Bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert
Không gian Hilbert
Một tập X được gọi là không gian tuyến tính trên Rn nếu với mỗi cặp (x, y) ∈ X × X, có một phần tử của X được gọi là tổng của x và y, ký hiệu là x + y Đồng thời, với mỗi α ∈ R và x ∈ X, phần tử của X được gọi là tích của α và x, ký hiệu là αx, thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(1) x+y = y +x với mọix, y ∈ X (tính chất giao hoán);
(3) tồn tại phần tử không của X, ký hiệu 0, sao cho: x + 0 = 0 +x với mọi x ∈ X;
(4) với mọi x ∈ X, tồn tại phần tử đối của x, ký hiệu là −x, sao cho x+ (−x) = 0với mọix ∈ X;
(5) 1ãx = xã1 = x, với mọix ∈ X (1là phần tử đơn vị);
(8) α(x+ y) =αx+ αy, với mọi α ∈ R, với mọi x, y ∈ X. Định nghĩa 1.1.2 ChoH là một không gian tuyến tính trên trường số thực
R Tích vô hướng trên không gian H là một ánh xạ đi từ tích Descartes
H ×H vàoR, ký hiệu làh., i, thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) hx, yi = hy, xi với mọix, y ∈ H.
(2) hx+y, zi = hx, zi+hy, zivới mọix, y, z ∈ H.
(3) hαx, yi = αhx, yi với mọix, y ∈ H và mọiα ∈ R.
(4) hx, xi > 0khi và chỉ khi x 6= 0vàhx, xi = 0khi và chỉ khi x = 0.
Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy ra
(1) hx, αyi = αhy, xi với mọix, y ∈ H và mọiα ∈ R;
Không gian tuyến tính H có một tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert Định nghĩa này được thể hiện qua công thức hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với mọi x, y, z ∈ H Theo định lý Schwarz, trong không gian tiền Hilbert H, với mọi x, y ∈ H, luôn tồn tại một bất đẳng thức quan trọng.
|hx, yi| 2 ≤ hx, xihy, yi (1.1)
Chứng minh Với mọi số thực αvà với mọi x, y ∈ H ta có
0≤ hx−αy, x−αyi = hx, xi −2αhx, yi+α 2 hy, yi.
∆ = |hx, yi| 2 − hx, xihy, yi ≤ 0 với mọi x, y ∈ H.
|hx, yi| 2 ≤ hx, xihy, yi với mọi x, y ∈ H. Định lý được chứng minh.
Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.1) chỉ xảy ra khi x và y có mối quan hệ phụ thuộc tuyến tính Theo Định lý 1.1.6, không gian tiền Hilbert H được xác định là một không gian tuyến tính định chuẩn, trong đó chuẩn được tính bằng công thức kxk = p hx, xi cho mọi x thuộc H.
Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng.
Hàm sốkxk = p hx, xi với mọix ∈ H là một chuẩn trênH.
Theo Định nghĩa 1.1.2, ta có điều kiện rằng kxk > 0 nếu x ≠ 0 và kxk = 0 nếu x = 0, với x thuộc H Ngoài ra, từ các điều kiện (1) và (3) của Định nghĩa này, ta suy ra rằng kαxk = |α|.kxk cho mọi α ∈ R và mọi x ∈ H.
Từ bất đẳng thức Schwarz và cách định nghĩa chuẩn ta có
|hx, yi| ≤ kxk.kyk với mọi x, y ∈ H (1.3)
Từ đó với mọix, y ∈ H ta có: hx+y, x+yi = hx, xi+ 2hx, yi +hy, yi
≤ kxk 2 + 2kxk.kyk+kyk 2 = kxk+kyk2
Suy rakx+yk ≤ kxk+kykvới mọix, y ∈ H Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ theo chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.2), thì H được gọi là không gian Hilbert thực.
Ví dụ 1 Không gian l 2 = n x = {xn}n ∈ R:
|xn| 2 < +∞o là không gian Hilbert với tích vô hướng hx, yi ∞
X n=1 xnyn, x = {xn}n∈N, y = {yn}n∈N ∈ l 2 và chuẩn kxk = p hx, xi v u u t
Ví dụ 2.Không gianL 2 [a, b]là không gian Hilbert với tích vô hướng: hx, yi b
Z a x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L 2 [a, b] và chuẩn kxk Zb a
Ví dụ 3.Gọi C[a, b]là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên khoảng đóng hữu hạn[a, b] ⊂R.TrongC[a, b]xét tích vô hướng hx, yi Z b a x(t)y(t).dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b].
