SKKN sử dụng phương pháp hình học để giải bài toán tìm GTLN,GTNN của mô đun số phức trong việc ôn thi tốt nghiệp THPT năm 2021 tại trường THPT lê lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC TRONG VIỆC ÔN THI TỐT NGHIỆP THP

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LÊ LAI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC TRONG VIỆC ÔN THI TỐT

NGHIỆP THPT NĂM 2021 TẠI TRƯỜNG THPT LÊ LAI

Người thực hiện: Hồ Phương Nam

1 MỞ ĐẦU 1

1.1.Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 1

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Giải pháp thực hiện 4

2.4 Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm 17

3 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 19

3.1 Kết luận 19

3.2 Kiến nghị 19

1 MỞ ĐẦU

1.1.Lí do chọn đề tài

Từ năm học 2016-2017, Đề thi môn Toán trong Kỳ thi THPT quốc gia, nay là Kỳthi tốt nghiệp THPT đã thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm kháchquan Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhàtrường Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm vững kiếnthức cơ bản, làm thuần thục các dạng toán quan trọng mà cần có khả năng tư duy logiccao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất tìm rađáp án Đây thực sự là một thách thức lớn đối với mỗi giáo viên chúng ta

Trong quá trình giảng dạy, ôn thi, làm đề tôi phát hiện ra rằng: các bài toán vậndụng cao tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức nếu học sinh tiếp cận theo hướng tựluận quen thuộc sẽ rất khó giải quyết được vấn đề trong thời gian ngắn

Chính vì những lý do trên nên tôi tổng hợp các kinh nghiệm trong quá trình giảngdạy của mình và nghiên cứu Đề thi THPT Quốc gia năm 2018, năm 2019, Đề thi Tốtnghiệp năm 2020 và Đề tham khảo của Bộ giáo dục và đào tạo năm 2021, tôi quyết định

chọn đề tài : “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM

GTLN, GTNN CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC TRONG VIỆC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021 TẠI TRƯỜNG THPT LÊ LAI” Nhằm đưa ra phương án tối ưu

nhất giúp học sinh giải quyết được các bài toán ôn thi Tốt nghiệp THPT trong năm 2021

và những năm tiếp theo

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo một tài liệutham khảo nhỏ giúp các em học sinh trong nhà trường có thêm một phương pháp tiếp cậnnhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức nhằmgiúp các em có khả năng lấy được điểm cao trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT năm 2021

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung xây dựng phương pháp hình học

để giải bài toán GTLN, GTNN của mô đun số phức

1.4 Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu lí luận: Kế hoạch năm học của Nhà trường, Kế hoạch hoạt độngchuyên môn của Tổ Toán – Tin

+ Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2017, 2018, 2019, 2020; Đề minh họa năm2021

+ Thực tiễn quá trình giảng dạy của bản thân và của đồng nghiệp

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

1 Số phức

a Định nghĩa: Cho số phức z có dạng: z a bi  với ,a b   , trong đó a gọi là phần

thực của z ,b gọi là phần ảo của z , i gọi là đơn vị ảo thỏa mãn i  2 1

b Biểu diễn hình học của số phức

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , mỗi số phức z a bi a b  ; ,   được biểu diễn bởi điểm( ; )

M a b Ngược lại, mỗi điểm ( ; ) M a b biểu diễn duy nhất một số phức là z a bi 

b Phương trình tiếp tuyến

Cho điểm M x y nằm trên đường tròn  0; 0  C

Phương trình tiếp tuyến với  C tại M là

 0   0  0   0

3 Đường Elip

a Định nghĩa đường Elip

Cho hai điểm cố định F F và một độ dài không đổi 2a lớn hơn 1; 2 F F 1 2

Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF1MF2 2a

Ta có thể viết  E : M F M1 F M2 2a trong đó F F là tiêu điểm Độ dài 1; 2 F F1 2 2c

