(Luận văn thạc sĩ) phương trình gần đúng và tính nghiệm gần đúng

Mục lục1 Phương trình và Định lý Hilbert về không điểm 4 1.1 Mở rộng đại số... Mở đầuHai định lý của Hilbert về cơ sở và không điểm thuộc những kết quả cơ bản trong đại số.. Trong chương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ

Phương trình đại số

và Tính nghiệm gần đúng

Trần Thị NămĐHKH Thái Nguyên

Thái Nguyên, năm 2013

Mục lục

1 Phương trình và Định lý Hilbert về không điểm 4

1.1 Mở rộng đại số 4

1.1.1 Quan hệ tương đương 4

1.1.2 Mở rộng đơn 5

1.1.3 Mở rộng đại số 9

1.1.4 Một vài vận dụng 13

1.2 Phụ thuộc đại số và Định lý Hilbert về cơ sở 17

1.2.1 Phụ thuộc đại số 18

1.2.2 Định lý cơ sở của Hilbert 18

1.3 Định lý không điểm của Hilbert 21

2 Tính gần đúng nghiệm 25 2.1 Nghiệm của hệ đa thức 25

2.1.1 Kết thức và phép khử 25

2.1.2 Khái niệm kết thức và biệt thức 25

2.1.3 Biểu diễn kết thức qua nghiệm 32

2.1.4 Phép khử ẩn 35

2.1.5 Phép biến đổi Tschirnhaus 38

2.2 Xác định nghiệm gần đúng 42

2.2.1 Phương pháp truy hồi 42

2.2.2 Phương pháp dây cung 44

2.2.3 Phương pháp tiếp tuyến của Newton 46

2.2.4 Phương trình hàm ẩn 47

2.3 Phương pháp lặp và sự hội tụ của chúng 48

2.4 Ví dụ minh họa 57

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Đàm Văn Nhỉ - Thầytrực tiếp hướng dẫn khoa học đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ, góp ý đểhoàn thiện luận văn này

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn, tác giả

đã nhận được sự động viên, khuyến khích và tạo điều kiện giúp đỡ nhiệttình của các cấp lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Tuyên Quang,Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp trường phổ thông dân tộc Nội trúTHPT tỉnh Tuyên Quang, bạn bè đồng nghiệp và gia đình

Với tình cảm chân thành, tác giả xin cảm ơn Khoa Toán - Tin, phòngĐào tạo - Trường Đại học Khoa học - Đại hoc Thái Nguyên, các thầy

cô giáo tham gia giảng dạy, cung cấp kiến thức và tài liệu giúp tác giảhọc tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Mặc dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện nhưng luận vănkhông tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Tác giả rất mong nhậnđược những ý kiến đóng góp chân thành từ các thầy giáo, cô giáo, bạn

bè đồng nghiệp và bạn đọc Xin chân trọng cảm ơn!

Tác giả

Mở đầu

Hai định lý của Hilbert về cơ sở và không điểm thuộc những kết quả

cơ bản trong đại số Chúng được vận dụng nhiều không chỉ trong lĩnhvực Đại số và Hình học đại số, mà chúng còn được vận dụng trong Lýthuyết số tổ hợp (Combinatorial Number Theory), trong Lý thuyết đồthị và cả trong Tổ hợp Đặc biệt, như nhà toán học Noga Alon (Tel AvivUniversity) nói, những vận dụng của hai định lý cơ bản ấy đã cho tanhững kết quả sâu sắc trong Lý thuyết số và trong vấn đề tô màu đồthị Do vậy, những người học toán hay dạy toán cũng cần nghiên cứuhai định lý này khi có thể

