Đề Olympic 30 tháng 4 Toán 10 năm 2021 trường chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM - TOANMATH.com

Giả sử tiếp tuyến qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt các tia AB, AC lần lượt tại các điểm D, E.. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD , ACE , AA L cùng đi[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4

LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021 Ngày thi: 03/4/2021 MÔN THI: TOÁN - KHỐI: 10 THỜI GIAN: 180 phút Hình thức làm bài: Tự luận

Đề thi có 01 trang Lưu ý: - Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy riêng và ghi rõ câu số mấy ở trang 1 của mỗi tờ giấy thi

- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

Câu 1 (3,0 điểm) Cho a b c, , là độ dài các cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2

Chứng minh

3

6

a b c abc

  

Câu 2 (4,0 điểm) Cho các số thực x y z, , thỏa mãn

2 2 2

   



  



   

 Chứng minh x y z  là số nguyên

Câu 3 (4,0 điểm) Với số nguyên dương n  2, xét bảng vuông gồm có 2n 1 2n1 ô vuông, người

ta viết vào mỗi ô chỉ một trong 3 số 1, 0 hoặc 1 sao cho trong mỗi bảng con 2 2 luôn tìm được

3 ô có tổng bằng 0 Gọi S là giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trong bảng Chứng minh n

a S2 5

b Sn n2 n 1

Câu 4 (4,0 điểm)

a Chứng minh tồn tại 2 cặp số ( , )a b với a, b là các số nguyên dương thỏa mãn

b Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình

x y xy

có nghiệm trong tập số nguyên không chia hết cho 7

Câu 5 (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ABAC nội tiếp đường tròn ( ).O Tia AO cắt đoạn thẳng

BC tại L Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường thẳng BC Giả sử tiếp tuyến qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC cắt các tia AB AC , lần lượt tại các điểm D E ,

a Chứng minh đường tròn ngoại tiếp các tam giác A B D,A C E,A A L cùng đi qua một điểm khác A

b Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác JDE tiếp xúc với ( ).O

HẾT

Họ tên thí sinh: SBD: Trường: Tỉnh/TP:

Trang 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

ĐÁP ÁN

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4

LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021 Ngày thi: 03/4/2021 MÔN THI: TOÁN 10 - THỜI GIAN: 180 phút

Hình thức làm bài: Tự luận

Đề thi có 01 trang

1

Cho a b c, , là độ dài các cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh

3

6

a b c abc

  

Do a b c, , là độ dài ba cạnh tam giác nên

0    c a b 0 2c a b c      2 0 c 1 Chứng minh tương tự, ta được 0 a 1, 0 b 1

Đặt A a2b2 b2c2  c2a2

Ta có A 6(a2b2c2) 6(a b c  ) 2 3 (1)

2,0

Nhận xét: Từ 0a b c, , 1 suy ra 2a2b2  a b 4

Ta có

4

a b a b

a b a b

   Viết 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có

 

2 4

4

2

A

 

Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh

1,0

Bài 2 Cho các số thực x y z, , thỏa mãn

2 2 2

   



  



   

 Chứng minh rằng x y z  là số nguyên

4,0

Nhân theo vế các phương trình đã cho, ta được

(x1)(y1)(z1)[(x1)(y1)(z  1) 1] 0

1 1 1

x y z

 



  



  





Nếu x 1 thì y z  1, suy ra x y z    3 

Nếu y 1 hoặc z 1 làm tương tự

1,0

Xét trường hợp x1y1z  1 1 0 (*)

Đặt p x y z q xy yz zx r xyz   ,    ,  ta có

Cộng ba phương trình ban đầu theo vế ta được

x y z     x y z p   p q (2)

0,5

Ta có

Nhân các phương trình trên theo vế, ta được

0,5

Thay (1) và (2) vào (3) ta được

2

2

               

Giải phương trình trên thu được 4 nghiệm p0;1; 1;6  

Vậy trong mọi trường hợp, ta đều có p x y z   là số nguyên

2,0

Trang 5

Bài 3

Với số nguyên dương n2, xét bảng vuông gồm có (2n − 1)×(2n − 1) ô vuông, người ta viết vào mỗi ô chỉ một trong 3 số 1, 0 hoặc −1 sao cho trong mỗi bảng con 2×2 luôn tìm được 3 ô có tổng bằng 0 Gọi S là giá trị lớn nhất của tổng tất cả các n

số trong bảng Chứng minh

a) S2 5 b) Sn n2 n 1

4,0

Nhận xét: Ta thấy tổng các số trong bảng con 2 2 thì luôn nhỏ hơn hoặc bằng 1 0,5

a)

Đặt T là tổng các số trong bảng vuông n 2n 1 2n1

Xét cấu hình gồm 7 ô như sau

Ta có a b c d    và 1 d e f   g 1 Từ đó suy ra

a b c d e f      g a b c d    d e f  g    d d Xét bảng vuông 3 3 , ta có

2 3 1 1 5

T    

1,0

Ta chỉ ra một cách điền số để dấu bằng xảy ra như sau

Vậy S2  5

0,5

b)