gọi là tiêu cự của elip

M

b Phương trình chính tắc của elip

Trong mặt phẳng Oxy cho hai tiêu điểm F1c;0 ; F c2 ;0 và độ dài không đổi 2a Khi

đó ta có phương trình chính tắc của elip  

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm

Qua trao đổi với các thầy cô giáo trong bộ môn toán nhà trường, tôi nhận thấy việccác thầy cô vẫn đang còn dạy các em tìm lời giải cho các bài toán: Tìm GTLN, GTNNcủa mô đun số phức theo phương pháp biến đổi trực tiếp và dùng bất đẳng thức để đánhgiá Vì vậy, tôi nhận thấy với cách làm như vậy sẽ đưa học sinh vào một số thử tháchtrong việc làm bài thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia:

Một là, thời gian các em dành để tìm ra đáp số của bài toán mất nhiều thời gian Hai là, một số bài toán phức tạp các em sẽ gặp khó khăn trong việc định hướng

tìm lời giải Ngược lại, những em có hướng giải quyết bài toán thì không đủ thời gian đểtìm lời giải nên dẫn đến tình huống đoán mò

Từ thực tế đó, đòi hỏi cần có cách tư duy bài toán theo cách giải toán trắc nghiệm,trong đó việc khai thác tối đa tính trực quan của việc biểu diễn số phức bằng hình họcviệc giải toán là việc làm rất cần thiết trong việc ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia củanhà trường trong giai đoạn hiện nay

2.3 Giải pháp thực hiện

Trong quá trình dạy học ôn thi THPT Quốc gia trong 3 năm gần đây, qua nghiêncứu đề thi chính thức của Bộ giáo dục và đào tạo năm 2018, 2019, 2020 và đề minh họanăm 2021 Tôi xin đưa ra cách hướng dẫn học sinh kỹ thuật ghép bảng biến thiên để tìmlời giải cho một số bài toán vận dụng cao về tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức sau:

DẠNG 1: CỰC TRỊ CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC LIÊN QUAN ĐẾN 1 SỐ PHỨC CÓ ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ MỘT ĐƯỜNG TRÒN, ĐƯỜNG THẲNG

Ví dụ 1 Cho số phức z thỏa mãn z 2 3 i 1 Giá trị lớn nhất của z 1 i là

Vì tìm w max nên xét R  và là đường tròn tâm 0 K  1;1

Từ giả thiết z 2 3 i 1 là đường tròn tâm I2;3 bán

kính r  Vậy để R lớn nhất thì hai đường tròn tiếp xúc 1

trong với nhau và R KI r   13 1

K I M

bán kính là r  nên z5 OM có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất

khi M là giao điểm của đường thẳng OI với đường tròn nên hiệu

M m OM   OM  OI  Chọn A.

I

M1 M0O

Nhận xét Cần nhận xét được vị trí của O đối với đường tròn tâm I hoặc là

Biến đổi z 3 4 i  2 2z 6 8 i  4 M2z   C tâm I(6; - 8), R = 4.

Xét điểm A(- 1; 1) thì 2 z 1 i AM và lớn nhất khi AM = R + AI = 4 130

K M

Gọi M z  M x y ;  thì M thuộc đường tròn (C), tâm I(3; 4), R = 5 và ta có:

IM t  t    IM 

(lấy t > 0) Ta có M(5; 5) nên z OM 5 2. Chọn D.

Đặt z 3 2i  R 0, trước hết xét R  , khi đó 0 z x yi x y, ,   biểu diễnbởi M x y thuộc đường tròn tâm  ;  I  3;2, bán kính R

3x y  3 0 là đường thẳng  nên IM nhỏ nhất khi IM vuông góc với  tại M.

510

R d I      , chứng tỏ I   Chọn A.

