(Luận văn thạc sĩ) một số chuyên đề lý thuyết số, đại số, giải tích và phần mềm geogebra

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS TẠ DUY PHƢỢNG

THÁI NGUYÊN - 2019

✤➛② ✤õ ❝→❝ ❧➺♥❤ ✈➔ ❝❤÷❛ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❤➳t ❝→❝ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣

❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝ô♥❣ ❤✐ ✈å♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❧➔t➔✐ ❧✐➺✉ ❝â ➼❝❤ ✈➔ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ❛✐ ♠î✐ ❜➢t ✤➛✉ ❧➔♠ q✉❡♥ ✈î✐ ●❡♦❣❡❜r❛✳

❈❤÷ì♥❣ ✷ ❣ç♠ ❜è♥ ❝❤✉②➯♥ ✤➲✳

❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✶ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ❝❤➾ ♠ët ❧➺♥❤ ✐❢❛❝t♦r ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛tr♦♥❣ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ❣✐↔ t❤✉②➳t ✈➲ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳

❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✷ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ❝❤➾ ♠ët ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛tr♦♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✳

❝ù✉✱ ❣â♣ þ ✈➔ sû❛ ❝❤ú❛ ✤➸ tæ✐ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳

❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝→♠ ì♥ ❝→❝ ❚❤➛②✱ ❈æ ❣✐→♦ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲

✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ tr✉②➲♥ ✤↕t ❝❤♦ tæ✐ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ s✉èt ❤❛✐

♥➠♠ ❤å❝ t➟♣✱ ❧➔ ♥➲♥ t↔♥❣ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ ❧➔ ❤➔♥❤tr❛♥❣ q✉þ ❜→✉ t❤❡♦ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt ❝✉ë❝ ✤í✐✳

❚æ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✤➳♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤ t❤➙♥ ②➯✉ ❝õ❛ tæ✐✱

♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❧✉æ♥ ð ❜➯♥ tæ✐✱ õ♥❣ ❤ë ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ✈➔ ❧➔ ❝❤é ❞ü❛ ✈ú♥❣ ❝❤➢❝ ✤➸tæ✐ ②➯♥ t➙♠ ❤å❝ t➟♣ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❤å❝ ♥➔②✳

❈✉è✐ ❝ò♥❣ tæ✐ ①✐♥ ❦➼♥❤ ❝❤ó❝ q✉þ ❚❤➛②✱ ❈æ✱ ❆♥❤✱ ❈❤à ✈➔ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ❞ç✐ ❞➔♦sù❝ ❦❤ä❡✱ t❤➔♥❤ ❝æ♥❣ tr♦♥❣ sü ♥❣❤✐➺♣✦

❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝→♠ ì♥✦

❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣ ✈➔ ✤↕✐ ❤å❝ ✭sè ❤å❝✱ ✤↕✐ sè✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❤➻♥❤ ❤å❝✱t♦→♥ t❤è♥❣ ❦➯✱✳ ✳ ✳✮✱ ❞♦ ✤â r➜t t✐➺♥ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ t➟♣✱ ✤➦❝ ❜✐➺ttr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ t➟♣ t❤❡♦ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛ ♠î✐ ✈î✐ ✤à♥❤

❤÷î♥❣ ♣❤→t tr✐➸♥ ♥➠♥❣ ❧ü❝✱ ❦❤✉②➳♥ ❦❤➼❝❤ ❤å❝ s✐♥❤ tü ❤å❝✱ tü ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳

▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ÷✉ ✤✐➸♠ ♥ê✐ trë✐ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ♠✐➵♥ ♣❤➼✱ ✈➔ ❝ât❤➸ ❝❤✉②➸♥ ✤ê✐ ♥❣æ♥ ♥❣ú✱ t❤➼ ❞ö✱ tø t✐➳♥❣ ❆♥❤ s❛♥❣ t✐➳♥❣ ❱✐➺t ❤♦➦❝ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✱

t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ s→♥❣ ❦✐➳♥ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ✤↕t ❤✐➺✉ q✉↔ tèt✳ ❈â t❤➸ sû

❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ ✤➸ ✈➩ ❤➻♥❤ ✤ë♥❣✱ ✈➩ ✤ç t❤à✱ t➼♥❤ t♦→♥ ❤♦➦❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ t❤❛♦t→❝ t♦→♥ ❤å❝ ♣❤ù❝ t↕♣ ✭♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✱ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❜✐➸✉ t❤ù❝✱ t➼♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠✱ t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ ❧➟♣ ❜↔♥❣ t❤è♥❣

✶✳✶✳✸✳ ▼ët sè ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ❝❤➼♥❤

• ❈❤å♥ ♠æ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝✿ ❑❤✐ ❦❤ð✐ ✤ë♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s➩ ①✉➜t ❤✐➺♥

❜↔♥❣ ♣❤è✐ ❝↔♥❤ ❞ò♥❣ ✤➸ ❧ü❛ ❝❤å♥ ♠æ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❣ç♠✿ ✣↕✐ sè ✈➔ ✣çt❤à❀ ❍➻♥❤ ❤å❝❀ ❱➩ ✤ç ❤å❛ ✸❉❀ ❳→❝ s✉➜t t❤è♥❣ ❦➯✱✳✳✳ ▼æ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝

●❡♦❣❡❜r❛ ❝â t❤➸ ❧➔♠ ✤÷ñ❝ ❦❤→ ♥❤✐➲✉ ✈✐➺❝✿ sè ❤å❝✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ t❤è♥❣ ❦➯

✈➔ ①→❝ s✉➜t✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ÷✉ ✤✐➸♠ ♥ê✐ trë✐ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ✈❛✐ trá ❝õ❛ ♥â tr♦♥❣trñ ❣✐ó♣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❤➻♥❤ ❤å❝ ♠ët ❝→❝❤ trü❝ q✉❛♥✱ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤ë♥❣✱ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ✈➩

❤➻♥❤✱ ✈➩ t❤✐➳t ❞✐➺♥ ✈➔ ①♦❛②✱ t➻♠ q✉ÿ t➼❝❤✱✳✳✳

▲✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❙è ❤å❝✱ ▲þt❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✳ ❙û ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❤♦➦❝ ①→❝ s✉➜tt❤è♥❣ ❦➯ ❝â t❤➸ ①❡♠ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr➼❝❤ ❞➝♥ ð ❝✉è✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

◆❤➟♥ ①➨t✿ ◆➳✉ ❞ò♥❣ ❧➺♥❤

✐❢❛❝t♦r (123456789987654321123456789987654321123456789987654321123456789987654433)t❤➻ ●❡♦❣❡❜r❛ ❦❤æ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ ❞♦ sè q✉→ ❧î♥✳ ◆❤÷♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈➝♥ t➻♠

❱➟② t❤÷ì♥❣ ✈➔ ♣❤➛♥ ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ 2017201820192020 ❝❤♦ sè 2021 ❧➔

998120643340 ✈➔ 1880

❱➼ ❞ö ✶✳✾ ✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ P❤➨♣❈❤✐❛✭❁❙è ❜à ❝❤✐❛❃✱❁❙è ❝❤✐❛❃✮ t➻♠t❤÷ì♥❣ ✈➔ ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ sè 1000000001 ❝❤♦ sè 11

◆❤÷ ✈➟②✱ ❇❙❈◆◆ ❝õ❛ ❆✱ ❇✱ ❈ ❝❤➼♥❤ ❧➔

22× 3 × 11 × 17 × 43 × 53 × 271 = 1385914596

▲÷✉ þ✿❙❛✉ ❦❤✐ t➼♥❤ ✤÷ñ❝ ❊✿❂❇❙❈◆◆✭❆✱❇✮✱ ♠→② tü ✤ë♥❣ ❤✐➸♥ t❤à ❊ tr➯♥ ❞❛♥❤s→❝❤ ❍✐➸♥ t❤à ✤è✐ t÷ñ♥❣✳

