Định nghĩa và ví dụ
Dãy số Fibonacci là một chuỗi vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai số 0 và 1 hoặc 1 và 1 Các số tiếp theo trong dãy được tính theo quy tắc mỗi số bằng tổng của hai số liền trước đó, tức là \( u_{n+1} = u_n + u_{n-1} \).
Fibonacci lần đầu tiên chú ý đến dãy số khi ông nghiên cứu một bài toán về sự sinh sản của thỏ Cụ thể, ông bắt đầu với một cặp thỏ đực và thỏ cái, và đặt câu hỏi về số lượng cặp thỏ có thể được sinh ra trong một năm.
Bài toán giả sử với những điều kiện sau:
1 Bắt đầu với một thỏ đực và thỏ cái vừa chào đời.
2 Thỏ đạt tới tuổi thuần thục sinh sản sau một tháng.
3 Thời gian mang thai thỏ là một tháng.
4 Sau khi thuần thục sinh sản, thỏ cái đẻ đều mỗi tháng.
5 Một thỏ cái sinh ra một thỏ đực và một thỏ cái.
Theo giả thiết, sau hai tháng, một cặp thỏ sơ sinh sẽ phát triển thành hai cặp thỏ Đến tháng thứ ba, cặp thỏ đầu tiên sinh thêm một cặp, tổng số thỏ là ba cặp Sang tháng tiếp theo, cặp thỏ thứ hai cũng sinh ra một cặp mới, nâng tổng số lên năm cặp thỏ.
Kí hiệu u(n) đại diện cho số cặp thỏ sau tháng thứ n tính từ đầu năm Sau tháng (n+1), tổng số cặp thỏ sẽ là u(n), cộng với số cặp sinh ra từ các cặp đã có sau tháng thứ (n−1), tức là u(n−1) Do đó, ta có các giá trị khởi đầu: u(1) = 1, u(2) = 1, u(3) = 2, u(4) = 3, và tiếp tục với công thức u(n+1) = u(n) + u(n−1).
Theo giả thiết,u(1) =1,u(2) =1, nên ta có u(3) =2, u(4) =3, ,u(12) 4,u(13) #3.
Các sốu(n) được gọi là cácsố Fibonacci.
Xét dãy Fibonacci xác định bởi u(n+1) =u(n) +u(n−1) (1.2) Phương trình đặc trưng của quan hệ (1.1) là r 2 −r−1=0.
Phương trình này có các nghiệm r1 = 1+√
Nghiệm tổng quát của quan hệ (1.1) có dạng: u(n) =C1
Các số Fibonacciu(n)được cho bởi (1.3) với điều kiệnu(0) =1,u(1) =1. Khi đó các hằng sốC1,C2 được tính từ hệ phương trình.
2 (C1−C2) =1. Giải ra ta đượcC1= √ 1 5 vàC2=− √ 1 5 Vậy nghiệm tổng quát có dạng u(n) 1 + √
Công thức Binet, được trình bày ở trên, dẫn đến một định lý thú vị về các số Fibonacci.
Các tính chất của dãy số Fibonacci
Định lí 1.2.1 Số Fibonacciu n là số nguyên gần nhất đối với số √ 1
, tức là số hạng a n của cấp số nhân với từ đầu tiên là √ 1
Chứng minh Rõ ràng chỉ cần chứng minh rằng trị tuyệt đối của hiệu giữa hai sốu n và a n luôn luôn bé hơn1/2 Ta có
Dưới đây là một số tính chất cơ bản của dãy số Fibonacci Trong các mệnh đề sau, ký hiệu u n được sử dụng để biểu thị số Fibonacci thứ n, với u1 = 0, u2 = 1, và công thức truy hồi là u n+1 = u n + u n-1.