Không gianC[a, b]với chuẩn kxk = Z b a
Không gian tiền Hilbert được định nghĩa bởi |x(t)|^2.dt 1 2, nhưng không phải là không gian Hilbert Định lý 1.1.8 chỉ ra rằng nếu hai dãy {xn} và {yn} hội tụ mạnh đến x0 và y0 trong không gian tiền Hilbert thực H, thì giới hạn của tích trong hạng mục n tiến tới vô hạn sẽ bằng tích của x0 và y0, tức là lim n→∞ h(xn, yn) = h(x0, y0).
Chứng minh Giả sử lim n→∞xn = x0, lim n→∞yn = y0 trong không gian Hilbert
Ta sẽ chứng minh n→∞limhx n , yni = hx 0 , y0i trong R. Thật vậy,
|hx n , yni − hx 0 , y0i| = |hx n , yni+hx n , y0i − hx n , y0i − hx 0 , y0i|
Vì dãy{xn}n∈N hội tụ trong H nên tồn tại một số M > 0sao cho kxnk ≤ M với mọin ∈ N Do đó, n→∞limhxn, yni = hx0, y0i. Định lý được chứng minh.
Tích vô hướng là một phiếm hàm song tuyến tính liên tục trên không gian tiền Hilbert H Định lý hình bình hành khẳng định rằng với mọi x, y thuộc H, ta có đẳng thức: kx + yk² + kx − yk² = 2kxk² + kyk².
Chứng minh Với mọix, y ∈ H, ta có kx+yk 2 = hx+y, x+yi = kxk 2 +kyk 2 + 2hx, yi và kx−yk 2 = hx−y, x−yi = kxk 2 +kyk 2 −2hx, yi.
Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức cần chứng minh. Áp dụng đẳng thức hình bình hành chox−y vàx−zta có hệ quả sau.
Hệ quả 1.1.11 ChoH là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H Khi đó, ta có đẳng thức Apollonius:
Nhận xét 1.1.12 (ý nghĩa của đẳng thức hình bình hành)
(1) Đẳng thức trên nói lên một tính chất hình học: Tổng bình phương các cạnh của hình bình hành bằng tổng bình phương hai đường chéo.
Theo định lý đã nêu, để đưa tích vô hướng vào không gian định chuẩn, không gian này cần thỏa mãn điều kiện hình bình hành Ngược lại, nếu H là không gian định chuẩn và đẳng thức hình bình hành được thỏa mãn cho mọi phần tử thuộc H, thì trên không gian này cũng có thể áp dụng các tính chất tương ứng.
Trong không gian định chuẩn (H, ||.||) trên R, tồn tại một tích vô hướng được xác định thông qua định lý 1.1.13 Định lý này khẳng định rằng nếu đẳng thức hình bình hành đúng với mọi x, y thuộc H, thì ta có thể định nghĩa tích vô hướng hx, yi = 1.
, (1.4) thìh., i là một tích vô hướng trênH và ta cóhx, xi = kxk 2
Chúng ta cần chứng minh rằng các điều kiện trong định nghĩa về tích vô hướng được thỏa mãn Cụ thể, các điều kiện (1) và (4) trong Định nghĩa 1.1.2 rõ ràng đã được đáp ứng Đặt p(x, y) = 1.
, Để ý rằng,h., i : H ×H −→ Rlà một hàm liên tục và p(x,0) = 0, p(−x, y) = −p(x, y) ∀x, y ∈ H.
4 (p(x, z) +p(y, z)) = kx+zk 2 − kx−zk 2 +ky +zk 2 − ky −zk 2
Trong đẳng thức (1.5) lấyy = 0được p(x, z) = 2px
Nghĩa là p(x, z) + p(y, z) = p(x + y, z) Vậy điều kiện (2) trong Định nghĩa 1.1.2 được chứng minh Thay thếx bằng2x trong (1.6) ta được
Bằng quy nạp ta kiểm tra được p(nx, z) = np(x, z), ∀n∈ N và bằng lập luận như trên ta có p(rx, z) = rp(x, z), ∀r ∈ Qvàx, z ∈ H.
Nhờ tính liên tục của chuẩn, ta suy ra rằng hàm p(., z) cũng liên tục Qua giới hạn, ta có p(ax, z) = ap(x, z) với mọi x, z thuộc H và a thuộc R Do đó, p(x, y) là một tích vô hướng trên H, và rõ ràng rằng hx, xi = p(x, x) = kxk² Định lý đã được chứng minh Định nghĩa 1.1.14 trong không gian Hilbert H.
