SKKN kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán tìm tỉ số diện tích của hai hình phẳng dựa vào tích phân

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong vài năm gần đây khi bài thi môn toán chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, các câu hỏi về diện tích ở mức độ vận dụng cao xuất hiện với số lượng khá nhiều trong

1 MỞ ĐẦU

1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong vài năm gần đây khi bài thi môn toán chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, các câu hỏi về diện tích ở mức độ vận dụng cao xuất hiện với số lượng khá nhiều trong đề thi Nội dung câu hỏi được khai thác ở nhiều khía cạnh khác nhau, nhiều dạng câu hỏi thực sự gây khó cho thí sinh Nhiều em khi gặp một số loại bài toán về diện tích còn khá lúng túng, đôi khi không biết bắt đầu từ đâu Qua một thời gian giảng dạy, tôi nhận thấy rằng, nguyên nhân là do các em chưa nắm vững lý thuyết, chưa biết cách suy nghĩ và vận dụng như thế nào Do vậy,

để giúp học sinh có thể tự tin hơn và có khả năng giải quyết tốt hơn câu hỏi về diện tích trong các bài thi đó, thì việc trang bị cho các em kiến thức cũng như cách suy nghĩ, kỹ năng là điều cần thiết Với lí do đó, bản thân tôi mạnh dạn nghiên cứu và viết đề tài “ Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán tìm tỉ số diện tích của hai hình phẳng dựa vào tích phân”

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Giúp học sinh biết cách tiếp cận và có thể giải quyết được bài toán Từ đó

tạo ra hứng thú, động lực để học sinh học môn toán tốt hơn và đạt kết quả cao trong các kỳ thi

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Sách giáo khoa, đề thi thử các trường THPT trên toàn quốc, đề thi THPT QG

- Học sinh trường THPT Thọ Xuân 5

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Tham khảo tài liệu: Tìm tòi, hệ thống các kiến thức thu thập được.

- Đúc rút kinh nghiệm giảng dạy qua dự giờ, kiểm tra học sinh, nghiên cứu hồ

sơ giảng dạy và kiểm tra trên nhiều đối tượng học sinh, kiểm tra nhiều lần bằng nhiều hình thức khác nhau

- Tổng hợp các phân tích thu thập được

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM :

Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban chấp hành Trung ương khóa XI về

đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ: “ Tiếp tục đổi mới

mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực” [1]

Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng vì:

+ Môn Toán là môn học công cụ.

+ Môn Toán góp phần phát triển nhân cách.

Như vậy, phát triển tư duy Toán học nói chung và các bài toán liên quan đến tính tỉ số diện tích hình phẳng nói riêng là góp phần quan trọng vào hình thành phẩm chất, năng lực con người Việt Nam trong thời đại mới

Trên cơ sở là quy tắc bỏ dấu giá trị tuyệt đối và phép biến đổi đồ thị, công thức tính diện tích Trong mục này tôi trình bày lại một số phép biến đổi đồ thị

cơ bản và một số nhận xét quan trọng

1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong:

Nếu hàm số f x( ) liên tục trên đoạn a b;  thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của hàm số yf x( ) và các đường thẳng x a x b y ;  ;  0 được tính theo

công thức:

( )

( )

b b

a b a

a

f x dx

S f x dx

f x dx



















Để khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f x( ) ta thường thực hiện:

Cách 1: Sử dụng “định lí về dấu của nhị thức bật nhất”và “định lí về dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f x( )

( Chú ý: Nếu f x( ) không đổi dấu trên a b;  thì ta có: ( ) ( )

S f x dxf x dx )

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số yf x( ) trên đoạn a b;  để suy ra dấu của ( )

f x trên đoạn đó

- Nếu trên đoạn a b;  đồ thị hàm số yf x( ) nằm phía dưới trục hoành thì f x( ) 0,   x a b; 

