De DA thi HSG Toan 10 thpt Ly Thuong Kiet TH 20112012

khi đpcm Ghi chú: Học sinh làm bài khác với đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa của mỗi câu..[r]

SỞ GD & ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: Toán- Lớp 10

Thời gian làm bài: 120 phút.(Không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang, gồm 05 bài)

Bài 1 (6 điểm)

Cho hàm số f x x22(m 4)x(m 4)(m1) P m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 3.

b) Tìm m để đồ thị P m của hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm nằm về hai phía của trục tung c) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị P m của hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành.

Bài 2 (6 điểm)

1 Giải bất phương trình: 2 2

- 1 >

2 Giải phương trình:  

2 2

x x

  





3 Giải hệ phương trình:  







Bài 3 (4 điểm)

1 Phương trình hai cạnh của một tam giác là 3x y 24 0 và 3x4y 96 0 Viết

phương trình cạnh còn lại của tam giác đó, biết trực tâm của tam giác là

32 0;

3

H    

 

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho đường thẳng

  : 2x y  3 0 và hai điểm A  5;1 , B  2; 4 Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc đường thẳng   .

Bài 4 (2 điểm)

Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : CA

+ CB  = CA - CB 

Bài 5 (2 điểm)

Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4 Chứng minh: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

-

Hết -Thí sinh không được sử dụng bất kì tài liệu nào Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: SBD:

SỞ GD & ĐT

THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LÝ

THƯỜNG KIỆT

ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011-2012

Môn thi: Toán- Lớp 10

I

1

Với m = 3, hàm số trở thành:

f x x  x TXĐ: D  Tọa độ đỉnh I(-1; -3), Trục đối xứng: x = -1

0,5

Bảng biến thiên

x

f x x  x

Hàm số đồng biến trên (    ; 1) và nghịch biến trên ( 1;   )

1,0

Vẽ đồ thị:

+, Tọa độ đỉnh I(1; -3), +, Trục đối xứng x= -1, +, Giao với Oy:

(0; -4)

0,5

2 Đồ thị (P m ) cắt trục Ox

tại 2 điểm nằm về 2 phía Oy  f x  0

có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

1.0

1

m c

m a





 Vậy các giá trị cần tìm

của m là:

1.0

 ; 1 4; 

m

      

3

Do a = -1 < 0, nên: Đồ

thị (P m ) nằm hoàn toàn

phía dưới trục hoành

Ox   x ;f x  0

1.0

2

Vậy:

3

; 4 2

   

1.0

II

1

Điều kiện:    1 x 1

0,25

2

3

2

2

3 10

10

3 1

x

x

x

  



  







 Vậy tập nghiệm là:

10

S    

1.0

2

Điều kiện:

0 2

x x











PT viết thành:

x   x  x x (1)

0,5

Với

1 : 2

x x

 







thành

6

x  x   x 

0,5

Với  1 x0 : PT là

3

(loại)

0,5

Với x 0 : PT là

(loại)

0,5

3

Giải hệ PT:

 

4 16 1

1 5 1 2







Từ (2):

 

2 5 2 4 3

Thay vào (1) ta được:

2

0

x







0.75

Với x = 0, thay vào (3)

Với

2

5

x

x



Thay vào (3) thì được 1

x 

0.5

Vậy HPT có các nghiệm x y;  là:

0; 2 , 0;2 , 1; 3 à 1;3       v  

0.25

III

3x y 24 0 và AC: 3x4y 96 0 thì tọa độ A 0;24

0,5

Đường thẳng vuông góc với AB và đi qua

H có phương trình:

x y  Tọa độ C là nghiệm của HPT:

0;32

3 32 0

C









1

Cạnh BC nhận

40 0;

3

AH   

làm 1 VTPT Vậy ptrình cạnh BC là: y – 32=0

0,5

2

Gọi I là tâm của đường tròn Do I  , nên tọa độ

của I có dạng

I  x  x

0.5

Đường tròn đi qua 2 điểm

 5;1 ,  2; 4

nên IA = IB

1.0

Tâm I   2;1 và 3

R  Vậy ptrình đường tròn là:

x22y12 9

0,5

ABC

 : Ta có

CA CB   CD CA CB  BA

Suy ra h.b.h ACBD có

2 đường chéo bằng nhau nên ACBD là hình chữ nhật

1.0

Vậy ABC vuông tại

V

Cho x, y, z > 1 và x +

y + z = 4 Chứng minh:

xyz  64(x – 1)(y – 1) (z – 1)

Ta có:

 x 1   x 1   y 1   z 1 4 x 1 y 1 z 1   4  2  

1

Tương tự:

z 4 x 1 y 1 z 1

Vậy: xyz  64(x – 1) (y – 1)(z – 1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ

1

khi

4 3

x  y z

(đpcm)

Ghi chú: Học sinh làm bài khác với đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa của mỗi câu.