(i) Dãy{x n } ∞ n=1 được gọi là hội tụ yếu đến phần tửx ∈ H nếu n→∞limhxn, yi = hx, yi ∀y ∈ H.
(ii) Dãy{xn} ∞ n=1 được gọi là hội tụ mạnh đếnx ∈ H nếu n→∞lim kx n −xk = 0.
Ký hiệu xn ⇀ x chỉ sự hội tụ yếu,xn → xchỉ sự hội tụ mạnh của dãy {xn}đến phần tửx ∈ H.
(1) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, nhưng điều ngược lại không đúng.
(2) Mọi không gian Hilbert đều có tính chất Kadec–Klee, tức là nếu dãy
{xn}trong không gian HilbertH thỏa mãn các điều kiệnkxnk → kxk vàxn ⇀ x, thì xn → xkhin → ∞.
Chứng minh Thật vậy, trong không gian Hilbert nếu xn ⇀ x0 vàkx n k → kx 0 kthìxn → x0 Với mọix, ta có kxn −x 0 k 2 = hxn −x 0 , xn−x 0 i
= kxnk 2 − hx0, xni − hxn, x0i+kx0k 2
Từ giả thiết suy ra x→∞lim kxnk 2 = kx0k 2 , lim x→∞hxn, x0i = kx0k 2 , lim x→∞hx0, xni = kx0k 2
Khi x tiến đến vô cùng, giới hạn của kxn − x0k 2 sẽ bằng kx0k 2, điều này cần được chứng minh Trong không gian Hilbert, định nghĩa toán tử đơn điệu cho hai không gian tuyến tính X và Y được nêu rõ.
A: X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu: (i) A(x 1 +x 2 ) = Ax 1 +Ax 2 với mọix 1 , x 2 ∈ X;
(ii) A(αx) = αAx với mọix ∈ X và mọiα ∈ R.
(1) Điều kiện (i) và (ii) trong Định nghĩa 1.1.16 tương đương với:
A(α1x1 + α2x2 + +αkxk) = α1Ax1 +α2Ax2 + +αkAxk với mọixi ∈ X với mọiαi ∈ R,i = 1, , k.
(2) Nếu Y ≡X thì ta cũng nóiAlà toán tử trong X.
Ký hiệu R(A) đại diện cho miền giá trị của toán tử A, bao gồm các phần tử y ∈ Y sao cho y = Ax với x ∈ X Nếu y1, y2 thuộc R(A), thì tổ hợp tuyến tính α1y1 + α2y2 cũng thuộc R(A) với mọi α1, α2 ∈ R, do đó R(A) là một không gian con của Y Định nghĩa 1.1.18 xác định rằng một toán tử A từ X vào Y là liên tục nếu và chỉ nếu nó bị chặn, tức là tồn tại một hằng số dương K sao cho kAxk ≤ Kkxk cho mọi x ∈ X Theo định nghĩa 1.1.19, một toán tử A từ X vào Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số K > 0 sao cho kAk = sup x≠0 kAxk/kxk = sup x≠0 kAxk ≤ K.
Ký hiệu mặt cầu tâm a bán kính r > 0 trong không gian X là S(a, r), nghĩa là
Hệ quả 1.1.20 Toán tử tuyến tính A bị chặn (liên tục) nếu tập các trị của nó trên một mặt cầu (tùy ý) bị chặn.
Chứng minh Thật vậy, giả sử kAxk ≤ N với mọi x ∈ S(x 0 , α) Khi đó, với mọix mà kxk = 1 thìαx +x0 ∈ S, cho nênA(αx +x0) ≤ N, và do đókAαx+Ax0k ≤ N hay αkAxk ≤ N +kAx 0 k.
Từ đó suy ra kAxk ≤ (N +kAx 0 k)/α.
Vậy theo Định nghĩa 1.1.19 ta có: sup x6=0 kAxk kxk = sup x6=0 kAxk ≤ K, vớiK = (N +kAx0k)/α.
Ví dụ 4 Toán tửA: L 2 [0,1] → L 2 [0,1] xác định bởi
(Ax)(t) Z 1 0 x(s)ds, t ∈ [0,1] là toán tử tuyến tính liên tục.
