SKKN một số giải pháp giúp học sinh 12 giải bài toán đồng biến, nghịch biến của tổng và hiệu hai hàm số trong ôn thi TNTHPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 12 GIẢI BÀI TOÁN ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA TỔNG VÀ HIỆU HAI HÀM SỐ TR

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 12

GIẢI BÀI TOÁN ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA TỔNG

VÀ HIỆU HAI HÀM SỐ TRONG ÔN THI TNTHPT

Người thực hiện: Trần Ngọc Thắng

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2021

MỤC LỤC

I MỞ ĐẦU

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 5

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

nghiệm

5

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

I MỞ ĐẦU

1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Khi dạy học sinh những nội dung kiến thức nói trên, giáo viên phải giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ

đó xây dựng được thái độ và động cơ học tập đúng đắn Từ năm học 2017- 2018 trở lại đây, câu hỏi TNKQ về tính đồng biến, nghịch biến ở cấp độ vận dụng luôn được đề cập đến trong các đề thi Để làm được câu hỏi dạng này đòi hỏi học sinh ngoài việc nắm vững kiến thức về đạo hàm, kĩ năng tính đạo hàm thành thạo còn phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp để từ đó quy bài toán khó về dễ, quy lạ về quen phù hợp với trình độ kiến thức của bàn thân, đặc biệt

là kỹ năng xác định phương hướng giải quyết bài toán và kĩ năng tính toán nhanh để đạt được yêu cầu kiến thức lẫn thời gian của một câu hỏi trắc nghiệm

Từ thực tiễn giảng dạy và ôn thi cho học sinh, trong khuôn khổ bài biết

này tôi đưa ra “ Một số giải pháp giúp học sinh 12 giải bài toán đồng biến,

nghịch biến của tổng và hiệu hai hàm số trong ôn thi TNTHPT”.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Cung cấp cho học sinh một số giải pháp tiếp cận bài toán đồng biến, nghịch biến, từ đó củng cố cho học sinh phương pháp và các kỹ năng cơ bản để giải toán, đồng thời xây dựng cho học sinh thói quen tìm tòi tích lũy và rèn luyện tư duy sáng tạo vận dụng các kĩ năng đã có một cách linh hoạt vào giải quyết các bài toán chuẩn bị tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu một số bài toán đồng biến, nghịch biến từ đó đưa ra giải pháp giúp học sinh vận dụng vào giải bài toán đồng biến, nghịch biến của tổng và hiệu hai hàm số

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Trong phạm vi của đề tài, đã sử dụng kết hợp các phương pháp như: phương pháp thống kê – phân loại; phương pháp phân tích – tổng hợp- đánh giá;

phương pháp khác như phương pháp quy lạ về quen, sử dụng máy tính để hổ trợ tìm đáp án trong câu hỏi trắc nghiệm khách quan

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Trong quá trình ôn tập nội dung đồng biến, nghịch biến cho học sinh lớp

12, tôi thấy kỹ năng giải bài toán đồng biến, nghịch biến của tổng và hiệu của hai hàm số của học sinh còn yếu, đặc biệt là các bài toán trắc nghiệm đòi hỏi thời gian ngắn đa số các em bỏ qua Do đó cần phải giúp học sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng, quy lạ về quen … giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo và lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, xây dựng kỹ năng làm các bài toán trắc nghiệm khách quan, từ

đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong kiểm tra, đánh giá và kỳ thi TNTHPT

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Nội dung đồng biến, nghịch biến của tổng và hiệu hai hàm số là một phần kiến thức tương đối khó với học sinh Vì vậy, bài viết này đưa ra các giải pháp giúp giáo viên hướng dẫn bài toán đồng biến nghịch biến của hàm tổng và hàm hợp cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duy sáng tạo của bản thân, chuẩn bị tốt cho kỳ thi

2.3 Các biện pháp thực hiện

2.3.1 Một số kiến thức cần nhớ

2.3.1.1 Định lí: Cho hàm số y f x ( ) có đạo hàm trên K

+ f x�   , x K0  � � f x( ) đồng biến trên K

+ ( ) 0f x�  , x K � � f x( ) nghịch biến trên K

2.3.1.2 Chú ý 1:

+ f x � � , x K  0  � � f x( ) đồng biến trên K

+ ( ) 0f x� � , x K � � f x( ) nghịch biến trên K

(với ( ) 0f x�  chỉ tại một số “hữu hạn” điểm của K ).

