SKKN sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số dạng toán giải tích 12

Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua tìm hiểu, điều tra từ giáoviên và học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 2, tôi thấy giáo viên khó khăn trong việcgiúp học sinh vâ

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Chương “Ứng dụng đạo hàm” là một phần quan trọng nhất của giải tích 12trong chương trình toán học THPT Các dạng bài về tính đơn điệu, cực trị, giá trịlớn nhất, nhỏ nhất, tương giao, tìm số nghiệm phương trình rất đa dạng và phongphú Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua tìm hiểu, điều tra từ giáoviên và học sinh ở trường THPT Tĩnh Gia 2, tôi thấy giáo viên khó khăn trong việcgiúp học sinh vận dụng kiến thức vào giải một số bài tập vận dụng cao Học sinhchưa xác định được hướng giải quyết đúng ý tưởng của bài, một số học sinh mơ hồ,rối rắm khi thấy các dữ kiện nhiều, phức tạp, từ đó nhụt ý chí, dẫn đến ngại suynghĩ để đưa ra ý tưởng giải bài tập loại này Mặt khác, trong các đề thi THPT QGhàng năm, bài toán này là một trong những bài trọng điểm để phân loại năng lựchọc sinh, khi giải được các dạng bài này các em mới đạt vào top khá giỏi Để giúphọc sinh có thể hệ thống và nắm vững các cách tư duy giải các dạng bài sử dụngtính đơn điệu của hàm số trong chương trình toán 12 nên tôi đã nghiên cứu ra đề tàinày

Năm học 2019-2020 tôi được phân công dạy lớp chọn số 1, đảm nhiệm mũi nhọncủa trường trong kỳ thi TN THPT 2020, qua nghiên cứu giảng dạy tôi thấy việc

triển khai sáng kiến “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số dạng toán

giải tích 12 ” là sát thực, phù hợp và cần thiết với việc giảng dạy, bồi dưỡng học

sinh khá giỏi và ôn luyện cho học sinh thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng trong kỳ thiTHPT sắp tới Do vậy tôi chọn đề tài này để nghiên cứu nhằm phần nào đáp ứngyêu cầu trên và góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Trang bị cho học sinh về một số lý thuyết, một số dạng và cách giải bài toán Sử

dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số dạng toán giải tích 12.

- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nângcao kỹ năng tư duy sáng tạo

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài tập về các bài toán sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải nằm trongchương trình toán học 12 trung học phổ thông, trong các đề thi tốt nghiệp, đại họccao đẳng

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần này

- Thông qua việc kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu của học sinh

- Thông qua trao đổi góp ý và học tập kinh nghiệp từ các đồng nghiệp

- Thông qua sách giáo khoa, sách bài tập, hệ thống bài tập và tài liệu tham khảo

- Thông qua các đề thi tham khảo, minh họa, chính thức THPT QG 2017, 2018,

2019, 2020 của bộ, các đề tham khảo của các trường trên toàn quốc

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Căn cứ vào lý thuyết chương I: ’’Ứng dụng đạo hàm để khảo sát một số và vẽ đồthị của hàm số’’ trong chương trình giải tích 12 cơ bản , chương III: “ Phươngtrình, hệ phương trình” và chương IV: “ Bất đẳng thức, bất phương trình, hệ bấtphương trình” đại số 10 cơ bản Tôi tóm tắt nội dung lý thuyết cơ bản như sau:

2.1.1 Định nghĩa sự đồng biến , nghịch biến của hàm số [1]

Giả sử hàm số y=f ( x) xác định trên tập K ( K là một khoảng hoặcđoạn hoặc nửa khoảng)

Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu x1, x2 K, x1 x2  f(x1) f(x2)

Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu ∀x1, x2∈K , x1<x2⇒f ( x1)>f ( x2)

Hệ quả: Nếu hàm số y=f ( x) đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì

2.1.2 Định lý về sự đồng biến , nghịch biến của hàm số [1]

Cho hàm số y=f ( x) xác định trên tập K và có đạo hàm trên K ( K làmột khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng)

Nếu f ' (x )≥0, ∀ x∈K ( dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì hàm sốđồng biến trên K