Ta chứng minh “Sn n2 n 1,với mọi n,n2” bằng phương pháp quy nạp

theo n

 Với n thì 2 2

 Giả sử mệnh đề đúng với n k ,k2, tức là Sk k2 k 1

 Ta cần chứng minh   2  2

k

Ta chia bảng vuông 2k 1 2k1 thành 4 vùng như sau

1,0

 Tổng các số trong vùng (I) không vượt quá Sk k2 k 1

 Ta chia vùng (II) thành k hình vuông 1 2 2 riêng biệt, khi đó tổng

các số trong vùng (II) không vượt quá k1 1  k 1

 Ta chia vùng (III) thành k  hình vuông 1 2 2 riêng biệt, khi đó tổng

các số trong vùng (III) không vượt quá k1 1  k 1

 Xét riêng vùng (IV)

1 1 1 1 4

a b c d e f       g h a b d e      c d f g  d h

     Khi đó  2      2

k

0,5

Xét cách điền số vào bảng 2k 1 2k1 như sau:

 Điền số 1 vào tất cả ô trên các dòng 1, 3, 5, , 2k1

 Điền số 1 vào các ô 2 , 2  với i1; 2; ;k và j1;2; ;k

 Các ô còn lại điền số 0

Minh họa cách điền số với n = 4

Khi đó S k23k1

0,5

Trang 7

Bài 4

a) Chứng minh tồn tại 2 cặp số ( , )a b với a b, là các số nguyên dương thỏa mãn

2 3 2 7 9

b) Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình

x y xy

có nghiệm trong tập số nguyên không chia hết cho 7

4,0

a) Hai cặp nghiệm là (7 2,7 )4 4 và (7 10,7 9)3 3 1,5

b)

Ta biến đổi phương trình đã cho thành

Ta chứng minh phương trình a23b27n (*) có nghiệm ( , )a b mà

a b (mod 7) (1) bằng phương pháp quy nạp theo n

+ Với n1, phương trình  * có nghiệm a b1, 1   2,1 thỏa (1)

0,5

+ Giả sử với n k *, phương trình (*) có nghiệm a bk, k thỏa (1), tức là

và

0, 0

a  b  (mod 7)

Ta có

1,0

Ta thấy 2ak 3bk  2ak 3bk4ak 0 (mod 7) , nên phải tồn tại một trong hai số không chia hết cho 7, giả sử 2ak 3bk  (mod 7) 0

Do 2 2 ak 3bk 3 ak 2bk7ak 0 (mod 7) nên ak 2bk  (mod 7) 0

Do đó với n k 1 thì ak1,bk1  2ak 3 ,b ak k 2bk là một nghiệm của phương trình (*) và thỏa điều kiện (1)

0,5

Ta chứng minh phương trình đã cho có nghiệm với mọi n nguyên dương

Với mỗi số nguyên dương n , gọi a bn, n là một nghiệm thỏa điều kiện (1) của

phương trình a23b2 7n

Chọn xn an  , bn yn 2bn thì

x  y  y  a  b  a  b  Suy ra x yn, n  an bn, 2bn là nghiệm của phương trình x2xy y2 7n

Hiển nhiên yn 2bn  (mod 7) do 0 bn  (mod 7) 0

Giả sử xn  (mod 7) 0 an  (mod 7) bn

Khi đó 7n 2 3 2 4 2

   (mod 7) bn  (mod 7) (vô lí) 0

Do đó xn  (mod 7) 0

Vậy với mọi n nguyên dương thì phương trình x2 y2xy7n có nghiệm trong tập hợp các số nguyên không chia hết cho 7

0,5

Bài 5

Cho tam giác nhọnABC cóAB AC , nội tiếp đường tròn ( ).O Tia AO cắt đoạn thẳng BC tại L Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường thẳng BC Tiếp tuyến qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC cắt các tia AB AC, lần lượt tại các điểm D E, Chứng minh

a) Đường tròn ngoại tiếp các tam giác A B D,ACE,AAL cùng đi qua một điểm

khác A

b) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE Chứng minh đường tròn

ngoại tiếp tam giác JDE tiếp xúc với ( ).O

5,0

a)

Giả sử các điểm có vị trí như hình vẽ, các trường hợp khác chứng minh tương tự

a) Gọi T là giao điểm khác A của A BD  và A CE 

Ta có BTC360oBTA CTA   180oBTA180oCTA

  o 

Suy ra T O

1,0

ATA ATB BTA C  D C  1A1B1

 

1

2

2

ALB ALA







 Suy ra ALTA là tứ giác nội tiếp

Vậy A B D , ACE , AAL cùng đi qua T

1,0

Trang 9