SKKN rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn trong kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM ẨN TRONG KÌ THI TỐT NGHIỆP

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM ẨN TRONG KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Nguyễn Xuân Dũng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2021

MỤC LỤC Trang

1 Mở đầu… 2

1.1 Lí do chọn đề tài……… 2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi đề tài……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ……… 3

2.1.1 Đạo hàm của hàm số hợp……… 3

2.1.2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm………

2.1.3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị ………

2.1.4 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số………

3 3 4 2.2 Thực trạng của vấn đề……… 5

2.2.1 Thực trạng vấn đề……… 5

2.2.2 Kết quả của thực trạng……… 6

2.3 Giải quyết vấn đề ……… 7

2.3.1 Khai thác đồ thị, bảng biến thiên hàm số yf x( ) 7

2.3.2 Khai thác đồ thị, bảng biến thiên hàm số yf x  16

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm……… 19

2.4.1 Về phía học sinh……….……… …… 19

2.4.2 Về phía giáo viên……… 19

3 Kết luận, kiến nghị……… 20

3.1 Kết luận……… 20

3.2 Kiến nghị……….……… 20

Tài liệu tham khảo…

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong những năm qua thực hiện nghị quyết 29-NQ/TW về đổi mới cănbản toàn diện giáo dục, cùng với những đổi mới trong giáo dục là đổi mới trongthi cử, trong bối cảnh dịch bệnh covid 19 hoành hành năm học 2020-2021.Trong kì thi tốt nghiệp Trung học phổ thông Quốc gia năm 2020, môn Toán đãlàm quen khi chuyển từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan.Trước kia khi thi tự luận, phần khảo sát và vẽ đồ thị luôn luôn chiếm vị trí quantrọng trong đề thi, giờ đây do hình thức thi trắc nghiệm nên học sinh không phải

vẽ đồ thị nữa Tuy nhiên để khai thác phần đồ thị này người ra đề đã chuyểnhướng sang kiểm tra các em khả năng đọc đồ thị Trong đề thi chính thức năm

2020 và đề minh họa của Bộ giáo dục năm 2021 xuất hiện các bài toán có giảthiết là cho đồ thị của hàm số y f x , y f x  và yêu cầu học sinh chỉ racác tính chất của hàm ẩn 𝑦 = g(x) như tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất, số nghiệm của phương trình

Phần kiến thức này tuy là không quá khó nhưng cách hỏi mới mẻ cộngvới kiến thức nền tảng chưa vững khiến cho các học sinh THPT mà cụ thể làhọc sinh lớp 12 lúng túng khi gặp dạng toán này Đa số các em chưa định hìnhđược hướng giải, chưa biết cách khai thác đồ thị và kết nối các kiến thức vớinhau để tìm ra lời giải

Từ quá trình nghiên cứu lí thuyết và đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản

thân, tôi muốn chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm: Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn trong kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thực hiện đề tài này, người viết hướng tới mục đích:

- Hệ thống một cách khoa học các dạng toán liên quan tới khai thác đồ thị,bảng biến thiên hàm số yf x , yf x  và phương pháp giải

- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm để ôn tập phần giải các bài toán khaithác đồ thị, bảng biến thiên hàm số yf x , yf x  có hiệu quả cho họcsinh THPT nói chung và đặc biệt là học sinh lớp 12 nói riêng

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Đề tài tập trung nghiên cứu phần toán liên quan tới khai thác đồ thị, bảng biếnthiên hàm số y f x , yf x  trong đề thi trắc nghiệm trong các năm học2019-2020 và đề minh họa năm 2021

- Các kết quả khảo sát được tiến hành tại các trường THPT trên địa bàn huyệnTriệu Sơn mà chủ yếu là tại trường THPT Triệu Sơn 2.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Khi thực hiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát, thống kê, phân tích, so sánh sốliệu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Đạo hàm của hàm số hợp

Định lí: Nếu hàm số u g x   có đạo hàm tại x là u x và hàm số y f u  có

đạo hàm tại u là y u thì hàm hợp y f g x    có đạo hàm tại x là y xy u u . x.[3]

2.1.2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí: Giả sử hàm số yf x  có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f x   với mọi x I0  thì hàm số y f x  đồng biến trên khoảng I

b) Nếu f x   với mọi x I0  thì hàm số yf x  nghịch biến trên khoảng I

c) Nếu f x   với mọi x I0  thì hàm số y f x  không đổi trên khoảng I

[1]

2.1.3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí: Giả sử hàm số yf x  liên tục trên khoảng a b chứa điểm ;  x0 và

có đạo hàm trên các khoảng a x và ; 0 x b Khi đó 0; 

a) Nếu f x  với mọi 0 xa x; 0và f x   với mọi 0 xx b0;  thì hàm số

 

yf x đạt cực tiểu tại điểm x0.

b) Nếu f x   với mọi 0 xa x; 0và f x   với mọi 0 xx b0;  thì hàm số

 

yf x đạt cực đại tại điểm x0 [1]

