Thật vậy: SABM = SAMC vì chúng có chung chiều cao AH và cạnh đáy BM = MC Từ ví dụ 1 ta rút ra được kết luận: - Tìm trên cạnh BC đối diện với đỉnh A điểm M sao cho BM = MC Từ ví dụ 1 ta k[r]
Trang 1I ĐẶT VẤN ĐỀ :
Dạy học các yếu tố hình học ở Tiểu học là góp phần củng cố kiến thức số học, đại lượng và đo đại lượng, phát triển năng lực thực hành, năng lực tư duy đối với học sinh tiểu học Đồng thời dạy học các yếu tố hình học là một biện pháp quan trọng gắn học với hành nhà trường với đời sống
Tuy nhiên, các yếu tố hình học không được cấu tạo thành chương riêng mà sắp xếp xen kẽ với các kiến thức khác, thậm chí nhiều nội dung hình học được đưa vào dưới dạng bài tập liên quan tới các kiến thức khác Do đó, việc dạy học hình học ở bậc Tiểu học chỉ mang ý nghĩa chuẩn bị cho việc học hình học một cách có
hệ thống ở những năm học tiếp theo Mặt khác, đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học ở các lớp đầu cấp là năng lực phân tích, tổng hợp chưa phát triển tri giác còn dựa vào hình dạng bên ngoài, nhận thức chủ yếu dựa vào cái quan sát được, chưa biết phân tích để nhận ra các thuộc tính đặc trưng, nên khó phân biệt các hình khi thay đổi vị trí của chúng trong không gian hay thay đổi kích thước Đến các lớp cuối cấp học Trí tưởng tượng của học sinh đã phát triển song còn là một phán đoán, nhiều khi còn cảm tính Do đó, việc nhận thức các khái niệm toán đối với các em còn phải dựa vào mô hình vật thực Vì vậy, việc nhận thức được khái niệm hình hình học theo logíc toán không phải dễ dàng đối với học sinh tiểu học
Hoạt động giải toán là hoạt động trí tuệ và hấp dẫn đối với học sinh - nhất là những em có năng lực học toán tốt Để nâng cao chất lượng giảng dạy đòi hỏi người giáo viên phải chú ý đến “ tính đối tượng” trong dạy học nhằm giúp các em củng cố các kiến thức kĩ năng cơ bản của chương trình toán ở Tiểu học Trên cơ sở
đó các em có thể khai thác, đào sâu và phát triển nội dung kiến thức đã học theo định hướng đổi mới phương pháp học tập, với mức độ phù hợp và giai đoạn học tập sâu môn toán ở cấp Tiểu học Chương trình toán ở Tiểu học có nhiều dạng toán điển hình, trong đó có toán liên quan đến các yếu tố hình học Những bài tập về hình học, đặc biệt là các bài tập có liên quan đến diện tích hình tam giác, hình
thang có dạng: “ Bằng một nét kẻ xuất phát từ một đỉnh hãy chia hình tam giác, hình thang ra hai phần có diện tích tỷ lệ với các số cho trước ” là một
trong những dạng bài tập khó đối với học sinh Tiểu học Đây chính là những cơ sở ban đầu để hình thành cho các em những kiến thức về hình học giúp các em học lên lớp trên tốt hơn
II THỰC TRẠNG:
Qua nhiều năm giảng dạy lớp 5 và công tác quản lí chỉ đạo chuyên môn, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá, giỏi để tham gia giao lưu học sinh về môn toán Tôi nhận thấy đa số các em còn gặp nhiều khó khăn, lúng túng khi gặp dạng bài tập này Các em chưa nhận biết được bài toán xuất phát từ đâu Hầu hết nhận thức của các em ở lứa tuổi học sinh Tiểu học thường phải dựa vào những cái cụ thể đã biết để từ đó mới hình thành những yếu tố mới để tìm cái chưa biết
Trang 2Tôi đã băn khoăn, suy nghĩ làm sao để xây dựng thành một chuỗi các bài tập
về diện tích và các yếu tố có liên quan đến diện tích có dạng " Bằng một nét kẻ xuất phát từ một đỉnh chia hình tam giác, hình thang ra hai phần có diện tích
