

x

)y,x

)y,x

)1,1(x

)1y(yx

)y

)1,1()

xlny1(xyx

)y,x

)1,1(x

lnxy

)y

y 2

)2y)(

1y(yx

)y,x(

3

3 3 y 3

)1,1(x

ln)1y(y)1y2(xy

x

)y

y 2

)1,1(x

ln)2xlny(xy

x

)y

y 2

lnxy

)y,x(

3

3 3

y 3

1)1y)(

1x()1x(1

1.3.5 Khái niệm hàm ẩn, đạo hàm riêng của hàm ẩn

1.3.5.1 Khái niệm hàm ẩn

TailieuVNU.com

Cho phương trình F(x,y) = 0, trong đó ánh xạ F: U  R là một hàm số xác định trên tập hợp mở UR2 Nếu với mỗi giá trị x = x0I (I là một khoảng hoặc một đoạn nào đó thuộc R), có một hay nhiều giá trị y0 sao cho F(x0,y0) = 0, thì ta nói rằng phương trình F(x,y) = 0 xác định một hay nhiều hàm ẩn y theo biến x trong khoảng I

Như vậy, ánh xạ f: I  R là một hàm ẩn xác định bởi phương trình F(x,y) = 0 nếu với xIR sao cho (x,f(x))UR2 và F(x,f(x)) = 0

b

ya

x)y,x(

2 2

của biến xI = [-a,a]R Trong trường hợp này, ta đã tìm được hai biểu thức tường minh của y theo x

Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng thực hiện được! Chẳng hạn, từ phương trình F(x,y) = xy– yx = 0 (với x > 0, y > 0) không thể tìm được biểu thức tường minh y theo x

Tương tự, đối với trường hợp hàm số 3 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0, trong đó ánh xạ F:

U  R là một hàm số xác định trên tập hợp mở UR3 Nếu với mỗi giá trị (x,y) = (x0,y0)I (I là một

tập nào đó thuộc R2), có một hay nhiều giá trị z0 sao cho F(x0,y0,z0) = 0, thì ta nói rằng phương trình F(x,y,z) = 0 xác định một hay nhiều hàm ẩn z theo các biến x,y trong tập mở I

Định lý (về sự tồn tại, tính liên tục và tính khả vi của hàm ẩn)

Đối với hàm số 2 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0, trong đó ánh xạ F: U  R là hàm số có các đạo hàm riêng liên tục trên tập mở UR2, giả sử (x0,y0)U và F(x0,y0) = 0 Nếu F'(x0,y0) 0

phương trình F(x,y) = 0 xác định trong một lân cận nào đó của x0 một hàm ẩn y = f(x) duy nhất, hàm

số này có giá trị bằng y0 khi x = x0, liên tục và có đạo hàm liên tục trong lân cận nói trên

Đối với hàm số 3 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0, trong đó ánh xạ F: U  R là hàm số có các đạo hàm riêng liên tục trên tập mở UR3 Giả sử (x0,y0,z0)U và F(x0,y0,z0) = 0 Nếu

0)

1.3.5.2 Đạo hàm riêng của hàm ẩn

Đối với hàm số 2 biến F(x,y) = F(x,f(x)) = 0: '

y

' x

F

Fdx

dy)x('

b

ya

x)y,x(

2 2

F  và y' 2

b

y2

F  nên với y ≠ 0 thì 0

Fy'  , khi đó phương trình F(x,y) = 0 đang xét, xác định một hàm ẩn y = f(x) liên tục và

y

x.a

bF

Fdx

x

F

Fx

y

F

Fy

F   > 0 với z Vì Fz' 0với z nên phương trình F(x,y,z) = 0 đang xét, xác định một hàm ẩn

z = f(x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng ' z 2

x

z3e

yx2z

xz





1.4 Cực trị của hàm nhiều biến

1.4.1 Khái niệm cực trị địa phương, phương pháp tìm cực trị địa phương

Cho hàm số 2 biến z = f(x,y) xác định trong một miền mở D  R2, M0(x0,y0) là một điểm trong của D Ta nói rằng hàm số f(x,y) đạt cực trị địa phương tại điểm M0 nếu với mọi điểm M trong một lân cận nào đó của điểm M0 nhưng khác M0 và hiệu số f(x,y) – f(x0,y0) có dấu không đổi Nếu f(x,y) –

TailieuVNU.com

f(x0,y0) > 0 hàm số có cực tiểu địa phương tại điểm M0, còn nếu f(x,y) – f(x0,y0) < 0 hàm số có cực đại địa phương tại điểm M0

Định lý (điều kiện cần của cực trị địa phương) Nếu hàm số z = f(x,y) khả vi và đạt cực trị địa

phương tại điểm M0(x0,y0) thì các đạo hàm riêng cấp 1 của nó bằng 0 tại điểm đó, tức là





Các điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bậc nhất của hàm số f(x,y), bằng 0 được gọi là điểm dừng hay điểm tới hạn

Lưu ý Điều kiện cần của cực trị địa phương cho phép thu hẹp việc tìm điểm cực trị địa phương

và vì là điều kiện cần nên không phải mọi điểm dừng đều là điểm cực trị

Định lý (điều kiện đủ của cực trị địa phương) Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng

cấp 2 liên tục trong một lân cận nào đó của điểm dừng M0(x0,y0) Bây giờ, nếu ta coi vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số f(x,y) tại điểm (x0,y0):

2 0 0

"

y 0

0

"

xy 2 0 0

"

x 0 0 0

0

2

dy)

y,x(fdxdy)

y,x(f2dx)

y,x(f)y,x(dy.ydx.x)y,

dạng toàn phương của các biến dx, dy thì

(1) Khi d2f(x0,y0) xác định âm thì hàm số f(x,y) đạt cực đại địa phương tại (x0,y0); còn khi

d2f(x0,y0) xác định dương thì hàm số f(x,y) đạt cực tiểu địa phương tại (x0,y0);

(2) Khi d2f(x0,y0) không xác định dương cũng không xác định âm (không xác định dấu) thì (x0,y0) là không phải là điểm cực trị địa phương của hàm số f(x,y);

(3) Khi d2f(x0,y0) suy biến (tức là tồn tại dx, dy không đồng thời bằng 0 nhưng d2f(x0,y0) = 0) thì chưa thể kết luận được hàm số f(x,y) có cực trị địa phương tại điểm M0 hay không, mà cần phải xét bằng phương pháp khác (trường hợp này thường được gọi là trường hợp nghi ngờ)

