Tr÷íng húu h¤n
Trường hợp mở tệp hợp F liên quan đến hai phép toán cơ bản: phép cộng và phép nhân Tệp F là nhóm giao hoán với phép cộng có phần tử 0 và là không giao hoán với phép nhân.
F ∗ = F\{0} là một nhóm giao hoán với phép nhân có phần tỷ lệ và là một vecto hiển thị là 1; phép nhân phần phối với phép cộng Một trường là hữu hạn nếu số phần tỷ lệ của F là hữu hạn; số phần tỷ lệ của F được gọi là cấp của F.
Vẵ dử 1.1 (i) Têp hủp cĂc số nguyảnZkhổng l mởt trữớng vẳ3∈Zkhổng kh£ nghàch.
(ii) CĂc têp hủp số hỳu t¿ Q, số thỹc R, số phực C cũng vợi ph²p cởng v nhƠn, tÔo th nh mởt trữớng.
2 : a, b∈ Q} õng kẵn vợi ph²p cởng v nhƠn thổng thữớng, v cũng vợi hai ph²p toĂn n y,Q[√
2]l mởt trữớng, phƯn tỷ khổng l 0 + 0√
2, ph¦n tû èi cõa ph¦n tû a+b√
Vẵ dử 1.2 Trữớng hỳu hÔnF2 vợi hai phƯn tỷ{0,1}, ph²p cởng v ph²p nhƠn ữủc thỹc hiằn nhữ sau:
1 0 1 Ơy cụng l v nh cừa cĂc số nguyản modulo 2.
Vẵ dử 1.3 Trữớng hỳu hÔn F 3 vợi ba phƯn tỷ {0,1,2}, ph²p cởng v ph²p nhƠn ữủc cho bði ph²p cởng v ph²p nhƠn modulo 3:
2 0 2 1 ành nghắa 1.2 (i) Náu K l mởt trữớng con cừa E thẳ ta gồi E l mởt trữớng mð rởng cừa K, kẵ hiằu l E/K.
Giá trị E/K là một mở rộng trường, trong đó E là một không gian vector trên trường K Nếu E là K, không gian vector này được gọi là mở rộng bậc hữu hạn của trường K Nếu dim KE = n, thì bậc của mở rộng E/K là bậc của mệnh đề mở rộng E/K và được ký hiệu là [E/K] Định nghĩa 1.3: Giá trị E/K là một mở rộng trường, và f(x) ∈ K[x] là một đa thức với bậc n ≥ 1 Chúng ta nói rằng f(x) phân rã trên E nếu f(x) = a(x−α1) (x−αn) với a là hệ số cao nhất của f(x) và α1, , αn ∈ E Chúng ta nói rằng E là trường phân rã của f(x) trên K nếu f(x) phân rã trên E và không phân rã trên bất kỳ trường con nào của E.
Mằnh ã 1.1 Cho E/K l mð rởng trữớng v α ∈ E l phƯn tỷ Ôi số trản K GiÊ sỷ p(x) ∈ K[x] l a thực bĐt khÊ quy nhên α l m nghiằm Khi õ K(α) = K[α] v [K(α) : K] = deg p(x) Hỡn nỳa náu deg p(x) = n thẳ
S ={1, α, α 2 , , α n−1 } l mởt cỡ sð cừa K- khổng gian v²c tỡ K(α).
Bờ ã 1.1 Vợi mồi a thực f(x) ∈ K[x] bĐt khÊ quy trản K, tỗn tÔi mởt trữớng E chựa K v chựa mởt nghiằm cừa f(x).
Vẵ dử 1.4 a thựcf(x) =x 2 −5l bĐt khÊ quy trản trữớngQ,tỗn tÔi trữớng
5cõa f(x). ành lẵ 1.1 Vợi mội a thực f(x) ∈ K[x] cõ bêc n ≥ 1, tỗn tÔi mởt trữớng phƠn r cừa f(x) trản K.
Vẵ dử 1.5 X²t trản trữớng số thỹc R, a thực f(x) = 3x 2 +x+ 1 khổng cõ nghiằm trảnR.Những náu x²t trản trữớng số phựcC,a thựcf(x) = 3x 2 +x+1 cõ hai nghiằm phực l x 1 = − 1 6 +
6 i Vêy vợi a thực f(x) = 3x 2 +x+ 1 tỗn tÔi mởt trữớng phƠn r C cừa f(x) trản R.
Bờ 1.2 Náu K là một trữớng hỳu hôn có phân tỷ thẳ K và có số p nguyản tố v q l mởt lụy thứa cừa p Trong đó, náu p là số nguyản tố thẳ vợi mội số nguyản dữỡng d, tỗn tÔi mởt trữớng cõ úng p d phƯn tỷ.