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có t
|x(s)| 2 ds= kxk 2 , với mọit ∈ [0,1] Suy ra,Abị chặn Do đó
Dễ dàng thấy rằng, A là một toán tử tuyến tính Do đó, A là toán tử tuyến tính liên tục.
X j=1 aijξj i = 1,2,3, , m, (1.7) trong đóaij là những hằng số Ma trận
Ma trận của toán tử A là một biểu diễn tổng quát của toán tử tuyến tính từ R^k vào R^m Giả sử A là một toán tử tuyến tính từ R^k vào R^m Các cơ sở e1, e2, , ek của R^k và f1, f2, , fm của R^m được định nghĩa sao cho với mỗi vector x = (ξ1, ξ2, , ξk) thuộc R^k và y = (η1, η2, , ηm) thuộc R^m, ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa chúng thông qua ma trận A.
VìAlà toán tử tuyến tính nên
Cho H là không gian Hilbert thực và C là một tập con của H Tập C được gọi là lồi nếu với mọi x1, x2 thuộc C và mọi số thực λ trong khoảng [0,1], thì tổ hợp tuyến tính λx1 + (1−λ)x2 cũng thuộc C.
Từ định nghĩa trên ta thấy tập∅là một tập lồi. Định nghĩa 1.1.22 Hàmf : C → Rđược gọi là:
(i) lồi trênC nếu với mọiλ ∈ [0,1], với mọi x,y ∈ C thì f (λx+ (1−λ)y) ≤λf (x) + (1−λ)f (y) ;
Bài toán chấp nhận tách trong không gian Hilbert 16
Cho C và Q là các tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H1 và H2 Bài toán chấp nhận tách yêu cầu tìm điểm x∗ sao cho x∗ thuộc C và Ax∗ thuộc Q, với A là toán tử tuyến tính từ H1 đến H2.
Lưu ý rằng bài toán chấp nhận tách (1.8) có thể phát biểu dưới dạng phương trình bất động
Phương trình PC(I −γA ∗ (I −PQ)A)x ∗ = x ∗ (1.9) cho thấy rằng, với A ∗ là ánh xạ đối ngẫu của A, PC và PQ là các phép chiếu mêtric tương ứng lên C và Q, x ∗ là nghiệm của bài toán chấp nhận tách (1.8) khi và chỉ khi x ∗ là điểm bất động của PC (I −γA ∗ (I −PQ)A) Điều này cho phép chúng ta áp dụng các phương pháp tìm điểm bất động để giải quyết bài toán chấp nhận tách.
Thuật toán 1.1.25.Cho một điểm xuất phátx 0 , dãy lặp x k k≥0 được tạo bởi quá trình lặp x k+1 = (1−βk)x k +βkPC
, k ≥0, (1.10) ở đây U = I − γA ∗ (I −PQ)A, {α k } và {β k } là hai dãy số thực trong [0,1]. Định lý 1.1.26.Cho {αk}và {βk}là hai số thực trong (0,1) thỏa mãn các điều kiện sau
Khi đó, x k tạo bởi (1.10) hội tụ mạnh đến một điểm trongC∩A −1 (Q).
Một số bổ đề cần thiết
Cho H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng h., i và chuẩn
||.|| tương ứng, và cho K là tập con lồi đóng khác rỗng của H Ta gọi f : K → H là một κ−conếu tồn tại một hằng số κ ∈ [0,1)sao cho
Một toán tử tuyến tính giới nộiB được gọi là dương mạnh trênH nếu tồn tại một hằng sốα > 0sao cho hBx, xi ≥ α||x|| 2 , ∀x∈ H.
Một ánh xạF : C →H được gọi là đơn điệu nếu hF x−F y, x−yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C.
Bài toán bất đẳng thức biến phân VI là tìm một điểmx ∗ ∈ C với tính chất hF x ∗ , x−x ∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C.
Nhắc lại rằng phép chiếu mêtric từ H lên K, kí hiệu PK được định nghĩa như sau, với mỗix ∈ H, PKxlà phần tử duy nhất trongK với tính chất
Ta biết rằngPK thỏa mãn hx−y, PKx−PKyi ≥ ||PKx−PKy|| 2 , ∀x, y ∈ H.
Hơn nữa,PK được đặc trưng bởi các tính chất sau: hx−PKx, y−PKxi ≤ 0, (1.11) và
||x−y|| 2 ≥ ||x−PKx|| 2 +||y −PKx|| 2 , với mọix ∈ H vày ∈ K.