- Nếu trên đoạn a b;  đồ thị hàm số yf x( ) nằm phía trên trục hoành thì

( ) 0; ;

f x   x a b

Nếu phương trình f x ( ) 0 có k nghiệm phân biệt x x1 , , 2 x k thuộc a b;  thì trên mỗi khoảng ( ; ),( ; ), ( ; )a x1 x x1 2 x b k biểu thức f x( ) có dấu không đổi

Khi đó để tính tích phân ( )

b

a

S f x dx ta có thể tính như sau :

1

k

Sf x dxf x dx  f x dx   f x dx

2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng x a x b ; 

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số yf x y( ); g x( ) liên tục trên đoạn a b;  và hai đường thẳng x a x b ;  , ta có công thức sau:

( ) g( )

b

a

Sf x  x dx

Trong công thức trên:

1

ta có công thức khai triển của S:

( ) ( ) ( ) ( )

Sf x  g x dxf x  g x dx nếu f x( ) g x( ) ,  x a b; 

Trường hợp hình 2

ta có công thức khai triển của S :

( ) ( ) g( ) ( )

Sf x  g x dx x  f x dx nếu g( )x f x( ) , x a b; 

Trường hợp hình 3

ta có công thức khai triển của S:

( ( ) ( )) ( ( ) ( )) (2)

S f x g x dx f x g x dx f x g x dx

f x g x dx g x f x dx

( Trong đó c là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hai hàm số yf x y( ); g x( ))

Một cách thức chung người ta thường thực hiện các bước sau:

Bước1: Nếu hai đường x a x b ;  đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải

phương trình f x( ) g( )  x để tìm

Bước 2: Áp dụng công thức (2)

Bước 3: Rút gọn biểu thức f x( )  g x( ), sau đó xét dấu của hiệu này

Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối

để khử dấu giá trị tuyệt đối

2.2 THỰC TRẠNG VÂN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN

Đơn vị tôi công tác bên cạnh những thuận lợi về sự quan tâm của nhà

trường, phụ huynh và xã hội thì khi giảng dạy tôi nhận thấy còn nhiều khó khăn,

như là: Học sinh lớp tôi được phân công giảng dạy các em khả năng tiếp thu bài

hạn chế, còn ham chơi, chưa ý thức tự giác trong học tập Nhiều học sinh chưa làm được bài toán tính tỉ số diện tích khi các điểm cực trị liên hệ với nhau bằng biểu thức, chưa biết cách tiếp cận, có một số em thì bài làm được bài không hoặc giải sai vì không nắm được phép biến đổi đồ thị và các công thức biến đổi tính diện tích

2.3 GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Trong phần này tôi trình bày hai dạng bài toán thường gặp nhất và định hướng cách giải

Dạng 1: Tính tỉ số diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hàm số bậc 4, các

đường thẳng x a x b ;  Trong các cực trị hàm bậc 4 liên hệ với nhau bằng một biểu thức

Trường hợp 1: Hàm bậc 4 nhận trục Oy làm trục đối xứng

Đối với trường hợp 1 hướng dẫn học sinh thực hiện các bước sau:

+Tìm hoành độ các điểm cực trị

+Tìm hàm số bậc 4

+Tính diện tích các phần từ đó tính tỉ số

Bài toán 1: Cho hàm số yf x( ) ax4 bx2 ccó đồ thị như hình vẽ

Biết yf x( ) đạt cực trị tại x1 x2 x3, sao cho x x x1 , 2 , 3 lập thành cấp số cộng với công sai bằng 2 và f x( ) 1 f x( ) 3  2 ( )f x2 Gọi S S1 , 2là diện tích phần gạch chéo trong hình Tính 1

