Đường trung bình của hình thang: - Định nghĩa: “Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.” a Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên củ[r]
Trang 1A – NỘI DUNG ÔN TẬP:
1 Nhân đa thức:
a) Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau
b) Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau
2 Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2) (A – B)2 = A2 – 2AB +B2
3) A2 – B2 = (A + B)(A – B)
4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5) (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
6) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
3 Phân tích đa thức thành nhân tử:
- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức
- Để phân tích một đa thức thành nhân tử, ta thường dùng các phương pháp:
a) Đặt nhân tử chung
b) Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ
c) Nhóm các hạng tử một cách thích hợp để làm xuất hiện các hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân
tử chung
d) Phối hợp các phương pháp trên
- Để phân tích đa thức thành nhân tử, ngoài các phương pháp thông thường, người ta còn sử dụng một vài phương pháp khác:
a) Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
b) Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử thích hợp
c) Phương pháp đặt biến phụ
d) Phương pháp đồng nhất hệ số (còn gọi là “phương pháp hệ số bất định”)
4 Chia đa thức:
a) Chia đơn thức A cho đơn thức B:
- Chia hệ số của A cho hệ số của B
- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B
- Nhân các kết quả với nhau
b) Chia đa thức A cho đơn thức B:
- Ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau
c) Chia đa thức A cho đa thức B:
- Cho A và B là hai đa thức tùy ý của cùng một biến, B 0, khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức
Q và R sao cho A = B Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B
- Q gọi là đa thức thương và R gọi là đa thức dư của phép chia A cho B
- Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết
5 Định lí Bê-du:
- Định lí:Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc nhất x – a đúng bằng f(a)
- Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chia hết cho (x – a)
Tức là: “f(x) chia hết cho (x – a) f(a) = 0”
Trang 2- “Trong đa thức f(x) = anxn = an-1xn-1 +……+ a1x1 + a0 (an 0), với an, an-1, ……, a1, a0 là các số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q, trong đó p là ước của hệ số tự do và q là ước dương của hệ số cao nhất”
6 Số chình phương:
a) Định nghĩa: “Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên”
b) Tính chất:
1 Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0,1,4,5,6,9; không thể có chữ số tận cùng bằng 2,3,7,8
2 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn
3 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1 Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n N)
4 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1 Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n N)
5 Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn
Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn
Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ
6 Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
1 Tứ giác:
- Định nghĩa: “Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.”
- Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác
- Định lí:
a) “Tổng các góc của một tứ giác bằng 360°.”
b) “Tổng các góc ngoài của tứ giác bằng 360°.”
2 Hình thang:
- Định nghĩa: “Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.”
- Nhận xét:
a) Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau
b) Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau
- Một số dạng hình thang thường gặp:
Trang 3a) Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
b) Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
- Tính chất của hình thang cân:
a) Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau
b) Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau
- Dấu hiệu nhận biết của hình thang cân:
a) Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân
b) Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân
3 Đường trung bình của tam giác:
- Định nghĩa: “Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.” a) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba
b) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy
4 Đường trung bình của hình thang:
- Định nghĩa: “Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.”
a) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai
b) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy
5 Đối xứng trục:
a) Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng:
- Định nghĩa: “Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó”
- Quy ước: “Nếu một điểm nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với điểm đó qua đường thẳng
d cũng chính là điểm đó"
b) Hai hình đối xứng qua một đường thẳng:
- Định nghĩa: “Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại”
- Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau c) Hình có trục đối xứng:
- Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình F nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình F qua đường thẳng d cũng thuộc hình F
- Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó
6 Hình bình hành:
a) Định nghĩa: “Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song”
b) Tính chất:
- Các cạnh đối bằng nhau
- Các góc đối bằng nhau
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
c) Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành
7 Đối xứng tâm:
Trang 4a) Hai điểm đối xứng với nhau qua một điểm:
- Định nghĩa: “Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm I nếu điểm I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó”
- Quy ước: “Điểm đối xứng với một điểm qua chính điểm đó cũng là điểm đó”
b) Hai hình đối xứng với nhau qua một điểm:
- Định nghĩa: “Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm I nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm I và ngược lại”
- Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau
c) Hình có tâm đối xứng:
- Điểm I gọi là tâm đối xứng của hình F nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình F qua điểm I cũng thuộc hình F
- Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó
8 Hình chữ nhật:
a) Định nghĩa: “Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông”
Hình chữ nhật cũng là hình bình hành, cũng là hình thang cân
b) Tính chất:
- Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành, của hình thang cân
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường c) Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
- Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
d) Áp dụng vào tam giác:
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa cạnh huyền
- Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông
B – BÀI TẬP:
1 a) Cho x + y = 1 Tính x3 + y3 + 3xy
a) Cho x – y = 1 Tính x3 – y3 – 3xy
2 a) Tính (a + b)2 ,biết a = 1 + b và a.b = 6
b) Tính (a – b)2 ,biết b = 7 – a và a.b = 10
3 a) Cho x + y = 3 và x2 + y2 = 5 Tính x3 + y3
b) Cho x – y = 5 và x2 + y2 = 15 Tính x3 – y3
4 Cho ABC cân tại A, đường cao AH, phân giác BD, HE // BD Biết AH =
1
2 BD.Tính A
5 Cho hình thang vuông ABCD (ADAB và ADDC), M là trung điểm BC So sánh MAB và
MDC
6 Cho hình thang vuông ABCD, A = D = 900, AB = AD, BDBC Nếu AB = 5cm thì diện tích hình thang ABCD bằng bao nhiêu ?
7 Cho hai số A = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(316 + 1) ; B = 332 – 1 So sánh hai số A và B
8 a) Cho x + y = a và x2 + y2 = b Lập công thức tổng quát để tính tổng x3 + y3
b) Cho x – y = a và x2 + y2 = b Lập công thức tổng quát để tính hiệu x3 – y3
9 Cho ABC vuông tại A Hai cạnh góc vuông là a, b, diện tích là S = 10,625 Tính B, C, biết (b
+ c)2 = 85
10 Cho a + b + c = 0 Tính giá trị của biểu thức a3 + b3 + a2c + b2c – abc
Trang 511 So sánh hai số: 20102009 và 20092010.
12 Cho hình bình hành MNPQ, M = 1200, MQ = 6 cm và MPMQ Khi đó diện tích hình bình hành MNPQ là bao nhiêu ?
13 Cho a + b + c = 2p Tính giá trị của biểu thức p2 + (p – a)2 + (p – b)2 + (p – c)2
14 Tìm GTNN của các đa thức sau:
a) x2 – x
b) x4 – 4x3 – 2x2 + 12x + 9
c) x4 + x2 + 2
d) (x – 2)(x – 5)(x2 – 7x – 10)
15 Tìm GTLN của các đa thức sau:
a) 2x – x2
b) 19 – 6x – 9x2
16 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x16 – 1
b) 4x4 + y4
c) x5 + x4 +1
d) a5 + b5 – (a + b)5
e) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
17 Cho a Z, chứng minh rằng:
a) a5 – a chia hết cho 30
b) a200 + x100 + 1 chia hết cho x4 + x2 + 1
18 Chứng minh rằng f(x) = (x2 – 3x + 1)31 – (x2 – 4x +5)30 + 2 chia hết cho x – 2
19 Cho hình bình hành ABCD Lấy E, F, P, Q lần lượt trên AB, BC, CA, AD sao cho AE = CP, BF
= DQ, khi đó trong hình vẽ có mấy hình bình hành ?
20 Hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 70mm Đường phân giác của góc A cắt DC tại E Chu vi
của hình thang ABCE lớn hơn chu vi của tam giác ADE là 30mm Tỉ số giữa cạnh ngắn và cạnh dài của hình chữ nhật ABCD là bao nhiêu ?
21 Tìm m để đa thức x3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho x + y + z (với x + y + z, x, y, z khác 0)
22 Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố:
P = n3 – n2 – n – 2
23 Tìm điều kiện của các số hữu tỉ a, b, c sao cho đa thức ax19 + bx94 + cx1994 chia hết cho đa thức x2 + x + 1
24 Cho an = 1 + 2 + 3 + … + n.
a) Tính an+1
b) Chứng minh rằng an + an+1 là một sô chính phương
25 Cho a, b, c là 3 số nguyên thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1
Chứng minh rằng (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) là một số chính phương
26 Chứng minh rằng Sn = 1 3 + 23 + 33 + … + n3 là một số chính phương
(Gợi ý: “Dùng phương pháp quy nạp toán học”)
27 Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có hai đường chéo vuông góc Biết đường cao AH = h,
tính tổng hai đáy
28 Cho ABC, các đường trung tuyến BD, CE Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD
Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE Chứng minh rằng MI = IK = KN