Nếu f ' (x )≤0, ∀ x∈K ( dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì hàm sốnghịch biến trên K

2.1.3 Định nghĩa giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số [1]

Cho hàm số y=f ( x) xác định trên tập D

*) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f ( x) trên tập D nếu

f (x )≤M , ∀ x∈D và tồn tại x0∈D sao cho f (x0)=M Kí hiệu : M=max D f ( x )

*) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f ( x) trên tập D nếu

f (x )≥m , ∀ x∈D và tồn tại x0∈D sao cho f (x0)=m Kí hiệu : m=min D f ( x )

2.1.4 Điều kiện để phương trình chứa tham số có nghiệm

Phương trình f x( )m có nghiệm x D  Min f x D ( )m M Dax ( )f x

2.1.5 Điều kiện để bất phương trình chứa tham số có nghiệm

*) Bất phương trình f x( )m có nghiệm x D  m Min f x D ( )

*) Bất phương trình f x( )m nghiệm đúng  x D m Max f x D ( )

*) Bất phương trình f x( )m có nghiệm x D  m Max f x D ( )

*) Bất phương trình f x( )m nghiệm đúng  x D m Min f x D ( )

2.1.6 Định lý điều kiện đủ để hàm số có cực trị [1]

Cho hàm số y=f ( x) liên tục trên khoảng K  (x0  h x; 0 h)và có đạo hàmtrên K hoặc trên K x| 0 với h 0

Nếu f x'( ) 0,   x (x0  h x; ) 0 và f x'( ) 0,   x ( ;x x0 0 h) thì x0 được gọi là điểm cựcđại của hàm số f x( )

Nếu f x'( ) 0,   x (x0  h x; ) 0 và f x'( ) 0,   x ( ;x x0 0 h) thì x0 được gọi là điểm cựctiểu của hàm số f x( )

Từ cơ sở lý thuyết trên tôi định hướng giải quyết bài toán dùng tính đơn điệu của hàm số để giải một số dạng toán giải tích 12 trong các tiết ôn tập:

- Phân loại các dạng bài tập toán giải tích 12 có sử dụng đến tính đơn điệu của hàm số.

- Nêu cách định hướng giải cho từng loại bài toán đó.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình dạy ôn tập THPT QG năm 2017, năm 2019, ôn thi tốt nghiệpTHPT năm 2020 cho học sinh lớp 12 trong phần Giải tích Học sinh chỉ mới sửdụng tính đơn điệu vào giải quyết được một số bài toán ở mức độ nhận biết, thônghiểu và chỉ được một lượng nhỏ các em biết giải quyết các bài toán ở mức độ vậndụng thấp , khi gặp một số bài toán yêu cầu cao hơn đa số các em chưa đưa ra đượchướng giải quyết ngay, hoặc đưa ra lời giải sai, hoặc có em đưa ra được hướng giảiquyết thì giải quyết chậm và chưa triệt để bài toán

Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút vềchương ứng dụng đạo hàm Kết quả :

- Nêu các cách sử dụng máy tính casio bỏ túi để tính toán nhanh kết quả.

- Cuối chuyên đề cho học sinh làm bài kiểm tra

2.3.2 Nội dung giải pháp

Phương pháp chung:

- Đưa các dạng toán về hàm số , hàm số đặc trưng, sử dụng tính đơn điệu để kết luận bài toán, hoặc đưa ra bảng biến thiên để giải quyết bài toán một cách nhanh nhất.

- Đưa về một trong các dạng cơ bản sau.

A DẠNG BÀI XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Phương pháp chung: - Tìm tập xác định, tính đạo hàm

- Lập bảng biến thiên, kết luận

Ví dụ 1: Cho hàm số yf x . Hàm số yf x'  có đồ thị

như hình bên Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên

dương của tham số m để hàm số

2

g x f x m  x m  

đồng biến trên khoảng

A 6. B.11. C 14 D 20.

( Đề thi khảo sát năng lực 2020- Trường THPT Ngô Gia Tự, Phú yên)

Hướng dẫn: - Xét đạo hàm, tìm các khoảng đồng biến rồi suy ra giá trị của m

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh)

Hướng dẫn: - Xét đạo hàm tìm các giá trị của x để đạo hàm bằng 0, lập BBT

Từ đó suy ra các khoảng đồng biến.