Để biết với yêu cầu nào thì một dạng toàn phương là xác định dương, hoặc là xác định âm hoặc không xác định dấu, ta sử dụng định lý Sylvester: Dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi tất

cả các định thức con chính của ma trận của dạng toàn phương đều dương; dạng toàn phương xác định âm khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của ma trận của dạng toàn phương có cấp lẻ đều

âm và có cấp chẵn đều dương

2 0 0

"

x

x

)y,x(f)y,x(f

)y,x(f)y,x(f

2 0

 thì dạng toàn phương d2f(x0,y0) của các biến dx, dy là d2f(x0,y0) = Adx2

+ 2Bdxdy + Cdy2 và có ma trận tương ứngAB CB

Do đó, từ định lý Sylvester ta có: Nếu det(A) = A < 0 và AC B 0

CB

BA

CB

BA

x)yx47(2

xy)y,x(z

Bài giải

TailieuVNU.com

(a) Ta có M (0,3)

3y

0x06xy2y

)y,x(

03yx2x

)y,x(

2

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2

CdyBdxdy2Adx)3,0(d

2y

)3,0(fC2y

)y,x(f

1yx

)3,0(fB1yx

)y,x(f

2x

)3,0(fA2x

)y,x(f

2dx2 + 2dxdy + 2dy2 có ma trận của dạng toàn phương là BA CB12 12

Bây giờ, tính định thức các ma trận chính của ma trận cấp 2 này, ta được det(2) = 2 > 0 và

03

21x141y6x

188yx8

04

yx474

y3

x2

xy

)y,x(

03

yx474

y3

x2

yx

)y,x(

2

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2

CdyBdxdy2Adx)20,21(d

2

1y

)20,21(fC2

1y

)y,x(f

12

1y

x

)20,21(fB12

1y

x

)y,x(f

3

2x

)20,21(fA3

2x

)y,x(f

2 2

dy2

1dxdy

 có ma trận của dạng toàn phương là AB CB12123 11122

Bây giờ, tính định thức các ma trận chính của ma trận cấp 2 này, ta được 0

3

23

2det  

472

112

1

1213

21)

202147(2

20.2120

Phương pháp thực hành tìm cực trị địa phương đối với hàm số 2 biến: Khi khảo sát cực trị địa

phương của hàm số 2 biến, để cho tiện, người ta thường thực hiện như sau

Nếu ký hiệu B2 ACdetAB CB và A = det(A) thì từ điều kiện đủ của cực trị địa phương và định lý Sylvester ta được:

TailieuVNU.com

(1) Nếu  < 0 thì hàm số f(x,y) có cực trị địa phương tại điểm (x0,y0), cụ thể là: Cực đại khi A <

0 (hoặc C < 0), cực tiểu khi A > 0 (hoặc C > 0);

(2) Nếu  > 0 thì hàm số f(x,y) không có cực trị địa phương tại điểm (x0,y0);

(3) Nếu  = 0 thì chưa thể kết luận được hàm số f(x,y) có cực trị địa phương tại điểm M0(x0,y0) hay không, mà cần phải xét tiếp bằng phương pháp khác (trường hợp này thường được gọi là trường hợp nghi ngờ)

Bây giờ ta sẽ giải Ví dụ 1.20 bằng phương pháp này

(a) Vì  = B2 – AC = 1- 2.2 = -3 < 0 và A = 2 > 0, nên hàm số f(x,y) đang xét đạt cực tiểu duy nhất tại điểm M0 0,3 , tức là fct f 0,3 9

144

472

1.3

212

1AC

có cực đại địa phương duy nhất tại điểm M0(21,20), tức là fcđ = f(21,20) = 282

Đối với hàm số từ 3 biến trở lên, ta cũng có kết quả tương tự Chẳng hạn, với hàm số 3 biến u =

f(x,y,z) xác định trong một miền mở DR3, M0(x0,y0,z0) là một điểm trong của D Ta nói rằng hàm số f(x,y,z) đạt cực trị địa phương tại điểm M0 nếu với mọi điểm M trong một lân cận nào đó của điểm M0 nhưng khác M0 và hiệu số f(x,y,z) – f(x0,y0,z0) có dấu không đổi Nếu f(x,y,z) – f(x0,y0,z0) > 0 hàm số

có cực tiểu địa phương tại điểm M0, còn nếu f(x,y,z) – f(x0,y0,z0) < 0 hàm số có cực đại địa phương tại điểm M0

Định lý (điều kiện cần của cực trị địa phương) Nếu hàm số u = f(x,y,z) khả vi và đạt cực trị địa

phương tại điểm M0(x0,y0,z0) thì các đạo hàm riêng cấp 1 của nó bằng 0 tại điểm đó, tức là

0x

Định lý (điều kiện đủ của cực trị địa phương) Giả sử hàm số u = f(x,y,z) có các đạo hàm riêng

cấp 2 liên tục trong một lân cận nào đó của điểm dừng M0(x0,y0,z0) Bây giờ, nếu ta coi vi phân toàn phần cấp 2 của hàm số f(x,y,z) tại điểm (x0,y0,z0):

x

(

2 0

0 0

0 0 0 2 2 2

0 0 0

2

dz.z

)z,y,x(dy

.y

)z,y,x(dx

.x

)z,y,

x

(

dzdx.xz

)z,y,x(2dydz.zy

)z,y,x(2dxdy.yx

)z,y,x

(

2 0

0 0 2 0

0 0 2

là dạng toàn phương của các biến dx, dy và dz thì:

(1) Khi d2f(x0,y0,z0) xác định dương thì hàm số f(x,y,z) đạt cực tiểu địa phương tại (x0,y0,z0);

(2) Khi d2f(x0,y0,z0) xác định âm thì hàm số f(x,y,z) đạt cực đại địa phương tại (x0,y0,z0);

(3) Khi d2f(x0,y0,z0) không xác định dương cũng không xác định âm (không xác định dấu) thì (x0,y0,z0) là không phải là điểm cực trị địa phương của hàm số f(x,y,z);

