Bài viết này phát triển Mô hình độ cứng động lực (DSM) để phân tích dao động tự do của dầm bậc nano bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) trên cơ sở Lý thuyết đàn hồi không cục bộ (NET), gọi là mô hình DSMNET.
Trang 1Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, NUCE 2021 15 (2V): 49–64 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA DẦM BẬC NANO BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN SỬ DỤNG MÔ HÌNH
ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC KHÔNG CỤC BỘ Phạm Tuấn Đạta, Trần Văn Liênb,∗, Ngô Trọng Đứcc
a
Viện Kỹ thuật công trình đặc biệt, Học viện Kỹ thuật quân sự,
236 đường Hoàng Quốc Việt, quận Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam
b Khoa Xây dựng dân dụng và Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng,
55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam
c Fujita Corporation, 52 đường Lê Đại Hành, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam
Nhận ngày 15/03/2021, Sửa xong 05/05/2021, Chấp nhận đăng 06/05/2021
Tóm tắt
Bài báo này phát triển Mô hình độ cứng động lực (DSM) để phân tích dao động tự do của dầm bậc nano bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) trên cơ sở Lý thuyết đàn hồi không cục bộ (NET), gọi là mô hình DSM-NET NET có xét đến tham số tỷ lệ chiều dài nên có thể giữ lại các hiệu ứng tỷ lệ cho các cấu trúc nano khi xét đến tương tác của các nguyên tử và phân tử không liền kề Đặc trưng vật liệu dầm nano FGM thay đổi phi tuyến theo độ dày dầm Dầm bậc nano được mô hình hóa theo lý thuyết dầm Timoshenko và các phương trình chuyển động được rút ra từ nguyên lý Hamilton DSM được sử dụng để thu được nghiệm chính xác của phương trình chuyển động có xét đến vị trí thực của trục trung hòa với các điều kiện biên khác nhau So sánh kết quả tính toán của DSM-NET với các kết quả đã công bố đã khẳng định độ tin cậy của mô hình Từ đó, các tác giả
đã tiến hành các khảo sát số nhằm đánh giá ảnh hưởng của tham số phân bố vật liệu, hình học, không cục bộ
và các điều kiện biên đối với dao động tự do của các dầm bậc nano FGM Nghiên cứu này có thể áp dụng cho nhiều kết cấu nano FGM khác như dầm liên tục hay khung nano nhiều bậc phức tạp hơn.
Từ khoá: mô hình độ cứng động lực; lý thuyết đàn hồi không cục bộ; vật liệu có cơ tính biến thiên; dầm bậc nano; tần số không thứ nguyên.
FREE VIBRATION ANALYSIS OF FGM STEPPED NANOBEAMS USING NONLOCAL DYNAMIC STIFF-NESS MODEL
Abstract
This paper presents a nonlocal Dynamic Stiffness Model (DSM) for free vibration analysis of Functionally Graded (FG) stepped nanobeams using the Nonlocal Elastic Theory (NET), called DSM-NET model The NET nanobeam model considers the length scale parameter, which can capture the small scale effect of nano structures considering the interactions of non-adjacent atoms and molecules Material characteristics of FG nanobeams are considered nonlinearly varying throughout the thickness of the beam The nanobeam is mod-elled according to the Timoshenko beam theory and its equations of motion are derived using Hamilton’s principle The DSM is used to obtain an exact solution of the equation of motion taking into account the neu-tral axis position with different boundary conditions The DSM-NET is validated by comparing the obtained results with published results Numerical results are presented to show the significance of the material distribu-tion profile, nonlocal effect, and boundary condidistribu-tions on the free vibradistribu-tion of nanobeams It is shown that the study can be applied to other FG stepped nanobeams as well as more complex of framed nanostructures.
Keywords: DSM; NET; FGM; stepped nanobeam; nondimensional frequency.