tỷ lệ với các số cho trước " Đây là các bài tập có dạng cắt ghép hình Các bài
toán này thường gặp dưới 2 dạng:
Dạng 1: Bằng một số nét kẻ chia một hình cho trước ra thành nhiều hình có diện tích tỷ lệ với các số cho trước
Dạng 2: Bằng một số nhát cắt chia một hình cho trước thành nhiều mảnh nhỏ để ghép lại ta được một hình có dạng cho trước
Trên cơ sở từ một bài toán cơ bản để từ đó nhằm khai thác và phát triển thành một hệ thống các bài toán khác từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp
Từ những băn khoăn trên và quá trình dạy học nghiên cứu tìm tòi để áp dụng
có hiệu quả hơn Nên tôi đã chọn nội dung kinh nghiệm này
III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Để học sinh giải được các bài tập có liên quan đến diện tích hình tam giác, hình thang có dạng “ Từ một đỉnh kẻ một đoạn thẳng chia diện tích hình tam giác, hình thang thành hai phần có diện tích tỉ lệ với các số cho trước” thì đòi hỏi người giáo viên phải hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức cơ bản và biết áp dụng một
số phương pháp sau:
1 Vận dụng công thức để tính diện tích:
+ Áp dụng trực tiếp công thức
+ Áp dụng công thức để tính độ dài đoạn thẳng (Cạnh, đáy , chiều cao)
2 Dùng tỷ số (Tỷ số về số đo các đoạn thẳng, tỷ số về số đo diện tích):
+ Khi diện tích không đổi thì cạnh đáy và chiều cao là hai đại lượng tỷ lệ nghịch với nhau
+ Khi chiều cao không đổi thì cạnh đáy và diện tích tỷ lệ thuận với nhau
+ Khi cạnh đáy không đổi thì chiều cao và diện tích là hai đại lượng tỷ lệ thuận với nhau
3 Thực hiện phép tính trên số đo diện tích và các thao tác phân tích tổng hợp trên hình cụ thể:
+ Một hình được chia ra thành nhiều hình nhỏ thì diện tích của hình đó bằng tổng diện tích các hình nhỏ
+ Hai hình có diện tích bằng nhau mà cùng có phần diện tích chung hoặc có phần diện tích bằng nhau thì phần còn lại tương ứng cũng bằng nhau
4 Ba trường hợp diện tích bằng nhau của hình tam giác nằm trong hình thang:
Trang 3+ Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi có chung đáy bé của hình thang và chiều cao bằng nhau và bằng chiều cao hình thang
+ Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi có chung đáy lớn và chiều cao bằng nhau và bằng chiều cao hình thang
+ Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi chúng có phần diện tích chung thì phần còn lại tương ứng bằng nhau
Phương pháp chung để giải các bài toán này, tôi sẽ minh hoạ bằng các ví dụ
cụ thể dưới đây: “ Bằng một nét kẻ xuất phát từ một đỉnh hãy chia hình tam
giác, hình thang ra thành hai phần có diện tích tỉ lệ với các số cho trước".
A MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐỐI VỚI HÌNH TAM GIÁC:
*Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC, từ đỉnh A hãy kẻ một đường thẳng AM sao cho chia
hình tam giác này ra hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài giải: Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
A
- Giả sử đường thẳng AM là đường cần tìm Ta có:
- SABM = SAMC và chúng có chung chiều cao AH
Suy ra cạnh đáy BM = MC
Như vậy: M là điểm chính giữa (BM = MC) của cạnh BC Nối A với M ta được đường thẳng cần tìm
Thật vậy: SABM = SAMC vì chúng có chung chiều cao AH và cạnh đáy BM = MC
Từ ví dụ 1 ta rút ra được kết luận:
- Tìm trên cạnh BC đối diện với đỉnh A điểm M sao cho BM = MC
Từ ví dụ 1 ta khai thác và phát triển thành các bài toán sau đây:
*Bài 1: Cho tam giác ABC, từ một đỉnh bất kỳ hãy kẻ một đường thẳng sao cho
đường thẳng đó chia hình tam giác này ra hai phần có diện tích bằng nhau
Phân tích:
Trang 4Bài toán này có thể tùy cách chọn đỉnh cuả học sinh, có thể chọn một trong trong ba đỉnh A, B hoặc C
- Xác định cạnh đối diện với đỉnh vừa chọn
- Lấy điểm chính giữa của cạnh đối diện vừa chọn
- Nối đỉnh và điểm chính giữa đó ta được đường thẳng vừa tìm
Như vậy có “ Ba trường hợp xảy ra”
Trường hợp 1:
Chọn đỉnh A, cạnh đối diện BC ( Trở về trường hợp ví dụ 1)
Trường hợp 2:
Chọn đỉnh B, cạnh đối diện là AC
Bài giải:
Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
B
- Giả sử đường thẳng BM là đường thẳng cần tìm Ta có:
- SBAM = SBMC và chúng có chung chiều cao BH suy ra cạnh đáy AM = MC
Như vậy: M là điểm chính giữa (AM = MC) của cạnh AC Nối B với M ta được đường thẳng cần tìm
Thật vậy: SBAM = SBMC (Vì chúng có chung chiều cao BH và có cạnh đáy AM = MC)
Trường hợp 3: Chọn đỉnh C, cạnh đối diện là AB
Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
C
Trang 5- Giả sử đường thẳng CM là đường thẳng cần tìm Ta có:
- SCBM = SCMA và chúng có chung chiều cao CH suy ra cạnh đáy BM = MA
Như vậy: M là điểm chính giữa (BM = MA) của cạnh BA Nối C với M ta được đường thẳng cần tìm
Thật vậy: SCBM = SCMA ( Vì chúng có chung chiều cao CH và có cạnh đáy BM = MA)
*Bài 2 : Cho tam giác ABC, từ đỉnh A hãy kẻ một đường thẳng AM sao cho chia
hình tam giác này ra hai phần có diện tích phần này bằng 12 diện tích phần kia
Trường hợp 1 Bài giải:
- Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
A
- Giả sử đường thẳng AM là đường thẳng cần tìm Ta có:
- SABM = 12 SAMC và có chung chiều cao AH suy ra cạnh đáy BM = 12 MC
Như vậy: Trên cạnh BC ta chia làm ba phần bằng nhau lấy điểm M sao cho BM =
1
2 MC suy ra BM = 13 BC Nối A với M ta được đường thẳng cần tìm
Thật vậy: - SABM = 12 SAMC (vì có chung chiều cao AH và cạnh đáy BM = 12 MC) Vậy AM là đường thẳng cần tìm
Trường hợp 2: Bài giải:
Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
A
Trang 6- Giả sử đường thẳng AM là đường thẳng cần tìm Ta có:
- SAMC = 12 SAMB và có chung chiều cao AH suy ra cạnh đáy CM = 12 MB
Như vậy: Trên cạnh BC ta chia làm ba phần bằng nhau lấy điểm M sao cho CM =
1
2 MB suy ra CM = 13 CB Nối A với M ta được đường thẳng cần tìm
Thật vậy: SAMC = 12 SAMB (vì có chung chiều cao AH và cạnh đáy CM = 12 MB) Vậy AM là đường thẳng cần tìm
*Bài 3 : Cho tam giác ABC, từ đỉnh B hãy kẻ một đường thẳng BN sao cho chia
hình tam giác này ra hai phần có diện tích phần này bằng 13 diện tích phần kia
Trường hợp 1: Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
B
- Giả sử đường thẳng BN là đường thẳng cần tìm Ta có:
- SBAN = 13 SBNC và có chung chiều cao BH suy ra cạnh đáy AN = 13 NC suy ra: AN
= 14 AC Như vậy: Trên cạnh AC ta chia làm bốn phần bằng nhau lấy điểm N sao cho AN = 13 NC
- Nối B với N ta được đường thẳng cần tìm
Thật vậy: SBAN = 13 SBNC ( vì có chung chiều cao BH và cạnh đáy AN = 13 NC)
- Vậy đường thẳng BN là đường thẳng cần tìm
Trường hợp 2: Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
B
Trang 7
- Giả sử đường thẳng BN là đường thẳng cần tìm Ta có:
- SBNC = 13 SBAN và có chung chiều cao BH suy ra cạnh đáy CN = 13 NA suy ra: CN
= 14AC
Như vậy: Trên cạnh AC ta chia làm bốn phần bằng nhau, lấy một phần từ đỉnh C điểm N nên CN = 13 NA
- Nối B với N ta được đường thẳng cần tìm
Thật vậy: SBNC = 13SBAN (vì có chung chiều cao BH và cạnh đáy CN = 13 NA)
- Vậy đường thẳng BN là đường thẳng cần tìm
*Bài 4 : Cho tam giác ABC, từ đỉnh A hãy kẻ một đường thẳng AM sao cho chia
hình tam giác này ra hai phần có diện tích phần này bằng 23 diện tích phần kia
Trường hợp 1: - Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
A
- Giả sử đường thẳng AM là đường thẳng cần tìm Ta có:
- SABM = 23 SAMC và có chung chiều cao AH suy ra: Cạnh đáy BM = 23 MC Suy ra: BM = 25 BC
Như vậy: Trên cạnh BC ta chia làm năm phần bằng nhau lấy điểm M sao cho BM
= 23 MC = 25 BC
- Nối A với M ta được đường thẳng cần tìm
Thật vậy: SABM = 23 SAMC (vì có chung chiều cao AH và cạnh đáy BM = 23 MC)
- Vậy đường thẳng AM là đường thẳng cần tìm
Trường hợp 2: - Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
Trang 8
A
- Giả sử đường thẳng AM là đường thẳng cần tìm Ta có:
- SAMC = SABM và có chung chiều cao AH Suy ra: Cạnh đáy CM = 23 MB Suy ra:
CM = 25 CB
Như vậy: Trên cạnh BC ta chia làm năm phần bằng nhau lấy điểm M sao cho: CM
= 23 MB = 25 CB
- Nối A với M ta được đường thẳng cần tìm
Thật vậy: SAMC = 23 SABM (vì có chung chiều cao AH và cạnh đáy CM = 23 MB)
- Vậy đường thẳng AM là đường thẳng cần tìm
*Bài 5 : Cho tam giác ABC, từ đỉnh A hãy kẻ một đường thẳng AN sao cho chia
hình tam giác này ra hai phần có diện tích phần này bằng 25 diện tích phần kia
Trường hợp 1: - Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
A
- Giả sử đường thẳng AN là đường thẳng cần tìm Ta có:
- SABN = 25 SANC và có chung chiều cao AH Suy ra: Cạnh đáy BN = 25 NC Suy ra:
BN = 27 BC
Như vậy: Trên cạnh BC ta chia làm bảy phần bằng nhau lấy điểm N sao cho:
BN = 25NC = 27 BC
- Nối A với N ta được đường thẳng cần tìm
Thật vậy: SABN = 25 SANC ( vì có chung chiều cao AH và cạnh đáy BN = 25 NC)
Trang 9- Vậy đường thẳng AN là đường thẳng cần tìm.
Trường hợp 2: - Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
A
- Giả sử đường thẳng AN là đường thẳng cần tìm Ta có:
- SANC = 23 SABN và có chung chiều cao AH Suy ra: Cạnh đáy CN = 25 BN = 27 CB Như vậy: Trên cạnh BC ta chia làm bảy phần bằng nhau lấy điểm N sao cho: CN =
2
5 NB = 2
7 CB
- Nối A với N ta được đường thẳng cần tìm
Thật vậy: SANC = 25 SABN ( vì có chung chiều cao AH và cạnh đáy CN= 25 NB)
- Vậy đường thẳng AN là đường thẳng cần tìm
*Bài 6: Cho tam giác ABC, từ đỉnh B hãy kẻ một đường thẳng BN sao cho chia
hình tam giác này ra hai phần có diện tích phần này bằng 35 diện tích phần kia
Trường hợp 1: - Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
B
- Giả sử đường thẳng BN là đường thẳng cần tìm Ta có:
- SBAN = 35 SBNC và có chung chiều cao BH Suy ra: Cạnh đáy AN = 35 NC Suy ra:
AN = 38 AC
- Như vậy: Trên cạnh AC ta chia làm tám phần bằng nhau lấy điểm N sao cho: AN
= 35 NC
- Nối B với N ta được đường thẳng cần tìm
Trang 10- Thật vậy: SBAN = 35 SBNC ( vì có chung chiều cao BH và cạnh đáy AN = 35 NC)
- Vậy đường thẳng BN là đường thẳng cần tìm
Trường hợp 2: - Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
B
- Giả sử đường thẳng BN là đường thẳng cần tìm Ta có:
- SBNC = 35 SBAN và có chung chiều cao BH Suy ra: Cạnh đáy CN = 35 NA Suy ra:
CN = 38 AC
- Như vậy: Trên cạnh AC ta chia làm tám phần bằng nhau lấy điểm N sao cho: CN
= 35 NA = 38 AC
- Nối B với N ta được đường thẳng cần tìm
- Thật vậy: SBNC = 35 SBAN ( vì có chung chiều cao BH và cạnh đáy CN = 35 NA)
- Vậy đường thẳng BN là đường thẳng cần tìm
Tóm lại: Qua hệ thống các bài tập ở trên chúng ta có thể ra tiếp các bài tập khác
có dạng từ một đỉnh của hình tam giác, ta có thể kẻ một đường thẳng chia hình đó làm hai phần mà có diện tích phần này bằng 27, 37, 38,…diện tích phần kia
Học sinh phải xác định được đỉnh và cạnh đối diện, trình bày được nhiều cách
B VẬN DỤNG CÁC TRƯỜNG HỢP CHIA TAM GIÁC VÀO VIỆC CHIA
HÌNH THANG
*Ví dụ 1 : Cho hình thang ABCD có đáy bé là AB Từ đỉnh A hãy kẻ một đường
thẳng AM sao cho chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau
Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
Trang 11D M C E
N
B A
- Nối A với C Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt DC kéo dài tại E Nối A với E cắt nhau tại N ta có hình ABEC là hình thang
+ Có SABC = SAEC (Vì có chung đáy AC và chiều cao hạ từ B và từ E bằng nhau bằng chiều cao hình thang ABEC)
+ Có SABN = SNEC (Vì SABC = SAEC cùng có chung SANC)
- Vậy suy ra: SABCD = SAED
Đến đây học sinh dễ nhận thấy bài toán trở về dạng từ một đỉnh của tam giác AED hãy kẻ một đường thẳng AM sao cho chia tam giác AED thành hai phần có diện tích bằng nhau
- Như vậy M là điểm chính giữa (DM = ME) của cạnh DE
- Nối A với M ta được đường thẳng cần tìm
- Thật vậy: SADM = SAME (Vì chúng có chung chiều cao hạ từ đỉnh A và có cạnh
DM = ME) Suy ra: SADM = SAMCB
- Vậy đường thẳng AM là đường thẳng cần tìm
Từ ví dụ ta khai thác và phát triển thành các bài toán sau đây
*Bài 1: Cho hình thang ABCD có đáy bé là AB Từ đỉnh A hãy kẻ một đường
thẳng AN sao cho chia hình thang thành hai phần có diện tích phần này bằng 12diện tích phần kia
Trường hợp 1: - Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
M B
A
Trang 12- Nối A với C Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt DC kéo dài tại E Nối A với E cắt nhau tại M ta có hình ABEC là hình thang
+ Có SABC = SAEC (Vì có chung đáy AC và chiều cao hạ từ B và từ E bằng nhau bằng chiều cao hình thang BCEA)
+ Có SABM = SMEC (Vì SABC = SAEC cùng có chung SAMC)
- Vậy suy ra: SABCD = SAED
( Học sinh nhận ra bài toán đưa về bài toán 2 của hình tam giác ABC)
- Học sinh chỉ việc chia cạnh DE làm ba phần bằng nhau lấy điểm N sao cho:
DN = 12 NE = 13 DE
- Nối A với N ta được đường thẳng cần tìm
- Thật vậy: SADN = 12 SANE (Vì chúng có chung chiều cao hạ từ A xuống DE có DN
= 12 NE)
- Như vậy: SADN = 12SANCB
- Đường thẳng AN là đường thẳng cần tìm
*Bài 2 : Cho hình thang ABCD có đáy bé là CD Từ đỉnh D hãy kẻ một đường
thẳng DN sao cho chia hình thang thành hai phần có diện tích phần này bằng 13 diện tích phần kia
- Theo bài ra ta có hình vẽ sau:
I
C D
- Nối D với B Từ C kẻ đường thẳng song song với DB cắt AB kéo dài tại M Nối
D với M cắt nhau tại I ta có hình CMBD là hình thang
+ Có SDCB = SDMB (Vì có chung đáy DB và chiều cao hạ từ C và từ M xuống đáy
DB bằng nhau và bằng chiều cao hình thang CMBD )
+ Có SDCI = SIBM (Vì SDCB = SDMB và cùng có chung SDIB)
- Vậy suy ra: SABCD = SADM