2.3.1.3 Chú ý 2: Nếu hàm số y f x ( ) liên tục trên  a b; và có đạo hàm ( ) 0, ( ; )

f x�   �x a b thì hàm số đồng biến trên  a b; (Tương tự cho trường hợp

hàm số nghịch biến trên  a b; ).

2.3.1.4 Quy tắc chung để xét dấu đạo hàm:

Quy tắc 1:Cách xét dấu hàm số

 

 

P x y

Q x

�

với P x Q x   , là đa thức như sau: + Giải phương trình P x  0;Q x  0�x x 0 (nghiệm bội k)

+ Lập trục xét dấu với quy tắc: y� đổi dấu khi x đi qua x nếu 0 x là nghiệm bội0

lẻ; và không đổi dấu khi x qua x khi 0 x là nghiệm bội chẵn.0

Quy tắc 2:

* Để xét dấu đạo hàm y� trên một khoảng ( ; )  nào đó (với y� không đổi dấu

trên khoảng  ;  ), ta chọn một giá trị x0�( ; )  rồi thay vào y�, từ đó suy ra

được dấu của y� trên ( ; ) 

Với quy tắc này, mọi hàm số có đạo hàm phức tạp ta đều có thể được xét dấu

chính xác (sau khi ta đã chia ra các khoảng mà ở trên mỗi khoảng đó, y� không đổi dấu)

2 3 2 Một số giải pháp.

Bài toán: xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y P x   Q x  khi

biết P x� 

Giải pháp 1 : Khi bài toán cho biết P x�  , ta phân tích P x�  Q x�  ra

nhân tử chung, từ đó xét dấu để được khoảng đồng biến, nghịch biến.

Ví dụ : Cho hàm số y f x  

có đạo hàm f x�   3 x x  2 1 2 , x x �� Xét tính đơn điệu của hàm số sau:

1)y g x  f x x 1

Giải

1/�g x�   f x�  2x 3 x x  21

Hàm số đồng biến trên các khoảng  �; 1 , 1;3  , nghịch biến trên các khoảng

1;1 , 3;  �

2)y h x  f x 6x2x

Giải

2/

    6 4 3   2 1 2 3  3   2 1

h x�  f x�   x x x   x   x x 

�

Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;� , đồng biến trên khoảng �;3

3)y q x  f x 2x

Giải

3/�q x�   f x�    2 3 x x  2 1 2x 2  x1  x2 4x1

Hàm số nghịch biến trên các khoảng 1;2 3 , 2   3;�

, đồng biến trên

khoảng  �; 1 , 2   3;2 3

4)y t x  f x x 7x 9x

Giải

    3 2 14 9 3   2 1 3 2 12 9  2 4 3  2

t x�  f x�  x  x  x x   x  x  x  x  x

Hàm số nghịch biến trên các khoảng   1;2 , 3;� , đồng biến trên khoảng

�;1 , 2;3  

5)

2

Giải

k x�  x x   x x  x  x  x   x x

�

Hàm số nghịch biến trên khoảng �;1, đồng biến trên khoảng 1;�

Giải pháp 2: Khi bài toán không cho biết P x�  , chỉ biết khoảng đồng biến

hoặc nghịch biến của P x� 

hoặc không phân tích được thành nhân tử; ta

xét dấu Q x� 

riêng rồi kết hợp với dấu của P x� 

với quy tắc: cùng dấu thì cộng lại, khác dấu thì chưa cho kết quả

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x   đồng biến trên khoảng 1;2 Trên khoảng