2

S S

+Tìm hoành độ các điểm cực trị

Theo giả thiết và từ hình vẽ ta suy ra x1  2, x2  0, x3  2

+Tìm hàm số bậc 4

Và f x ( ) kx x( 2  4), (k  0).Suy ra 3 1 4 2

4

f x k x  x dx k  x  x c

3

f  f  f  k c  kc c Vậy 1 4 2 4

f x k x  x  

+Tính diện tích các phần và tính tỉ số

Gọi S S1 S2, suy ra Slà phần diện tích hình chữ nhật như hình vẽ

Suy ra S  4.4k  16k,

2

2

2

2

k



Suy ra 1 2

128 112 16

S  S S  k k  k

Vậy 1

2

112

118

S

S 

Bài toán 2.Cho hàm số bậc bốnyf x  đồ thị  C như hình bên, biết  C nhận trục tung làm trục đối xứng Hàm số yf x  đạt cực trị tại các điểm x x x1 , , 2 3 thỏa mãn x3 x1  4, f x 1  8f x 2  f x 3  0 Gọi S S S1 , , 2 3 là diện tích hình phẳng được đánh dấu như hình bên Tính tỉ số 1

S

S S S

A 7

15

Hướng dẫn học sinh giải

+Tìm hoành độ các điểm cực trị

Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng nên f x  là hàm số bậc bốn trùng phương

Đặt f x  ax4 bx2 c.Lại có x3  x1 4, suy ra x1  2,x2  0,x3  2

+Tìm hàm số bậc 4

Đồng thời cực trị x1 cũng là nghiệm của phương trình f x   0, với

f x  ax  bx

Suy ra f x 1    0 32a 4b  0 b 8a.Khi đó f x  ax4  8ax2 c

Ta có  1  2  3  

16

5

f x  f x  f x   a a c  c  c a

f x ax  ax  a a x   x  

+Tính diện tích các phần và tính tỉ số

Ta có 1 2 3  3 1   2  1 

16 64

S S S  x  x f x  f x   a a a

Diện tích phần S2 là    

3

1

2

2

x

x



2

1

0

2

x

x



do tính đối xứng nên S3 S1 Vậy 1

7 30

S

S S S 

Trường hợp 2: Hàm bậc 4 không nhận trục Oylàm trục đối xứng hướng dẫn học sinh thực hiện các bước sau

+Tịnh tiến đồ thị hàm bậc 4 sao cho đồ thị nhận trục Oylàm trục đối xứng

+ Tìm tọa độ các điểm cực trị

+Tìm phương trình hàm bậc 4

+ Tính diện tích các phần và tính tỉ số

Bài toán 3 Cho hàm số bậc bốn yf x( ) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên Biết hàm số đạt cực trị tại các điểmx x x1 ; ; 2 3 sao cho x1 x2 x3  2 2 và

( ) ( ) ( ) 4

f x  f x  f x  , đồ thị nhận đường thẳng x x 2 làm trục đối xứng Gọi

1 ; 2

S S là diện tích hai hình phẳng được gạch như hình vẽ bên Tính tỉ số 1

2

S S

A. 4

8

Hướng dẫn học sinh giải

+ Tịnh Tiến đồ thị sao cho có trục đối xứng là trục Oy

Ta tịnh tiến đồ thị sang trái sao cho trục đối xứng trùng với Oy, ta được hàm số

 

y g x , rõ ràng diện tích S S1 ; 2 là không đổi

+Tìm cực trị

Theo đề bài f x( ) 1  f x( ) 2  f x( ) 4 3  mà f x( ) 1 f x( ) 0 3   f x( ) 4 2 

Mà x1 x2 x3  2 2 , nên hàm số g x  đạt cực trị tại điểm x x x1 ; ; 2 3 và

 

1 0 3 2 2 1

Mặt khác lúc này hàmg x  có dạng

y g x ax bx  a  g x  ax  bx

Mà x1 x3 kết hợp  1  x3  2  g 2  8a 2 2  b 2 0   b 4a

+ Tìm hàm số

g x ax ax

    , do g( )x3 f  2   0 a 1

Vậy ta có hàm số 4 2

g( )x x  4x  4

+Tính diện tích và tính tỉ số

Gọi S là diện tích hình chữ nhật được ghép từ S S1 ; 2 suy ra

0

2

2

32 2

15



1

2

S

S

Bài toán 4 Cho hàm số bậc bốn yf x  có đồ thị là đường cong trong hình bên Biết hàm số yf x  có 3 điểm cực trị là x x x1 , , 2 3 thỏa mãn x3  x1  4 và