Trong chương trình toán phổ thông hiện nay, đặc biệt cho chuyêntoán, phần phương trình và hệ phương trình chiếm một thời lượng khálớn và ứng dụng nhiều trong các môn học khác cũng như trong thực tế.Khá nhiều sách tham khảo của nhiều tác giả cũng viết về chuyên đề này.Các tài liệu hiện có thường quan tâm đến các kỹ thuật và phương phápgiải các dạng, các lớp phương trình và hệ phương trình Tuy nhiên, cácphương pháp đại số (biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, đánh giá biểuthức ) giải phương trình, hệ phương trình thường chỉ giải được một sốlớp phương trình và hệ phương trình nào đó, tức là không mang tính phổquát Hơn nữa khi giải phương trình ta thường biến đổi để đưa phươngtrình đang xét về phương trình đa thức Nhiều bài toán ta không cầnbiết chính xác nghiệm cụ thể mà ta cần một vài tính chất có liên quanđến tập nghiệm Vì vậy, học sinh, ngay cả học sinh chuyên toán, thườnglúng túng khi gặp các dạng bài tập này Do vậy, chúng ta cần mở rộngtrường để phương trình có nghiệm trên trường mới và dựa vào Định lý

Viet để suy ra những tính chất của nghiệm mà ta quan tâm Một vấn đềnữa mà chúng ta cũng hay gặp là việc giải một hệ phương trình nhiều

ẩn, chúng ta thường làm loại bỏ một số phương trình nhưng không làmảnh hưởng đến tập nghiệm của hệ đã cho Chính vì vậy mà luận văn đặtvấn đề xét khái niệm phụ thuôc đại số, phương trình đại số và định lý

cơ sở của Hilbert, định lý không điểm của Hilbert Đặc biệt thông quaviệc nghiên cứu cách giải gần đúng phương trình phi tuyến đề tài đề cậpđến cách tính nghiệm gần đúng nhằm cung cấp thêm kiến thức về giảiphương trình, hệ phương trình và các bài toán có liên quan phục vụ chocông tác giảng dạy và học tập môn toán, các môn học khác cũng nhưgiải quyết các bài toán thực tế trong chương trình trung học phổ thông.Luận văn được chia ra làm hai chương

Chương 1 gồm ba mục Mục 1.1 được dành để trình bày về mở rộngtrường Trong Mục 1.2, chúng tôi trình bày về khái niệm phụ thuộc đại

số và Định lý Hilbert về cơ sở Mục 1.3 tập trung trình bày về phươngtrình đại số, Định lý Hilbert về không điểm và một kết quả của NogaAlon Kết quả chính là ba định lý sau

Định lý 1.2.4 [Hilbert’s Basis Theorem]Mỗi idêan I 6= (0) và I 6=(1) của vành đa thức K[x1, x2, , xn] đều có một hệ sinh hữu hạn.Định lý 1.3.2 [Hilbert’s zero-theorem]Giả sử g(x1, , xn) 6= 0

thỏa mãn g(ξ1, ξ2, , ξn) = 0 khi (ξ1, ξ2, , ξn) là nghiệm của hệ

Định lý 1.3.4 [Noga Alon]Giả thiết trường K có char(K) = 0 Cho

đa thức khác không g(x) = g(x1, , xn) ∈ K[x] Ký hiệu các tập con

Si ⊂ K thỏa mãn |Si| > 1 và pi(xi) =

s ∈S i

(xi− s) với i = 1, , n. Nếu

g(x) triệt tiêu tại mọi nghiệm chung của p1, , pn thì tồn tại đa thức

q1, , qn ∈ K[x1, , xn] thỏa mãn deg qi 6 deg g− deg pi để

về phương pháp lặp để giải gần đúng phương trình Kết quả chính làhai định lý sau

Định lý 2.1.1 Với hai đa thức fu và gv luôn có hai đa thức h(u, v, x)

và k(u, v, x) thuộc K[u, v][x] thỏa mãn hệ thức biểu diễn sau:

Res(fu, gv) = h(u, v, x)fu+ k(u, v, x)gv

f, g ∈ R[x, y]

được giải quaphương trình đa thức một ẩn

Chương 1

Phương trình và Định lý Hilbert

về không điểm

Chương này tập trung xét một vài phần liên quan đến phương trình đại

số và Định lý không điểm của Hlbert

1.1 Mở rộng đại số

Giả thiết tập X 6= ∅ Tích Carte X × X được định nghĩa như sau:

X × X = {(x, y)|x, y ∈ X}

Định nghĩa 1.1.1 Tập con S của X × X được gọi là một quan hệ hai

ngôi trong X Nếu (x, y) ∈ S thì ta nói x có quan hệ S với y và viết

(2) (Đối xứng) Với mọi x, y ∈ X, nếu có xSy thì cũng có ySx

(3) (Bắc cầu) Với mọix, y, z ∈ X, nếu có xSy vàySz thì cũng có xSz

Khi S là một quan hệ tương đương trong X thì ta thường ký hiệu ∼

thay cho S Đặt C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} và gọi nó là một lớp tương

đương với x làm đại diện Dễ dàng chỉ ra các tính chất sau:

Tính chất 1.1.3 Giả sử ∼ là quan hệ tương đương trong X Khi đó(1) Với mọi x ∈ X có x ∈ C(x)

(2) Với mọi y, z ∈ C(x) có y ∼ z và y, z ∼ x

(3) Với mọi x, y ∈ X, có hoặc C(x)∩ C(y) = ∅ hoặc C(x) = C(y).(4) Tập thương X/ ∼ là tập các lớp tương đương không giao nhau.Định nghĩa 1.1.4 Giả thiết X 6= ∅ và S 6= ∅ là một quan hệ hai ngôi

trong X Quan hệ S được gọi là một quan hệ thứ tự trong X nếu nóthỏa mãn ba điều kiện sau đây:

(1) (Phản xạ) Với mọi x ∈ X có xSx

(2) (Phản đối xứng) Với mọi x, y ∈ X, nếu có xSy và ySx thì x = y

(3) (Bắc cầu) Với mọix, y, z ∈ X, nếu có xSy vàySz thì cũng có xSz

Tập X được gọi là một tập sắp thứ tự nếu có quan hệ thứ tự trong X

Giả thiết K là một trường và x là một biến Xét vành đa thức K[x]

Giả sử f (x) thuộc K[x] là một đa thức bất khả quy bậc n > 0 Trong

K[x] ta xét quan hệ ∼ được định nghĩa như sau.

Hai đa thức a(x), b(x) ∈ K[x] thỏa mãn quan hệ ∼ và viết

a(x) ∼ b(x) nếu có đa thức c(x) ∈ K[x] để a(x)− b(x) = c(x)f(x)

Bổ đề 1.1.5 Quan hệ ∼ là một quan hệ tương đương trong vành K[x].

Chứng minh: Vì a(x)− a(x) = 0 = 0.f(x) nên a(x) ∼ a(x) với mọi

đa thức a(x) ∈ K[x]

Giả sử a(x), b(x) ∈ K[x] thỏa mãn a(x) ∼ b(x) Khi đó có đa thức

c(x) ∈ K[x] để a(x)− b(x) = c(x)f(x) Vậy b(x)− a(x) = −c(x).f(x)

Điều này chứng tỏ b(x) ∼ a(x)

Giả sử a(x), b(x), d(x) ∈ K[x] thỏa mãn a(x) ∼ b(x) và b(x) ∼ d(x)

Khi đó có

c(x), e(x) ∈ K[x] để a(x)− b(x) = c(x)f(x) và b(x)− d(x) = e(x)f(x)

Vậy

a(x)− d(x) = a(x) − b(x) + b(x) − d(x) = [c(x) + e(x)]f(x)

Điều này chứng tỏ a(x) ∼ d(x)

Tóm lại, ta đã chỉ ra quan hệ∼ là một quan hệ tương đương trong vành

K[x]

Với quan hệ tương đương ∼ ta phân lớp vành K[x] như sau: Với mỗi đathức a(x) ∈ K[x] ta ký hiệu a(x) là lớp tương đương với a(x) làm đạidiện Đó là lớp a(x) = {b(x) ∈ K[x]|b(x) ∼ a(x)} Như vậy, ta có