Vậy hàm số  

2

g x  f x đồng biến trên khoảng (2;4 )

B BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM SỐ

Phương pháp chung: - Tìm tập xác định, tính đạo hàm

- Lập bảng biến thiên rồi kết luận.

Ví dụ 3: Cho hàm số yf x( )liên tục trên R và có

đồ thị hàm số yf x  như hình vẽ bên Tính tổng

giá trị các điểm cực tiểu của hàm số

3

O

1

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Đông sơn 1, Thanh Hóa)

Hướng dẫn: - Xét đạo hàm tìm các giá trị của x để đạo hàm bằng 0 rồi lập BBT

Từ đó suy ra các khoảng đồng biến.

x x x x Do đó tổng giá trị các điểm cực tiểu của hàm số bằng  4

C BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ

Phương pháp chung: - Xét phương trình hoành độ giao điểm

- Xét hàm số, hàm đặc trưng.

- Lập bảng biến thiên và kết luận.

Ví dụ 4: Cho hai hàm số y x 6 6x4 6x2 1 ( );C1 y x m 3  15 (x m  3 15 ) ( )x C2 Cóbao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn 2019; 2019 sao cho 2 đồ thị ( );( )C1 C2cắt nhau tại hai điểm phân biệt

( Đề thi thử TNTHPT 2020 lần 1- Trường THPT Thanh Chương 1, Nghệ An)

Hướng dẫn: - Xét phương trình hoành độ giao điểm, đưa về hàm đặc trưng, xét

tính đơn điệu của hàm số mới rồi lập BBT, từ đó suy ra kết quả

Bài giải:

Số gđ 2 đồ thị chính là số nghiệm pt: x66x46x2 1 x3 m15 (x m 3 15 )x

Ta thấy x 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả 2 vế phương trìnhcho x3 ta được:

Để 2 đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì pt có 2 nghiệm phân biệt thì

( Đề thi thử THPT QG lần 1 2020, Sở GD và ĐT Ninh Bình)

Hướng dẫn: - Xét phương trình hoành độ giao điểm, tính đạo hàm, xét tính đơn

điệu của hàm số rồi lập BBT, từ đó suy ra kết quả

D DẠNG BÀI TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC

Phương pháp: - Đặt ẩn phụ, dùng bất đẳng thức hoặc đánh giá biểu thức

- Xét tính đơn điệu và lập BBT rồi đánh giá , đưa ra kết luận.

Ví dụ 6: Cho hàm số f x( )x3 3x2m1 (m là tham số thực) Gọi S là tập hợp các

số thực nguyên thuộc đoạn 2020; 2020 sao cho m 1;4 ax ( )  f x  3min ( )  1;4  f x

Số phần tửcủa S là

( Đề thi thử TNTHPT 2020 lần 1- Trường THPT Thanh Chương 1, Nghệ An)

Hướng dẫn: - Xét hàm f(x) tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn 1;4

- Xét các trường hợp max, min của hàm tại các đầu mút và cực trị.

Ví dụ 7: Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn

( Đề thi thử TNTHPT 2020 lần 1- Trường THPT Thanh Chương 1, Nghệ An)

Hướng dẫn: -Đưa về hàm đặc trưng, rút một ẩn ra và thế vào biểu thức P rồi tìm

Ví dụ 8: Cho x y, là các số thực thỏa mãn lnyln(x32) ln 3 Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức

( Đề kiểm tra chất lượng 2020 lần 2- Trường THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội)

Hướng dẫn: - Đánh giá H đưa về hàm số một ẩn phụ, xét tính đơn điệu để tìm

max.

Bài giải:

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Chuyên Hùng Vương , Gia Lai)

Hướng dẫn: - Đánh giá P đưa về hàm số một ẩn phụ, xét tính đơn điệu để tìm min.

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh)

Hướng dẫn: - Đánh giá H đưa về hàm số một ẩn phụ, xét tính đơn điệu để tìm

Phương pháp: - Đặt ẩn phụ, đưa về hàm đặc trưng

- Cô lập m, xét hàm số rồi lập bảng biến thiên, suy ra giá trị m.