(4) Khi d2f(x0,y0,z0) suy biến (tức là tồn tại dx, dy, dz không đồng thời bằng 0 nhưng

d2f(x0,y0,z0) = 0) thì chưa thể kết luận được hàm số f(x,y,z) có cực trị địa phương tại điểm (x0,y0,z0) hay không, mà cần phải xét tiếp bằng phương pháp khác (trường hợp này thường được gọi là trường hợp nghi ngờ)

Ví dụ 1.21 Tìm cực trị của hàm số

z

2y

zx4

yx)z,y,x(u

2 2

0z

2y

z2z

)z,y

,

x

(

0y

zx

yy

)z,y

,

x

(

0x

y1x

)z,y

là điểm dừng duy nhất

2 2

2

x

yx

)z,y,x(

x

)z,y,x(

)z,y,x(

2

y

z2x

1y

)z,y,x(

y

z2z

2z

)z,y,x

1

2

1.2

1x

1,1,2

1f

3 2 2

1y

x

1,1,2

1f

1.2

1y

1,1,2

1f

3 2 2

z2z

y

1,1,2

1f

2 2

41

2z

4y

2z

2

dx.x

1,1,2

1f1,1,2

1fdz.zdy.ydx.x1

,1,2

1fd

1,1,2

1f.2dydz.zy

1,1,2

1f.2dxdy.yx

1,1,2

1f.2dz.z

1,1,2

1fdy

2 2 2

232

024

Tính các định thức con chính của ma trận này ta được det(4) = 4 > 0, 8 0

32

24

2

0

23

2

02

Do đó dạng toàn phương đang xét là xác định dương, nên hàm số

f(x,y,z) đang xét đạt cực tiểu duy nhất tại điểm 

1

1

2112

1.4

12

11,1,2

1fu

2 2

TailieuVNU.com

Ví dụ 1.22 Khi sản xuất hộp đựng sữa, để tiết kiệm chi phí bao bì, người ta cần phải giải quyết

bài toán: Tìm hình trụ tròn có thể tích lớn nhất trong các hình trụ tròn có cùng diện tích toàn phần Khi

đó, nếu gọi chiều cao của hình trụ tròn là h > 0 và bán kính đáy của hình trụ tròn là r > 0, thì ta phải tìm giá trị cực đại của biểu thức V(r,h) = h.Sđ = h.r2 = hr2 với Stp = 2Sđ + Sxq = 2r2 + h.2r = 2(h + r)r = S là hằng số dương

Đối với hàm số 2 biến, người ta gọi bài toán tìm cực trị của hàm số f(x,y) với các biến x và y thỏa mãn điều kiện g(x,y) = 0 là bài toán tìm cực trị có điều kiện; tương tự, đối với hàm số 3 biến, người ta gọi bài toán tìm cực trị của hàm số f(x,y,z) với các biến x, y và z thỏa mãn điều kiện g(x,y,z)

= 0 là bài toán tìm cực trị có điều kiện

Thông thường, có hai cách giải quyết bài toán tìm cực trị có điều kiện Cách thứ nhất: Nếu từ điều kiện đã cho có thể biểu diễn tường minh một biến qua các biến còn lại thì có thể đưa bài toán tìm cực trị có điều kiện về bài toán tìm cực trị không có điều kiện với số biến giảm đi một Tuy nhiên, không phải bao giờ cũng làm được điều vừa nói, tức là biểu diễn tường minh một biến qua các biến còn lại từ điều kiện đã cho, khi đó ta sử dụng Cách thứ hai: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange là phương pháp đưa việc tìm cực trị có điều kiện về việc tìm cực trị không điều kiện

Bây giờ ta sử dụng Cách thứ nhất để giải bài toán ở Ví dụ 1.22 Từ điều kiện 2(h + r)r = S (S là hằng số) ta giải ra được r

r2

S)(h

Sr

)

rh.)(h,rVhr)

số hai biến V(r,h) trở thành hàm số một biến V(r)

r32

Sr

r2

S)('

S)rh

0 0

S6

S6

S.2

Srr2

S)rV

3 3

0 0

Như vậy, hình trụ tròn có chiều cao bằng đường kính đáy của nó là hình trụ tròn có thể tích lớn nhất trong các hình trụ tròn có cùng diện tích toàn phần

Phương pháp nhân tử Lagrange đối với hàm số 2 biến

Bước 1 Lập hàm số Lagrange 3 biến L(x,y,) = f(x,y) + g(x,y), trong đó  (được gọi là nhân tử Lagrange) là tham số chưa được xác định

Bước 2 Tìm các điểm dừng (x0,y0,0) là nghiệm của hệ phương trình:

x

(

L

0y

)y,x(gy

)y,x(y

),y,

x

(

L

0x

)y,x(gx

)y,x(x

),y,

TailieuVNU.com

),y,x(L2dy.y

),y,x(Ldx

.x

),y,x(L),y,

0 0 0 2 2 2

0 0 0 2 0 0 0

dạng toàn phương của các biến dx, dy

(1) Nếu d2L(x0,y0,0) là dạng toàn phương xác định dương thì hàm số f(x,y) có cực tiểu địa phương có điều kiện tại điểm (x0,y0) và có giá trị cực tiểu fct = f(x0,y0);

(2) Nếu d2L(x0,y0,0) là dạng toàn phương xác định âm thì hàm số f(x,y) có cực đại địa phương

có điều kiện tại điểm (x0,y0) và có giá trị cực đại fcđ = f(x0,y0);

(3) Nếu d2L(x0,y0,0) không xác định dương cũng không xác định âm (không xác định dấu) thì điểm (x0,y0) là không phải là điểm cực trị địa phương của hàm số f(x,y);

(4) Nếu d2L(x0,y0,0) suy biến (tức là tồn tại dx, dy không đồng thời bằng 0 nhưng d2f(x0,y0,0)

= 0) thì chưa thể kết luận được hàm số f(x,y) có cực trị địa phương tại điểm (x0,y0) hay không, mà cần phải xét tiếp bằng cách tìm mối quan hệ giữa dx và dy bởi điều kiện g(x,y) = 0 như sau:

Tính vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số g(x,y) = 0 ta được

0dy.y

)y,x(gdx.x

)y,x(g)y,x(dg0dy.y

)y,x(gdx.x

)y,x(g)

)y,x(gy

)y,x(gdx

0 0

0 0

)y,x(gdy

0 0

0 0

Sau đó, thay dx (biểu diễn qua dy) hoặc thay dy (biểu diễn qua dx) vào biểu thức của

d2L(x0,y0,0) và xét dấu của d2L(x0,y0,0) là hàm số của biến dy hoặc là hàm số của biến dx