Cách 2 (Trắc nghiệm - Công thức tính nhanh)

Ta có w   z 3 2i và đường thẳng là z 2i   z 3 i khi đó trong Mode 2 ta

Nhận xét: Qua các ví dụ trên giúp học sinh củng cố kiến thức và luyện tập kỹ năng về

DẠNG 2: CỰC TRỊ CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC LIÊN QUAN ĐẾN 2 HOẶC NHIỀU

SỐ PHỨC CÓ ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG TRÒN ĐOẠN THẲNG

Ví dụ 9 Cho hai số phức z , 1 z thỏa mãn 2 z1 5 2i 2và z2  1 6i 3 Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1 z2 Khi đó 2 2

a b bằng

Tương tự N z  2  C2 tâm K1;6, R  Gọi 2 3 IK  h 2 13R1R2 m5.

Ta có: b MN min  h m a MN;  max  h m suy ra a2b2 h m 2h m 2 thay số

Ví dụ 11 Giả sử z z là hai nghiệm phức của phương trình1, 2

z z cùng thuộc đương tròn tâm O, bán kính R = 1 Gọi A, B biểu diễn các số z z1, 2

thì từ z1 z2 1 suy ra OAB là tam giác đều Không giảm tổng quát chọn

Ký hiệu Pz12 z22, giải sử M biểu diễn z, A, B biểu

diễn z z và 1, 2 I3;4 là tâm đường tròn Gọi H là trung

Nhận xét: Đôi khi ta xem như Elip (thay đổi) hoặc đường tròn (thay đổi) và nhìn nhận

theo cách mở rộng xem như elip ảo hay đường tròn ảo để giải toán nhanh hơn

Phân tích.

Cho điểm M thuộc đường thẳng và P, Q thuộc 2 đường tròn Tìm Max MP MQ  

K

M

Rõ ràng ta có T MP MQ 2R nhỏ nhất khi P, Q thuộc các đoạn MI, MK và do

tính đối xứng nên T = 2MK Vậymin

 

2

2 min

Nhận xét Cách giải trên có thể một số em còn băn khoăn, sau đây ta có thể giải như sauTheo giả thiết thứ nhất suy ra z 152 z 1522 z2 15 64 (1).

Thế z w i  vào giả thiết ta có w 1 2i  w 2 2i 5 (1)

Gọi M là điểm biểu diễn số phức w và F1(1; 2), ( 2;2) F2  biểu diễn các số

z   i z   i khi đó từ (1) ta có MF1MF2 5 Mà ta có

1 2 5 1 2

F F   M F F

Bởi vậy wmax OM max OM OF2 2 2. Chọn C.

Nhận xét Nếu MF1MF2 F F1 2 thì ta vẫn đưa về Elip và giải bình thường Tuy nhiên bài toán cho trường hợp đặc biệt nên ta cũng xem xét để giải nhanh hơn

Ví dụ 16 Cho z   thỏa mãn z 2 3 i  z  2 i 4 5 Tìm giá trị lớn nhất của

KF và ta cần tính độ dài lớn nhất của KM, khi đó vị trí

cần tìm tại D, mà sao cho DF DF 2F F (không đổi)

M

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1 (SGD Nghệ An - THPT Liên trường) Cho số phức z và gọi z z là hai 1, 2

nghiệm phức của phương trình 2

z  i (z có phần thực dương) Giá trị nhỏ nhất1

A P  3 B. P  3 C P  1 D P  7

Câu 5 [THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp] Gọi S là tập hợp các sốphức thỏa mãn z 3  z3 10. Gọi z1, z2 là hai số phức thuộc S có mô đun nhỏnhất Giá trị biểu thức 2 2

Câu 8 (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa ) Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1 1 i 2

và z2 iz1 Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức z1 z2 ?

Câu 10 Cho hai số phức u , v thỏa mãn 3 u 6i 3u 1 3i 5 10, v 1 2i  v i





số phức z Khi a thay đổi thì MI đạt nhỏ nhất là:

Câu 14 ( THPT Chuyên Đại học Vinh ) Giả sử z z là hai trong các số phức z thỏa1, 2

mãn z 6 8  zi là số thực Biết rằng z1 z2 4 Giá trị trị nhỏ nhất của

Câu 16 (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội ) Cho hai số phức z , 1 z thỏa mãn2