K[x]/ ∼= {a(x)|a(x) ∈ K[x]}

Tiếp theo, ta đưa ra hai phép toán hai ngôi trong K[x]/∼ để biến tập

này thành một trường qua việc định nghĩa:

a1(x) + a2(x) = a1(x) + a2(x), a1(x).a2(x) = a1(x)a2(x)

với mọi a1(x), a2(x) ∈ K[x]/ ∼ Dễ dàng kiểm tra, phép cộng và phép

nhân nhân như định nghĩa là những phép toán hai ngôi trongK[x]/ ∼

Với phép cộng và phép nhân ta có kết quả sau

Định lý 1.1.6 Tập K[x]/ ∼ cùng phép cộng và phép nhân lập thànhmột trường Trường này được ký hiệu qua K[x]/(f (x)) hoặc K∗

Chứng minh: Dễ dàng kiểm tra tập K[x]/ ∼ cùng phép cộng và phépnhân lập thành một vành giao hoán với đơn vị 1 và phần tử không 0,

đó là lớp gồm tất cả các đa thức chia hết cho f (x) Giả sử a(x) 6= 0.

Khi đó đa thức a(x) không chia hết cho f (x) Vì f (x) là một đa thứcbất khả quy nên ước chung lớn nhất củaa(x) vàf (x) phải thuộc trường

K Như vậy, theo Định lý Bezout sẽ có hai đa thức b(x), g(x ∈ K[x] đểa(x)b(x) + g(x)f (x = 1 Từ đây suy ra a(x)b(x) = 1hay a(x).b(x) = 1

Vì K[x]/ ∼ là một vành giao hoán với đơn vị 1 và mọi phần tử khác 0

đều có nghịch đảo thuộc K[x]/ ∼ nên K[x]/ ∼ là một trường

Giả sử K và K′ là hai trường K được gọi là một trường con củatrường K′ nếu K ⊆ K′ Khi đó K′ còn được gọi là một trường mở rộngcủa trường K Với khái niệm trường con, ta sẽ chỉ ra K sẽ trở thànhmột trường con của trường K∗ qua một phép nhúng

Giả sử α, β ∈ K Ta thấy rằng, nếu α = β thì α− β chia hết cho f (x)

và ngược lại Vì đa thức f (x) có bậc n > 0 nên α = β. Như vậy α = βkhi và chỉ khi α = β Từ đây ta dễ dàng suy ra kết quả:

Bổ đề 1.1.7 Tập tất cả các lớp α ∈ K∗ với α ∈ K lập thành mộttrường con K′ của K∗ và K ∼= K′ bởi α 7→ α

Với đẳng cấu này, ta đồng nhất α ∈ K với ảnh α ∈ K∗ Ta đã có thểcoi K∗ là một trường mở rộng của trường K Ký hiệu γ = x ∈ K∗ Vớiphép cộng, phép nhân và phép nhúng K vào K∗, ta đã có thể viết phần

tử thuộc K∗ như sau

Với đa thức g(x) ∈ K[x] ta biểu diễn g(x) = h(x)f (x) + g1(x), trong

đó g1(x) = bmxm+ · · · + b1x + b0 và m < n, ta có

0 = f (x) = f (x) = f (γ)g(γ) = g(x) = h(x)f (x) + g1(x) = g1(γ)

Như vậy f (x) có nghiệm γ ∈ K∗ và mỗi phần tử thuộc K∗ đều có thểviết trong dạng bmγm + bm −1γm−1 + · · · + b1γ + b0 với các bi ∈ K và

m < n = deg f (x) Cách biểu diễn như vậy là duy nhất

Với tất cả các kết quả đã được trình bày, ta nhận được định lý sau

Định lý 1.1.8 Với mỗi đa thức bất khả quy f (x) ∈ K[x] với bậc

deg f (x) = n > 0 luôn có trường mở rộng K∗ của K sao cho f (x)