Bây giờ ta sử dụng Cách thứ hai (phương pháp nhân tử Lagrange) để giải bài toán ở Ví dụ 1.22

Ta viết điều kiện 2(h + r)r = S (S là hằng số) thành g(r,h) = 2(h + r)r – S = 0

Bước 1 Lập hàm số Lagrange 3 biến L(r,h,) = V(r,h) + g(r,h) = hr2 + [2(h + r)r – S]

Bước 2 Giải hệ phương trình

0)2rrh

)h,rgh

)h,rVh

),h,rL

0)2h(hr2r

)h,rgr

)h,rVr

),h,rL

với điều kiện r > 0, h > 0 ta tìm được một điểm dừng duy nhấtr0,h0, với 0



6

),h,rL

)2h(2hr2r

),h,rL

0 2

0

0 0

TailieuVNU.com

h

),h,rL

r)r2h

r

),h,rV2

r2h

r

),h,rL

r2)2h(2r

),h,rV4

h2r

),h,rL

2 0 0 0 2 2

0 2

0 0 0 0

0 0 2 0 0

2

0 0

0 2

0 0 0 2 0 2

0 2

do đó, vi phân toàn phần bậc hai của hàm số L(r,h,0) tại điểm (r0,h0) là

0 0 2 2 2

0 0 0 2 0 0 0

2

dh.h

),h,rLdrdh.hr

),h,rL2dr.r

),h,rL),h,

r

L

d

drdh.r2dr.r2dh.0drdh.r2dr

)h,rg)h,r

0

0 0

0 0

0

r2h

)h,rg

r8)r2h(2r

)h,rg

r2h

)h,rg

)2h(2r

)h,rg

h

)h,rgdr.r

)h,rg)h

r6)dr4(dr.r2dr.r2),



6

Sr2r.r2.rh)h,r

Phương pháp nhân tử Lagrange đối với hàm số 3 biến

Hoàn toàn tương tự như đối với với hàm số 2 biến

Bước 1 Lập hàm số Lagrange 4 biến L(x,y,z,) = f(x,y,z) + g(x,y,z), trong đó  (được gọi là nhân tử Lagrange) là tham số chưa được xác định

Bước 2 Tìm các điểm dừng (x0,y0,z0,0) là nghiệm của hệ phương trình:

x

(

L

0z

)z,y,x(gz

)z,y,x(z

),z,y,

x

(

L

0y

)z,y,x(gy

)z,y,x(y

),z,y,

x

(

L

0x

)z,y,x(gx

)z,y,x(x

),z,y,

TailieuVNU.com

0 0 0 0 2 2 2

0 0 0 0 2 0 0 0 0

2

dz.z

),z,y,x(Ldy

.y

),z,y,x(Ldx

.x

),z,y,x(L),z,y,

),y,x(L2dydz.zy

),y,x(L2dxdy.y

x

),y

0 0 2 0

0 0

là một dạng toàn phương của các biến dx, dy và dz

(1) Nếu d2L(x0,y0,z0,0) là dạng toàn phương xác định dương thì hàm số f(x,y,z) có cực tiểu địa phương có điều kiện tại điểm (x0,y0,z0) và có giá trị cực tiểu fct = f(x0,y0,z0);

(2) Nếu d2L(x0,y0,z0,0) là dạng toàn phương xác định âm thì hàm số f(x,y,z) có cực đại địa phương có điều kiện tại điểm (x0,y0,z0) và có giá trị cực đại fcđ = f(x0,y0,z0);

(3) Nếu d2L(x0,y0,z0,0) không xác định dương cũng không xác định âm (không xác định dấu) thì điểm (x0,y0,z0) là không phải là điểm cực trị địa phương của hàm số f(x,y,z);

(4) Nếu d2L(x0,y0,z0,0) suy biến (tức là tồn tại dx, dy và dz không đồng thời bằng 0 nhưng

d2f(x0,y0,z0,0) = 0) thì chưa thể kết luận được hàm số f(x,y,z) có cực trị địa phương tại điểm (x0,y0,z0) hay không, mà cần phải xét tiếp bằng cách tìm mối quan hệ của dx qua dy và dz, hoặc tìm mối quan hệ của dy qua dx và dz, hoặc tìm mối quan hệ của dz qua dx và dy bởi điều kiện g(x,y,z) = 0 như sau:

Tính vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số g(x,y,z) = 0 ta được

0dz.z

)z,y,x(gdy.y

)z,y,x(gdx.x

)z,y,x(g)z,

)z,y,x(gdy.y

)z,y,x(gdx.x

)z,y,x(g)z,y,x

(

0 0

)z,y,x(gz

)z,y,x(gdyx

)z,y,x(gy

)z,y,x(gdx

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

)z,y,x(gdxy

)z,y,x(gx

)z,y,x(gdy

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

)z,y,x(gdxz

)z,y,x(gx

)z,y,x(gdz

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Ví dụ 1.23 Trong tất cả các tam giác nội tiếp trong đường tròn bán kính R cho trước, tìm tam

giác có diện tích lớn nhất

Bài giải Gọi tam giác nội tiếp trong đường tròn bán kính R cho trước là ABC Ký hiệu độ dài

các cạnh đối diện với các góc A, B, C là a, b, c

Từ định lý sin đối với tam giác nội tiếp đường tròn bán kính R: 2R

Csin

cBsin

bAsin

R

2

b

Asin

Như vậy, yêu cầu của bài toán trở thành: Tìm giá trị cực đại của biểu thức

CsinBsinAsinR2

BA

Để giải bài toán này, chúng ta sử dụng Phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1 Lập hàm số Lagrange 4 biến L(A,B,C,) = S(A,B,C) + g(A,B,C) =

)CBA(CsinBsin

BA),C,B,

A

(

L

0C

cosBsinAsinR2C

),C,B,

A

(

L

0C

sinBcosAsinR2B

),C,B,

A

(

L

0C

sinBsinAcosR2A

),C,B,

A

(

L

2 2 2

CBA

AtanCtan

CtanBtan

BtanAtan

0 0

R

định cực trị của hàm số này tại điểm dừng (A0,B0,C0) với

3CB

A0  0  0  

bằng điều kiện đủ, ta cần phải xác định biểu thức của vi phân toàn phần cấp 2: d2L(A0,B0,C0,0)