∗
Trang 2Đạt, P T., và cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
1 Giới thiệu
Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) [1,2] là vật liệu tổng hợp thế hệ mới được tạo thành từ hai hoặc nhiều vật liệu thành phần với sự thay đổi liên tục về tỷ lệ các thành phần theo một hoặc nhiều hướng FGM được sử dụng trong các hệ thống cơ điện micro/nano (MEMS/NEMS) để đạt được độ nhạy cao và hiệu suất mong muốn Các cấu trúc có kích thước nano như dầm, tấm và vỏ được sử dụng rộng rãi trong các thiết bị NEMS, trong đó dầm bậc nano đặc biệt thu hút ngày càng nhiều sự chú ý
do các ứng dụng tiềm năng khác nhau của chúng
Lý thuyết đàn hồi cổ điển không thể nghiên cứu đầy đủ và chính xác ứng xử cơ học của cấu trúc nano do ảnh hưởng của hiệu ứng kích thước Do đó, lý thuyết đàn hồi không cục bộ (NET) lần đầu tiên được đề xuất bởi Eringen [3] với giả thiết rằng tensor ứng suất tại một điểm không chỉ là một hàm của biến dạng tại đó mà còn xét đến biến dạng của các điểm xung quanh Hiện nay, NET được sử dụng rộng rãi để thiết lập phương trình chuyển động của các cấu trúc nano sử dụng vật liệu đồng nhất [4 6] và vật liệu FGM [7] Reddy [8] đã thiết lập các phương trình dao động và ổn định của các dầm nano đồng nhất theo NET cho các lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, Timoshenko, Reddy và Levinson Nhiều tác giả khác đã phát triển các phương pháp giải tích [9 12], phương pháp Rayleight-Ritz [13], phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) [14–19], phương pháp biến đổi vi phân [20], phương pháp cầu phương vi phân [21], để nghiên cứu ứng xử uốn, ổn định và dao động tự do của các thanh nano từ các vật liệu đồng nhất Simsek và Yurtcu [22], Rahmani và Pedram [23] đã đồng thời nghiên cứu ứng
xử uốn và ổn định của dầm Timoshenko FGM bằng phương pháp giải tích Ngoài ra, Mechab và cs [24] đã nghiên cứu dao động tự do, trong khi Uymaz [25] nghiên cứu về dao động cưỡng bức của các dầm nano, cả hai đều sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Ebrahimi và Salari [26] đã ứng dụng một phương pháp bán giải tích để phân tích dao động của các dầm nano Euler - Bernoulli FGM có xét đến vị trí thực của trục trung hòa Narendar và Gopalakrishnan [27] đã phát triển phương pháp PTHH phổ để khảo sát dao động của dầm nano không cục bộ Các nghiệm giải tích tìm được ở trên đều có dạng chuỗi lượng giác kép Navier, do đó, chúng bị giới hạn cho các dầm với các điều kiện gối tựa đơn giản Đối với các điều kiện biên khác, các tác giả đã áp dụng FEM để phân tích ứng xử uốn
và dao động tự do của các dầm nano FGM theo lý thuyết dầm Euler - Bernoulli [28,29], và lý thuyết Timoshenko [30–32] Gần đây, các tác giả của [33] đã tìm được các tần số riêng và dạng dao động của các dầm nano với các điều kiện biên khác nhau bằng cách sử dụng khái niệm không gian trạng thái
Vì FEM được xây dựng dựa trên các hàm dạng đa thức không phụ thuộc vào tần số nên nó không dùng để tìm tất cả các tần số và dạng dao động, đặc biệt bậc cao Để khắc phục điều này, phương pháp
độ cứng động lực (DSM) đã được phát triển để thay thế FEM bằng cách sử dụng các hàm dạng phụ thuộc tần số [34–36] Mặc dù không dễ dàng tìm được các nghiệm giải tích chính xác như vậy cho các bài toán dao động của dầm nano nhưng nếu tìm được thì chúng cho phép nghiên cứu dao động chính xác của dầm trong dải tần số tùy ý Adhikari và cs [4,37] đã thu được ma trận độ cứng động lực của một thanh nano đồng nhất chịu dao động dọc Hàm đáp ứng tần số thu được dùng DSM được đề xuất cho thấy mật độ phổ cao gần tần số cực đại Gần đây, Taima và cs [38] đã sử dụng DSM để phân tích dao động cho dầm bậc nano đồng nhất theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli
Theo tìm hiểu của các tác giả, hiện nay chưa có nghiên cứu nào về phát triển DSM cho bài toán dao động của dầm nano FGM theo lý thuyết đàn hồi không cục bộ Trong bài báo này, các tác giả phát triển DSM để phân tích dao động tự do của dầm bậc nano FGM trên cơ sở lý thuyết dầm Timoshenko