Ví dụ 11: Cho hàm số f x( )x3 x 2 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của thamsố m để phương trình f 3 f x3 ( )  f x( ) m x3  x 2

có nghiệm x  [ 1; 2]?

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Chuyên Hùng Vương , Gia Lai)

Hướng dẫn: -Đưa về hàm số đặc trưng, cô lập m về hàm mới, xét tính đơn điệu

của hàm số mới, rồi kết luận.

Bài giải: Ta có : f x'( ) 3 x2 1 0 ,x nên hàm số đồng biến trên R

Vậy có 1750 giá trị m.

Ví dụ 12: Cho hàm số yf x  liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

f x  m  x có nghiệm thuộc khoảng 0; Tổng các phần tử của S

bằng

A 4. B  1. C 3. D 2.

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Chuyên Hùng Vương , Gia Lai)

Hướng dẫn: - Đặt ẩn phụ, đánh giá giá trị của ẩn phụ, xét tính đơn điệu của hàm

sô mới trên tập mới, lập BBT và kết luận

Bài giải: Đặt sinx t x, 0; t 0;1

Phương trình f sinx m 2 2sinx trở thành

bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi

Vậy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x 0; 4

Ví dụ 14: Cho hàm số y= f x( )liên tục trên R và có đồ

thị như hình vẽ Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương m

để phương trình ( ) ( )

3

2 2

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh)

Hướng dẫn: - Đặt ẩn phụ, đưa về hàm đặc trưng, xét tính đơn điệu của hàm số rồi

dựa vào đồ thị kết luận

Bài giải: Đặt f x2( ) 1 t

3

2 2

2

2 2

4

185 4

Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log 6( f x( ) +m)+ log 2 6 = log 4( f x( )) có

5 nghiệm phân biệt?

A 1 B 2 C 3 D 7

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Trần Phú, Hà Tĩnh)

Hướng dẫn: - Đưa về hàm mũ, xét tính đơn điệu của hàm số mới, lập BBT và kết

luận

Bài giải: Đặt log 4 f x( ) t do f x; ( ) 0;16    t  ;2

Với f x( )0;4   16    t  ;1   2 thì có một nghiệm x

Với f x( ) 12;16   4  t log 12;2 4    1 thì có hai nghiệm x

Với f x( ) 4;12  t 1;log 12 4  thì có ba nghiệm x

Bài 1: Cho các số thực x, y thỏa mãn x y   1 2 x 2  y 3

Giá trị lớn nhấtcủa biểu thức M 3x y  4 x y 1 2 7  x y 3x2 y2



( Đề thi thử TNTHPT 2020 lần 2- Trường THPT Đội Cấn, Vĩnh Phúc)

Bài 2: Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số mđể phương trình

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Kỳ Lâm, Hà Tĩnh)

Bài 3: Cho hàm số yf x  có đồ thị như

hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số

  3 4  2 2  5

( Đề thi thử THPT QG lần 1,2019-2020 - Trường THPT Nguyễn Trãi, Hải Dương)

Bài 4: Cho hàm số f x  x2  2x m 2

với m là tham số Có bao nhiêu giá trịnguyên của tham số m sao cho min [ 2;1] f x  max [ 2;1] f x  10

?

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh)

Bài 5: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   20;20 để hàm số

A 9 B 7 C 32 D 30.

( Đề thi thử TNTHPT 2020 - Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh)

Bài 6: Cho hàm số y f x  liên tục trên R và

có đồ thị như hình vẽ bên Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m để phương trình

( Đề thi thử THPT QG,2019-2020 - Trường THPT Nguyễn Huệ, Hà Tĩnh)

Bài 7: Cho các số thực x y z , , 1 thỏa mãn xyz 2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ý nghĩa của sáng kiến: Giúp cho giáo viên chủ động trong việc giảng dạy ôntập cho học sinh khối 12 một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các dạng bài tập sửdụng tính đơn điệu để giải, đồng thời sáng kiến kinh nghiệm này còn giúp học sinhphát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng giải toán Từ đó học sinh có cái nhìn toàndiện và tự tin hơn khi tiếp cận các dạng toán này