(Luận văn thạc sĩ) toán tử monge ampere phức và bài toán dirichlet trong lớp f

Taylor đã chỉ ra rằng toán tử này xác định trên lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và có ảnh trong lớp các độ đo không âm.. Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử Monge - A

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ MAI PHƯƠNG

TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC

VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ MAI PHƯƠNG

TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC

VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu trong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào

Tác giả

Trần Thị Mai Phương

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận

lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Công nghiệp Tỉnh Hoà Bình cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập

và hoàn thành bản luận văn này

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên

để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 7 năm 2015

Tác giả

Trần Thị Mai Phương

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Bố cục của luận văn 3

Ch ƣơng 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Hàm đa điều hoà dưới 4

1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại 6

1.3 Hàm cực trị tương đối 7

1.4 Toán tử Monge-Ampère phức 10

1.5 Nguyên lý so sánh 13

Ch ƣơng 2 TOÁN TỬ MONGE-AMPÈME PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP 16

2.1 Mở đầu 16

2.2 Xấp xỉ bởi các hàm đa điều hòa dưới liên tục 16

2.3 Tích phân từng phần 18

2.4 Định nghĩa toán tử Monge-Ampere phức 21

2.5 Lớp 25

2.6 Bài toán Dirchle đối với toán tử Monge-Ampere trong 38

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết hàm biến phức nói chung và lý thuyết đa thế vị nói riêng đã được xuất hiện từ lâu, tuy nhiên nó chỉ được phát triển trong vòng 30 năm trở lại đây Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được biết đến từ khá sớm Tuy nhiên sự phát triển của lý thuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học chỉ thực sự mạnh mẽ sau khi

E Berfod, và B A Taylor năm 1982, xây dựng thành công toán tử Ampere phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, một khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế vị E Berfod và

Monge-B A Taylor đã chỉ ra rằng toán tử này xác định trên lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và có ảnh trong lớp các độ đo không âm Tiếp đó, năm

1984, Kiselman đã chỉ ra rằng không thể mở rộng toán tử này tới lớp các hàm

đa điều hòa dưới bất kỳ mà vẫn có ảnh trong lớp các độ đo không âm Do đó miền xác định của toán tử Monge-Ampere là rất quan trọng trong lý thuyết đa thế vị và nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước Năm 1998, Cegrell đã định nghĩa các lớp năng lượng 0( ), p( ), ( )p trên

đó toán tử Monge-Ampere phức là xác định Năm 2004, Cegrell đã định nghĩa các lớp ( ), ( ) và chỉ ra rằng lớp ( ) là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của

toán tử Monge-Ampere phức Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử Monge -

Ampère xác định, liên tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về toán tử Monge-Ampere và áp dụng các kết quả đạt được trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp năng lượng , chúng tôi chọn

“Toán tử Monge-Ampere phức và bài toán Dirichlet trong lớp ” làm đề tài

nghiên cứu của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp các hàm đa điều hòa dưới gồm tất cả các hàm có giá trị bằng giới hạn giảm của các hàm test Đây là định nghĩa tổng quát nhất nếu đòi hỏi toán tử liên tục theo các giới

hạn giảm dần Nghiên cứu về toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu trên và áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:

- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm

đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh và các hệ quả của nó

- Trình bày việc xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới âm bởi các hàm đa điều hòa dưới, liên tục

- Mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampème phức tới lớp các hàm

đa điều hòa dưới gồm tất cả các hàm có giá trị bằng giới hạn giảm của các hàm test Đó là định nghĩa tổng quát nhất nếu đòi hỏi toán tử liên tục theo các giới

hạn giảm dần

- Trình bày một vài kết quả nghiên cứu về toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu trên và áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức

4 Bố cục của luận văn

Nội dung luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Ch ương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất

của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh và các hệ quả của nó

Chương 2: Là nội dung chính của luận văn Phần đầu của chương trình

bày việc xấp xỉ các hàm đa điều hòa dưới âm bởi các hàm đa điều hòa dưới, liên tục được sử dụng trong suốt chương này Kế đến là việc mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampère phức tới lớp các hàm đa điều hòa dưới và một vài kết quả về toán tử Monge-Ampère sử dụng định nghĩa tổng quát nêu trên và

áp dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong lớp

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Hàm đa điều hoà dưới

1.1.1 Định nghĩa Cho là một tập con mở của n

và u : ,

là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên thông nào của Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi

a và b n , hàm u a ( b ) là điều hoà dưới hoặc trùng

trên mỗi thành phần của tập hợp : a b Trong trường hợp này, ta viết u ( ) ( ở đây kí hiệu ( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong )

Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:

1.1.2 Mệnh đề Nếu u v , ( ) và u v hầu khắp nơi trong , thì

1.1.3 Mệnh đề Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền

bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của n

và

( )

u PSH , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z ,

( ) sup lim sup ( )

y y

1.1.4 Định lý Cho là một tập con mở trong n Khi đó

( ) i Họ ( ) là nón lồi, tức là nếu , là các số không âm và

( ) iii Nếu u : , và nếu j ( )

u là đa điều hoà dưới trong

1.1.5 Hệ quả Cho là một tập mở trong n

và là một tập con mở thực sự khác rỗng của Nếu u ( ), v ( ), và lim ( ) ( )

xác định một hàm đa điều hoà dưới trong

1.1.6 Định lý Cho là một tập con mở của n

( ) i Cho u v, là các hàm đa điều hoà trong và v 0 Nếu : là

lồi, thì v u v ( / ) là đa điều hoà dưới trong

( )ii Cho u ( ), v ( ), và v 0 trong Nếu :

là lồi và tăng dần, thì v u v ( / )là đa điều hoà dưới trong

( ) iii Cho u , v ( ), u 0 trong , và v 0 trong Nếu

: 0, 0, là lồi và (0) 0, thì v u v( / ) ( ).

1.1.7 Định lý Cho là một tập con mở của n

và

là một tập con đóng của  ở đây v ( ) Nếu u ( \ ) F là bị chặn trên, thì hàm u xác định bởi

là đa điều hoà dưới trong

1.1.8 Định nghĩa Một miền bị chặn n được gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại hàm đa điều hòa dưới liên tục : ( , 0) sao cho

c z : ( )z c với mọi c 0

1.2 Hàm đa điều hoà dưới cực đại

1.2.1 Định nghĩa Cho là một tập con mở của n

và u : là hàm

đa điều hoà dưới Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của , và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho

( )

v G và v u trên G , đều có v u trong G

Một số tính chất tương đương của tính cực đại

1.2.2 Mệnh đề Cho n là mở và u : là hàm đa điều hoà dưới Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

( ) i Với mỗi tập con mở compact tương đối G của và với mỗi hàm

( ) iii Nếu v ( ), G là một tập con mở compact tương đối của , và

Hàm u E, * là đa điều hoà dưới trong

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối

Chứng minh Nếu < 0 là một hàm vét cạn đối với , thì với số M 0 nào

đó, M 1 trên E Như vậy M u E, trong Rõ ràng, lim ( ) 0

và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm

1.3 4 Mệnh đề Nếu n là siêu lồi và K là một tập compact sao

cho K*, 1

K

u thì u K, là hàm liên tục

Chứng minh Lấy u u E, và ký hiệu F  ( ) là họ các hàm u Giả sử

là hàm xác định của sao cho 1 trên K Khi đó u trong Chỉ

cần chứng minh rằng với mỗi (0,1) tồn tại v C ( ) F Sao cho

u v u trong . Thật vậy, lấy (0,1) tồn tại 0 sao cho

Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini có

trên K Đặt

\

trong v

Khi đó v  C( ) ∩ F và như vậy

tại mỗi điểm trong

1.3.5 Mệnh đề Cho n là tập mở liên thông, và E Khi đó các điều kiện sau tương đương:

( ) i u E*, 0;

( ) ii Tồn tại hàm v ( ) âm sao cho E z : ( )v z

Chứng minh ( )ii ( )i là hiển nhiên Thật vậy, nếu v như ở trên ( )ii , thì

,

E

v u với mọi 0, từ đó u E, 0 hầu khắp nơi trong Như vậy

Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều

hoà dưới Vì v nên ta kết luận v ( )

1.3 6 Mệnh đề Cho là tập con mở liên thông của n Giả sử j

sao cho

1

j j

và K 1 Khi đó

với dV là yếu tố thể tích trong n gọi là toán tử Monge-Ampe Toán tử này

có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C0( ) trên

n c

Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn

địa phương trên thì tồn tại dãy

dd u hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là:

và gọi là toán tử Monge-Ampe của u

Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe

1.4.2 Mệnh đề Giả sử j là dãy các độ đo Radon trên tập mở n hội

tụ yếu tới độ đo Radon Khi đó

a) Nếu G là tập mở thì lim inf j

c) Nếu E compact tương đối trong sao cho E 0 thì

c) Viết E IntE E Khi đó

1.4.3 Mệnh đề Giả sử n là miền bị chặn và u v, ( ) L loc

sao cho u v, 0 trên và lim 0

z u z Giả sử T là n 1,n 1 -dòng dương, đóng trên Khi đó

1.5.2 Hệ quả Giả sử n là miền bị chặn và u v, ( ) L ( )

sao cho u v và lim ( ) lim ( ) 0

1.5.3 Hệ quả (Nguyên lý so sánh) Giả sử n là miền bị chặn và

u v L sao cho lim inf( ( ) ( )) 0

z u z v z Giả sử

(dd u c )n (dd v c )n trên Khi đó u v trên

Chứng minh Đặt ( )z z 2 M , với M được chọn đủ lớn sao cho 0

trên Giả sử u v khác rỗng Khi đó có 0 sao cho u v

khác rỗng và do đó nó có độ đo Lebesgue dương Do Định lí 1.5.1 ta có

và ta gặp phải mâu thuẫn Vậy u v trên

1.5.4 Hệ quả Giả sử n là miền bị chặn và u v, ( ) L ( )

sao cho lim inf( ( ) ( )) 0

dd u dd v Khi đó u v

1.5.5 Hệ quả Giả sử n là miền bị chặn và u v, ( ) L ( )

sao cho lim inf( ( ) ( )) 0

u v

dd u Khi đó u v trên

Chứng minh Tương tự như trong Hệ quả 1.5.3 Giả sử u v Khi đó

có 0 sao cho u v và do đó có độ đo Lebesgue dương Chú ý rằng do 0 nên u v u v Khi đó như chứng minh của Hệ quả 1.5.3 ta có

Chương 2

TOÁN TỬ MONGE-AMPÈME PHỨC VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET TRONG LỚP

2.1 M ở đầu

Trong chương này, ta luôn giả thiết là miền siêu lồi Phần đầu của

chương này, chúng ta sẽ xét việc xấp xỉ toàn cục của các hàm đa điều hòa dưới

âm bởi dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới âm liên tục trên , bằng không trên và với khối lượng Monge-Ampère bị chặn Các phần tử của lớp hàm này sử dụng như “các hàm test” Định lý 2.2.1 nêu dưới đây cho thấy việc

xấp xỉ toàn cục có thể thực hiện được trong ( ) Chúng ta sẽ sử dụng Định lý 2.2.1 để chỉ ra rằng tích phân từng phần hầu như luôn thực hiện được (Hệ quả 2.3.4) Tiếp theo, chúng ta xem xét định nghĩa tổng quát của toán tử Monge-Ampème phức, được mở rộng tới lớp và đó là định nghĩa tổng quát nhất nếu đòi hỏi toán tử liên tục theo các giới hạn giảm dần (Định

lý 2.4.5) Phần cuối cùng của chương này, trình bày việc giải bài toán Dirichle trong lớp nhờ các kết quả liên quan đến định nghĩa tổng quát về toán tử Monge-Ampème

2.2 X ấp xỉ bởi các hàm đa điều hòa dưới liên tục

Trong phần này, chúng ta chứng minh định lý xấp xỉ đối với các hàm đa điều hòa dưới âm, được sử dụng xuyên xuốt chương này

2.2.1 Định lý Giả sử u ( ) Khi đó có một dãy giảm dần các hàm

Chứng minh Ký hiệu h E là hàm cực trị tương đối đối với E Khi đó

supp

n c

Do đó

12

j là một hàm đa điều hòa dưới trên , liên tục trên

và bằng không trên Vì u j là bao trên của các hàm liên tục, nên u j là

nửa liên tục dưới Ta sẽ chứng minh u j là nửa liên tục trên Thật vậy, ta có

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu “tích phân từng phần” là công cụ

chủ yếu trong toàn bộ chương này Trước tiên ta định nghĩa:

1 max m z 2 b M, ,

trong đó M đủ lớn sao cho M a b trên giá của hàm Khi đó 1 0

do đó lấy 2 max m z2 b M, , suy ra

1 2 0 C( ) 0 C( ) ฀

2.3.2 B ổ đề Nếu u ( ), T là dòng dương đóng song bậc ( n 1, n 1)

và n ếu u L ( \K), ở đó K là t ập con compact của , thì c

dd u T là độ đo

dương được xác định tốt trên

Chứng minh Trước tiên chú ý rằng nếu C0 ( ) thì

lồi chặt chứa K Nói riêng, kết luận của Bổ đề 2.3.2 là đúng nếu K Chọn

Vì vậy nếu ký hiệu là hàm đặc trưng của u , thì ta có u

giảm tới u khi giảm tới không Từ đó

vdd u c T udd v c T

Và bằng cách tương tự, sử dụng c

vdd u c T udd v c T

Để hoàn thành việc chứng minh Định lý 2.3.3, chúng ta sử dụng Định lý 2.2.1

2.4 Định nghĩa toán tử Monge-Ampere phức

2.4.1 Định nghĩa Giả sử u ( ) Ta nói rằng u ( ) nếu với mỗi

0

z đều tồn tại một lân cận của z0 trong và dãy giảm h j 0( ) sao

cho h j u trên và sup ( c )n

j j

2.4.2 Định lý Giả sử p ( )

u , 1 p n. Nếu g p j 0( ) giảm đến p

u

khi j , thì dd g c 1j dd g c n j h ội tụ yếu *

và độ đo giới hạn không phụ thu ộc vào dãy ( )p 1

j j

g

Chứng minh Giả sử sup ( c p n)

j j