Ð ✤➙②✱✧❁❙è ❞↕♥❣ ✈➠♥ ❜↔♥❃✧ ❧➔ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ sè tr♦♥❣ ❤➺ ❝ì sè ✤➣ ❝❤♦✱ ❁❈ìsè❃ ❧➔ ❝ì sè ♠➔ sè ❞↕♥❣ ✈➠♥ ❜↔♥ ✤÷ñ❝ ✈✐➳t✱ ❦➳t q✉↔ ❧➔ sè tr♦♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✷✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❈❤✉②➸♥❙❛♥❣❍➺❚❤➟♣P❤➙♥✭ ✧❁❙è ❞↕♥❣ ✈➠♥

❜↔♥❃✧✱❁❈ì sè❃✮ ❝❤✉②➸♥ sè 1000001 tø ❤➺ ❝ì sè 2 s❛♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥✳

▼✉è♥ ❦✐➸♠ tr❛ ❦➳t q✉↔ t❛ ❧➔♠ ♥❤÷ s❛✉✿

10000012 = 1.26+ 0.25+ 0.24+ 0.23+ 0.22+ 0.21+ 1.20

❱➼ ❞ö ✶✳✸✸✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❇➡♥❣◆❤❛✉❑❤æ♥❣✭❁✣è✐ t÷ñ♥❣❃✱❁✣è✐ t÷ñ♥❣❃✮s♦ s→♥❤

2√

x −

√x2

1

2√

x −

√x2

= (1 − x)√x

❱➟② A = (1 − x)

√x

❱➼ ❞ö ✶✳✸✼✿

❱➼ ❞ö ✶✳✸✽✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❉❛❚❤✉❝✭❁❍➔♠ sè❃✱❁❇✐➳♥ sè❃✮ s➢♣ ①➳♣

❤➔♠ sè x2+ y3 t❤❡♦ ❜✐➳♥ y

y t❤❡♦ ❜✐➳♥ y.

❱➼ ❞ö ✶✳✹✷✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❚❛❝❤❍❛♠P❤❛♥❚❤✉❝✭❁❍➔♠ sè❃✱❁❇✐➳♥ sè❃✮t→❝❤ ❤➔♠ ♣❤➙♥ t❤ù❝ x2y + 1

2 ;

−18

❳➨t ❤➔♠ sè f(t) = t3+ 3t tr➯♥ R

❚❛ ❝â f′(t) = 3t2+ 3 > 0, ∀t ∈ R ♥➯♥ ❤➔♠ sè ✤ç♥❣ ❜✐➳♥ tr➯♥ R ❑❤✐ ✤â✿(1) ⇔ f(√3

1 − cos x

= lim

x→0

1 − cos2x(1 − cos x) cos2x

= lim

x→0

(1 − cos x)(1 + cos x)(1 − cos x) cos2x

= 1 + cos xcos2x =

❱➼ ❞ö ✶✳✺✺ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❉❛♦❍❛♠✭❁❇✐➸✉ t❤ù❝❃✱❁❇✐➳♥ sè❃✮ t➼♥❤ ✤↕♦

❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ sè f(x) = x3y

0

cos5xdx −

π 2

Z

0

cos5xdx =

π 2

1 0

15.

I2 =

π 2

Z

0

(1 + cos 2x)dx

= 12

π 2

π2

0

= π

4.

3 0

2 × t

3 2

3 2

25 16

= 61

❱➟② I = I1+ I2 = 27 + 61 = 88

❱➼ ❞ö ✶✳✻✵✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❚➼❝❤P❤➙♥✭❁❍➔♠ sè❃✮ t➼♥❤ ♥❣✉②➯♥ ❤➔♠

I =Z(2x − 1) sinxdx

= (1 − 2x) cosx + 2

Zcos xdx

Z3x2ydx = x2 + x3y + c

Z3x2ydy = 2xy + 3

2x

2y2+ c

3 0

+ x3y

3 0

3 0

+ 3

2x

2y2