Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lí về tính duy nhất và tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình

Mục đích của luận án nghiên cứu tính hữu hạn thông qua việc thiết lập định lí phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình từ C m vào không gian xạ ảnh P n (C) giao với 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Mời các bạn cùng tham khảo!

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM ĐỨC THOAN

Có thể tìm luận án tại: - Thư viện Quốc Gia

- Thư viện Trường Đại Học Sư Phạm HàNội

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết phân bố giá trị được bắt đầu xây dựng bởi nhà toán họcnổi tiếng R Nevanlinna từ những năm 20 của thế kỉ trước Ngay từkhi ra đời, lý thuyết này đã thu hút được nhiều nhà toán học lớntrên thế giới quan tâm nghiên cứu Nhiều kết quả đặc sắc và nhữngứng dụng to lớn của lý thuyết này trong những ngành toán học khácnhau đã được phát hiện Nội dung cơ bản của lí thuyết phân bố giátrị là thiết lập định lí Cơ bản bản thứ 2, định lí nói về mối quan hệgiữa hàm đếm các không điểm với độ tăng của hàm đặc trưng Định

lí này có nhiều áp dụng trong việc nghiên cứu vấn đề duy nhất, tínhhữu hạn, tính phụ thuộc đại số, quan hệ số khuyết cũng như phân

bố về mặt giá trị của các ánh xạ phân hình

Để thiết lập định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cmvào không gian xạ ảnh Pn(C), người ta dựa vào bổ đề Đạo hàmlogarit và tính chất của định thức Wronski Tuy nhiên, năm 2006,

R Halburd và R J Korhonen đã thiết lập được định lí cơ bản thứhai cho ánh xạ phân hình từ C vào Pn(C) giao với các siêu phẳng

cố dịnh cũng như các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát bằngcách thay định thức Wronski bởi định thức Casorati (c-Casorati vàp-Casorati) và thay bổ đề Đạo hàm logarit bởi một bổ đề tương tự,

nó có tên là bổ đề q-dịch chuyển hoặc c-dịch chuyển cho các ánh

xạ phân hình bậc 0 hoặc cho các ánh xạ phân hình có siêu bậc nhỏhơn 1 tương ứng Từ đó, họ có thể nghiên cứu tính duy nhất củacác ánh xạ phân hình này theo kiểu định lí Picard tổng quát Định

lí Cơ bản thứ hai loại này được gọi là định lí Cơ bản thứ hai p-dịchchuyển hoặc c-dịch chuyển giao với các mục tiêu Bằng cách tiếp cậntheo hướng này, năm 2016, T B Cao và R J Korhonen đã thiết

lập định lí Cơ bản thứ hai p-dịch chuyển cho các ánh xạ phân hình

từ Cm vào không gian xạ ảnh Pn(C) giao với siêu phẳng ở vị trí dướitổng quát

Một cách tự nhiên là cần xây dựng định lí Cơ bản thứ hai p-dịchchuyển của ánh xạ phân hình bậc 0 từ Cm vào Pn(C) giao với cácsiêu mặt ở vị trí dưới tổng quát thông qua định thứ p-Casorati cũngnhư việc áp dụng nó vào nghiên cứu vấn đề duy nhất kiểu định líPicard tổng quát

Trong trường hợp một chiều, kể từ khi R Halburd và R J.Korhonen đưa ra được bổ đề c-dịch chuyển và định lí Cơ bản thứhai c-dịch chuyển cho các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1,định lí duy nhất kiểu Picard tương tự như định lí 5 điểm của R.Nevanlinna được nghiên cứu rất mạnh mẽ Có rất nhiều kết quả thú

vị theo hướng nghiên cứu này Chẳng hạn, năm 2009, J Heittokangas

và các đồng nghiệp đã chứng minh rằng nếu hàm phân hình f (z)

có bậc hữu hạn chia sẻ 3 giá trị phân biệt đếm cả bội với hàm dịchchuyển f (z + c) thì f là một hàm tuần hoàn với chu kì c, tức là

f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C Định lí kiểu Picard này được chínhcác tác giả trên cải tiến cho trường hợp chia sẻ hai giá trị đếm cảbội và một giá trị không đếm bội Đầu năm 2016, K S Charak, R

J Korhonen và G Kumar đã đưa ra được phản ví dụ để chỉ ra rằngkhông có định lí duy nhất cho trường hợp 1 giá trị chia sẻ đếm cảbội và hai giá trị chia sẻ không đếm bội Chú ý rằng, trong định lí 5điểm của R Nevanlinna thì 5 giá trị chia sẻ là không cần đếm bội.Một câu hỏi đặt ra liệu có được định lí kiểu Picard trong trườnghợp số giá trị chia sẻ không đếm bội là 4 không? Các tác giả đã cốgắng trả lời câu hỏi trên và đã có được những kết quả theo hướngnày cho các hàm phân hình có siêu bậc nhỏ hơn 1 chia sẻ 4 giá trị

dưới một điều kiện về số khuyết.