và lý thuyết đàn hồi không cục bộ, gọi là mô hình NET So sánh kết quả thu được bằng DSM-NET với các kết quả đã công bố cho thấy độ tin cậy của mô hình đề xuất Từ đó, các tác giả nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số không cục bộ, sự phân bố vật liệu và các tham số hình học đến ba tần
50
Trang 3Đạt, P T., và cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
số dao động không thứ nguyên đầu tiên của dầm nano với các điều kiện biên khác nhau
2 Mô hình DSM-NET của dầm Timoshenko bằng vật liệu FGM
3
2 MÔ HÌNH DSM-NET CỦA DẦM TIMOSHENKO BẰNG VẬT LIỆU FGM
Đối với một dầm nano FGM (Hình 1), các đặc tính của vật liệu thay đổi theo chiều dày z như sau [1]:
( )
2
n
z
h
z
(1)
với P lần lượt là ký hiệu của môđun đàn hồi E, môđun cắt G và
mật độ khối lượng ; các chỉ số
dưới t và b liên quan đến các giá trị tương ứng của vật liệu lớp trên và lớp dưới cùng; n là chỉ số phần thể tích, z là tọa độ từ mặt phẳng giữa của dầm Các chuyển vị của dầm Timoshenko là:
( , , ) ( , ) ( ) ( , ) ; ( , , ) ( , )
u x z t u x t z h x t w x z t w x t (2)
trong đó u 0 (x, t), w 0 (x, t) lần lượt là chuyển vị dọc, chuyển vị ngang của một điểm trên trục trung hòa; h 0 là khoảng cách từ trục trung hòa đến trục x; là góc quay của mặt cắt quanh trục y Từ đó,
ta nhận được các biến dạng:
(3) Các quan hệ vật lý không cục bộ cho dầm nano có thể được viết ở dạng [3]:
trong đó e a02 2là tham số không cục bộ; e 0 là hằng số cho mỗi vật liệu; a là chiều dài đặc
trưng bên trong của dầm
Dựa trên nguyên lý Hamilton:
0
0
T
trong đó T và U lần lượt là động năng và thế năng của dầm:
0
0
L
L
(6)
N, M, Q lần lượt là lực dọc, mômen uốn và lực cắt của dầm:
0
và
2
2
11 12 22 0 0
A
là hệ số hiệu chỉnh cắt, =5/6 đối với mặt cắt ngang hình chữ nhật; vị trí của trục trung hòa h 0
và I 12 có giá trị là:
Hình 1 Dầm FGM
b
h
x
E b G b bb
Hình 1 Dầm FGM Đối với một dầm nano FGM (Hình1), các đặc tính của vật liệu thay đổi theo chiều dày z như
sau [1]:
P(z)= Pb+ (Pt− Pb) z
h + 1 2
!n
−h
2 ≤ z ≤
h 2
(1)
với P lần lượt là ký hiệu của môđun đàn hồi E, môđun cắt G và mật độ khối lượng ρ; các chỉ số dưới
tvà b liên quan đến các giá trị tương ứng của vật liệu lớp trên và lớp dưới cùng; n là chỉ số phần thể
tích, z là tọa độ từ mặt phẳng giữa của dầm Các chuyển vị của dầm Timoshenko là:
u(x, z, t)= u0(x, t) − (z − h0)θ(x, t); w(x, z, t)= w0(x, t) (2) trong đó u0(x, t), w0(x, t) lần lượt là chuyển vị dọc, chuyển vị ngang của một điểm trên trục trung hòa;
h0là khoảng cách từ trục trung hòa đến trục x; θ là góc quay của mặt cắt quanh trục y Từ đó, ta nhận
được các biến dạng:
Các quan hệ vật lý không cục bộ cho dầm nano có thể được viết ở dạng [3]:
σxx−µ∂2σxx
∂x2 = Eεxx; σxz−µ∂2σxz
trong đó µ = e2
0a2 là tham số không cục bộ; e0là hằng số cho mỗi vật liệu; a là chiều dài đặc trưng
bên trong của dầm
Dựa trên nguyên lý Hamilton:
T
Z
0
trong đó T và U lần lượt là động năng và thế năng của dầm:
δT =
L
Z
0
"
I11 ∂u0
∂t
∂δu0
∂t +
∂w0
∂t
∂δw0
∂t
!
− I12 ∂u0
∂t
∂δθ
∂t +
∂θ
∂t
∂δu0
∂t
! + I22
∂θ
∂t
∂δθ
∂t
# dx
δU =
L
Z
0
"
N∂δu0
∂δθ
∂δw0
# dx
(6)
51
Trang 4Đạt, P T., và cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
N, M, Q lần lượt là lực dọc, mômen uốn và lực cắt của dầm:
A
A
(z − h0)σxxdA; Q=Z
A
và
(A11, A12, A22)=
Z
A
E(z)1, z − h0, (z − h0)2dA; A33= η
Z
A
G(z)dA
(I11, I12, I22)=
Z
A
ρ(z)
1, z − h0, (z − h0)2dA
(8)
η là hệ số hiệu chỉnh cắt, η = 5/6 đối với mặt cắt ngang hình chữ nhật; vị trí của trục trung hòa h0và
I12có giá trị là:
h0= n(RE − 1)h
2(n+ 2)(n + RE); I12= nbh2ρb
2(2+ n).
Rρ− RE
n+ RE
; Rρ= ρt
ρb
; RE = Et
Eb
(9)
Từ (5), ta nhận được phương trình dao động tự do của dầm nano FGM có dạng:
A11∂2u0
∂x2 − A12∂2θ
∂x2 − I11∂2u0
∂t2 + I12
∂2θ
∂t2 + µ I11 ∂4u0
∂x2∂t2 − I12 ∂4θ
∂x2∂t2
!
= 0
A22∂2θ
∂x2 − A12
∂2u0
∂x2 + A33
∂w0
∂x −θ
!
− I22
∂2θ
∂t2 + I12
∂2u0
∂t2 −µI12 ∂4u0
∂x2∂t2 + µI22
∂4θ
∂x2∂t2 = 0
A33 ∂2w0
∂x2 − ∂θ
∂x
!
− I11∂2w0
∂t2 + µI11
∂4w0
∂x2∂t2 = 0
(10)
và các điều kiện biên tương ứng
u0= 0 or A11
∂u0
∂x − A12
∂θ
∂x +µ I11
∂3u0
∂x∂t2 − I12
∂3θ
∂x∂t2
!
= 0
w0= 0 or A33
∂w0
∂x −θ
! + µI11
∂3w0
∂x∂t2 = 0
θ0 = 0 or A12
∂u0
∂x − A22
∂θ
∂x +µ I11
∂2w0
∂t2 + I12
∂3u0
∂x∂t2 − I22 ∂3θ
∂x∂t2
!