Xét một vài toán tử phi tuyến được đưa ra ở dưới đây ChoT : H → H là toán tử phi tuyến.
(a) T là không giãn nếu||T x−T y|| ≤ ||x−y||với mọix, y ∈ H. (b) T là không giãn chặt nếu ||2T −I|| là không giãn Tương đương,
T = (I +S)/2,ở đâyS : H →H là không giãn Hay nói cách khác,T là không giãn chặt khi và chỉ khi
(c) T là toán tử trung bình nếu T = (1−τ)I +τ S, ở đâyτ ∈ (0,1) và
S : H →H là không giãn Trong trường hợp này, ta cũng nói rằngT làτ- trung bình Một ánh xạ không giãn chặt là 1 2 − trung bình.
Ta cũng biết rằng cả PK và I −PK đều là các toán tử không giãn chặt. Chúng tôi sử dụng một số kí hiệu sau:
• F ix(T) được đặt cho tập điểm bất động củaT;
• xn ⇀ xđược đặt cho sự hội tụ yếu của{x n } đếnx;
• xn →xđược đặt cho sự hội tụ mạnh của {x n } đếnx.
Bổ đề 1.2.1 khẳng định rằng ChoK là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H Nếu T : K → K là một ánh xạ không giãn và F ix(T) không rỗng, thì T được coi là nửa đóng trên K Điều này có nghĩa là nếu một chuỗi xn hội tụ yếu đến x trong K và khoảng cách giữa xn và T xn tiến tới 0, thì x sẽ bằng T x.
Bổ đề 1.2.2 khẳng định rằng cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H Nếu ánh xạ F : C → H là đơn ánh và liên tục yếu trên từng đoạn, tức là F(x + ty) ⇀ F(x) khi t → 0, thì bất đẳng thức biến phân x ∗ ∈ C, hF x ∗ , x − x ∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ C tương đương với bất đẳng thức biến phân đối ngẫu x ∗ ∈ C, hF x, x − x ∗ i ≥ 0 với mọi x ∈ C.
Bổ đề 1.2.3 Cho{xn}và{zn}là các dãy bị chặn trong không gian Banach
X và cho{βn} là một dãy trong [0,1] với
Giả sửxn+1 = (1−βn)zn+ βnxn với mọi số nguyên n≥ 0và lim sup n→∞ (||z n+1 −zn|| − ||x n+1 −xn||) ≤ 0 thì lim n→∞||zn−xn|| = 0.
Bổ đề 1.2.4 Giả sử{an}là một dãy số thực không âm thỏa mãn a n+1 ≤ (1−γn)an+ δn, ở đây{γ n }là một dãy trong (0,1) và{δn}là một dãy thỏa mãn
Chương 1 giới thiệu khái quát về không gian Hilbert trên trường số thực cùng với các kiến thức cơ bản về giải tích lồi, bao gồm tập lồi, hàm lồi và toán tử đơn điệu Ngoài ra, chương này cũng đề cập đến bài toán chấp nhận tách và một số bổ đề thiết yếu, tạo nền tảng cho nghiên cứu trong chương 2.
Phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp hiện giải bài toán chấp nhận tách
Chương 2 bao gồm hai mục chính Mục 2.1 trình bày phương pháp lặp ẩn để giải quyết bài toán chấp nhận tách, trong khi mục 2.2 giới thiệu phương pháp lặp hiện cho bài toán này Tài liệu tham khảo cho chương này là [3], [4].
Phương pháp lặp ẩn
Mô tả phương pháp
Xét bài toán chấp nhận tách (1.8) trong không gian Hilbert Tôi xin trình bày một thuật toán để xấp xỉ nghiệm của (1.8).
Cho C và Q là các tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H1 và H2 Hàm Chof: C → H1 là một κ−co Toán tử A: H1 → H2 là một toán tử tuyến tính giới nội, trong khi B: H1 → H1 là toán tử tự liên hợp, dương chặt với hệ số α > 0 Cần chọn hai hằng số σ và γ sao cho 0 < γ < 2/ρ(A ∗ A).