(ii) Náu K v T l hai trữớng hỳu hÔn cũng cõ q phƯn tỷ thẳ chúng cõ cũng °c số p v ãu l trữớng phƠn r cừa a thực g(x) =x q −x trản trữớng
V nh a thực trản trữớng hỳu hÔn
Trong toán học, hàm số thực được định nghĩa dưới dạng f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + + a_1 x + a_0, trong đó a_0, a_1, , a_n thuộc tập hợp số thực và x là biến độc lập Hàm này cũng có thể được biểu diễn dưới dạng f(x) = P a_i x^i, với a_i = 0 cho mọi i > n Các hệ số a_i là các số thực, giúp xác định tính chất và hình dạng của đồ thị hàm số.
Pb i x i l bơng nhau náu a i =b i vợi mồi i.
Kính hiếu V[x] là tập hợp các đa thức với hệ số thực Cho f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + + a_1 x + a_0 thuộc V[x] Ta gọi a_0 là hằng số tự do của f(x) Nếu a_n ≠ 0 thì bậc của f(x) được gọi là deg f(x) Định nghĩa 1.5: Với hai đa thức thực f(x) = Σ a_i x^i và g(x) = Σ b_i x^i trong V[x], ta có f(x) + g(x) = Σ (a_i + b_i) x^i.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm f(x)g(x) = X c k x k, với các hệ số a i và b i Khi tổng P i+j=k a i b j được xác định, chúng ta có thể hiểu rõ hơn về các biến thể trong không gian V[x] Không gian V[x] được định nghĩa là một không gian thực với biến x và các hệ số thực Phân tỷ của không gian này có thể là 0 hoặc 1, cho thấy tính chất quan trọng của các hệ số trong quá trình phân tích.
Sau ơn, luân vôn trành b y mởt ành lẵ º bờ trủ cho việc phân tách a thực thành nhân tỷ số ữủc nghiản cựu chữỡng sau Giả sử g(x) ∈ V[x] là một thực có hằng số cao nhất khê nghạch trong V Khi có mọi f(x) ∈ V[x], tồn tại duy nhất một cặp a thực q(x), r(x) ∈ V[x] sao cho f(x) = q(x)g(x) + r(x) với r(x) = 0 hoặc deg r(x) < deg g(x).
Cho f(x) ∈ V[x] và a ∈ V, ta có thể sử dụng phương pháp Horner để chia f(x) cho x−a Giả sử f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + + a_1 x + a_0 với a_n ≠ 0 Khi chia f(x) cho x−a, ta có f(x) = (x−a)q(x) + r, trong đó r ∈ V và deg q(x) = n−1 Giả sử q(x) = b_{n-1} x^{n-1} + b_{n-2} x^{n-2} + + b_1 x + b_0, ta có thể tính toán nhanh các hệ số r và b_{n-1}, , b_1, b_0 của q(x) sau đó.
Tứ õ ta cõ lữủc ỗ Horner: a n a n−1 a 1 a 0 a b n−1 =a n b n−2 n−1 +a n−1 b 0 = ab 1 +a 1 r 0 +a 0
Vẵ dử 1.6 º thỹc hiằn ph²p chia 2x 5 +x 4 −5x 3 + 7x−1 cho x+ 1 trong
Trong quá trình chia hai đa thức f(x) và g(x) với g(x) khác 0, nếu f(x) = 0 hoặc bậc của f(x) nhỏ hơn bậc của g(x), thì thương q(x) bằng 0 và dư r(x) bằng f(x) Khi f(x) khác 0 và bậc của f(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của g(x), ta có thể tìm được a_n và b_m là các hệ số cao nhất của f(x) và g(x) Tồn tại b^{-1}_m trong trường K sao cho b_m * b^{-1}_m = 1, từ đó xác định h(x) = a_n * b^{-1}_m * x^{n-m} Nếu f_1(x) = f(x) - g(x)h(x) bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của f(x), thì r(x) = f_1(x) và q(x) = h(x) Nếu f_1(x) khác 0 và bậc của f_1(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của g(x), ta tiếp tục quy trình để tìm các đa thức f_2(x), f_3(x), cho đến f_k(x) sao cho bậc của chúng giảm dần và cuối cùng f_k(x) là một đa thức thực hoặc bằng 0.
f k−1 (x) =f k−2 (x)−g(x)h k−2 (x), deg f k−2 (x) > deg f k−1 (x)≥ deg g(x), f k (x) =f k−1 (x)−g(x)h k−1 (x), vợi f(x) = 0 ho°c deg f k (x) < deg g(x) Cởng vá vợi vá cĂc ¯ng thực õ lÔi ta ữủc f(x) =g(x) h(x) +h 1 (x) +ã ã ã+h k−1 (x)
+f k (x). °t q(x) =h(x) +h1(x) +ã ã ã+h k−1 (x) v r(x) =fk(x) ta cõ kát quÊ.
Vẵ dử 1.7 Trản trữớng Q, ta x²t a thực f(x) = 2x 3 + 8x 2 − 5x + 4 v g(x) = 2x 2 −2x−1 Ta thỹc hiằn ph²p chia f(x) cho g(x) nhữ sau: f 1 (x) =f(x)−xg(x) = 10x 2 −4x+ 4. f 2 (x) =f 1 (x)−5g(x) = 6x+ 9.
Thuêt toĂn n y dứng lÔi ð Ơy vẳ deg f 2 (x) = 1