= 0
(11)
Đặt:
{U, Θ, W} =
∞
Z
−∞
Phương trình dao động (10) trong miền tần số có dạng:
A11−µI11ω2d2U
dx2 −A12−µI12ω2d2Θ
dx2 + I11ω2U − I12ω2Θ = 0
−A12−µI12ω2d2U
dx2 +
A22−µI22ω2d2Θ
dx2 + A33
dW
dx − I12ω2U+
I22ω2− A33 Θ = 0
A33−µI11ω2d2W
dx2 − A33dΘ
dx + I11ω2W= 0
(13)
52
Trang 5Đạt, P T., và cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Đưa vào các ma trận và vectơ:
h ˜Ai =
A11−µI11ω2 −A12−µI12ω2
0
−A12−µI12ω2
h ˜Bi =
; h ˜Ci =
−I12ω2 I22ω2− A33 0
; {z}=
U Θ W
(14)
Phương trình (13) có thể viết dưới dạng ma trận:
h ˜Ai
z00 +h ˜Bi
z0 +h ˜Ci
Chọn nghiệm của phương trình (15) dưới dạng {z0}= {d} eλxdẫn đến
Phương trình (16) có nghiệm khi
Từ đó ta nhận được phương trình bậc ba của η= λ2: η3+ aη2+ bη + c = 0 Ký hiệu η1, η2, η3 là nghiệm của phương trình bậc ba và
λ1,4= ±k1; λ2,5= ±k2; λ3,6= ±k3; kj = √ηj; j= 1, 2, 3 (18) Nghiệm tổng quát của phương trình (15) có dạng là {z0(x, ω)} =
6
X
j =1
n
dj
o
eλj x Từ phương trình
đầu tiên và phương trình thứ ba của (16), ta có:
{z0(x, ω)}=
α1C1 α2C2 α3C3 α4C4 α5C5 α6C6
β1C1 β2C2 β3C3 β4C4 β5C5 β6C6
·nek1 x
ek2 x
ek3 x
e−k1 x
e−k2 x
e−k3 xoT
(19)
trong đó {C}= (C1, , C6)T là các hằng số độc lập và
α1=
A12−µI12ω2
k21+ I12ω2
A11−µI11ω2 k2
A33−µI11ω2 k2
Tương tự, α2= α5; β2= −β5; α3= α6; β3= −β6, phương trình (19) trở thành:
trong đó
[G(x, ω)]=
α1ek1 x α2ek2 x α3ek3 x α1e−k1 x α2e−k2 x α3e−k3 x
ek1 x
ek2 x
ek3 x
e−k1 x
e−k2 x
e−k3 x
β1ek1 x β2ek2 x β3ek3 x −β1e−k1 x −β2e−k2 x −β3e−k3 x
(22)
Trang 6Đạt, P T., và cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Xét một phần tử dầm nano FGM hai chiều như Hình2 Chuyển vị và các lực tại đầu nút của phần
tử có dạng:
n ˆUeo = {U1, Θ1, W1, U2, Θ2, W2}T; {Pe}= {N1, M1, Q1, N2, M2, Q2}T (23) trong đó
U1= z1(0, ω); Θ1= z2(0, ω); W1= z3(0, ω)
U2= z1(L, ω); Θ2= z2(L, ω); W2 = z3(L, ω)
N1= −h
A11−µI11ω2 ∂xz1−A12−µI12ω2 ∂xz2i
x =0; Q1= −h
A33−µI11ω2 ∂xz3− A33z2i
x =0
M1= −h
A12−µI12ω2 ∂xz1−A22−µI22ω2 ∂xz2−µI11ω2z3i
x =0
N2=h
A11−µI11ω2 ∂xz1−A12−µI12ω2 ∂xz2i
x =L; Q2=h
A33−µI11ω2 ∂xz3− A33z2i
x =L
M2=h
A12−µI12ω2 ∂xz1−A22−µI22ω2 ∂xz2−µI11ω2z3i
x =L
(24)
5
Từ đó ta nhận được phương trình bậc ba của = 2: 3 a 2 b c 0 Ký hiệu 1, 2, 3 là nghiệm của phương trình bậc ba và
6
1
j
x j
j
e
trình đầu tiên và phương trình thứ ba của (16), ta có:
( , ) k x k x k x k x k x k x T
trong đó C ( , , C1 C6)T là các hằng số độc lập và
;
Tương tự, 2 5; 2 5; 3 6 ; 3 6, phương trình (19) trở thành:
U , , W T G ( , ) x C
trong đó
G , )
(22)
Xét một phần tử dầm nano FGM hai chiều như Hình 2 Chuyển vị và các lực tại đầu nút của phần tử có dạng:
e
T
ˆ
2 2 2 1 1 1 2
2 2 1 1
trong đó
M1
N2
N1
Hình 2 Nút và lực nút của phần tử dầm Timoshenko
M2
W1
U2
W2
j
Q2
x
Q1
y
L
i
U1
Hình 2 Nút và lực nút của phần tử dầm Timoshenko Thay (21) vào (24), ta được
n ˆUeo =
"
[G(0, ω)]
[G(L, ω)]
#
· {C} ; {Pe}=
"
−BF(G)x=0
BF(G)x =L
#
với [BF] là toán tử ma trân
[BF]=
A11−µI11ω2 ∂x −A12−µI12ω2 ∂x 0
A12−µI12ω2 ∂x −A22−µI22ω2 ∂x −µI11ω2
A33−µI11ω2 ∂x
(26)
Khử vectơ hằng số {C} trong (25) dẫn đến
{Pe(ω)}=
"
−BF(G)x=0
BF(G)x =L
#
·
"
[G(0, ω)]
[G(L, ω)]
#−1
·n ˆUeo = h ˆKe(ω)i·n ˆUeo
(27)
trong đóh ˆKei
là ma trận độ cúng động lực của phần tử dầm nano FGM
54
Trang 7Đạt, P T., và cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Đối với một kết cấu dầm, khung gồm một số phần tử dầm nano FGM như trên, bằng cách cân bằng nội lực tại các nút của kết cấu, ta sẽ thu được ma trận độ cứng động lực ˆK(ω) và vectơ lực nút ˆP của toàn kết cấu Gọi ˆUlà vectơ các chuyển vị nút của kết cấu, phương trình chuyển động của kết cấu theo DSM là