Năm 2018, W Lin, X Lin và A Wu có được một phản ví dụ chỉ

ra rằng kết quả đó không còn đúng nữa khi bội của các giá trị chia

sẻ bị ngắt Từ đó, họ đặt ra vấn đề nghiên cứu tính duy nhất kiểuđịnh lí Picard khi các giá trị bị ngắt bội Một trong những mục tiêukhi nghiên cứu vấn đề duy nhất là giảm được số các giá trị chia sẻ.Theo đó, chúng tôi đặt ra vấn đề nghiên cứu và cải tiến các kết qủacủa W Lin, X Lin và A Wu

Bài toán về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ Cmvào Pn(C) được bắt đầu nghiên cứu trong bài báo của S Ji và chođến nay đã có nhiều kết quả được công bố Một số kết quả tốt nhấtgần đây thuộc về Z Chen và Q Yan, S Đ Quang, S Đ Quang và

L N Quỳnh Chú ý rằng, bằng việc nghiên cứu tính phụ thuộc đại

số của 3 hàm phân hình có ảnh ngược giao với 2n + 2 siêu phẳng ở

vị trí tổng quát đã giúp S Đ Quang khẳng định được tính hữu hạncủa lớp các ánh xạ phân hình đó

Tuy nhiên, như đã nói ở trên việc giảm được số siêu phẳng chia

sẻ trong các kết quả là một trong những đích quan trọng trong líthuyết phân bố giá trị Do vậy, chúng tôi đặt ra mục đích nghiêncứu tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian

xạ ảnh Pn(C) với số siêu phẳng tham gia nhỏ hơn 2n + 2 thông quatính phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình

Từ những lý do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Một sốđịnh lí về tính duy nhất và tính hữu hạn của họ cácánh xạ phân hình”, để đi sâu vào nghiên cứu các bài toán duynhất của các ánh xạ phân hình và ánh xạ dịch chuyển của chúng,cũng như các bài toán về tính hữu hạn cho những ánh xạ phân hình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích đầu tiên của luận án là đưa ra và chứng minh một sốđịnh lí duy nhất của các hàm phân hình f (z) trên mặt phẳng phức

C có siêu bậc nhỏ hơn 1 chia sẻ một phần các giá trị cùng với hàmdịch chuyển f (z + c) của nó

Tiếp theo đó, luận án nghiên cứu thiết lập một số định lí Cơ bảnthứ hai và một số định lí duy nhất kiểu Picard cho các ánh xạ phânhình từ Cm vào không gian xạ ảnh Pn(C) có bậc 0 và giao với cácsiêu mặt

Cuối cùng, luận án nghiên cứu tính hữu hạn thông qua việc thiếtlập định lí phụ thuộc đại số của 3 ánh xạ phân hình từ Cm vàokhông gian xạ ảnh Pn(C) giao với 2n + 1 siêu phẳng ở vị trí tổngquát

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số định lí duy nhất kiểuPicard và vấn đề phụ thuộc đại số cũng như tính hữu hạn của cácánh xạ phân hình

Đề tài được nghiên cứu trong phạm vi của lý thuyết Nevanlinnacho các ánh xạ phân hình

4 Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụngnhững phương pháp của lý thuyết phân bố giá trị và hình học phức.Bên cạnh việc sử dụng các kỹ thuật truyền thống, chúng tôi đưa ranhững kỹ thuật mới nhằm đạt được những mục đích đã đặt ra trong

đề tài

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án góp phần làm sâu sắc hơn các kết quả về vấn đề duy nhất

và tính hữu hạn của các hàm phân hình hoặc của các ánh xạ phân

hình Bên cạnh việc làm phong phú thêm các bài toán này, luận áncũng đưa ra được những kết quả mới cho sự phụ thuộc đại số của 3ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh với ít họ siêu phẳng.