 2 4

f x  , đồ thị nhận đường thẳng x x 2 làm trục đối xứng Gọi S1 và S2 là diện tích của hai hình phẳng được gạch như trong hình vẽ Tỉ số 1

2

S

S bằng

A 7

7

+Tịnh tiến đồ thị

Tịnh tiến đồ thị hàm số sao cho trục Oyđi qua điểm cực trị x2, thì diện tích của hình phẳng không thay đổi

Khi đó ta có yf x là hàm số bậc bốn trùng phương

Gọi f x ax4 bx2 c với a 0

Biết f x 2 f  0   4 c 4, vậy f x ax4bx2 4

+ Tìm cực trị

Lại có theo bài ra x3  x1  4nên khi tịnh tiến đồ thị ta có 3 điểm cực trị là

x  x  x 

+ Tìm hàm số

Mà f x   4ax3  2bx f 2  32a 4b  0 b 8a

Vậy f x  ax4 8ax2 4

+ Tính diện tích và tỉ số

Theo hình vẽ ta có

2

2

S  f x   dx ax  ax dx    

Lại có f  2  16a 4nên độ dài các đoạnAB 4,BC 16a

ABCD

S S  S AB BC  a 

Vậy 1

2

512 8

448 7

S

Bài toán 5. Cho hàm số bậc bốn yf x( ) có đồ thị là đường cong trong hình Biết hàm số yf x( ) đạt cực trị tại ba điểm x x x1 ; ; 2 3 thỏa mãn x1   3 x2  x3 1 Gọi S1là diện tích của hình phẳng được tô đậm và S2 là diện tích của hình phẳng được gạch chéo trong hình bên Tỉ số 1

2

S

S bằng

A. 891

17 B. 297

15

Hướng dẫn học sinh giải

Tịnh tiến đồ thị yf x( )sang trái sao cho điểm cực trị x2 trùng với gốc tọa độ

Ta thấy diện tích S1; S2 không thay đổi Đồ thị yf x( )chuyển thành đồ thị

( )

y g x

Dựa vào đồ thị ta có

2 1 3

0 3 1

x x x













là ba điểm cực trị của hàm số y g x ( ) nên suy ra

g'( )x a x 3 x x 1 , (a 0)

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm 0;0 nên C 0. Suy ra

4 2 3 3 2 ( )

g x a   

Khi đó

1

2 2

0

17

S S













Bài toán 6 Cho hàm số bậc bốn yf x  có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên Biết hàm số đạt cực trị tại các điểm x x x1 , , 2 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai bằng 1 và f x 1 f x 3 , gọi S S1 , 2 là diện tích hai hình phẳng được gạch trong hình bên Tính tỷ số S1.

S

A. 7

16

Hướng dẫn học sinh giải

Tịnh tiến đồ thị yf x  sang phải sao cho đường thẳng  Oy ( vuông góc với Oxtại x2) ta được hàm số y g x  

Khi đó ta thấy đồ thị hàm số y g x   đối xứng nhau qua trục Oy y g x   là hàm số chẵn và đồ thị hàm số đi qua điểm O0;0 

Mà y g x   là hàm số bậc bốn suy ra g x ax4bx2 a 0

Từ giả thiết ta có g x  4ax3 2bx 0 có các nghiệm tương ứng

1;0;1 b 2a g x ax 2ax

0

1

1

7

15



hcn

S S  S  a a a

Vậy 1

2

7

16

S

S 

Bài toán 7.Cho đồ thị hàm bậc bốn yf x  như hình vẽ minh họa bên dưới Biết hàm số đạt cực trị lần lượt tại ba điểm x x x1 , , 2 3 thỏa mãn x3 x1  4 và