h ˆK(ω)i
Do đó, tần số dao động tự do {ω}= {ω1ω2 ωn}có thể được tìm thấy từ phương trình
3 Kết quả tính toán và thảo luận
3.1 So sánh kết quả tính toán với các kết quả công bố
Trong mục này, các kết quả tính toán số theo mô hình DSM-NET đề xuất được so sánh với kết quả
đã công bố để kiểm tra độ tin cậy của mô hình So sánh đầu tiên được thực hiện đối với tần số cơ bản không nguyên λ1 = ω1.L2 pρtA/EtI của một dầm nano đồng nhất không cục bộ đơn giản theo bốn
lý thuyết dầm không cục bộ: Euler-Bernoulli (EBT), Timoshenko (TBT), Reddy (RBT) và Levinson (LBT) Các kết quả từ mô hình DSM-NET đề xuất trong Bảng1khá phù hợp với các kết quả giải tích của Reddy [8] với các thông số không cục bộ khác nhau
Bảng 1 So sánh tần số cơ bản không thứ nguyên λ 1 = ω 1 L 2 pρtA/EtI của một dầm nano đơn giản với các
tham số không cục bộ khác nhau (tỷ số L/h = 10)
So sánh thứ hai được thực hiện cho một dầm nano FGM đơn giản với các thông số hình học và vật liệu là: L = 10 nm, b = h = L/10 = 1 nm ; Et = 70 Gpa, Gt = 26 Gpa, ρt = 2700 kg/m3;
Eb = 393 Gpa, Gb = 157 Gpa, ρb = 3960 kg/m3 [30] Kết quả tính toán cho 3 tần số không thứ nguyên đầu tiên λi = ωi.L2 pρtA/EtI, i = 1, 2, 3 đối với trục trung hòa (NA) và trục giữa mặt phẳng (MA) theo DSM-NET được so sánh với kết quả của Eltaher và cs [30] sử dụng FEM với 100 phần
tử được thể hiện trong Bảng2 Có thể thấy kết quả khá tốt, đặc biệt khi tính đến vị trí thực của trục trung hòa thì sai số nhỏ hơn 0,5% Các so sánh kết quả tính toán trên với các kết quả đã công bố cho thấy độ tin cậy của mô hình DSM-NET đề xuất
Trang 8Đạt, P T., và cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Bảng 2 So sánh 3 tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm nano với kết quả của Eltaher và cs.
µ
(10−19)
Frqs
(λ i )
MA (Kết quả)
NA (Kết quả)
MA [ 30 ]
NA [ 30 ]
MA (Kết quả)
NA (Kết quả)
MA [ 30 ]
NA [ 30 ]
0
2,0
4,0
3.2 Dao động tự do của dầm bậc nano FGM
8
Hình 3 Dầm nano FGM thay đổi dạng bậc
Trong mục này, dầm bậc nano FGM với các thông số hình học và vật liệu như sau: L=10nm, b=h=1nm, E t =70Gpa, t =2700kg/m 3 ; E b = 393Gpa, b =3960kg/m 3 , v t =v b =0.3, n=0.5 [30] sẽ
được nghiên cứu (Hình 4) Các kết quả được tính toán cho ba tần số không thứ nguyên đầu tiên
2
i i L t A E I i t
công xôn (CF), ngàm hai đầu (CC) và ngàm – gối tựa (C-S ) với 4 trường hợp nghiên cứu: A1) Dầm nano có chiều cao bậc (h1/h = 0,8) tại các vị trí khác nhau: L1/L = 0, 0,1, , 1,0 trong đó
L1/L = 0 tương ứng h1=0,8h trên toàn bộ dầm, L1/L=1 tương ứng h1=h trên toàn bộ dầm
B1) Dầm nano có chiều rộng bậc (b1/b = 0,8) tại các vị trí khác nhau: L1/L = 0, 0,1, , 1,0 trong đó b1/b = 0 tương ứng b1=0,8b trên toàn bộ dầm, b1/b = 1 tương ứng b1 = b trên toàn bộ dầm A2) Dầm nano có chiều cao bậc tại vị trí L1/L = 0,5 với tỷ lệ khác nhau: h1/h = 1,0,0,8, , 0,2; B2) Dầm nano có chiều rộng bậc tại vị trí L1/L = 0,5 với tỷ lệ khác nhau: b1/b = 1,0,0,8, , 0,2 Hình 4 thể hiện sự thay đổi ba tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm bậc nano FGM với các vị trí bậc, tham số không cục bộ và điều kiện biên khác nhau Hình 5 thể hiện sự thay đổi của
ba tần số đầu tiên này của dầm nano FGM có bậc tại vị trí L1/L = 0,5 với các tỷ lệ bước, tham số không cục bộ và điều kiện biên khác nhau Từ các hình vẽ ta có các nhận xét sau:
a) Tồn tại các vị trí bậc trên dầm FGM có ảnh hưởng lớn đến một tần số không thứ nguyên nhất định Vị trí này được gọi là các vị trí tới hạn đối với một tần số cho trước Các vị trí điểm tới hạn tính từ đầu bên trái dầm nano là 0,5L đối với tần số đầu tiên ứng với các điều kiện biên