Luận án là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên caohọc và nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này

6 Cấu trúc luận án

Cấu trúc của luận án bao gồm bốn chương chính Chương Tổngquan dành để phân tích một số kết quả nghiên cứu của những tác giảtrong và ngoài nước liên quan đến nội dung của đề tài Ba chươngcòn lại trình bày các kiến thức chuẩn bị cũng như những chứng minhchi tiết cho các kết quả mới của đề tài

Luận án được viết dựa trên ba bài báo đã được đăng

7 Nơi thực hiện luận án

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

5 điểm của Nevanlinna ra đời Chẳng hạn, vào 2009, J Heittokangas

và các đồng nghiệp đã xét vấn đề này đối với hàm phân hình f (z)trên mặt phẳng phức C có bậc hữu hạn chia sẻ 3 giá trị CM với hàmdịch chuyển f (z + c) của nó Sau đó, kết quả trên được cải tiến chotrường hợp chia sẻ hai giá trị CM và một giá trị IM bởi chính cáctác giả này

Năm 2016, K S Charak, R Korhonen và G Kumar đã đưa ramột ví dụ để chỉ ra rằng trường hợp chia sẻ một giá trị CM và haigiá trị IM (và do đó là ba giá trị IM) là không xảy ra trong trườnghợp tổng quát

Khái niệm chia sẻ một phần các giá trị của hàm phân hình có siêubậc nhỏ hơn 1 được giới thiệu bởi K S Charak, R Korhonen và G.Kumar trong Họ có được một định lí duy nhất cho hàm phân hình

có siêu bậc nhỏ hơn 1 chia sẻ một phần bốn giá trị IM với hàm dịchchuyển của nó dưới điều kiện về số khuyết sau đây

Định lí A Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậcγ(f ) < 1 và c ∈ C \ {0} Cho a1, a2, a3, a4 ∈ ˆS(f ) là bốn hàmphân hình tuần hoàn phân biệt có chu kỳ c Nếu δ(a, f ) > 0 với

a ∈ ˆS(f ) và

E(aj, f (z)) ⊆ E(aj, f (z + c)), j = 1, 2, 3, 4

CM Sau đó, họ đã đưa ra các kết quả sau đây dưới điều kiện về

số khuyết thu gọn Θ(0, f ) + Θ(∞, f ) > k+12 Một ví dụ cũng chỉ rarằng điều kiện này là tốt nhất

Đinh lí B Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêu bậcγ(f ) < 1 và c ∈ C \ {0} Cho k1, k2 là hai số nguyên dương vàcho a1, a2 ∈ S(f ) \ {0}, a3, a4 ∈ ˆS(f ) là bốn hàm phân hình tuầnhoàn có chu kỳ c sao cho f(z) và f (z + c) chia sẻ a3, a4 CM và

E≤k(aj, f (z)) ⊆ E≤k(aj, f (z + c)), j = 1, 2

Nếu k ≥ 2 thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C

Như một áp dụng của Định lí B và C, các tác giả trên đã đưa racác điều kiện cần để một hàm phân hình là tuần hoàn sau đây.Định lí D Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng thỏa

mãn Θ(∞, f ) = Θ(∞, g) = 1, ở đó f là một hàm tuần hoàn cóchu kỳ c ∈ C \ {0} với siêu bậc γ(f ) < 1 Cho k1, k2 là hai sốnguyên dương, a1, a2, a3 ∈ S(f ) là ba hàm phân hình tuần hoàn

có chu kỳ c sao cho f và g chia sẻ a3 CM và

E≤k(aj, f ) ⊆ E≤k(aj, g), j = 1, 2

Khi đó, ta có g là một hàm phân hình tuần hoàn với chu kì T ,

ở đó T ∈ {c,2c}, nghĩa là g(z) = g(z + T ) với mọi z ∈ C

Câu hỏi đầu tiên được đặt ra là liệu có thể tổng quát hóa và cảitiến Định lí B và C bằng cách giảm số các giá trị chia sẻ đượckhông?

Câu hỏi thứ hai là liệu có thể đưa ra một vài định lí duy nhấttheo hướng này, cũng như một số áp dụng của nó để có được định

lí tương tự định lí D hay không?