0

0 2

0

0 2

0

CcosBsinAsinR2C

),C,B,A(L

CsinBcosAsinR2B

),C,B,A(L

CsinBsinAcosR2A

),C,B,A(L

),C,B

),C,B

),C,B

0 2

2 2

0 2

2 2

0 2

C

),C,B,A(L

CcosBcosAsinR2C

B

),C,B,A(L

CsinBcosAcosR2B

A

),C,B,A(L

2 0

2

2 0

2

2 0

2

nên tại điểm dừng (A0,B0,C0):

2 2

0 0 0 0 2 2

0 0 0 0 2 2

0 0 0 0

2

R4

33C

),C,B,A(LB

),C,B,A(LA

),C,B,A

R4

3A

C

),C,B,A(LC

B

),C,B,A(LB

A

),C,B,A(

),C,B,A(LC

A

),C,B,A(LB

A

),C,B,A

(

L

m3C

),C,B,A(LB

),C,B,A(LA

),C,B,A

(

L

0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2

2 0 0 0 0 2 2

0 0 0 0 2 2

0 0 0 0 2

Do đó, biểu thức vi phân toàn phần cấp 2

2 2

0 0 0 0 2 2 2

0 0 0 0 2 2 2

0 0 0 0 2 0 0 0

0

2

dC.C

),C,B,A(LdB

.B

),C,B,A(LdA

.A

),C,B,A(L),C

),C,B,A(L2dBdC.C

B

),C,B,A(L2dAdB.B

A

),C,B

0 0 0 2 0

0 0 0

mm3m

mm

0R2

3m8m3m

3mm

mm3m

mm

m3

,3C

4

332

3.2

3.2

3.R23

sin3

sin3sinR23

,3

,3Sc,b,aS

với tam giác đều nội tiếp trong hình tròn bán kính R

1.4.3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Xét hàm số 2 biến z = f(x,y) xác định trên miền đóng D  R2 Nếu f(x,y)  f(x0,y0) với

(x,y)D thì giá trị f(x0,y0) được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) hay giá trị cực đại toàn cục của hàm

số f(x,y) trên miền đóng D; còn nếu f(x,y)  f(x0,y0) với (x,y)D thì giá trị f(x0,y0) được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) hay giá trị cực tiểu toàn cục của hàm số f(x,y) trên miền đóng D

Cũng như đối với hàm số 1 biến, mọi hàm số nhiều biến liên tục trên một miền đóng D đều tồn tại GTLN và GTNN trên miền ấy

Nếu hàm số đạt GTLN và/hoặc GTNN tại một hoặc nhiều điểm trong của miền D thì các điểm này phải là điểm cực trị của hàm số, do đó theo điều kiện cần của điểm cực trị, điểm ấy phải là điểm dừng

Hàm số cũng có thể đạt GTLN và/hoặc GTNN tại một hoặc nhiều điểm trên biên của miền D thì các điểm này cũng phải là điểm cực trị của hàm số trên biên của miền D, do đó theo điều kiện cần của điểm cực trị, điểm ấy phải là điểm dừng trên biên của miền D

Hàm số cũng có thể đạt GTLN và/hoặc GTNN tại một hoặc một số hữu hạn các điểm thuộc miền đóng D mà tại đó hàm số chỉ liên tục nhưng không khả vi (các điểm này thường nằm trên biên của miền D)

Do đó, để tìm GTLN và GTNN của một hàm số trên miền đóng D, ta thực hiện:

(1) Tìm các điểm dừng là các điểm trong của miền D và tính giá trị của hàm số tại các điểm này;

TailieuVNU.com

(2) Tìm các điểm dừng là các điểm trên biên của miền D và tính giá trị của hàm số tại các điểm này;

(3) Tính giá trị của hàm số tại các điểm thuộc miền đóng D mà tại đó hàm số chỉ liên tục nhưng không khả vi;

(4) Chọn GTLN và GTNN trong tất cả các giá trị của hàm số đã tìm được

Lưu ý (1) Nên vẽ hình của miền D; (2) Tại mỗi điểm dừng (là điểm trong hoặc trên biên của D) tìm được, không cần phải xác định điểm này là điểm cực đại hay cực tiểu của hàm số, mà chỉ cần tính giá trị của hàm số tại điểm này

Ví dụ 1.24 (a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số z = f(x,y) = 8x2 + 3y2 + 1 – (2x2 + y2 + 1)2

trong miền đóng D = {(x,y)R2  x2 + y2  1}

Miền xác định của hàm số đang xét là R2 và hiển nhiên là hàm số f(x,y) đang xét liên tục với mọi x, y trong miền xác định của nó, nên hàm số này đạt GTLN và GTNN trên miền đóng D

1yx2(2y6y

)y,x(

0)yx21(x8x)

1yx(2x16x

)y,x(

2 2 2

2

2 2 2

1,

1,0

Ta có g’(x) = -4x3 + 2x = 2x(1 – 2x2), nên điểm dừng là nghiệm của phương trình g’(x) = 0  2x(1 – 2x2) = 0, phương trình này có 3 nghiệm x = 0 và

1

Cả 6 điểm này đều nằm trên biên của miền D và giá trị của hàm số f(x,y) tương ứng tại các điểm này là

0, 1 0

4

12

1,2

1

(b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số z = f(x,y) = x2 + y2 – xy + x + y trong miền đóng D là tam giác được giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, y = 0 và x + y = -3

Miền xác định của hàm số đang xét là R2 và hiển nhiên là hàm số f(x,y) đang xét liên tục với mọi x, y trong miền xác định của nó, nên hàm số này đạt GTLN và GTNN trên miền đóng D

TailieuVNU.com

(1) Đồ thị của miền D là một tam giác có các đỉnh (-3,0); (0,0); (0,-3)

(2) Tìm các điểm dừng trong miền D

)y,x(

01yx2x

)y,x(

để xác định các điểm dừng, hệ phương trình

này có 1 nghiệm duy nhất là (-1,-1), tức là hàm số f(x,y) đang xét có 1 điểm dừng M(-1,-1) là điểm trong của miền D Tại điểm này ta có f(-1,-1) = -1

