Khái niệm về hình lồi [3]
Trong học hình học phẳng, chúng ta đã tiếp xúc với các hình lồi, bao gồm hình tam giác, hình bình hành, hình thang và các đa giác đều.
Đa giác lồi được định nghĩa trong sách giáo khoa là một đa giác nằm hoàn toàn ở một phía của đường thẳng đi qua một cạnh bất kỳ.
Định nghĩa hình lồi truyền thống rất hạn chế, không áp dụng cho những hình có ít nhất một cạnh không phải đoạn thẳng, như hình tròn hay elip, hoặc cho những hình không có giới hạn trong mặt phẳng, chẳng hạn như một góc Để mở rộng khái niệm này, người ta đưa ra định nghĩa mới cho các hình không phải đa giác Cụ thể, một hình F được gọi là lồi khi và chỉ khi mọi điểm A
B thuộc F thì đoạn AB thuộc F.
Các đa giác lồi là ví dụ rõ ràng của hình lồi, bên cạnh đó, hình tròn, hình elip và hình viên phân hình không giới hạn trong mặt phẳng cũng thuộc loại hình lồi.
Trong bài viết này, chúng ta khám phá các ví dụ về hình không phải là hình lồi Hình lồi đóng, nghĩa là chứa tất cả các điểm giới hạn của nó, và bị chặn, có thể được bao bọc bởi một hình tròn lớn, được gọi là các oval Bên cạnh đó, còn tồn tại các hình lồi không bị chặn như nửa mặt phẳng, góc nhỏ hơn 180 độ, dải, và phần mặt phẳng giới hạn bởi một đường thẳng parabol.
Trong một hình lồi, các điểm được phân chia thành hai loại: điểm trong và điểm biên Một điểm được coi là điểm trong của hình lồi F nếu có một hình tròn với điểm đó làm tâm và hoàn toàn nằm bên trong F.
Nếu F là một tập hợp lồi đóng, thì biên của F được xác định là tập hợp các điểm biên, tạo thành những đường liên tục Các hình oval có biên là những đường khép kín.
Trong luận văn này, các hình được xem là hình đóng có tính cả biên, trừ một số trường hợp ngoại lệ được nêu rõ Định lý 1.1 khẳng định rằng một đường thẳng đi qua một điểm trong hình lồi F sẽ cắt biên tại hai điểm duy nhất, và đoạn nối giữa hai điểm này sẽ nằm hoàn toàn trong F.
Xét điểm B là một điểm biên của hình lồi F Từ điểm B, ta có thể kẻ những nửa đường thẳng đi qua ít nhất một điểm nằm bên trong hình F.
Các tia tạo thành một nửa mặt phẳng hoặc một góc lồi Đường thẳng d, đi qua ít nhất một điểm biên và không đi qua điểm nào bên trong hình lồi F, được gọi là đường thẳng tựa của F.
Trong trường hợp thứ nhất đường thẳng tạo nên nửa mặt phẳng là đường thẳng tựa duy nhất của F.
Trong trường hợp hình F nằm trong miền trong của góc ABC nhỏ hơn 180 độ, tại điểm B sẽ có vô số đường thẳng tựa của hình lồi F Cụ thể, bất kỳ đường thẳng nào không đi qua điểm trong của góc ABC đều được xem là đường thẳng tựa của F.
Các tia tạo nên bởi BA + vàBC + được gọi là nửa tiếp tuyến củaF tại
Đi qua một điểm biên tùy ý của hình lồi F luôn tồn tại ít nhất một đường thẳng tựa Nếu có duy nhất một đường thẳng tựa, điểm biên đó được gọi là điểm chính quy Một câu hỏi thú vị là liệu các hình tròn có tâm tại các điểm cho trước và bán kính cố định có giao nhau hay không Ngoài ra, có thể đặt ra những câu hỏi tương tự liên quan đến đa giác, chẳng hạn như khi nào tồn tại một điểm từ đó có thể quan sát tất cả các cạnh của đa giác.
Trong không gian một chiều, hình lồi được nhận biết và phân loại dễ dàng thành đoạn, khoảng, tia hoặc đường thẳng Tuy nhiên, trong không gian hai chiều, hình lồi trở nên đa dạng và phức tạp hơn, đặc biệt là trong việc xác định khi nào giao của chúng không rỗng Ví dụ, khi cho một hình hoặc một hệ điểm, việc xác định khả năng phủ nó bằng một hình tròn bán kính R là một bài toán khó Câu hỏi này thực chất tương đương với việc xem xét hệ các hình tròn bán kính.
R có tâm tại các điểm thuộc hình (hoặc hệ điểm cho trước) có giao khác rỗng hay không?
Định lý 1.3 khẳng định rằng trong không gian một chiều, một họ I các đoạn thẳng [ai, bi] trên đường thẳng cho trước sẽ có giao khác rỗng nếu và chỉ nếu giao của hai đoạn bất kỳ trong chúng cũng khác rỗng.
Chứng minh: Điều kiện cần: Nếu giao các đoạn của họ I khác rỗng
Nếu tồn tại một điểm c thuộc giao của hai đoạn thẳng bất kỳ trong một tập hợp các đoạn thẳng không rỗng, thì giao của tập hợp các đoạn thẳng này sẽ cũng không rỗng Điều kiện đủ để hai đoạn thẳng [ai, bi] và [aj, bj] giao nhau là min{bi, bj} phải lớn hơn hoặc bằng max{ai, aj}.