Mục đích đầu tiên của luận án là trả lời các câu hỏi trên Cụ thể,chúng tôi đã chứng minh được các định lí sau đây

Định lí 2.2.1 Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêubậc γ(f ) < 1 và cho c ∈ C \ {0} Cho a1, a2, a3 ∈ ˆS(f ) là bahàm phân hình tuần hoàn có chu kỳ c và cho k là một số nguyêndương Giả sử rằng f(z) và f (z + c) chia sẻ một phần a1, a2 CM,nghĩa là

E(a1, f (z)) ⊆ E(a1, f (z + c)), E(a2, f (z)) ⊆ E(a2, f (z + c))

Hệ quả 2.2.2 Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêubậc γ(f ) < 1, Θ(∞, f ) = 1 và cho c ∈ C \ {0} Cho a1, a2 ∈ S(f )

là hai hàm phân hình tuần hoàn có chu kỳ c sao cho f(z) và

f (z + c) chia sẻ một phần a1 CM, nghĩa là

E(a1, f (z)) ⊆ E(a1, f (z + c))

và thỏa mãn

E≤k(a2, f (z)) ⊆ E≤k(a2, f (z + c))

Nếu k ≥ 2 thì f (z) = f (z + c) với mọi z ∈ C

Trong trường hợp k = ∞, chúng ta có định lí sau

Định lí 2.2.3 Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêubậc γ(f ) < 1 và cho c ∈ C \ {0} Cho a1, a2, a3 ∈ ˆS(f ) là ba hàmphân hình riêng biệt có chu kỳ c Giả thiết rằng f(z) và f (z + c)chia sẻ một phần a1, a2 CM và chia sẻ một phần a3 IM, nghĩa làE(a1, f (z)) ⊆ E(a1, f (z + c)), E(a2, f (z)) ⊆ E(a2, f (z + c))

và thỏa mãn

E(a3, f (z)) ⊆ E(a3, f (z + c))

Nếu Θ(a, f ) > 0 với a ∈ ˆS(f ) \ {a3} thì f (z) = f (z + c) với mọi

z ∈ C

Bỏ qua giả thiết về số khuyết, chúng ta sẽ có kết quả sau

Định lí 2.2.4 Cho f là một hàm phân hình khác hằng có siêubậc γ(f ) < 1 và cho c ∈ C \ {0} Cho k, l là hai số nguyên dương

và cho a1, a2, a3, a4 ∈ ˆS(f ) là bốn hàm phân hình phân biệt tuầnhoàn có chu kỳ c Giả thiết rằng f(z) và f (z + c) chia sẻ mộtphần a1, a2 CM và

E≤k(a3, f (z)) ⊆ E≤k(a3, f (z+c)), E≤l(a4, f (z)) ⊆ E≤l(a4, f (z+c)).Khi đó:

(i) nếu kl > min{k, l} + 2 thì f (z) = f (z + c) hoặc f (z)−a1

Sử dụng ý tưởng trong phần chứng minh của Định lí D, chúng tanhận được một kết quả tương tự và nó là một áp dụng của Định lí1.2.1 và Hệ quả 2.2.2

Định lí 2.3.1 Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằngthỏa mãn Θ(∞, f ) = Θ(∞, g) = 1, ở đó f có chu kỳ c ∈ C \ {0}với siêu bậc γ(f ) < 1 Cho k với một số nguyên dương và

a1, a2 ∈ S(f ) là hai hàm phân hình tuần hoàn có chu kỳ c saocho f và g chia sẻ một phần a1 CM và

(i) nếu kl > min{k, l} + 2 thì g là một hàm tuần hoàn có chu kỳ

T , ở đó T ∈ {c, 2c}, nghĩa là g(z) = g(z + T ) với một z ∈ C.(ii) nếu max{k, l} = ∞ thì g là một hàm tuần hoàn có chu kỳ c,nghĩa là g(z) = g(z + c) với mọi z ∈ C

II Tính duy nhất của lớp các ánh xạ phân hình có bậc0

Trong những năm gần đây, Định lí Cơ bản thứ hai cho các ánh

xạ phân hình giao với các siêu mặt được khảo sát bởi rất nhiều tácgiả như T V Tấn và V V Trường, M Ru, S Đ Quang và các tácgiả khác Chẳng hạn, năm 2004, M Ru đã chứng minh một định lí

cơ bản thứ hai cho trường hợp ánh xạ không suy biến đại số vào

Pn(C) giao với họ siêu mặt ở vị trí tổng quát, đây là một kết quảđột phá Vào năm 2017, S Đ Quang có được định lí cơ bản thứhai cho trường hợp tổng quát, ánh xạ phân hình vào đa tạp con xạảnh giao với các siêu mặt vị trí tổng quát bằng cách sử dụng trọngChow