(3) Tìm các điểm dừng của hàm số f(x,y) trên biên của miền D

+ Khi x = 0 với -3  y  0 tương ứng f(0,y) = y2 + y  g(y) với -3  y  0

Ta có g’(y) = 2y + 1, nên điểm dừng là nghiệm của phương trình g’(y) = 0, phương trình này có nghiệm

1,0f2

+ Khi y = 0 với -3  x  0 tương ứng f(x,0) = x2 + x  h(x) với -3  x  0

Ta có h’(x) = 2x + 1, nên điểm dừng là nghiệm của phương trình h’(x) = 0, phương trình này có nghiệm

1f2

+ Khi y = -3 – x với -3  x  0 tương ứng f(x,-3 – x) = 3x2 + 9x + 6  k(x) với -3  x  0

Ta có k’(x) = 6x + 9, nên điểm dừng là nghiệm của phương trình k’(x) = 0, phương trình này có nghiệm

3f2

1.5 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

1.5.1 Đường và tiếp tuyến của đường

1.5.1.1 Đường và tiếp tuyến của đường trong mặt phẳng

Ở Trường THPT chúng ta đã biết rằng, trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, nếu đường L là đồ thị của hàm số y = f(x) thì phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0,y0)L là y – y0 = f’(x0) (x – x0) Tuy nhiên, không phải khi nào đường L cũng được biểu diễn bằng hàm số y = f(x), mà trong trường hợp tổng quát, đường L được biểu diễn, nói chung bằng phương trình f(x,y) = 0

TailieuVNU.com

Điểm M0(x0,y0)L được gọi là điểm chính quy nếu

x

)y,x( 0 0

x

y

)y,x()yy(x

)y,x()xx

0 0

)t(xx

với   t  , trong đó x(t), y(t) là các hàm

số khả vi liên tục trên [,] và các đạo hàm x’(t), y’(t) không đồng thời bằng 0 tại mỗi điểm t[,] thì phương trình tiếp tuyến của đường L tại điểm M0(x0,y0) với

)t(xx

0 0

0 0

là

)t('y

yy)t('x

xx

0 0 0

x

2 2 2

2



 tại điểm M0(x0,y0) nằm trên đường ellip

Bài giải Ta giải bài toán này bằng 2 cách

Cách 1 Đường ellip được biểu diễn bằng phương trình 1 0

b

ya

x)y,x

2 2

)y,x(







, suy ra phương trình tiếp tuyến với đường ellip tại điểm M0(x0,y0)

x)xx(y

)y,x()yy(x

)y,x()xx

0 2

0 0 0

0 0 0

0 0

1yb

yxa

xb

ya

2 0 2

2 0 2

x

2

2 0 2

x

2 2 2

tcosa)t(xx

)t(xx

0 0

0 0

là

)t('y

yy)t('x

xx

0 0 0

xb

ya

xyb

yxa

xx

ab

yyyba

xxx

a

btcosb)

atsina)

0 2

2 0 2

2 0 2

0 2

0

0 0

0 0

0 0

0

0 0

1.5.1.2 Đường và tiếp tuyến của đường trong không gian

Trong hệ tọa độ vuông góc Oxyz, đường L thường được cho dưới dạng tham số

)t(yy

)t(xx

)t(yy

)t(xx

0 0

0 0

0 0

là

)t('z

zz)t('y

yy)t('x

xx

0 0 0

0 0



TailieuVNU.com

Ví dụ 1.26 Viết phương trình tiếp tuyến của đường L được cho dưới dạng tham số

t)t(zz

t)t(yy

t)t(xx

93)t(yy

3)3(xx

3 0

2 0

63.2)3('y

1)3('x

t3)t('z

t2)t('y

1)t('x

2 2

do đó ta có phương

trình tiếp tuyến của đường L là

27

27z6

9y1

1.5.2 Mặt và tiếp tuyến của mặt, mặt phẳng tiếp xúc

Trong hệ tọa độ vuông góc Oxyz, mặt S được biểu diễn bởi phương trình f(x,y,z) = 0 Giả sử M0(x0,y0,z0)S, khi đó đường thẳng M0T được gọi là tiếp tuyến của mặt S tại điểm M0 nếu nó là tiếp tuyến của một đường nào đó trên mặt S tại điểm M0 Tại mỗi điểm M0 trên mặt S, nói chung có vô số đường thuộc mặt S đi qua, do đó tại điểm M0 có thể có vô số tiếp tuyến của mặt S

Điểm M0(x0,y0,z0)S được gọi là điểm chính quy nếu

x

)z,y,x( 0 0 0

z

)z,y,x()yy.(

y

)z,y,x()xx.(

x

)z,y

,

x

(

0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0

Bài giải Viết phương trình của mặt S dưới dạng f(x,y,z) = x2 – 4y2 + 2z2 – 6 = 0 Ta có f(2,2,3)

= 22 – 4.22 + 2.32 – 6 = 0 nên điểm (2,2,3) thuộc mặt S

)3,2,2(

162.8y

)3,2,2(

42.2x

)3,2,2(

xz

)z,y,x(

yy

)z,y,x(

xx

)z,y,x(

do đó ta được phương trình của mặt phẳng

tiếp xúc với mặt S tại điểm (2,2,3) là 4(x – 2) – 16(y – 2) + 12(z – 3) = 0 hay x – 4y + 3z – 3 = 0

Bài tập 1.1 Tìm miền xác định của các hàm số sau

yx

1y

x

1)y,x(

(c) (x,y) 4x2 y2  x2 y2 1 (d)

x

1yarcsin)

y,x

xy

1)y,x(





(g) f(x,y) = lnx + ln(siny) (h)

ycos

x)y,x

yx

yx)y

xy)

y,x(

,

x

3 3

yx

yx)y,x(

,

x

2 2

1cosy)y,x(





1 2 2

yxcos)y,

yxyx)y,x(

2 2

1

xy1)y

,

x

)yxsin(

)yxcos(

)yx()y,x(

xsinyysinx)y

yx

)exln(

)y,x(

1sinyx)y,x

3 3

yx

yx)y

3 3

yx

yxsin)y,x(

yxcos1

yxxy)y

yxyx

xyyx)y,x(

,

x

yx)y,x

lim

) 3 , 0 ( )

2

)xy1(

y ) 0 , ( )