0 < σκ < α, ở đâyρ(A ∗ A) là bán kính phổ của(A ∗ A) Ánh xạ này được xác định như sau:
Ta thấyWt là ánh xạ từ C vào C Lưu ý rằng PC, I −γA ∗ (I −PQ)A là không giãn và||I −tB|| ≤ 1−tα Ở đây, với mọix, y ∈ C, ta có:
||Wtx−Wty|| = ||PC[tσf(x) + (I −tB) (I −γA ∗ (I −PQ)A)x]
Wt là một ánh xạ co trong khoảng t ∈ 0, α−σκ 1, với một điểm bất động duy nhất thuộc C, được ký hiệu là xt Điểm này được xác định bởi công thức: xt = PC[tσf(xt) + (I − tB)(I − γA ∗ (I − PQ)A)xt], với t nằm trong khoảng 0 đến α−σκ 1.
Sự hội tụ của phương pháp
Chúng tôi trình bày sự hội tụ mạnh của lưới {x t} được định nghĩa bởi (2.1) khi t tiến tới 0, đến một điểm x∗, là nghiệm của bất đẳng thức biến phân x∗ ∈ C ∩ A −1 (Q), thỏa mãn điều kiện hσf (x∗) − Bx∗, x̃ − x∗i ≤ 0 (2.2).
Chứng minh Lấyx˜là một điểm bất kì thuộcC ∩A −1 (Q).
Xét tậpU = I −γA ∗ (I −PQ)A.Ta viết lại (2.1) như sau: xt = PC[tσf(xt) + (I −tB)U xt], t ∈
||xt −x|| ≤˜ 1 α −σκ||σf (˜x)−Bx||.˜ Khi đó,{x t } là giới nội và{f (xt)},{U x t }và{BU x t }cũng là giới nội.
||xt −PC[U xt]|| = ||PC[tσf(xt) + (I −tB)U xt]−PC[U xt]||
Dẫn đến: limt→0||xt −PC[U xt]|| (2.3)
Chúng tôi sẽ chứng minh rằng {xt} là một chuỗi compắc định chuẩn tương đối khi t → 0+ Giả thiết rằng {tn} ⊂ 0, α−σκ 1 với tn → 0+ khi n → ∞ Đặt xn = xt n, từ đó ta có giới hạn n→∞ lim ||xn−PC[U xn]|| = 0 Đặt yt = tσf(xt) + (I − tB)U xt, dẫn đến xt = PC[yt] Với mỗi ˜x ∈ C ∩ A −1(Q), ta có xt − x˜ = xt − yt + yt − x˜ = xt − yt + tσ(f(xt) − f(˜x)).
Bằng cách sử dụng tính chất (1.11) của phép chiếu mêtric, ta có: hxt −yt, xt −xi ≤˜ 0 (2.6)
Kết hợp (2.5) và (2.6), ta được
||xt −x||˜ = hxt −yt, xt −xi˜ +tσhf(xt)−f(˜x), xt −xi˜
≤ tσ||f(xt)−f(˜x)|| ||x t −x||˜ +||I −tB|| ||U xt −x|| ||x˜ t −x||˜ +thσf(˜x)−Bx, x˜ t −xi˜
≤ tσκ||xt −x||˜ 2 + (1−αt)||xt −x||˜ 2 +thσf(˜x)−Bx, x˜ t −xi˜
Dãy con {xn i} của dãy {xn} hội tụ yếu đến một điểm {x ∗ } Để không làm mất tính tổng quát, ta giả sử rằng {xn} hội tụ yếu đến {x ∗ } Theo (2.4), có thể áp dụng Bổ đề 1.2.1 để xác định x ∗ thuộc C ∩ A −1 (Q) Do đó, có thể thay thế x ∗ cho x˜ trong (2.7) để thu được kết quả mong muốn.
||xn −x ∗ || 2 ≤ 1 α−σκhσf(x ∗ )−Bx ∗ , xn−x ∗ i.Sau đó, từ xn ⇀ x ∗ kéo theo xn → x ∗ Điều này đã chứng minh tính compắc tương đối của lưới{xt}với t → 0 + Khi n → ∞trong (2.7), ta có
Đối với bất đẳng thức biến phân hσf(˜x)−Bx, x˜∗−xi˜, với x˜∈ C ∩A −1 (Q), ta có x ∗ ∈ Ω nếu thỏa mãn bất đẳng thức hσf(˜x)−Bx,˜ x˜−x ∗ i ≤ 0 Theo Bổ đề 1.2.2, điều này tương đương với bất đẳng thức biến phân đối ngẫu hσf(x ∗ )−Bx ∗ ,x˜−x ∗ i ≤ 0 cho mọi x˜∈ C ∩A −1 (Q), tức là (2.2) Nhờ tính duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.2), ta kết luận rằng mỗi điểm hội tụ của tập {x t } khi (t →0+) đều bằng x ∗.