Câu 18 [THPT Chuyên Quang Trung] Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để

tồn tại 4 số phức z thỏa mãn z z  z z 2 và (z z2) ( z z ) mlà số thuần

ảo Tổng các phần tử của S là:

Câu 20 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2  z 2i Giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P  z 1 2i  z 3 4 i  z 5 6 i được viết dưới dạng 17

2.4 Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm

Trong năm học 2020 – 2021 vừa qua, được sự góp ý xây dựng của Tổ bộ môn,được sự đồng ý của Ban chuyên môn nhà trường, tôi đã áp dụng việc dạy học tại lớp12A1 tiết ôn tập thi Tốt nghiệp THPT QG và cùng thời điểm thầy Phạm Chí Đạt cùngdạy nội dung trên đối với lớp 12A2 Sau khi dạy xong, chúng tôi đã tổ chức kiểm tra đốivới lớp thực nghiệm (TN) là lớp 12A1 và lớp đối chứng (ĐC) là lớp 12A2 Ngoài kết quảbài kiểm tra, tôi còn kiểm tra mức độ hứng thú học tập của học sinh bằng phiếu thăm dò,với 4 mức độ:

- Mức độ 1: Rất hứng thú học

- Mức độ 2: Có hứng thú, nhưng không có ý định tìm tòi sáng tạo thêm

- Mức độ 3: Bình thường

- Mức độ 4: Không hứng thú Không hiểu nhiều vấn đề

Kết quả thể hiện qua biểu đồ sau:

Biểu đồ so sánh mức độ hứng thú học tập của 2 lớp sau khi thực nghiệm

Biểu đồ so sánh kết quả học tập của 2 lớp sau khi thực nghiệm

Từ kết quả trên, cũng như xem xét bài làm của học sinh, tôi thấy rằng:

Học sinh lớp thực nghiệm có hứng thú học tập hơn hẳn so với học sinh lớp đối chứng.Kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm tỉ lệ học sinh khá giỏi tăng, tỉ lệ học sinh trungbình, yếu giảm, còn lớp đối chứng tỉ lệ khá giỏi giảm, tỉ lệ trung bình và yếu lại tăng lên.Việc định hướng về phương pháp trong làm bài của học sinh lớp thực nghiệm tốt hơn

Học sinh lớp thực nghiệm tự tin hơn khi đứng trước bài kiểm tra Không bị bất ngờtrong từng bài toán, trình bày lời giải ngắn gọn, rõ ràng.

Khi dạy một nội dung khó nhưng cách tiếp cận dễ dàng dẫn đến việc học của học sinhcũng nhẹ nhàng hơn, giảm áp lực cho giáo viên đứng lớp

Được đồng nghiệp ở tổ bộ môn đánh giá cao và xem đây là một tài liệu quan tronggiảng dạy môn Giải tích ôn thi Tốt nghiệp THPT QG

Từ đó có thể khẳng định cách dạy luyện tập như trên đã mang lại hiệu quả trong quátrình dạy học môn Giải tích ở trường THPT Lê Lai

3 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Trong quá trình làm sáng kiến và áp dụng sáng kiến trong thực tế giảng dạy tại lớp 12A1,hiệu quả mang lại đối với thực tiễn giảng dạy của nhà trường đã được trình bày ở trên Từ

đó thấy rằng SKKN : “SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI BÀI

TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC TRONG VIỆC ÔN THI TỐT

NGHIỆP THPT NĂM 2021 TẠI TRƯỜNG THPT LÊ LAI” có đóng góp không nhỏ

trong việc giảng dạy tại trường THPT Lê Lai Cụ thể:

Về lí luận: SKKN đã góp phần khẳng định việc xây sử dụng phương pháp hình họcgiúp học sinh xử lí nhanh được các bài toán vận dụng và vận dụng cao trong phần tìmGTLN, GTNN của mô đun số phức

Về thực tiễn: SKKN là một giáo án luyện tập môn Giải tích có hiệu quả dành chobản thân và đồng nghiệp trong Tổ bộ môn

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Hồ Phương Nam