1;2, tìm các khoảng chắc chắn đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

1)y q x  f x 2x

Giải

y q x� �  f x� 

�

f x�  x� � f x�   x�

Hàm số y q x   đồng biến trên khoảng 1;2

2)y r x  f x x 2x

Giải

y r x� �  f x�  x

�

Hàm số y r x   đồng biến trên khoảng 1;2

3)y s x  f x x 3x

Giải

  3 2 1

y� � f x  x 

�

Hàm số y s x   đồng biến trên khoảng  1;2

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x y f x  ,  �  có bảng biến thiên như hình dưới đây

    2

1)y q x  f 2x 1 x 2x

Giải

q x�  f�x  x

3

x x

�  

�

  

�

�

�

�

�

Hàm số đồng biến trên khoảng  0;1 , nghịch biến trên khoảng

3

; 2

� � �

2)y s x  f 2x 1 x 3x

Giải

  2 2 1 3 2 3

s x  f�x  x 

3

x x

�  

�

  

�

�

�

�

Hàm số đồng biến trên các khoảng

3

; 1 2

Ví dụ 3: Cho hàm số f x( ) liên tục trên � Hàm số f x'( )có đồ thị như hình vẽ:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

1)y g x  f x x

Giải

y g x� �  f x� 

   

�

� Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng �;x1 , x2;�, hàm số nghịch biến trên

khoảng x x1; 2

2

x

y q x  f x  

   

'

y q x �  f x� x

  0 500 0 1

2

q x

x

�

� 

� Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng  0

5

2

� �, hàm số nghịch biến trên

khoảng 0

5

;

2

x

� �

    1 3 3 2

y h x  f x  x  x  x

     2 3 2

y h x� �  f x�   x x

2

x

h x

x



�

� Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng �;1 , 2;  �, hàm số nghịch biến trên

khoảng  1;2

    x33 23x2 3 3x 2

y k x� �  f x� ��    ��

2

x

x

 

�

�

�

� Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng �;1 , 2;  �, hàm số nghịch biến trên

khoảng  1;2

2.4 Kết quả thực hiện

Kết quả vận dụng của bản thân:

Tôi đã thực hiện việc áp dụng cách làm này trong năm học 2019-2020 Trong quá ôn tập về tính đồng biến, nghịch biến của tổng và hiệu hai hàm số, học sinh thực sự thấy tự tin, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán,

mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức

đã học, tạo tiền đề cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải bài tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức cơ bản, nhiều em vận dụng tốt ở từng bài toán cụ thể Qua các bài kiểm tra về nội dung này và các bài thi học kỳ có nội dung này, tôi nhận thấy nhiều em có sự tiến bộ rõ rệt và đạt kết quả tốt Cụ thể như sau :

Lớp 12B5 năm học 2019-2020 (Sĩ số 44)

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Trong quá trình dạy học, giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vận dụng linh hoạt các kiến thưc

cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học tự nghiên cứu Đồng thời xây dựng các bài toán riêng lẻ thành một hệ thống theo một trình tự logic có sự sắp đặt của phương pháp và quy trình giải toán sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung bài học, đồng thời có thể phát triển

tư duy học toán cũng như tạo ra niềm vui và sự hứng thú trong học toán Trên đây chỉ là một vài giải pháp giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh, giúp học sinh tự tin vào năng lực bản thân, tạo cho học sinh niềm đam mê ,yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu

3.2 Kiến nghị

Cần bố trí những tiết thảo luận hơn nữa để thông qua đó các học sinh bổ trợ nhau về kiến thức Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán

Bài viết chắc chắn còn nhiều thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến,

phê bình, phản hồi của các đồng nghiệp

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 04 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

(Ký và ghi rõ họ tên)

Trần Ngọc Thắng

[1] SGK Giải tích 12_NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào tạo.

[2] Sách BT Giải tích 12_ NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục và đào tạo [3] Tài liệu sưu tầm trên mạng internet