có một nghiệm γ ∈ K∗ và mọi phần tử thuộc K∗ đều biểu diễn đượcthành dạng bmγm+ bm −1γm−1+· · · + b1γ + b0 với các bi ∈ K

với cácbi ∈ K Như vậy, với việc chọn K∗ = K(γ) định lý đã được chứngminh

Ta mở rộng K qua việc bổ sung thêm phần tử γ vào K Trường

K∗ = K(γ) được gọi là một mở rộng đơn của K bởi γ. Hiển nhiên

K(γ) như một không gian véc tơ trên K thì K(γ) là một K-không gianvéc tơ chiều n với một cơ sở 1, γ, , γn−1 Số n được gọi là bậc của mởrộng và được ký hiệu qua [K(γ) : K].

Tiếp theo, ta biết rằng, một đa thức f (x) bậc lớn 1 có nhiều nghiệm

γ = γ1, γ2, , γn trong mở rộng nào đó của trường cơ sở K Vấn đềđặt ra: Xét quan hệ giữa các K(γi) Trong chứng minh định lý trên, tachọn K∗ = K(γ) Còn nếu ta không chọn K∗ bằng K(γ) thì định lýdưới đây chỉ ra rằng, tất cả các K(γi) đều đẳng cấu với K∗

Trong mục này K được ký hiệu là trường con của trường mở rộng K∗

Định nghĩa 1.1.11 Phần tử α ∈ K∗ được gọi là phần tử đại số trên

K nếu tồn tại các phần tử a1, , an ∈ K sao cho αn+ a1αn−1+· · · +

an−1α + an = 0 Trái lại, α được gọi là phần tử siêu việt trên K Đặt

f (x) = xn+ a1xn−1+· · · + an −1x + an.Đa thức f (x) được gọi là phươngtrình đại số của α trên K

Định lý 1.1.12 Mỗi phần tử đại số α trên K đều là nghiệm của một

đa thức bất khả quy duy nhất f (x) thuộc vành K[x] với hệ tử cao nhất

bằng 1 Hơn nữa, tất cả các đa thức p(x) ∈ K[x] nhận α làm nghiệmđều phải chia hết cho f (x).

Chứng minh: Vì α là phần tử đại số trên K nên tồn tại đa thức

f (x) ∈ K[x] nhận α làm nghiệm Trong số các đa thức nhận α làmnghiệm ta chọn đa thức f (x) bậc thấp nhất với hệ tử cao nhất bằng 1.Nếu f (x) là đa thức khả quy thì f (x) phân tích được thành tích củahai đa thức g(x) và h(x) với bậc > 0 và hệ tử cao nhất cũng bằng 1.Khi đó f (x) = g(x)h(x) với 0 < deg g, deg h < deg f Vì f (α) = 0 nên

g(α)h(α) = 0 Vì K∗ là một trường nên g(α) = 0, chẳng hạn Như thế

có đa thức g(x) với deg g < deg f nhận α làm nghiệm, mâu thuẫn vớiviệc chọn của f (x) Điều này chỉ ra f (x) là bất khả quy Tiếp theo, giảthiết đa thức p(x) ∈ K[x] nhận α làm nghiệm Nếu p(x) bằng 0 thì

p(x)chia hết cho f (x) Nếup(x) 6= 0 thì ta viết p(x) = q(x)f (x) + r(x)

với q(x), r(x) ∈ K[x] và deg r < deg f Vì f (α) = 0 và p(α) = 0 nên

r(α) = 0 Từ việc chọn f (x) suy ra r(x) = 0 hay p(x) chia hết cho

f (x)

Hệ quả 1.1.13 Trong vành K[x], phần tử x là siêu việt trên K.