Định lí được viết gọn trong hai bảng biến thiên sau

f (x)

f ' (x) x

-b a

f (x)

f ' (x) x

2.1.4 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số y f x , để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trênkhoảng a b ta có thể dựa vào bảng biến thiên của hàm số; 

f (x)

f ' (x) x

Kết luận: min ;     0

● Trường hợp 2

f ' (x)

f (x)

+

Trong chương trình toán THPT nói chung, phần giải tích nói riêng thìđạo hàm là một phần chiếm tỉ lệ lớn về kiến thức, thời lượng và ứng dụng Nó làmột công cụ rất mạnh để giải quyết các bài toán cả trong giải tích, đại số, thậmchí là hình học (như các bài toán về cực trị hình học) Giữa hàm số y f x  vàđạo hàm của nó yf x  có nhiều mối liên hệ chặt chẽ, ví dụ như từ việc xéthàm y f x  có thể kết luận về tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất của hàm yf x 

Lâu nay học sinh quen với cách làm bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thịhàm số, học sinh làm việc với công thức của hàm yf x  và y f x  xongrồi mới vẽ đồ thị của hàm số y f x  Với hình thức thi trắc nghiệm, việc thayđổi cách đặt câu hỏi và yêu cầu học sinh biết khai thác đồ thị hàm yf x ,

- Thời gian giải quyết một bài tập dạng này còn lâu

- Các học sinh học lực trung bình và yếu gần như không thể giải được các bàitập dạng này Trong khi đó, trong kì thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia và đề minhhọa năm 2021 có câu hỏi dạng này trong mỗi đề Do vậy để đạt điểm cao trong

kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, nhất định học sinh cần rèn luyện tốt phần này

2.1.1.2 Về phía giáo viên

Bộ sách giáo khoa hiện hành các bài tập trên 90% là tự luận, các bài tậpcũng được thiết kế theo kiểu thi truyền thống Các bài tập kiểu khai thác đồ thịhàm số y f x , yf x  như trong đề thi chính thức tốt nghiệp THPT quốcgia 2020 và đề minh họa 2021 không có trong SGK Vì thế, giáo viên dạy Toán

ở các trường THPT chúng tôi đang dạy phần này theo cách sau:

- Tham khảo các tài liệu, các đáp án thi thử của các trường và trao đổi kinhnghiệm của đồng nghiệp để hình thành một chuyên đề về dạng toán khai thác đồthị hàm số yf x , yf x 

- Bám sát vào đề thi chính thức tốt nghiệp THPT quốc gia 2020 và đề minh họa

2021 của Bộ giáo dục và đào tạo để có hướng ôn tập phù hợp

- Tranh thủ thời gian trên lớp, trong các giờ chính khóa và giờ học thêm đểhướng dẫn kĩ năng khai thác đồ thị hàm số yf x , y f x  đồng thời xâydựng hệ thống bài tập để học sinh thực hành.

Tuy nhiên, do đây là chuyên đề mới, bài tập dạng này chưa nhiều và rảirác trong các đề thi trên toàn quốc nên không phải giáo viên nào cũng có một hệthống bài tập đầy đủ Cộng với thời lượng dành cho phần này chưa nhiều nêncác giáo viên gặp không ít khó khăn trong quá trình giảng dạy

2.1.2 Kết quả của thực trạng

Từ thực tế ấy, tôi đã tiến hành khảo sát học sinh ngay ở các lớp tôi dạy là

12B3, 12A5 sau khi dạy xong chương 1 - Giải tích 12 "Ứng dụng của đạo hàm

để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số " với thời gian làm bài là 15 phút để kiểm

tra các em kĩ năng giải các bài toán khai thác đồ thị hàm số yf x ,

 

yf x (đề ra dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm nhưng có yêu cầu các em trìnhbày lời giải)

Kết quả như sau:

Đa số các em tuy nắm lí thuyết nhưng rất lúng túng trong việc áp dụng vào bàilàm, việc trình bày còn rối, còn nhầm lẫn giữa đồ thị của hàm số yf x  với

đồ thị hàm số yf x  dẫn tới việc không tìm ra được kết quả hoặc kết quả sai Bảng thống kê điểm kiểm tra:

A f  0 B f  36. C f 2  4. D f  4  8.

Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số f x để suy ra bảng biến thiên của' 

hàm số y f x , sau đó dựa vào bảng biến thiên của hàm số yf x  và tính đơn điệu của hàm số để kết luận

Lời giảiĐặt 2x=t thì tÎ -[ 3;4] và ta đưa về xét h t( )= f t( ) 2 - t Ta có h t¢( )= f t¢( ) 2-nên dựa vào đồ thị đã cho thì h t¢ =( ) 0 có hai nghiệm t=0,t=2, trong đó

Giá trị lớn nhất của hàm số yf x  trên đoạn 1;2 là

A f  2 ; f  5 B f  0 ; f  5 C f 2 ; f  0 D f  1 ; f  5

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số f x  ta có bảng biến thiên

Chọn A

Ví dụ 4 Cho hàm số f x  có đạo hàm là f x  Đồ thị của hàm số yf x 

được cho như hình vẽ bên Biết rằng f  0  f  1  2f  3 f  5  f  4 Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f x  trên đoạn 0;5