S-S (Hình 4a) và C-F (Hình 4d); 0,2L với các điều kiện biên C-C (Hình 4g) và C-S-S (Hình 4j); 0,2L cho tần số thứ hai với điều kiện biên C-F (Hình 4e), 0,1L với các điều kiện biên C-C (Hình 4h) và C-S (Hình 4k)
b) Tần số đầu tiên của dầm bậc nano FGM nhạy cảm nhất với vị trí bậc, tỷ lệ bậc và các điều kiện biên Độ lệch lớn nhất của tần số đầu tiên là 3,5% (Hình 4a) và 78,4% (Hình 5a) cho điều kiện biên S-S, 11,9% (Hình 4g) và 32,89% (Hình 5g) cho điều kiện biên C-C, 12,99 % (Hình 4j) và 5,1% (Hình 5j) cho điều kiện biên C-S, và lên đến 33,49% (Hình 4d) và 243,1% (Hình 5d) cho điều kiện biên CF
c) Các tần số không thứ nguyên ứng với các điều kiện biên C là cao nhất sau đó lần lượt là
C-S, S-S và C-F trong hầu hết các trường hợp
d) Sự thay đổi của tần số không thứ nguyên do độ cao bậc gây ra tại các vị trí khác nhau là rõ rệt hơn so với do độ rộng bậc gây ra
e) Khi tham số không cục bộ µ tăng, độ lệch lớn nhất của tần số không thứ nguyên ứng với các điều kiện biên S-S, C-C và C-S giảm trong khi độ lệch lớn nhất của tần số đầu tiên ứng với dầm công xôn tăng lên đến 35,2% (Hình 4d) và 271,22% (Hình 5d) Khoảng cách giữa hai tần số liên tiếp giảm xuống khi tham số không cục bộ tăng
f) Khi tỷ lệ bước tăng lên, các tần số không thứ nguyên ứng với các điều kiện biên S-S, C-C và C-S tăng trong khi các tần số không thứ nguyên ứng với điều kiện biên C-F giảm Đây được
gọi là « nghịch lý không cục bộ », đã được một số tác giả đề cập đến cho trường hợp vật liệu
đồng nhất [14, 38-40]
Hình 6 cho thấy sự thay đổi tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm bậc nano FGM tại các vị trí bậc dọc dầm với các tham số không cục bộ và chỉ số phần thể tích khác nhau với các điều
b1
b
L
L1
(b) Chiều cao
h
h
h1
L
L1
h
(a) Chiều rộng (a) Chiều rộng
8
Hình 3 Dầm nano FGM thay đổi dạng bậc
Trong mục này, dầm bậc nano FGM với các thông số hình học và vật liệu như sau: L=10nm,
b=h=1nm, E t =70Gpa, t =2700kg/m 3 ; E b = 393Gpa, b =3960kg/m 3 , v t =v b =0.3, n=0.5 [30] sẽ
được nghiên cứu (Hình 4) Các kết quả được tính toán cho ba tần số không thứ nguyên đầu tiên
2
i i L t A E I i t
có xét đến trục trung hòa với các điều kiện biên: đơn giản (S-S), công xôn (CF), ngàm hai đầu (CC) và ngàm – gối tựa (C-S ) với 4 trường hợp nghiên cứu:
A1) Dầm nano có chiều cao bậc (h 1 /h = 0,8) tại các vị trí khác nhau: L 1 /L = 0, 0,1, , 1,0 trong đó
L 1 /L = 0 tương ứng h 1 =0,8h trên toàn bộ dầm, L 1 /L=1 tương ứng h 1 =h trên toàn bộ dầm
B1) Dầm nano có chiều rộng bậc (b 1 /b = 0,8) tại các vị trí khác nhau: L 1 /L = 0, 0,1, , 1,0 trong đó b 1 /b = 0 tương ứng b 1 =0,8b trên toàn bộ dầm, b 1 /b = 1 tương ứng b 1 = b trên toàn bộ dầm
A2) Dầm nano có chiều cao bậc tại vị trí L 1 /L = 0,5 với tỷ lệ khác nhau: h 1 /h = 1,0,0,8, , 0,2;
B2) Dầm nano có chiều rộng bậc tại vị trí L 1 /L = 0,5 với tỷ lệ khác nhau: b 1 /b = 1,0,0,8, , 0,2
Hình 4 thể hiện sự thay đổi ba tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm bậc nano FGM với các vị trí bậc, tham số không cục bộ và điều kiện biên khác nhau Hình 5 thể hiện sự thay đổi của
ba tần số đầu tiên này của dầm nano FGM có bậc tại vị trí L 1 /L = 0,5 với các tỷ lệ bước, tham số
không cục bộ và điều kiện biên khác nhau Từ các hình vẽ ta có các nhận xét sau:
a) Tồn tại các vị trí bậc trên dầm FGM có ảnh hưởng lớn đến một tần số không thứ nguyên nhất định Vị trí này được gọi là các vị trí tới hạn đối với một tần số cho trước Các vị trí điểm tới hạn tính từ đầu bên trái dầm nano là 0,5L đối với tần số đầu tiên ứng với các điều kiện biên