Chứng minh: Ta coi K[x] là một tập con của một trường K∗ nào đó

Dễ dàng kiểm trax0, x, x2, , xn, là độc lập tuyến tính trên K Nếu

x là phần tử đại số trên K thì x là nghiệm của một đa thức

f (x) ∈ K[x], f(x) 6= 0, deg f(x) = n > 0.Từ đây suy rax0, x, x2, , xn

là phụ thuộc tuyến tính trên K, mâu thuẫn

Định nghĩa 1.1.14 Đa thức bất khả quy f (x) ∈ K[x] với hệ tử caonhất bằng 1 nhận α làm nghiệm được gọi là đa thức tối tiểu của α trên

K Các nghiệm α1, , αn của đa thức tối tiểu của α được gọi là cácliên hợp của α trên K

Ta công nhận kết quả sau đây:

Định lý 1.1.15 Tập tất cả các phần tử thuộc K∗ đại số trên K là mộttrường con của K∗ chứa K.

Hoàn toàn tương tự như mở rộng đơn, ta có thể mở rộng trường cơ sở

K bởi một số hữu hạn các phần tử thuộc trường mở rộng K”củaK Với

phần tửγ1 ∈ K”\K đại số trên ta mở rộng đơnK(γ1).Với phần tửγ2 ∈

K”\ K(γ1) đại số trên ta mở rộng đơn K(γ1)(γ2) = K(γ1, γ2). Giả sử

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp s = 2 Trường

hợp tổng quát được chứng mnh bằng phương pháp quy nạp theo s

Giả sử α1, , αn là một cơ sở của K-không gian véc tơ K(γ1) và

β1, , βm là một cơ sở của K(γ1)-không gian véc tơ K(γ1, γ2) Giả

với j = 1, , n và i = 1, , m, là một hệ sinh của K-không gian

véc tơ K(γ1, γ2) Bây giờ ta chỉ ra mn tích αjβi với j = 1, , n và

i = 1, , m, là độc lập tuyến tính trên K Giả sử Pm

Vì α1, , αn là một cơ sở của K-không gian véc tơ K(γ1) nên aij = 0

với mọi j = 1, , n và i = 1, , m Từ đây suy ra mn tích αjβi với

j = 1, , n và i = 1, , m, là một cơ sở của K-không gian véc tơ

K(γ1, γ2) và có [K(γ1, γ2) : K] = [K(γ1, γ2) : K(γ1)][K(γ1) : K].

Ví dụ 1.1.17 [Q(√

2,√3) : Q] = [Q(√

2,√3) : Q(√

2][Q(√

2) : Q] vàbằng 4.

Định nghĩa 1.1.18 Trường mở rộng K∗ của trường cơ sở K đượcgọi là mở rộng bậc hữu hạn của K nếu có một số hữu hạn phần tử

γ1, , γs ∈ K∗ để sao cho mỗi phần tử u thuộc K∗ đều biểu diễnđược thành u =

a1 = · · · = as = 0 Khi đó s được gọi là bậc của mở rộng K∗ của K

Định nghĩa 1.1.19 Trường mở rộng K∗ của trường cơ sở K được gọi

là mở rộng đại số của K nếu mỗi phần tử thuộc K∗ đều là phần tử đại

số trên K

Định lý 1.1.20 Nếu K∗ là mở rộng bậc hữu hạn s của K thì mỗi phần

tử thuộc K∗ đều là đại số trên K và đa thức tối tiểu của nó trên K cóbậc không thể lớn hơn s.

Chứng minh: Giả thiết hệ γ1, , γs ∈ K∗ là một cơ sở của K∗ trên

K Giả sử u ∈ K∗ Vì uγi ∈ K∗ nên uγi = ai1γ1 + ai2γ2 + · · · + aisγs

với các aij ∈ K và i = 1, 2, , s Do vậy, ta có một hệ phương trìnhtuyến tính thuần nhất

định thức của hệ phải bằng 0 hay

= 0

Đa thức F (x) =

... số nguyên tố

Bài giải: (i) Xét toán C

Phương trình< sub>f (x) = x3−2x2+ 5x−1 = Gọi ba nghiệm trong

C x1, x2,...

Giả thiết K = C, trường đóng đại số Để trình bày Định lý khôngđiểm Hilbert, ta vận dụng kết không chứng minh sau đâyĐịnh lý 1.3.1 Nếu hệ phương trình đa thức