Cộng từng vế đẳng thức này, ta có u1+u2+ .+u n =u n +2ưu2, mà u2=1nên ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh Ta có u1 =u2, u3 =u4−u2, u5 =u6−u4, . u2 n − 3 =u2 n − 2−u2 n − 1, u2 n − 1 =u2 n−u2 n − 2. Cộng từng vế các bất đẳng thức, ta được u1+u3+u5+ .+u2 n − 1=u2 n.
Ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh Từ Mệnh đề 1.2.2 ta có u1+u2+u3+ .+u2 n =u2 n+ 2−1.
Từ Mệnh đề 1.2.3 ta có u1+u3+u5+ .+u2 n − 1=u2 n. Trừ từng vế đẳng thức này ta được u2+u4+ .+u2 n =u2 n+ 2ư1ưu2 n =u2 n+ 1ư1. Điều phải chứng minh.
Chứng minh Từ các Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.4 ta được u1−u2+u3−u4+ .+u2 n − 1−u2 n =u2 n−u2 n − 1+1 (1.5) Cộng thêm vào hai vếu2 n+ 1 ta có u1−u2+u3−u4+ .−u2 n+u2 n+ 1 =u2 n+1 (1.6)
Công thức trong Mệnh đề 1.2.5 chính là kết hợp của hai công thức (1.5) và(1.6) (tương ứng với nlẻ vànchẵn).
Do đó, u 2 1 =u1u2, u 2 2 =u2u3−u1u2, u 2 3 =u3u4=u2u3, , u 2 n =u n u n+ 1−u n − 1u n Cộng từng vế các đẳng thức này, ta được u 2 1 +u 2 2 + .+u 2 n =u n u n+ 1.
Về Định lí Zeckendorf
Bổ đề 1.3.1 Giả sử dãy số (c i ) i= 0 , 1 , ,k là dãy tăng, thỏa mãn c i >2 và c i+ 1 >c i +1với mọi i=0,1, Khi đó ta có k
∑ i= 1 u c i 1vài k+ 1 >i k +1với mọi k=1,2, ,d−1có biểu diễn sau
N =u i 1 +u i 2 +ããã+u i d (1.7) Đẳng thức (1.7) được gọi là biểu diễn Zeckendorf cho số nguyên dươngn.
Biểu diễn một số tự nhiên thành tổng của các số Fibonacci tổng quát 13
Biểu diễn các số nguyên thành tổng của các số Fibonacci phân biệt
Mục này khám phá cách biểu diễn các số nguyên dưới dạng tổng của các số Fibonacci phân biệt, dựa trên nghiên cứu của H.H Ferns Để minh họa, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể.
Ví dụ 2.1.1 Xét số nguyên 29 Nó có thể được khai triển thành tổng của các số Fibonacci theo cách sau đây:
Dựa vào Ví dụ 2.1.1, chúng ta nhận thấy sự cần thiết phải thiết lập một số "quy tắc cơ bản" để phân biệt các loại biểu diễn khác nhau Dưới đây là một số định nghĩa quan trọng Định nghĩa 2.1.2: Một biểu diễn được gọi là
• tối tiểu nếu nó không chứa hai số Fibonacci liên tiếp;
Trong biểu diễn số, tối đa chỉ có thể bỏ qua hai số Fibonacci liên tiếp u_i và u_(i+1), với điều kiện rằng u2 ≤ u_i < u_(i+1) ≤ u_n, trong đó u_n là số Fibonacci lớn nhất trong biểu diễn.
Như vậy, u8+u6 là một biểu diễn tối tiểu của số nguyên 29 trong khi đóu7+u6+u5+u3+u2 là một biểu diễn tối đại.
Bằng cách áp dụng công thức truy hồi của dãy số Fibonacci, chúng ta có thể chuyển đổi một biểu diễn tối đại thành một biểu diễn tối tiểu và ngược lại.
Như một ví dụ minh họa của các biểu diễn tối tiểu, ta xét các biểu diễn của tất cả các số nguyênN thỏa mãn u7 6N