S-S (Hình 4a) và C-F (Hình 4d); 0,2L với các điều kiện biên C-C (Hình 4g) và C-S-S (Hình 4j);
0,2L cho tần số thứ hai với điều kiện biên C-F (Hình 4e), 0,1L với các điều kiện biên C-C (Hình 4h) và C-S (Hình 4k)
b) Tần số đầu tiên của dầm bậc nano FGM nhạy cảm nhất với vị trí bậc, tỷ lệ bậc và các điều kiện biên Độ lệch lớn nhất của tần số đầu tiên là 3,5% (Hình 4a) và 78,4% (Hình 5a) cho điều kiện biên S-S, 11,9% (Hình 4g) và 32,89% (Hình 5g) cho điều kiện biên C-C, 12,99 % (Hình 4j) và 5,1% (Hình 5j) cho điều kiện biên C-S, và lên đến 33,49% (Hình 4d) và 243,1% (Hình 5d) cho điều kiện biên CF
c) Các tần số không thứ nguyên ứng với các điều kiện biên C là cao nhất sau đó lần lượt là
C-S, S-S và C-F trong hầu hết các trường hợp
d) Sự thay đổi của tần số không thứ nguyên do độ cao bậc gây ra tại các vị trí khác nhau là rõ rệt hơn so với do độ rộng bậc gây ra
e) Khi tham số không cục bộ µ tăng, độ lệch lớn nhất của tần số không thứ nguyên ứng với các điều kiện biên S-S, C-C và C-S giảm trong khi độ lệch lớn nhất của tần số đầu tiên ứng với dầm công xôn tăng lên đến 35,2% (Hình 4d) và 271,22% (Hình 5d) Khoảng cách giữa hai tần số liên tiếp giảm xuống khi tham số không cục bộ tăng
f) Khi tỷ lệ bước tăng lên, các tần số không thứ nguyên ứng với các điều kiện biên S-S, C-C và C-S tăng trong khi các tần số không thứ nguyên ứng với điều kiện biên C-F giảm Đây được
gọi là « nghịch lý không cục bộ », đã được một số tác giả đề cập đến cho trường hợp vật liệu
đồng nhất [14, 38-40]
Hình 6 cho thấy sự thay đổi tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm bậc nano FGM tại các vị trí bậc dọc dầm với các tham số không cục bộ và chỉ số phần thể tích khác nhau với các điều
b 1
b
L
L 1 (b) Chiều cao
h
h
h 1
L
L 1
h
(a) Chiều rộng
(b) Chiều cao
Hình 3 Dầm nano FGM thay đổi dạng bậc
Trong mục này, dầm bậc nano FGM với các thông số hình học và vật liệu như sau: L = 10 nm,
b = h = 1 nm, Et = 70 Gpa, ρt = 2700 kg/m3; Eb = 393 Gpa, ρb = 3960 kg/m3, vt = vb = 0,3, n = 0,5 [30] sẽ được nghiên cứu (Hình4) Các kết quả được tính toán cho ba tần số không thứ nguyên đầu tiên λi= ωi.L2 pρtA/EtI; i= 1, 2, 3 có xét đến trục trung hòa với các điều kiện biên: đơn giản (S-S), công xôn (CF), ngàm hai đầu (CC) và ngàm – gối tựa (C-S ) với 4 trường hợp nghiên cứu:
56
Trang 9Đạt, P T., và cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
9
kiện biên S-S (Hình 6a) và C-F (Hình 6b) Hình 7 cho thấy sự thay đổi tần số cơ bản không thứ
nguyên của dầm bậc nano FGM tại vị trí L1/L = 0,5 với các tỷ lệ bậc, tham số không cục bộ và chỉ
số phần thể tích với các điều kiện biên S-S (Hình 7a) và C-F (Hình 7b) Từ các đồ thị ta có các
nhận xét sau:
a) Các tần số cơ bản không thứ nguyên của dầm nano bậc ứng với điều kiện biên S-S (và C-C,
C-S) tăng lên khi chỉ số phần thể tích tăng và tham số không cục bộ giảm (Hình 6a, 7a) Ngược
lại, tần số cơ bản không thứ nguyên của dầm nano bậc ứng với điều kiện biên C-F tăng khi chỉ
số phần thể tích và tham số không cục bộ tăng (Hình 6b, 7b)
b) Sự thay đổi của tần số cơ bản không thứ nguyên do chỉ số phần thể tích gây ra là rõ rệt hơn so
với tham số không cục bộ gây ra
c) Khi tỷ lệ bậc tăng lên, các tần số cơ bản không thứ nguyên ứng với điều kiện biên S-S theo
cùng một xu hướng tăng trong khi các tần số trong điều kiện biên C-F giảm
(a) (b)
(c) (d)
(c) (d)
(a)
9