 2 1

f x  , đồ thị đối xứng qua đường thẳng x x 2 Gọi S1và S2 là diện tích của hình phẳng được xác định như trong hình Tính tỉ số 1

2

24S

S

A 24 B 21

15 D.21

Hướng dẫn học sinh giải

Tịnh tiến đồ thị hàm số yf x  theo vectơ v  x2 ;0 ta thu được đồ thị hàm số

 

y g x đối xứng qua trục Oynên hàm số y g x  là hàm trùng phương

Ta thấy S S1 , 2 trở thành S S1 , 2 tương ứng không thay đổi giá trị

Vì y g x   là hàm trùng phương nên có dạng y ax 4 bx2 c a  0 có ba điểm cực trị lần lượt là x x x1 , 2 , 3 thỏa mãn x20;x3 x1và x3x14

Khi đó ta được x12,x32

Ta có g x   4ax3  2bx có ba nghiệm x12,x20,x32

Suy ra g    2 0 8a b   0 b 8a

Mặt khác, g 0   1 c 1 Do đó, g x  ax4  8ax2  1

Tại x 2 thì g 2  16a 1.Khi đó

0

1

ax ax

2

2

ax ax

S  ax  ax   a dx   ax  a

224 24.

21 256

15

a



Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm bậc ba và đường thẳng

;

x a x b 

Bài toán 8.Cho hàm số bậc ba yf x( ) có đồ thị là đường cong trong hình bên Biết hàm số f x( ) đạt cực trị tại hai điểm x x1 , 2 thỏa mãn x2 x1  4 và

f x  f x  Gọi S1 và S2 là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên Tỉ số 1

2

S

S bằng

A 3

5

Hướng dẫn học sinh giải

Kết quả bài toán không đổi nếu ta tịnh tiến đồ thị sang phải cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ O Gọi g x  ax3bx2cx d là hàm số, khi đó ta dễ thấy g x 

lẻ nên b d  0 và g x  ax3 cx có 2 điểm cực trị tương ứng là  2; 2 cũng là nghiệm của 3ax2  c 0

3

x

g x k x x k x   g x k  x

32

2 2

3

S S   g   k

2

20

x

32 20

4

2

3 5

S

S 

Bài toán 9 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ, với

( )

f x là hàm số bậc ba Biết hàm số f x( ) đạt cực trị tại điểm x x1 ; 2 thỏa mãn

x x và f x( )1 +f x( )2 = 0 Gọi S S1 , 2 là diện tích của hai hình phẳng được

tô trong hình vẽ dưới đây Tỷ số 1

2

S

S bằng

Hướng dẫn học sinh giải

Kết quả bài toán không thay đổi nếu ta tịnh tiến đồ thị sang trái sao cho I º O

Khi đó chọn đồ thị hàm số g x( ) =ax3 +bx2 +cx d+ Khi đó dễ thấy g x( ) lẻ nên

= = 0

b d và g x( ) =ax3 +cx có hai điểm cực trị tương ứng là - 1;1 , cũng là nghiệm của 3ax2 + =c 0 Do đó g x( ) =a x( 3 - 3 ,x a) > 0

( )

0 3

1

3

2

5 11

S

Bài toán 10. Cho hàm số bậc ba yf x  có đồ thị là đường cong trong hình bên Biết hàm số yf x  đạt cực trị tại hai điểm x x1 , 2 thoả mãn x2 x1  6 và

f x  f x Gọi S1 và S2 là diện tích của hai hình phẳng được tô màu trong hình Tỉ số 2

1

S

S bằng bao nhiêu?

A 3

Hướng dẫn học sinh giải

Gọi g x  ax3 bx2 cx d là hàm số có được khi sau khi tịnh tiến đồ thị

 

yf x sang trái sao cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ O. Ta thấy đồ thịg x 