Do đóxt → x ∗ Điều này kết thúc chứng minh.
LấyB = I trong (2.1) ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.2 Với t→ 0+, lưới{x t }được xác định bởi xt = PC[tσf(xt) + (1−t) (I −γA ∗ (I −PQ)A)xt], (2.9) t∈ 0, 1−σκ 1 hội tụ đến một điểmx ∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân sau x ∗ ∈ C ∩A −1 (Q)thìhσf(x ∗ )−x ∗ ,x˜−x ∗ i ≤ 0, (2.10)
Lấyf = 0trong (2.9) ta có hệ quả sau
Hệ quả 2.1.3 cho thấy rằng khi t tiến gần 0, lưới {xt} được xác định bởi công thức xt = PC[(1−t) (I −γA ∗ (I −PQ)A)xt] sẽ hội tụ đến một điểm x ∗, là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách.
Chứng minh Nếu lấy f = 0,thì (2.9) rút gọn thành (2.11).
Vì vậy,xt → x ∗ ∈ C ∩A −1 (Q) mà thỏa mãn h−x ∗ ,x˜−x ∗ i ≤ 0,∀x˜∈ C ∩A −1 (Q).
Do vậy mà kéo theo rằng ||x ∗ || ≤ ||x||˜ với mọi x˜ ∈ C ∩ A −1 (Q) Điều đó nghĩa làx ∗ là nghiệm chuẩn cực tiểu của bài toán chấp nhận tách (1.8).Điều này kết thúc chứng minh.
Phương pháp lặp hiện
Mô tả phương pháp
Cho một điểm tùy ý x 0 ,ta định nghĩa x k k≥0 là một dãy lặp nếu x k+1 = (1−βk)x k +βkPCαkσf(x k )
+βkPC(I −αkB) [I −γA ∗ (I −PQ)A]x k , (2.12) với mọik ≥ 0, ở đây{α k }và{β k }là hai dãy thực trong [0,1].
Với dãy lặp x k k≥0 ta xác định x k+1 dựa vào x k đã biết.
Sự hội tụ của phương pháp
Giả sử các dãy{α k } và{β k }thỏa mãn các điều kiện sau:
(C2) 0< lim inf k→∞ βk. Thì dãy x k → x ∗ ∈ C ∩A −1 (Q), ở đây x k được xác định bởi (2.12) vàx ∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.2).
Chứng minh Lấy một điểmx˜ ∈ C ∩A −1 (Q).Từ (2.12), ta có
+ (α−σκ)αkβk||σf(˜x)−Bx||/˜ (α−σκ). Bằng phép quy nạp ta có điều sau
||x 0 −x||,˜ ||σf(˜x)−Bx||/˜ (α−σκ) Điều đó chứng tỏ rằng x k là bị chặn Từ đó dễ dàng thấy rằng f(x k ) ,
Trong bài viết này, chúng ta xem xét việc BU x k bị chặn và cách xác định S = 2PC−I, trong đó S được biết là không giãn Đồng thời, U được xác định là trung bình, dẫn đến việc tồn tại một hằng số dương τ ∈ (0,1) sao cho U = (1−τ)I + τ V, với V là ánh xạ không giãn Cuối cùng, chúng ta có thể viết lại phương trình (2.12) dưới dạng x k+1 = (1−βk)x k + βk.
Bằng những giả thiết(C1),(C2)vàτ ∈ (0,1),ta kết luận
Tậpz k = σf(x k )−BU x k +U x k vàz˜ k = αkσf(x k ) + (I −αkB)U x k với mọi k.
Từ đó suy ra rằng y k+1 −y k = τ (1−αk+1)V x k+1 +αk+1z k+1 +Sz˜ k+1
Từ Bổ đề 1.2.3, ta có được k→∞lim ||y k −x k || = 0.
Do đó, từ (2.14) suy ra k→∞lim ||x k+1 −x k || = lim k→∞
Vì vậy, k→∞lim ||PC αkσf(x k ) + (I −αkB)U x k −x k ||
Từ (2.15) và (2.16), ta rút ra kết luận k→∞lim ||P C U x k −x k || = 0 (2.17) Tiếp theo chúng tôi xin trình bày việc chứng minh: lim sup k→∞ σf(x ∗ )−Bx ∗ , x k −x ∗
≤ 0. Ở đâyx ∗ = lim t→0x t vàx t đã xác định bởi (2.1).