kiện biên S-S (Hình 6a) và C-F (Hình 6b) Hình 7 cho thấy sự thay đổi tần số cơ bản không thứ nguyên của dầm bậc nano FGM tại vị trí L1/L = 0,5 với các tỷ lệ bậc, tham số không cục bộ và chỉ số phần thể tích với các điều kiện biên S-S (Hình 7a) và C-F (Hình 7b) Từ các đồ thị ta có các nhận xét sau:
a) Các tần số cơ bản không thứ nguyên của dầm nano bậc ứng với điều kiện biên S-S (và C-C, C-S) tăng lên khi chỉ số phần thể tích tăng và tham số không cục bộ giảm (Hình 6a, 7a) Ngược lại, tần số cơ bản không thứ nguyên của dầm nano bậc ứng với điều kiện biên C-F tăng khi chỉ số phần thể tích và tham số không cục bộ tăng (Hình 6b, 7b)
b) Sự thay đổi của tần số cơ bản không thứ nguyên do chỉ số phần thể tích gây ra là rõ rệt hơn so với tham số không cục bộ gây ra
c) Khi tỷ lệ bậc tăng lên, các tần số cơ bản không thứ nguyên ứng với điều kiện biên S-S theo cùng một xu hướng tăng trong khi các tần số trong điều kiện biên C-F giảm
(a) (b)
(c) (d)
(c) (d)
(b)
9
kiện biên S-S (Hình 6a) và C-F (Hình 6b) Hình 7 cho thấy sự thay đổi tần số cơ bản không thứ
nguyên của dầm bậc nano FGM tại vị trí L1/L = 0,5 với các tỷ lệ bậc, tham số không cục bộ và chỉ
số phần thể tích với các điều kiện biên S-S (Hình 7a) và C-F (Hình 7b) Từ các đồ thị ta có các
nhận xét sau:
a) Các tần số cơ bản không thứ nguyên của dầm nano bậc ứng với điều kiện biên S-S (và C-C,
C-S) tăng lên khi chỉ số phần thể tích tăng và tham số không cục bộ giảm (Hình 6a, 7a) Ngược
lại, tần số cơ bản không thứ nguyên của dầm nano bậc ứng với điều kiện biên C-F tăng khi chỉ
số phần thể tích và tham số không cục bộ tăng (Hình 6b, 7b)
b) Sự thay đổi của tần số cơ bản không thứ nguyên do chỉ số phần thể tích gây ra là rõ rệt hơn so
với tham số không cục bộ gây ra
c) Khi tỷ lệ bậc tăng lên, các tần số cơ bản không thứ nguyên ứng với điều kiện biên S-S theo
cùng một xu hướng tăng trong khi các tần số trong điều kiện biên C-F giảm
(a) (b)
(c) (d)
(c) (d)
(c)
9
kiện biên S-S (Hình 6a) và C-F (Hình 6b) Hình 7 cho thấy sự thay đổi tần số cơ bản không thứ nguyên của dầm bậc nano FGM tại vị trí L1/L = 0,5 với các tỷ lệ bậc, tham số không cục bộ và chỉ số phần thể tích với các điều kiện biên S-S (Hình 7a) và C-F (Hình 7b) Từ các đồ thị ta có các nhận xét sau:
a) Các tần số cơ bản không thứ nguyên của dầm nano bậc ứng với điều kiện biên S-S (và C-C, C-S) tăng lên khi chỉ số phần thể tích tăng và tham số không cục bộ giảm (Hình 6a, 7a) Ngược lại, tần số cơ bản không thứ nguyên của dầm nano bậc ứng với điều kiện biên C-F tăng khi chỉ số phần thể tích và tham số không cục bộ tăng (Hình 6b, 7b)
b) Sự thay đổi của tần số cơ bản không thứ nguyên do chỉ số phần thể tích gây ra là rõ rệt hơn so với tham số không cục bộ gây ra
c) Khi tỷ lệ bậc tăng lên, các tần số cơ bản không thứ nguyên ứng với điều kiện biên S-S theo cùng một xu hướng tăng trong khi các tần số trong điều kiện biên C-F giảm
(a) (b)
(c) (d)
(c) (d)
(d)
10
(e) (f)
(g) (h)
(i) (j)
(e)
10
(e) (f)
(g) (h)
(i) (j)
(f)
57
Trang 10Đạt, P T., và cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
10
(e) (f)
(g) (h)
(i) (j)
(g)
10
(e) (f)
(g) (h)
(i) (j)
(h)
10
(e) (f)
(g) (h)
(i) (j) (i)
10
(e) (f)
(g) (h)
(i) (j) (j)
11
(k) (l)
Hình 4 Ba tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm FGM bậc nano với các vị trí bậc, tham số
phi địa phương và điều kiện biên khác nhau
(a) (b)
(c) (d)
(k)
11
(k) (l)
Hình 4 Ba tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm FGM bậc nano với các vị trí bậc, tham số
phi địa phương và điều kiện biên khác nhau
(a) (b)
(c) (d)
(l)
Hình 4 Ba tần số không thứ nguyên đầu tiên của dầm FGM bậc nano với các vị trí bậc, tham số phi địa
phương và điều kiện biên khác nhau
58