Cho mục đích nghiên cứu tính duy nhất hay định lí kiểu Picardcủa các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) có bậc 0 giao với cácsiêu mặt, chúng tôi đã nghiên cứu và đưa ra một vài kết quả chophân bố giá trị q-dịch chuyển của các ánh xạ phân hình nhiều biếnphức giao với các siêu mặt nằm ở vị trí dưới tổng quát dựa vào ýtưởng của M Ru và S Đ Quang

Định lí 3.2.1 Cho q = (q1, , qm) ∈ Cm với qj 6= 0(1 ≤ j ≤ m) và cho f : Cm → Pn(C) là một ánh xạ phân hình

có bậc 0 Giả thiết rằng f không suy biến đại số trên trường φ0q.Gọi ˜f = (f0 : · · · : fn) là biểu diễn thu gọn địa phương của f.Cho Qj là các siêu mặt bậc dj (1 ≤ j ≤ p) nằm ở vị trí N -dướitổng quát trong Pn(C) Cho d là bội số chung nhỏ nhất của mọi

dj Khi đó, tồn tại một số nguyên dương u lớn nhất chia hết cho

× NC

q (f I1, ,fIM)(r) + o (Tf(r))đúng trên tập trù mật logarit 1, ở đó Ij = (ij0, , ijn), |Ij| =

ij0 + · · · + ijn = u và M = u + d

u

!

Ta có kết quả sau tương tự như định lí Nochka-Cartan với bội bịcắt cụt

Định lí 3.2.3 Cho q = (q1, , qm) ∈ Cm với qj 6= 0 (1 ≤ j ≤ m)

và cho f : Cm → Pn(C) là một ánh xạ phân hình có bậc 0.Giả thiết rằng f không suy biến đại số trên trường φ0q Gọi

˜

f = (f0 : · · · : fn) là biểu diễn thu gọn địa phương của f Cho Qj

là các siêu mặt có bậc dj (1 ≤ j ≤ p) ở vị trí N -dưới tổng quáttrong Pn(C) Cho d là bội số chung nhỏ nhất của tất cả dj Khi

Định lí 3.3.1 Cho q = (q1, , qm) ∈ Cm với qj 6= 0, 1(1 ≤ j ≤ m) và cho f : Cm → Pn(C) là một ánh xạ phân hình cóbậc 0 Cho Q1, , Qp là các siêu mặt trong Pn(C) nằm ở vị trí

N -dưới tổng quát có bậc chung d Đặt M = n + d

Pn(C), ta có d = 1 và M = n Hơn nữa, nếu |qi| 6= 1 với mọi

i ∈ {1, , m} thì f (z) = f (qz) Điều này kéo theo f phải là mộtánh xạ không đổi Ngay lập tức, chúng tôi có hệ quả sau

Hệ quả 3.3.5 Cho f là một ánh xạ phân hình có bậc 0 từ Cmvào Pn(C) và cho τq(z) = qz, ở đó q = (q1, , qm) ∈ Cm với

qj 6= 0 (1 ≤ j ≤ m) Giả thiết rằng τq((f, Hj)−1) ⊂ (f, Hj)−1(đếm cả bội) đúng với mọi siêu phẳng {Hj}pj=1 nằm ở vị trí N -dưới tổng quát trong Pn(C) Nếu p > 2N thì f (qz) = f (z) Đặcbiệt, nếu |qi| 6= 1 với mọi i ∈ {1, , m} thì f là một ánh xạhằng

III Tính phụ thuộc đại số và tính hữu hạn của họ cácánh xạ phân hình chia sẻ 2n + 1 siêu phẳng

Bài toán phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình nhiều biến phứcvào không gian xạ ảnh phức cho các mục tiêu cố định lần đầu tiênđược nghiên cứu bởi S Ji và W Stoll Sau đó, kết quả của họ đãđược nhiều tác giả như H Fujimoto, Z Chen và Q Yan, S Đ Quang

và L N Quỳnh phát triển Cụ thể hơn, H Fujimoto đã đưa ra định