Thật vậy, ta có thể chọn một dãy con x k i của x k sao cho lim sup k→∞ σf(x ∗ )−Bx ∗ , x k −x ∗
Vì x k i bị chặn, tồn tại một dãy con của x k i hội tụ yếu đến một điểm x.˜ Giả sử rằng x k i hội tụ yếu đến x.˜, từ đó suy ra x k i x˜ ∈ F ix(PCU) Theo giới hạn, lim sup k→∞ σf(x ∗ )−Bx ∗ , x k −x ∗.
≤ 0. Điều này cùng với (2.15) suy ra rằng lim sup k→∞ σf(x ∗ )−Bx ∗ , PC[˜z k ]−x ∗
Cuối cùng, chúng tôi chỉ ra rằngx k → x ∗ Cần chú ý rằng
Từ đó ta suy ra rằng
Từ đó, mọi điều kiện của Bổ đề 1.2.4 được thỏa mãn Vì vậy, chúng tôi kết luận rằngxk →x ∗ Điều này kết thúc chứng minh.
Từ (2.12) và 2.2.2 ta có thể chỉ ra các kết quả sau.
Cho một điểm tùy ý x 0 ,ta định nghĩa x k k≥0 là một dãy lặp nếu x k+1 = (1−βk)x k
, (2.19) với mọik ≥ 0, ở đây{α k }và{β k }là hai dãy thực trong [0,1].
Giả sử các dãy{α k } và{β k }thỏa mãn các điều kiện sau:
Thì dãy x k → x ∗ ∈ C ∩A −1 (Q), ở đây x k được xác định bởi (2.19) vàx ∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.10)
Cho một điểm tùy ý x 0 ,ta định nghĩa x k k≥0 là một dãy lặp nếu x k+1 = (1−βk)x k +βkPC
, (2.20) với mọik ≥ 0, ở đây{αk}và{βk}là hai dãy thực trong [0,1].
Giả sử các dãy{α k } và{β k }thỏa mãn các điều kiện sau:
Thì dãy x k → x ∗ ∈ C ∩A −1 (Q), ở đây x k được xác định bởi (2.20) vàx ∗ là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách (1.8).
Cho một điểm tùy ý x 0 ,ta định nghĩa x k k≥0 là một dãy lặp nếu x k+1 = PC αkσf(x k ) + (I −αkB) (I −γA ∗ (I −PQ)A)x k
, (2.21) với mọik ≥ 0, ở đây{αk}là dãy thực trong [0,1].
Giả sử dãy{αk}thỏa mãn điều kiện sau: k→∞lim αk = 0và
X k=0 αk = ∞, thì dãy x k → x ∗ ∈ C ∩ A −1 (Q), ở đây x k được xác định bởi (2.21) vàx ∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.2).
Cho một điểm tùy ý x 0 ,ta định nghĩa x k k≥0 là một dãy lặp nếu x k+1 = PC αkσf(x k ) + (1−αk) (I −γA ∗ (I −PQ)A)x k
, (2.22) với mọik ≥ 0, ở đây{α k }là dãy thực trong [0,1].
Giả sử dãy{α k }thỏa mãn điều kiện sau: k→∞lim αk = 0và
Thì dãy x k → x ∗ ∈ C ∩A −1 (Q), ở đây x k được xác định bởi (2.22) vàx ∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.10).
Cho một điểm tùy ý x 0 ,ta định nghĩa x k k≥0 là một dãy lặp nếu x k+1 = PC
, (2.23) với mọik ≥ 0, ở đây{αk}là dãy thực trong [0,1].
Giả sử dãy{αk}thỏa mãn điều kiện sau: k→∞lim αk = 0và
Thì dãy x k → x ∗ ∈ C ∩A −1 (Q), ở đây x k được xác định bởi (2.23) vàx ∗ là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách (1.8).
Chương 2 trình bày phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp hiện giải bài toán chấp nhận tách với các thuật toán, định lý, hệ quả nhằm tạo ra dãy hội tụ đến một điểm.
Luận văn đã trình bày các kết quả về phương pháp lặp ẩn và phương pháp lặp hiện giải bài toán chấp nhận tách, bao gồm:
• Sơ lược về không gian Hilbert và một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi.
• Phát biểu bài toán chấp nhận tách và một số bổ đề bổ trợ.
• Phương pháp lặp ẩn giải bài toán chấp nhận tách.
• Phương pháp lặp hiện giải bài toán chấp nhận tách.