) , ( ) y , x

yxlim

2 2 2

2

) , ( ) y , x (

yx)yx1(2yx

yx6yxlim

)0,0()y,x(khiy

x

1sinyx)y,

x

2 2

TailieuVNU.com

yx)y,

x

3 3

)0,0()y,x(khix

yarctanx)y,

)0,0()y,x(khiy

x

xsinyysinx)y,

)0,0()y,x(khiy

x

yx

1sinx)y,

)0,0()y,x(khiyx

yx)

y,

0xykhie

)y,

x

(

2

2 y x 1

0yxkhiy

x

xyx)y,

x

(

2 2

2 2 2

2

2 3

tại điểm gốc tọa độ O(0,0)

1.6 Tính các đạo hàm riêng  

u

)v,u(y),v,u(xf

vu)v,u(yy

ucos)v,u(xx

yxln)y,x(

uv)v,u(xx

v

u)v,u(xx

yexe)y,x(

e)v,u(xx

2 u

1.7 Tính đạo hàm của hàm số

(a) u = f(x,y,z) = xy2z3 tại điểm M0(1,2,-1) theo hướng của véc tơ M0M với M(0,4,-3)

(b)

2 2

yx

zarcsin)

z,y,x(u

(d) 2

2 2 2 2 2

c

zb

ya

x)z,y,x(

u    theo hướng của bán kính véc tơ



l

)0,3,1(, biết rằngl được xác định bởi véc tơ

(c) Tìm độ lớn và hướng của gradf(x,y,z) với u = f(x,y,z) = x3 + y3 + z3 – 3xyz tại điểm M0(1,2,1) Tại những điểm nào thì gradf(x,y,z) vuông góc với trục Oy, tại những điểm nào thì gradf

(x,y,z) = 0

1.9 Tìm vi phân toàn phần cấp 1 của các hàm số

(a) z = f(x,y) = sin(x2 + y2) (b) z = f(x,y) = ex(cosy + xsiny)

(c)

yx

yxarctan)

y,x(z

ee)y,x(

(e) u = f(x,y,z) = xey + yez + zex (f) y (x,y,z)xy2zvới x > 0

1.10 Tính đạo hàm của các hàm ẩn y = y(x) được cho bởi phương trình sau

(a) x3y – y3x = a4, tính y’(x) (b) xey + yex – exy = 0, tính y’(x)

(c)

a

ya

yxarctan   , tính y’(x) (d)

x

yarctany

(a) z = f(x,y) = x2 – y2 trong miền D = {(x,y)R2  x2 + y2  4}

(b) z = f(x,y) = x2y(4 – x – y) trong miền đóng D giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, y = 0 và x + y = 6

(c) z = f(x,y) = x2 + xy – 4x + 8y trong miền đóng D giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, x = 1, y

= 0 và y = 2

1.13 Tìm cực trị của hàm số

(a) z = f(x,y) = xy với điều kiện x + y = 1

(b) z = f(x,y) = xy – x2 – y2 với điều kiện x + y = 2

1.14 Giải các bài toán cực trị có điều kiện sau đây

(a1) Trong tất cả các tam giác vuông có chung cạnh huyền, tìm tam giác có diện tích lớn nhất (a2) Trong tất cả các tam giác vuông có diện tích S cho trước, tìm tam giác có cạnh huyền nhỏ nhất

(b1) Trong tất cả các tam giác có cùng chu vi P cho trước, tìm tam giác có diện tích lớn nhất

(b2) Trong tất cả các tam giác có cùng diện tích S cho trước, tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất

(c1) Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi P cho trước, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn

TailieuVNU.com

(c2) Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích S cho trước, tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất

(d1) Trong tất cả các hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh toàn phần S cho trước, tìm hình hộp có thể tích lớn nhất

(d2) Trong tất cả các hình hộp chữ nhật có thể tích V cho trước, tìm hình hộp có diện tích xung quanh toàn phần nhỏ nhất

1.15 Viết phương trình tiếp tuyến của đường L được cho dưới dạng tham số

tcos1)t(yy

tsint)t(xx

với

0  t  2 tại điểm (x0,y0,z0) ứng với t0  2

1.16 Viết phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt S được cho bởi phương trình

(a) z = 2x2 + 4y2 tại điểm (2,1,12) (b) z = ln(2x + y) tại điểm (-1,3,0)

2 1

n 33

32 31

n 23

22 21

n 13

12 11

aa

aa

aaa

a

aaa

a

aaa

cấp (n x n) đối xứng (aij = aji với i,j)

Biểu thức (x1,x2, …,xn) = xAxt (xt là ma trận chuyển vị của ma trận x) được gọi là dạng toàn phương của n biến x1,x2, …,xn; còn ma trận đối xứng A được gọi là ma trận tương ứng của dạng toàn phương (x1,x2, …,xn)

Vì ma trận A là ma trận đối xứng nên sau khi thực hiện phép nhân 3 ma trận trên ta được

j i ij n

1 i

2 i ii n

1 i n

1 j

j i ij n

2 1

n 33

32 31

n 23

22 21

n 13

12 11

aa

aa

aaa

a

aaa

a

aaa

x n) thì ta xác định được một dạng toàn phương (x1,x2, …,xn) bằng công thức trên; ngược lại, nếu cho một dạng toàn phương thì ta xác định được một ma trận A là ma trận đối xứng cấp (n x n) tương ứng

Ví dụ 1 (a) Tìm dạng toàn phương (x1,x2) nếu biết ma trận tương ứng của nó là 

63

504

342A

TailieuVNU.com

12 11

aa

aa26

63

A suy ra a11 = 3, a12 = 6 và a22 = -2 do đó

2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2

1 2

j i 1

j i ij 2

1

i

2 i ii 2

23 22 12

13 12 11

aaa

aaa

aaa

153

504

342

3 j i 1

j i ij 3

1 i

2 i ii 3

2 2 1 2 3 2 1 3

2 3

1 2

15Axxx2

1.2xxxxx)x,x

2 2 1 2

1 2 2 2 1 2 1 2

(b) Biến đổi    2 1 2 2 3 3 1 

2 2 1 3 2

x(

325

2

341

2

511Axx2

3.2xx2

5.2xx.1.2x.0x

Dạng toàn phương được gọi là

(1) xác định dương nếu (x1,x2, …,xn) > 0 với (x1,x2, …,xn)Rn và (x1,x2, …,xn)  (0,0,…,0);

(2) xác định âm nếu (x1,x2, …,xn) < 0 với (x1,x2, …,xn)Rn và (x1,x2, …,xn)  (0,0,…,0);