Ví dụ 5 Cho hàm số yf x  liên tục trên  Đồ thị của hàm số yf x  như

Ví dụ 6 Cho hàm số f x  có đạo hàm là f x  Đồ thị của hàm số yf x 

được cho như hình vẽ dưới đây:

Biết rằng f 1 f  0  f  1  f  2 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhấtcủa hàm số yf x  trên đoạn 1; 2 lần lượt là:

Ví dụ 7 Cho hàm số yf x  liên tục trên đoạn

7 0;

Trên khoảng 1; đồ thị hàm số f x  nằm phía dưới  P nên

Dựa vào đồ thị của hàm số yf x'  ta thấy:

Ta có bảng biến thiên của hàm số yf x 

Dựa vào bảng biến thiên đáp án đúng là mệnh đề số 3 và 4

Ví dụ 11. Cho hàm số yf x  Hàm số yf x  có bảng biến thiên như

hình vẽ bên Giá trị lớn nhất của hàm số g x  f 2x  sin2x trênđoạn  1;1 là

0 0

Ta có x  1;1  2x  2;2

Từ bảng biến thiên của yf x' thì bảng biến thiênyf x như sau:

+ 0

-2 0

2.3.2 Khai thác đồ thị hoặc bảng biến thiên hàm số y f x  , xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn.

Phương pháp giải: Dựa vào đồ thị hàm số f(x) để suy ra bảng biến thiên của

hàm số 𝑦=g(x), sau đó dựa vào bảng biến thiên của hàm số 𝑦=g(x) và tính đơn điệu của hàm số để kết luận

Lời giải Chọn A

Ta có:  

1 0

4 1

x VN

Ví dụ 2. Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như hình dưới đây Tìm

Những giải pháp trên đã được tôi kiểm nghiệm qua thực tế dạy học trongnăm học 2019 -2020 và 2020-2021 tại các lớp 12A5 (Ban cơ bản C), 12B3 (Ban

cơ bản A) Tôi đã thực hiện ôn tập và rèn luyện kĩ năng giải các bài toán tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn mà khai thác đồ thị hàm số

 

yf x , y f x  cho học sinh và kết quả thu được rất khả quan Năng lựchọc sinh đã có sự chuyển biến tích cực qua những lần thi KSCL theo địnhhướng thi tốt nghiệp THPT Quốc gia của nhà trường Điểm thi cụ thể các lớp tôidạy qua các lần thi khảo sát như sau:

2.4.2 Về phía giáo viên

Tôi đã trao đổi và chia sẻ kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng giải các bài toántìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn mà khai thác đồ thị hàm số

Khi dạy chương 1- Giải tích 12 "Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ

đồ thị của hàm số " cùng với việc dạy cho học sinh biết xét tính đơn điệu, cực

trị, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số , giáo viên cũng cần rènluyện cho học sinh kĩ năng khai thác đồ thị các hàm số yf x( ), yf x  Kĩnăng này sẽ giúp cho các em làm nhanh, làm tốt bài thi tốt nghiệp THPT Quốcgia trong tình hình các em thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan và thờigian thi rút ngắn chỉ còn lại 90 phút Đề tài của tôi cũng chính là một kinhnghiệm để các thầy cô giáo dạy Toán tham khảo nhằm nâng cao chất lượng,hiệu quả các giờ dạy Toán nói chung và dạy học phần giải các bài toán tìm giátrị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn mà khai thác đồ thị hàm số yf x ,

thống và khoa học, có thêm nhiều bài tập dạng trắc nghiệm khách quan Trong

đó cần định hướng rõ hơn cho giáo viên về yêu cầu cần đạt và phương phápthực hiện Đồng thời chương trình phải phát huy được tính chủ động, tích cựccủa học sinh

2 Sở Giáo dục và đào tạo tổ chức các hội thảo trực tuyến Sáng kiến kinhnghiệm để các giáo viên có điều kiện trao đổi kinh nghiệm dạy học nói chung

và dạy đọc hiểu văn bản nói riêng

Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tôi trong quá trình dạy học rèn luyện kĩnăng giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ẩn mà khaithác đồ thị hàm số y f x , yf x  cho học sinh THPT trong các giờ dạyhọc Toán, vì vậy không tránh khỏi còn có những thiếu sót

Tôi rất mong nhận được sự đánh giá góp ý của Hội đồng khoa học củangành và các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện và có tính ứng dụng thực tiễnhiệu quả cao nhất

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2021Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôiviết, không sao chép nội dung của ngườikhác

Tác giả

Nguyễn Xuân Dũng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nhiều tác giả, SGK Giải tích 12 (Nâng cao)

[2] Nhiều tác giả, SGK Giải tích 12 (Cơ bản)

[3] Nhiều tác giả, SGK Đại số và giải tích 11 (Cơ bản)

[4] Đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia năm 2020

[5] Đề minh họa thi tốt nghiệp THPT quốc gia năm 2021 của Bộ GD&ĐT.[6] Đề thi thử tốt nghiệp THPT quốc gia của các trường THPT trên toàn quốc.[7] Nguồn Internet