(3) không xác định dương cũng không xác định âm (không xác định dấu) nếu (x1,x2, …,xn)

đổi dấu;

(4) suy biến nếu (x1,x2, …,xn) = 0 khi (x1,x2, …,xn)  (0,0,…,0)

Định lý Sylvester Xét dạng toàn phương n biến  

j i ij n

1 i

2 i ii n

2

1,x , ,x ) a x 2a x xx

2 1

k 33

32 31

k 23

22 21

k 13

12 11

k

aa

aa

aaa

a

aaa

a

aaa

det

 n là các định thức con chính của ma trận A Khi đó

(1) (x1,x2, …,xn) xác định dương  Ak > 0 với 1  k  n;

(2) (x1,x2, …,xn) xác định âm  Ak < 0 với k lẻ và Ak > 0 với k chẵn (1  k  n)

TailieuVNU.com

Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI 2.1 Tích phân hai lớp

2.1.1 Định nghĩa và cách tính tích phân hai lớp

2.1.1.1 Định nghĩa

Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân hai lớp

Giả sử có một vật thể hình trụ, phía trên giới hạn bởi mặt cong được biểu diễn bằng phương trình z = f(x,y), mặt xung quanh là mặt của hình trụ có đường sinh song song với trục Oz, còn phía dưới giới hạn bởi hình phẳng D nằm trong mặt phẳng Oxy và được gọi là đáy của của hình trụ Yêu cầu tính thể tích V của vật thể hình trụ này với giả thiết f(x,y) là hàm không âm, xác định và liên tục trên miền D

Bài giải Chia D thành n miền nhỏ không dẫm lên nhau (giao của 2 hai miền nhỏ bất kỳ bằng tập rỗng) Gọi diện tích của n miền nhỏ đó là S1, S2, …, Sn Lấy mỗi miền nhỏ là đáy của hình trụ mà mặt xung quanh có đường sinh song song với trục Oz và phía trên giới hạn bởi mặt cong được biểu diễn bằng phương trình f(x,y)

Như vậy, vật thể hình trụ đã được chia thành n hình trụ nhỏ Trong mỗi miền nhỏ Si (1  i  n) ta lấy một điểm tùy ý Mi(xi,yi) Ta có tích zi.Si = f(xi,yi).Si

là thể tích hình trụ có diện tích đáy Si và chiều cao zi

= f(xi,yi) Nếu miền nhỏ Si khá bé, thì do hàm f(x,y) liên tục trên D nên giá trị của z = f(x,y) xấp xỉ bằng giá trị của zi = f(xi,yi) nên có thể coi thể tích của hình trụ nhỏ thứ i là Vi  f(xi,yi).Si Như vậy, nếu mọi miền nhỏ Si (1  i  n) đều khá bé thì có thể coi thể tích

1 i

i

i,y) Sx

1 i

i

i,y ) Sx





khi n   cùng với đường kính

của mỗi miền nhỏ Si (1  i  n) bé dần về 0, tức là n i

1 i

i i 0

d (x ,y ) Slim



n i

maxd



 , trong đó di

là đường kính của mỗi miền nhỏ Si (1  i  n) (đường kính của một miền được định nghĩa là khoảng cách lớn nhất giữa các điểm trên biên của miền ấy)

Định nghĩa tích phân hai lớp

Cho hàm số f(x,y) xác định trên miền đóng bị chặn D Chia miền D một cách tùy ý thành n miền nhỏ không dẫm lên nhau Gọi diện tích của n miền nhỏ đó là S1, S2, …, Sn Trên mỗi miền nhỏ

Si (1  i  n) ta lấy một điểm tùy ý Mi(xi,yi) và lập tổng n i

1 i

i i

n (x ,y ) S



In được gọi là tổng tích phân của hàm f(x,y) trên miền D nếu khi n   sao cho d maxdi 0

n i



 (trong đó di là đường kính của miền nhỏ Si) mà In dần đến một giá trị hữu hạn không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm Mi(xi,yi) trên mỗi miền nhỏ Si, thì giá trị hữu hạn này được gọi là tích phân hai lớp của hàm

số f(x,y) trên miền D và ký hiệu là

D

dS)y,x( , khi đó D, f(x,y), dS, x và y lần lượt được gọi là miền lấy tích phân, hàm số dưới dấu tích phân, vi phân diện tích, các biến lấy tích phân

TailieuVNU.com

Như vậy, ta có i

n

1 i

i i 0

d max n n D

S.)y,x(limI

limdS)y,x(

i n i 0

Nếu hàm số f(x,y) liên tục trong miền D thì nó khả tích trên miền D

Vì tích phân hai lớp nếu tồn tại thì không phụ thuộc vào cách chia miền D, nên ta có thể chia D bởi lưới các đường thẳng song song với các trục tọa độ Ox, Oy Khi đó, mỗi miền nhỏ Si (1  i  n) nói chung là hình chữ nhật, do đó dS = dxdy nên (x,y)dS (x,y)dxdy

D

Ý nghĩa hình học của tích phân hai lớp

Nếu hàm số z = f(x,y) > 0, xác định và liên tục với (x,y)D thì giá trị của tích phân hai lớp

( chính là thể tích V của hình trụ có đáy là miền D thuộc mặt phẳng Oxy, mặt xung quanh

là mặt của hình trụ có đường sinh song song với trục Oz, còn mặt trên của hình trụ là mặt cong được biểu diễn bằng phương trình z = f(x,y)

Đặc biệt, nếu f(x,y) = 1 với (x,y)D thì giá trị của tích phân hai

D D

D

dxdydxdy

.1dxdy

)

y

,

x

Các tính chất của tích phân hai lớp

D D

D

dxdy)y,x(gdxdy)y,x(dxdy)y,x(g)y,x(

D D

dxdy)y,x(kdxdy)y,x(

dxdy)y,x(dxdy)y,x(dxdy)y,x

2 1

DD

DDD

D D

dxdy)y,x(gdxdy)y,x

D





2.1.1.2 Cách tính tích tích phân hai lớp trong hệ tọa độ Descarter

- Miền lấy tích phân là hình chữ nhật D = {(x,y)R2  a  x  b và c  x  d}

a b

a d

c D

dx)y,x(dydy)y,x(dxdxdy)y

khi tínhd

c

dy)y,

x

( thì coi x là hằng số)

TailieuVNU.com